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中考试题九年级压轴题综合训练.docx

马鸣风萧萧
天津市和平区 2016 年九年级中考数学压轴题综合训练
1.若实数 a,b 满足 a﹣ab+b2+2=0,则 a 的取值范围是( ) A.a≤﹣2 B.a≥4 C.a≤﹣2 或 a≥4 D.﹣2≤a≤4
2.如图,A、B 是双曲线上的点,A、B 两点的横坐标分别是 a、2a,线段 AB 的延长线交 x 轴于点 C,若 S△ AOC=9.则 k 的值是( )
A.9 B.6 C.5 D.4 3.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a< ;④b>1.其中 正确的结论是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 4.如图,将足够大的等腰直角三角板 PCD 的锐角顶点 P 放在另一个等腰直角三角板 PAB 的直角顶点处,三 角板 PCD 绕点 P 在平面内转动,且∠CPD 的两边始终与斜边 AB 相交,PC 交 AB 于点 M,PD 交 AB 于点 N,设 AB=2,AN=x,BM=y,则能反映 y 与 x 的函数关系的图象大致是( )
5.如图,两个边长相等的正方形 ABCD 和 EFGH,正方形 EFGH 的顶点 E 固定在正方形 ABCD 的对称中心位置, 正方形 EFGH 绕点 E 顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为 S,旋转的角度为θ ,S 与θ 的函数关系的 大致图象是( )
6.如图,D 是△ABC 的 AC 边上一点,AB=AC,BD=BC,将△BCD 沿 BD 折叠,顶点 C 恰好落在 AB 边的 C′处, 则∠A′的大小是( ) 马鸣风萧萧

马鸣风萧萧 A.40°

B. 36°

C. 32°

D. 30°

7.如图,矩形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE,延长 BG 交 CD 于 F 点,若 CF=1,

FD=2,则 BC 的长为( )

A.3

B. 2

C. 2

D. 2

8.如图,在△ABC 中,∠C=90°,将△ABC 沿直线 MN 翻折后,顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处,已知 MN

∥AB,MC=6,NC= ,则四边形 MABN 的面积是( )

A.

B.

C.

D.

9.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,∠EBC 的平分线交 CD 于点 F,将△DEF 沿 EF 折叠,点 D 恰好落在

BE 上 M 点处,延长 BC、EF 交于点 N.有下列四个结论:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN 是等边三角形;④S△BEF=3S

△DEF.其中将正确结论的序号全部选对的是(



A.①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

10.如图,将矩形 ABCD 的一个角翻折,使得点 D 恰好落在 BC 边上的点 G 处,折痕为 EF,若 EB 为∠AEG 的平分 线,EF 和 BC 的延长线交于点 H.下列结论中:①∠BEF=90°;②DE=CH;③BE=EF;④△BEG 和△HEG 的面

积相等;⑤若

,则

.以上命题,正确的有( )

A.2 个

B. 3 个

C. 4 个

D. 5 个

11.已知 M、N 两点关于 y 轴对称,且点 M 在双曲线 b),则 y=﹣abx2+(a+b)x 的顶点坐标为

上,点 N 在直线 y=﹣x+3 上,设点 M 坐标为(a, .

12.如图,△AEF 中,∠EAF=45°,AG⊥EF 于点 G,现将△AEG 沿 AE 折叠得到△AEB,将△AFG 沿 AF 折叠得 到△AFD,延长 BE 和 DF 相交于点 C. (1)求证:四边形 ABCD 是正方形;
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马鸣风萧萧 (2)连接 BD 分别交 AE、AF 于点 M、N,将△ABM 绕点 A 逆时针旋转,使 AB 与 AD 重合,得到△ADH,试判 断线段 MN、ND、DH 之间的数量关系,并说明理由. (3)若 EG=4,GF=6,BM=3 ,求 AG、MN 的长.
13.如图,AB 为⊙O 的直径,C,D 为⊙O 上不同于 A,B 的两点,过点 C 作⊙O 的切线 CF 交直线 AB 于点 F, 直线 DB⊥CF 于点 E.
(1) 求证:∠ABD=2∠CAB;
(2) 若 BF=5,sin∠F= 3 ,求 BD 的长. 5
14.为深化“携手节能低碳,共建碧水蓝天”活动,发展“低碳经济”,某单位进行技术革新,让可再生 资源重新利用.今年 1 月份,再生资源处理量为 40 吨,从今年 1 月 1 日起,该单位每月再生资源处理量 每一个月将提高 10 吨.月处理成本(元)与月份之间的关系可近似地表示为:p=50x2+100x+450,每处理 一吨再生资源得到的新产品的售价定为 100 元.若该单位每月再生资源处理量为 y(吨),每月的利润为 w(元). 马鸣风萧萧

