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二分图 【km】和匈牙利算法 模板

发布时间:

1 二分图的基本概念

二分图:整个图能被划分为两个点集(X,Y)且在同一点集内的所有点互不相交的图就是二分图。
匹配:在二分子图的边集M中如果M中的每条边的两个端点只有该条边与这两个端点相连,则M称为一个匹配。
匹配边:我们把两个相匹配的点之间的连线称为匹配边。
最大匹配:图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完备匹配:如果有一边的点全都是匹配点,则称这个匹配为完备匹配。
完美匹配:如果所有点都在匹配边上,称这个最大匹配是完美匹配。
最小覆盖: 用最少的点(X集合或Y集合的都行)让每条边都至少和其中一个点关联。(也就是说每个边至少有一个端点是匹配点)
路径:就是连着的几条边(1?->2?->3就是一条路径)
最小路径覆盖问题:在有向无环图中,用最少的路径条数(不相交的路径,即不仅不能有重合的边,连重合的点都没有)覆盖掉所有顶点。
最大独立集问题: 在N个点的图G中选出m个点,使这m个点两两之间没有边.求m最大值.(如果图G满足二分图条件)可以用二分图匹配来做.
关于二分图带权匹配&最大匹配&完备匹配&完美匹配的区分:
最大匹配:使得该二分图边数最多的匹配。
完备匹配:使得点数较小的点集中每个点都被匹配的匹配。
完美匹配:所有点都被匹配的匹配。
可知:完美匹配一定是最大匹配和完备匹配。
二分图的判定:
1.如果一个图是有向无环图,则必定可以化成二分图,方法过后再讲。
2.无向图G为二分图的充要条件是,G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
3.黑白染色:从一个没有染过色的点开始染色,把起始点染为黑色,与其连接的边的另一端点都染为白色,再从这些点开始继续染色,如果染色时发现该点已经被染色并且颜色和其相邻的点相同,则不是二分图。
?


思路:


最小路径覆盖问题解答便由此而来,路径数S=N-最大匹配。
最大独立集问题:m=N-最大匹配。
二分图(不带权)最大匹配:匈牙利算法。
二分图带权最优匹配:KM算法。


二 、匈牙利算法

下面开始匈牙利算法的讲解:
如果当前存在未匹配点,那么则将该点(叫做点a好了)和其中一个与之相连的未匹配点进行匹配,如果与该点相连的都是匹配点,那么看在该点之前的点(点b)能不能(通过改变它的匹配边)把点a和点b的公共匹配点让给该点并将点b的仍有匹配边,如果能改变其匹配边,则进行改变,然后把点a与让出来的那个点进行匹配,若之前的都不能改变,则直接进行下一个点的选择,放弃点a。



进行第一步的操作后:



进行第二步的操作后:



结束算法。
总之,匈牙利算法是秉承着一种“能连就连,能不改就不改”的原则的。


算法模板:


dfs


#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=1005;
int n,m;
bool used[maxn];
int lt[maxn][maxn];
int link[maxn];
bool dfs(int u) {
for(int i=1; i<=n; i++) {
if(lt[u][i]&&!used[i]) {
used[i]=1;
if(link[i]==-1||dfs(link[i])) {
link[i]=u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main () {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=m; i++) {
int u,v,w;
scanf("%d%d",&u,&v);
lt[u][v]==1;
//无论是有向图还是无向图我们都这样存,因为转换成二分图求最大匹配边数时其匹配边数都相等 而如果*惯无向图存两次的话,那么最大匹配数要>>1;
}
int ans=0;
memset(link,-1,sizeof(link));
for(int i=1; i<=n; i++) {
memset(used,0,sizeof(used));
if(dfs(i))ans++;
}
printf("%d",ans);
return 0;
}

下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码:

// 顶点、边的编号均从 0 开始
// 邻接表储存

struct Edge
{
int from;
int to;
int weight;

Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
};

vector G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
vector edges;
typedef vector::iterator iterator_t;
int num_nodes;
int num_left;
int num_right;
int num_edges;

int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
int check[__maxNodes];

bool dfs(int u)
{
for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点
int v = edges[*i].to;
if (!check[v]) { // 要求不在交替路中
check[v] = true; // 放入交替路
if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
// 如果是未盖点,说明交替路为增广路,则交换路径,并返回成功
matching[v] = u;
matching[u] = v;
return true;
}
}
}
return false; // 不存在增广路,返回失败
}

int hungarian()
{
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
for (int u=0; u < num_left; ++u) {
if (matching[u] == -1) {
memset(check, 0, sizeof(check));
if (dfs(u))
++ans;
}
}
return ans;
}

queue Q;
int prev[__maxNodes];
int Hungarian()
{
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
memset(check, -1, sizeof(check));
for (int i=0; i if (matching[i] == -1) {
while (!Q.empty()) Q.pop();
Q.push(i);
prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点
bool flag = false; // 尚未找到增广路
while (!Q.empty() && !flag) {
int u = Q.front();
for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
int v = edges[*ix].to;
if (check[v] != i) {
check[v] = i;
Q.push(matching[v]);
if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点
prev[matching[v]] = u;
} else { // 找到未匹配点,交替路变为增广路
flag = true;
int d=u, e=v;
while (d != -1) {
int t = matching[d];
matching[d] = e;
matching[e] = d;
d = prev[d];
e = t;
}
}
}
}
Q.pop();
}
if (matching[i] != -1) ++ans;
}
}
return ans;
}

KM算法:求在一个二分图的完备匹配中的最大权值匹配的算法。(下文简称为最佳完备匹配)
似乎跟匈牙利算法有点相似,
所以我们要引入一个基于匈牙利算法的一种算法,叫做KM算法。
步骤如下:
首先用邻接矩阵存储二分图,注意:如果只想求最大权值匹配而不要求是完备匹配的话,请把各个不相连的边的权值设置为0。
之后进行下述步骤:
1.运用贪心算法初始化标杆。
2.运用匈牙利算法找到完备匹配。
3.如果找不到,则通过修改标杆,增加一些边。
4.重复2,3的步骤,找到完备匹配时可结束。
?


#include
#include
#include
using namespace std;
const int qwq=0x7fffffff;
int w[1000][1000]; //w数组记录边权值
int line[1000],usex[1000],usey[1000],cx[1000],cy[1000]; //line数组记录右边端点所连的左端点, usex,usey数组记录是否曾访问过,也是判断是否在增广路上,cx,cy数组就是记录点的顶标
int n,ans,m; //n左m右
bool find(int x){
usex[x]=1;
for (int i=1;i<=m;i++){
if ((usey[i]==0)&&(cx[x]+cy[i]==w[x][i])){ //如果这个点未访问过并且它是子图里面的边
usey[i]=1;
if ((line[i]==0)||find(line[i])){ //如果这个点未匹配或者匹配点能更改
line[i]=x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int km(){
for (int i=1;i<=n;i++){ //分别对左边点依次匹配
while (true){
int d=qwq;
memset(usex,0,sizeof(usex));
memset(usey,0,sizeof(usey));
if (find(i)) break; //直到成功匹配才换下一个点匹配
for (int j=1;j<=n;j++)
if (usex[j])
for (int k=1;k<=m;k++)
if (!usey[k]) d=min(d,cx[j]+cy[k]-w[j][k]); //计算d值
if (d==qwq) return -1;
for (int j=1;j<=n;j++)
if (usex[j]) cx[j]-=d;
for (int j=1;j<=m;j++)
if (usey[j]) cy[j]+=d; //添加新边
}
}
ans=0;
for (int i=1;i<=m;i++)
ans+=w[line[i]][i];
return ans;
}
int main(){
while (~scanf("%d%d",&n,&m)){
memset(cy,0,sizeof(cy));
memset(w,0,sizeof(w));
memset(cx,0,sizeof(cx));
for (int i=1;i<=n;i++){
int d=0;
for (int j=1;j<=n;j++){
scanf("%d",&w[i][j]);
d=max(d,w[i][j]); //此处顺便初始化左边点的顶标
}
cx[i]=d;
}
memset(line,0,sizeof(line));
printf("%d
",km());
}
return 0;
}


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