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九年级数学上册 21.1《二次根式》习题精选 人教版

二次根式

姓名

班级

学号

(一)判断题:(每小题 1 分,共 5 分)

1. (?2)2 ab =-2 ab .( ) 2. 3 -2 的倒数是 3 +2.( )

3. (x ?1)2 = ( x ?1)2 .( ) 4. ab 、 1 a3b 、 ? 2 a 是同类二次根式.( )

3

xb

5. 8x , 1 , 9 ? x2 都不是最简二次根式.---( ) 3
(二)填空题:(每小题 2 分,共 20 分)

6.当 x__________时,式子

1 有意义. x ?3

7.化简- 15 8

2 10 ÷ 27

25 = 12 a3

_.

8.a- a2 ?1 的有理化因式是______. 9.当 1<x<4 时,|x-4|+ x2 ? 2x ?1 =______.

10.方程 2 (x-1)=x+1 的解是______.

11.已知 a、b、c 为正数,d 为负数,化简 ab ? c2d 2 =______. ab ? c2d 2

12.比较大小:- 1 _____- 1 . 13.化简:(7-5 2 )2000·(-7-5

27

43

14.若 x ?1 + y ? 3 =0,则(x-1)2+(y+3)2=______.

2 )2001=_____.

15.x,y 分别为 8- 11 的整数部分和小数部分,则 2xy-y2=____________.
(三)选择题:(每小题 3 分,共 15 分)

16.已知 x3 ? 3x2 =-x x ? 3 ,则………………(

(A)x≤0

(B)x≤-3

(C)x≥-3

) (D)-3≤x≤0

17.若 x<y<0,则 x2 ? 2xy ? y2 + x2 ? 2xy ? y2 =………………………( )

(A)2x

(B)2y

(C)-2x

(D)-2y

18.若 0<x<1,则 (x ? 1 )2 ? 4 - (x ? 1 )2 ? 4 等于………………………( )

x

x

(A) 2 x

(B)- 2 x

(C)-2x

(D)2x

19.化简 ? a3 ( a<0 ) 得…( a

)(A) ? a (B)- a (C)- ? a (D) a

20.当 a<0,b<0 时,-a+2 ab -b 可变形为………………………………( )

(A) ( a ? b )2 (B)- ( a ? b )2 (C) ( ? a ? ? b )2 (D) ( ? a ? ? b )2

(四)在实数范围内因式分解:(每小题 3 分,共 6 分)

21.9 x2-5y2;

22.4x4-4x2+1.

( 五)计算题:(每小题 6 分,共 24 分)

23.( 5 ? 3 ? 2 )( 5 ? 3 ? 2 );

24. 5 - 4 - 2 ; 4 ? 11 11 ? 7 3 ? 7

25.(a2 n - ab mn + n m )÷a2b2 n ;

mm

mn

m

26.( a + b ? ab )÷( a + b - a ? b )(a≠b).

a? b

ab ? b ab ? a ab

(六)求值:(每小题 7 分,共 14 分)

27.已知 x= 3 ? 2 ,y= 3 ?

3? 2

3?

2 ,求

x3 ? xy2

的值.

2

x4 y ? 2x3y2 ? x2 y3

七、选作题:(每小题 8 分,共 16 分)

28.当 x=1- 2 时,求

x

+ 2x ? x2 ? a2 + 1 的值.

x2 ? a2 ? x x2 ? a2 x2 ? x x2 ? a2

x2 ? a2

29.计算(2 5 +1)( 1 + 1 + 1 +…+

1

).

1? 2 2 ? 3 3 ? 4

99 ? 100

30.若 x,y 为实数,且 y= 1? 4x + 4x ?1 + 1 .求 x ? 2 ? y -

2

yx

《二次根式》提高测试 答案

(一)判断题:(每小题 1 分,共 5 分)

x ? 2 ? y 的值. yx

1. (?2)2 ab =-2 ab .…………………( )

【提示】 (?2)2 =|-2|=2.【答案】×.

2. 3 -2 的倒数是 3 +2.( )

【提示】 1 = 3 ? 2 =-( 3 +2).【答案】×. 3?2 3?4

3. (x ?1)2 = ( x ?1)2 .…( )【提示】 (x ?1)2 =|x-1|,( x ?1)2 =x-1(x≥1).两 式相等,必须 x≥1.但等式左边 x 可取任何数.【答案】×.

4. ab 、 1 a3b 、 ? 2 a 是同类二次根式.…( )

3

xb

【提示】 1 a3b 、 ? 2 a 化成最简二次根式后再判断.【答案】√.