马鸣风萧萧 (1)分别求出 y 与 x,w 与 x 的函数关系式; (2)在今年内该单位哪个月获得利润达到 5800 元?
15.如图,矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=8cm,动点 P 从点 A 出发,在 AC 上以每秒 5cm 的速度向点 C 匀速运动,
同时动点 Q 从点 D 出发,在 DA 边上以每秒 4cm 的速度向点 A 匀速运动,运动时间为 t 秒 ?0 ? t ? 2? ,连接 PQ .
⑴若 △APQ 与 △ADC 相似,求 t 的值. ⑵连结 CQ , DP ,若 CQ ? DP ,求 t 的值. ⑶连结 BQ , PD ,请问 BQ 能和 PD 平行吗?若能,求出 t 的值;若不能,说明理由.
16.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y=x+3 交 x 轴于 A 点,交 y 轴于 B 点,过 A、B 两点的抛物线 y= ﹣x2+bx+c 交 x 轴于另一点 C,点 D 是抛物线的顶点. (1)求此抛物线的解析式; (2)点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点,(不与点 A、B 重合),过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,交 直线 AB 于点 F,作 PG⊥AB 于点 G.求出△PFG 的周长最大值; (3)在抛物线 y=ax2+bx+c 上是否存在除点 D 以外的点 M,使得△ABM 与△ABD 的面积相等?若存在,请求 出此时点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 马鸣风萧萧

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17.如图,抛物线 C1 : y ? x2 ? bx ? c 经过原点,与 x 轴的另一个交点为 ?2,0? ,将抛物线 C1 向右平移 m?m ? 0? 个单位得到抛物线 C2 , C2 交 x 轴于 A , B 两点(点 A 在点 B 的左边),交 y 轴于点 C .
⑴求抛物线 C1 的解析式及顶点坐标. ⑵以 AC 为直角边向上作等腰 Rt△ACD ( ?CAD 是直角),当点 D 落在抛物线 C2 的对称轴上时,求抛 物线 C2 的解析式. ⑶若抛物线 C2 的对称轴上存在点 P ,使△PAC 为等边三角形,求 m 的值. 马鸣风萧萧

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18.已知:抛物线 l1:y=﹣x2+bx+3 交 x 轴于点 A,B,(点 A 在点 B 的左侧),交 y 轴于点 C,其对称轴为 x=1,抛物线 l2 经过点 A,与 x 轴的另一个交点为 E(5,0),交 y 轴于点 D(0,﹣ ). (1)求抛物线 l2 的函数表达式; (2)P 为直线 x=1 上一动点,连接 PA,PC,当 PA=PC 时,求点 P 的坐标; (3)M 为抛物线 l2 上一动点,过点 M 作直线 MN∥y 轴,交抛物线 l1 于点 N,求点 M 自点 A 运动至点 E 的过 程中,线段 MN 长度的最大值. 马鸣风萧萧

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答案详解 1.【解答】解:∵b 是实数,∴关于 b 的一元二次方程 b2﹣ab+ a+2=0,△=(﹣a)2﹣4×1×( a+2)≥ 0 解得:a≤﹣2 或 a≥4;∴a 的取值范围是 a≤﹣2 或 a≥4.故选 C. 2.【解答】解:作 AD⊥x 轴于 D,BE⊥x 轴于 E,如图,设反比例函数解析式为 y= (k>0), ∵A、B 两点的横坐标分别是 a、2a,∴A、B 两点的纵坐标分别是 、 , 马鸣风萧萧

马鸣风萧萧 ∵AD∥BE,∴△CEB∽△CDA,∴ = = = ,∴DE=CE,
∵OD:OE=a:2a=1:2,∴OD=DE,∴OD= OC,∴S△AOD= S△AOC= ×9=3,∴ |k|=3, 而 k>0,∴k=6.故选 B.

