第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
y
o
x
1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的 过程. 2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性. 3.能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能 理解它与y=ax2的图象的关系.理解a，h和k对二次函数图 象的影响. 4.能够正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称 轴和顶点坐标.
1.函数 y ? 1 x2 ? 3 的图象的顶点坐标是 (0,3) ； 2
开口方向是 向上 ；最 小 值是 3 .
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数 y=-2x2
的
图象向 上 平移 3 个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数 _y_=_-_3_x_2-_2___的图象.
探究一
在同一坐标系中画出下列函数 的图象：
y ? 3x2 ; y ? 3x2 ? 2 ; y ? 3(x ?1)2.
思考：它们的图象之间有 什么关系？
y
o
x
【解析】
函数 y ? 3x2 ? 2的图象
向上平移2个单位
函数 y ? 3x2 的图象
向右平移1个单位
函数 y ? 3(x ?1)2 的图象
y
o
x
【归纳升华】
函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象关系：
函数y=a（x-h）2的图象：
y
对称轴是 直线x=h ； 顶点是（h ，0）
y ? ax2
函数y=a（x-h）2的图象 向右平移h（h﹥0）个单位
y ? a(x ? h)2 （h<0）
(向左平移︱h︱（h﹤0）个单位)
函数 y ? ax2 (a ? 0) 的图象
（h ，0）
y ? a(x ? h)2 （ｈ>０）
0 （h ，0）x
【跟踪训练】
1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的__形__状___相同， ___位__置____不同. 2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的__形__状__相同， ___位__置____不同. 3.抛物线y =3x2+5的开口___向__上__，对称轴是_y__轴___， 顶点坐标是____(_0_，__5_)___. 4.抛物线y =－2(x+1)2的开口_____向__下___，对称轴是 直__线__x__=_－__1__，顶点坐标是___(_－__1_，__0_)___.
y
探究二
画出二次函数y=3（x-1）2+2的图 象，并与二次函数y=3x2的图象进 行比较，说明它们之间的关系.
o
x
函数y ? 3x2的图象
向上平移 2个单位
函数y ? 3x2 ? 2 的图象
向右
向右
平移
平移
1个
1个
单位
单位
函数 y ? 3(x ?1)2 的图象
向上平移 2个单位
函数 y ? 3(x ?1)2 ? 2 的图象
【规律方法】
y ? a( x ? h)2 ? k（当k,h都大于0时）的图象特点.
y ? ax2的图象
y ? a(x ? h)2的图象
y ? ax2 ? k 的图象
y ? a(x ? h)2 ? k 的图象
对称轴：直线x= h 顶点： (h，k)
【跟踪训练】
抛物线
y ? x2
y ? x2 ? 2 y ? ( x ? 1)2 ? 2 y ? ( x ?1)2 ? 2 y ? ( x ? 1)2 ? 2
y ? ?( x ?1)2 ? 2 y ? a(x ? h)2 ? k
(a ? 0)
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
y 轴(或直线x=0) (0，0)
向上 向上
y 轴(或直线x=0) (0，2)
直线x=－1
(－1，2)
向上
直线x=1
(1，－2)
向上
直线x=－1
(－1，－2)
向下
直线x=1
(1，2)
向下
直线x=h
(h ，k)
1.（无锡·中考）下列二次函数中，图象以直线x=2为
对称轴、且经过点(0，1)的是( ).
A.y=(x－2)2+1
B.y=(x+2)2+1
C.y=(x－2)2－3
D.y=(x+2)2－3
【解析】选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A，C符
合，再根据图象经过点(0，1)知选项C符合.
2．（西宁·中考）将抛物线 y ? 2( x ? 1)2
向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 _______________.
【答案】 y ? 2x 2
3．（襄樊·中考）将抛物线 y ? ? 1 x2 先向上平移 2
2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表 达式为____________．
【答案】 y ? ? 1 (x ?1)2 ? 2 或 y ? ? 1 x2 ? x ? 3
2
2
2
4．（宁夏·中考）把抛物线 y ? ?x2 向左平
移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物
线的表达式为（
A. y ? ?(x ?1)2 ? 3 C. y ? ?(x ?1)2 ? 3
）
B. y ? ?(x ?1)2 ? 3 D. y ? ?(x ?1)2 ? 3
【答案】选B.
5．（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）
记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…,则
E（x，x 2 ? 2 x ? 1）可以由E（x，x 2）怎样平移得到？
（）
A.向上平移１个单位
B.向下平移１个单位
C.向左平移１个单位
D.向右平移１个单位
【答案】选D.
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
向上 向下
对称轴
顶点坐标
直线x=h 直线x=h
(h,k) (h,k)
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.