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2018年中考数学全国用湘教版复习热点小专题(7)以圆为背景的综合计算与证明题

热点小专题(七)以圆为背景的综合计算与证明题 类型一 圆与切线有关的问题 1. 【2017·丽水】如图 R7-1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D,切线 DE 交 AC 于点 E. (1)求证:∠A=∠ADE; (2)若 AD=16,DE=10,求 BC 的长. 图 R7-1 2. 【2017·枣庄】如图 R7-2,在△ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,点 O 在 AB 上,以点 O 为圆 心,OA 为半径的圆恰好经过点 D,分别交 AC,AB 于 E,F. (1)试判断直线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 BD=2 3,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留π ). 图 R7-2 类型二 圆与四边形结合的问题 3. 【2017·宜昌】如图 R7-3,四边形 ABCD 中,E 是对角线 AC 上一点,ED=EC,以 AE 为直径的⊙O 与边 CD 相切 于 D,B 点在⊙O 上,连接 OB. (1)求证:DE=OE; (2)若 AB∥CD,求证:四边形 ABCD 是菱形. 图 R7-3 4.已知 A,B,C 是⊙O 上的三个点,四边形 OABC 是平行四边形,过点 C 作⊙O 的切线,交 AB 的延长线于点 D. (1)如图 R7-4①,求∠ADC 的大小; ︵ (2)如图 R7-4②,经过点 O 作 CD 的平行线,与 AB 交于点 E,与AB交于点 F,连接 AF,求∠FAB 的大小. 图 R7-4 类型三 圆与三角函数结合的问题 5.如图 R7-5,AB 是⊙O 的直径,PB 与⊙O 相切于点 B,连接 PA 交⊙O 于点 C,连接 BC. (1)求证:∠BAC=∠CBP; 2 (2)求证:PB =PC·PA; (3)当 AC=6,CP=3 时,求 sin∠PAB 的值. 图 R7-5 6. 【2016·雅安】如图 R7-6①,AB 是⊙O 的直径,E 是 AB 延长线上一点,EC 切⊙O 于点 C,OP⊥AO 交 AC 于点 P, 交 EC 的延长线于点 D. (1)求证:△PCD 是等腰三角形; (2)CG⊥AB 于 H 点,交⊙O 于 G 点,过 B 点作 BF∥EC,交⊙O 于点 F,交 CG 于 Q 点,连接 AF,如图 R7-6②,若 3 sinE= ,CQ=5,求 AF 的值. 5 图 R7-6 类型四 圆与相似三角形结合的问题 7. 【2017·黄冈】已知:如图 R7-7,MN 为⊙O 的直径,ME 是⊙O 的弦,MD 垂直于过点 E 的直线 DE,垂足为点 D, 且 ME 平分∠DMN. 求证:(1)DE 是⊙O 的切线; 2 (2)ME =MD·MN. 图 R7-7 8. 【2017·苏州】如图 R7-8,已知△ABC 内接于⊙O,AB 是直径,点 D 在⊙O 上,OD∥BC,过点 D 作 DE⊥AB,垂 足为 E,连接 CD 交 OE 边于点 F. (1)求证:△DOE∽△ABC; (2)求证:∠ODF=∠BDE; S1 2 (3)连接 OC,设△DOE 的面积为 S1,四边形 BCOD 的面积为 S2,若 = ,求 sinA 的值. S2 7 图 R7-8 参考答案 1.解:(1)证明:如图,连接 OD,∵DE 是⊙O 的切线, ∴∠ODE=90°, ∴∠ADE+∠BDO=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°, ∵OD=OB,∴∠B=∠BDO. ∴∠ADE=∠A. (2)连接 CD,∵∠ADE=∠A, ∴AE=DE. ∵BC 是⊙O 的直径,∠ACB=90°. ∴EC 是⊙O 的切线, ∴DE=EC, ∴AE=EC.∵DE=10, ∴AC=2DE=20. 2 2 在 Rt△ADC 中,DC= 20 -16 =12. 2 2 2 设 BD=x,在 Rt△BDC 中,BC =x +12 , 2 2 2 在 Rt△ABC 中,BC =(x+16) -20 , 2 2 2 2 ∴x +12 =(x+16) -20 , 解得 x=9, 2 2 ∴BC= 12 +9 =15. 2.解:(1)BC 与⊙O 相切. 理由:连接 OD. ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠BAD=∠CAD. 又∵OD=OA, ∴∠OAD=∠ODA. ∴∠CAD=∠ODA.∴OD∥AC. ∴∠ODB=∠C=90°,即 OD⊥BC. 又∵BC 过半径 OD 的外端点 D, ∴BC 与⊙O 相切. (2)设 OF=OD=x,则 OB=OF+BF=x+2, 2 2 2 根据勾股定理得:OB =OD +BD , 2 2 即(x+2) =x +12, 解得:x=2,即 OD=OF=2, ∴OB=2+2=4, 1 ∵在 Rt△ODB 中,OD= OB, 2 ∴∠B=30°,∴∠DOB=60°, 60π ×4 2π ∴S 扇形 DOF= = . 360 3 1 则阴影部分的面积为 S△ODB-S 扇形 DOF= ×2×2 2 2 3- π =2 3 2 3- π , 3 2 3- π . 3 3.证明:(1)连接 OD,∵CD 是⊙O 的切线, ∴OD⊥CD, ∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°, 又∵DE=EC,∴∠2=∠1,∴∠3=∠COD, ∴DE=EO. (2)∵OD=OE,∴OD=ED=OE,∴∠3=∠COD=∠DEO=60°,∴∠2=∠1=30°,∵OA=OB=OE,而 OE=DE=EC, ∴OA=OB=DE=EC,又∵AB∥CD,∴∠4=∠1,∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°, ∴△ABO≌△CDE,∴AB=CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 1 ∵∠DAE= ∠DOE=30°,∴∠1=∠DAE, 2 ∴CD=AD,∴四边形 ABCD 是菱形. 故阴影部分的面积为 2 4.解:(1)∵CD 是⊙O 的切线,C 为切点, ∴OC⊥CD,即∠OC



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