3.【解答】解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0,∵与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上,∴c<0,
∵对称轴为 x= <0,∴a、b 同号,即 b>0,∴abc<0,故本选项错误;
②当 x=1 时,函数值为 2,∴a+b+c=2;故本选项正确;
③∵对称轴 x= >﹣1,解得: <a,∵b>1,∴a> ,故本选项错误;
④当 x=﹣1 时,函数值<0,即 a﹣b+c<0,(1)又 a+b+c=2,将 a+c=2﹣b 代入(1), 2﹣2b<0,∴b>1 故本选项正确;综上所述,其中正确的结论是②④;故选 D. 4.【解答】解:作 PH⊥AB 于 H,如图,
∵△PAB 为等腰直角三角形,∴∠A=∠B=45°,AH=BH= AB=1,
∴△PAH 和△PBH 都是等腰直角三角形,∴PA=PB= AH= ,∠HPB=45°, ∵∠CPD 的两边始终与斜边 AB 相交,PC 交 AB 于点 M,PD 交 AB 于点 N,而∠CPD=45°, ∴1≤AN≤2,即 1≤x≤2, ∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°,∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°,∴∠2=∠BPM,
而∠A=∠B,∴△ANP∽△BPM,∴ = ,即 = ,∴y= ,
∴y 与 x 的函数关系的图象为反比例函数图象,且自变量为 1≤x≤2.故选:A.

5.【解答】解:如右图,过点 E 作 EM⊥BC 于点 M,EN⊥AB 于点 N, ∵点 E 是正方形的对称中心,∴EN=EM, 由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL,在 Rt△ENK 和 Rt△EML 中,
,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的 .故选 B.

,故可得△ENK≌△EML

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6.解答: 解:连接 C'D,∵AB=AC,BD=BC,∴∠ABC=∠ACB=∠BDC, ∵△BCD 沿 BD 折叠,顶点 C 恰好落在 AB 边的 C′处,∴∠BCD=∠BC'D, ∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D, ∵四边形 BCDC'的内角和为 360°,∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D=
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°.故选 B.

=72°,

7.解答:解:过点 E 作 EM⊥BC 于 M,交 BF 于 N,∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=∠ABC=90°,AD=BC, ∵∠EMB=90°,∴四边形 ABME 是矩形,∴AE=BM, 由折叠的性质得:AE=GE,∠EGN=∠A=90°,∴EG=BM, ∵∠ENG=∠BNM,∴△ENG≌△BNM(AAS),∴NG=NM,∴CM=DE,
∵E 是 AD 的中点,∴AE=ED=BM=CM,∵EM∥CD,∴BN:NF=BM:CM,∴BN=NF,∴NM= CF= ,

∴NG= ,∵BG=AB=CD=CF+DF=3,∴BN=BG﹣NG=3﹣ = ,∴BF=2BN=5,

∴BC=

=

=2 .故选 B.

8.解答: 解:连接 CD,交 MN 于 E, ∵将△ABC 沿直线 MN 翻折后,顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处,∴MN⊥CD,且 CE=DE,

∴CD=2CE,∵MN∥AB,∴CD⊥AB,∴△CMN∽△CAB,∴



∵在△CMN 中,∠C=90°,MC=6,NC= 马鸣风萧萧

,∴S△CMN= CM?CN= ×6×2 =6 ,

马鸣风萧萧 ∴S△CAB=4S△CMN=4×6 =24 ,∴S 四边形 MABN=S△CAB﹣S△CMN=24 ﹣6 =18 .故选 C.

9.解答: 解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠D=∠BCD=90°,DF=MF, 由折叠的性质可得:∠EMF=∠D=90°,即 FM⊥BE,CF⊥BC, ∵BF 平分∠EBC,∴CF=MF,∴DF=CF;故①正确; ∵∠BFM=90°﹣∠EBF,∠BFC=90°﹣∠CBF,∴∠BFM=∠BFC, ∵∠MFE=∠DFE=∠CFN,∴∠BFE=∠BFN, ∵∠BFE+∠BFN=180°,∴∠BFE=90°,即 BF⊥EN,故②正确;

∵在△DEF 和△CNF 中,

,∴△DEF≌△CNF(ASA),∴EF=FN,

∴BE=BN,但无法求得△BEN 各角的度数,∴△BEN 不一定是等边三角形;故③错误; ∵∠BFM=∠BFC,BM⊥FM,BC⊥CF,∴BM=BC=AD=2DE=2EM,∴BE=3EM, ∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF;故④正确.故选 B.

10.解答:解:①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF,∵EB 为∠AEG 的平分线,∴∠AEB=∠GEB,∵∠AED=180 °,∴∠BEF=90°,故正确; ②可证△EDF∽△HCF,DF>CF,故 DE≠CH,故错误; ③只可证△EDF∽△BAE,无法证明 BE=EF,故错误; ④可证△GEB,△GEH 是等腰三角形,则 G 是 BH 边的中线,∴△BEG 和△HEG 的面积相等,故正确; ⑤过 E 点作 EK⊥BC,垂足为 K.设 BK=x,AB=y,则有 y2+(2y﹣2x)2=(2y﹣x)2,解得 x1=y(不合题意舍

去),x2= y.则

,故正确.故正确的有 3 个.故选 B.

11.【解答】解:∵M、N 两点关于 y 轴对称, ∴M 坐标为(a,b),N 为(﹣a,b),分别代入相应的函数中得,b= ①,a+3=b②, ∴ab= ,(a+b)2=(a﹣b)2+4ab=11,a+b=± ,∴y=﹣ x2± x,

∴顶点坐标为(

=± ,

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= ),即(± , ).故答案为:(± , ).

马鸣风萧萧 12.【解答】(1)证明:∵△AEB 由△AED 翻折而成,∴∠ABE=∠AGE=90°,∠BAE=∠EAG,AB=AG, ∵△AFD 由△AFG 翻折而成,∴∠ADF=∠AGF=90°,∠DAF=∠FAG,AD=AG, ∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°,∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°,∴四边形 ABCD 是矩形, ∵AB=AD,∴四边形 ABCD 是正方形; (2)MN2=ND2+DH2,理由:连接 NH, ∵△ADH 由△ABM 旋转而成,∴△ABM≌△ADH,∴AM=AH,BM=DH, ∵由(1)∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ADH=∠ABD=45°,∴∠NDH=90°,



,∴△AMN≌△AHN,∴MN=NH,∴MN2=ND2+DH2;

(3)设 AG=BC=x,则 EC=x﹣4,CF=x﹣6,在 Rt△ECF 中, ∵CE2+CF2=EF2,即(x﹣4)2+(x﹣6)2=100,x1=12,x2=﹣2(舍去)∴AG=12,

∵AG=AB=AD=12,∠BAD=90°,∴BD=

=

=12 ,

∵BM=3 ,∴MD=BD﹣BM=12 ﹣3 =9 , 设 NH=y,在 Rt△NHD 中,∵NH2=ND2+DH2,即 y2=(9 ﹣y)2+(3 )2,解得 y=5 ,即 MN=5 .

13.(1)证明:如图,连接 OC,∵OA=OC 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,∴∠CAB=∠1

∴∠2=∠CAB+∠1=2∠CAB.

∵CF 切⊙O 于 C,OC 是⊙O 的半径,∴OC⊥CF.

∵DB⊥CF,∴OC∥DB,∴∠ABD=∠2,∴∠ABD=2∠CAB.

(2) 如图,连接 AD,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,即 AD⊥DE.

∵DE⊥CF,∴AD∥CF,∴∠3=∠F.

在 Rt△BEF 中,∵∠BEF=90°,BF=5,sin∠F= 3 ,∴BE=BF?sin∠F=5× 3 =3.

5

5

∵OC∥BE, ∴△FBE∽△FOC,∴ FB = BE , FO OC

设⊙O 的半径为 r ,则 5 = 3 ,解得 r = 15 .

5?r r

2

在 Rt△ABD 中,∠ADB=90°,AB=2 r =15,sin∠3=sin∠F= 3 , 5

∴BD=AB?sin∠3=15× 3 =9. 5
14.【解答】解:(1)设 y=kx+b,

根据题意,将(1,40),(2,50)代入 y=kx+b,得:

,解得:



故每月再生资源处理量 y(吨)与 x 月份之间的关系式为:y=10x+30, w=100y﹣p=100(10x+30)﹣(50x2+100x+450)=﹣50x2+900x+2550;
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马鸣风萧萧 (2)由﹣50x2+900x+2550=5800 得:x2﹣18x+65=0∴x1=13,x2=5∵x≤12,∴x=5, ∴在今年内该单位第 5 个月获得利润达到 5800 元.

16.【解答】解:(1)∵直线 AB:y=x+3 与坐标轴交于 A(﹣3,0)、B(0,3),

代入抛物线解析式 y=﹣x2+bx+c 中





∴抛物线解析式为:y=﹣x2﹣2x+3; (2)∵由题意可知△PFG 是等腰直角三角形,设 P(m,﹣m2﹣2m+3),∴F(m,m+3), ∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m,

△PFG 周长为:﹣m2﹣3m+ (﹣m2﹣3m),=﹣( +1)(m+ )2+



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∴△PFG 周长的最大值为:



(3)点 M 有三个位置,如图所示的 M1、M2、M3,都能使△ABM 的面积等于△ABD 的面积. 此时 DM1∥AB,M3M2∥AB,且与 AB 距离相等, ∵D(﹣1,4),∴E(﹣1,2)、则 N(﹣1,0) ∵y=x+3 中,k=1,∴直线 DM1 解析式为:y=x+5,直线 M3M2 解析式为:y=x+1, ∴x+5=﹣x2﹣2x+3 或 x+1=﹣x2﹣2x+3,

∴x1=﹣1,x2=﹣2,x3=

,x4=



∴M1(﹣2,3),M2(



),M3(



).

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18.【解答】解:(1)∵抛物线 l1:y=﹣x2+bx+3 的对称轴为 x=1,∴﹣ =1,解得 b=2, ∴抛物线 l1 的解析式为 y=﹣x2+2x+3, 令 y=0,可得﹣x2+2x+3=0,解得 x=﹣1 或 x=3,∴A 点坐标为(﹣1,0), ∵抛物线 l2 经过点 A、E 两点,∴可设抛物线 l2 解析式为 y=a(x+1)(x﹣5), 又∵抛物线 l2 交 y 轴于点 D(0,﹣ ),∴﹣ =﹣5a,解得 a= ,∴y= (x+1)(x﹣5)= x2﹣2x﹣ , ∴抛物线 l2 的函数表达式为 y= x2﹣2x﹣ ; (2)设 P 点坐标为(1,y),由(1)可得 C 点坐标为(0,3), ∴PC2=12+(y﹣3)2=y2﹣6y+10,PA2=[1﹣(﹣1)]2+y2=y2+4, ∵PC=PA,∴y2﹣6y+10=y2+4,解得 y=1,∴P 点坐标为(1,1); (3)由题意可设 M(x, x2﹣2x﹣ ),∵MN∥y 轴,∴N(x,﹣x2+2x+3), x2﹣2x﹣ 令﹣x2+2x+3= x2﹣2x﹣ ,可解得 x=﹣1 或 x= , ①当﹣1<x≤ 时,MN=(﹣x2+2x+3)﹣( x2﹣2x﹣ )=﹣ x2+4x+ =﹣ (x﹣ )2+ , 显然﹣1< ≤ ,∴当 x= 时,MN 有最大值 ; ②当 <x≤5 时,MN=( x2﹣2x﹣ )﹣(﹣x2+2x+3)= x2﹣4x﹣ = (x﹣ )2﹣ , 马鸣风萧萧

马鸣风萧萧 显然当 x> 时,MN 随 x 的增大而增大,∴当 x=5 时,MN 有最大值, ×(5﹣ )2﹣ =12;
综上可知在点 M 自点 A 运动至点 E 的过程中,线段 MN 长度的最大值为 12.
初中数学试卷
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