3

xb

5. 8x , 1 , 9 ? x2 都不是最简二次根式.( ) 3

【答案】×. 9 ? x2 是最简二次根式.
(二)填空题:(每小题 2 分,共 20 分)
6.当 x__________时,式子 1 有意义.【提示】 x ?3
母不等于零.【答案】x≥0 且 x≠9.

x 何时有意义?x≥0.分式何时有意义?分

7.化简- 15 8
质的运用.

2 10 ÷ 27

25 =_.【答案】-2a 12 a3

a .【点评】注意除法法则和积的算术平方根性

8 . a - a2 ?1 的 有 理 化 因 式 是 ____________ .【 提 示 】( a - a2 ?1 )( ________ ) = a2 -

( a2 ?1)2 .a + a2 ?1 .【答案】a+ a2 ?1 .

9.当 1<x<4 时,|x-4|+ x2 ? 2x ?1 =________________.
【提示】x2-2x+1=( )2,x-1.当 1<x<4 时,x-4,x-1 是正数还是负数?
x-4 是负数,x-1 是正数.【答案】3.

10.方程 2 (x-1)=x+1 的解是____________.【提示】把方程整理成 ax=b 的形式后,a、b

分别是多少? 2 ?1, 2 ?1.【答案】x=3+2 2 .

11.已知 a、b、c 为正数,d 为负数,化简 ab ? c2d 2 =______.【提示】 c2d 2 =|cd|=-cd. ab ? c2d 2

【答案】 ab +cd.【点评】∵ ab= ( ab )2(ab>0),∴ ab-c2d2=( ab ? cd )( ab ? cd ).

12.比较大小:- 1 _________- 1 .【提示】2 7 = 28 ,4 3 = 48 .

27

43

【答案】<.【点评】先比较 28 , 48 的大小,再比较 1 , 1 的大小,最后比较- 1

28 48

28

与- 1 的大小. 48

13.化简:(7-5 2 )2000·(-7-5 2 )2 001=______________.

【提示】(-7-5 2 )2001=(-7-5 2 )2000·(_________)[-7-5 2 .]

(7-5 2 )·(-7-5 2 )=?[1.]【答案】-7-5 2 .
【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式.

14.若 x ?1 + y ? 3 =0,则(x-1)2+(y+3)2=____________.【答案】40.

【点评】 x ?1 ≥0, y ? 3 ≥0.当 x ?1 + y ? 3 =0 时,x+1=0,y-3=0.

15.x,y 分别为 8- 11 的整数部分和小数部分,则 2xy-y2=____________.

【提示】∵ 3< 11 <4,∴ _______<8- 11 <__________.[4,5].由于 8- 11 介于 4
与 5 之间,则其整数部分 x=?小数部分 y=?[x=4,y=4- 11 ]【答案】5.
【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时,先要对无理数进行估算.在明确了二次根式的取值 范围后,其整数部分和小数部分就不难确定了. (三)选择题:(每小题 3 分,共 15 分)

16.已 知 x3 ? 3x2 =-x x ? 3 ,则………………( )

(A)x≤0

(B)x≤-3 (C)x≥-3 (D)-3≤x≤0【答案】D.

【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件,(A)、(C)不正确是因为只考虑了其中一个算

术平方根的意义.

17.若 x<y<0,则 x2 ? 2xy ? y2 + x2 ? 2xy ? y2 =………………………( )

(A)2x

(B)2y

(C)-2x

(D)-2y

【提示】∵ x<y<0,∴ x-y<0,x+y<0.

∴ x2 ? 2xy ? y2 = (x ? y)2 =|x-y|=y-x.

x2 ? 2xy ? y2 = (x ? y)2 =|x+ y|=-x-y.【答案】C.

【点评】本题考查二次根式的性质 a2 =|a|.

18.若 0<x<1,则 (x ? 1 )2 ? 4 - (x ? 1 )2 ? 4 等于………………………( )

x

x

(A) 2 x

(B)- 2 x

(C)-2x

(D)2x

【提示】(x- 1 )2+4=(x+ 1 )2,(x+ 1 )2-4=(x- 1 )2.又∵ 0<x<1,

x

x

x

x

∴ x+ 1 >0,x- 1 <0.【答案】D.

x

x

【点评】本题考查完全平方公式和二次根 式的性质.(A)不正确是因为用性质时没有注意当 0<x

<1 时,x- 1 <0. x

19.化简 ? a3 ( a<0 ) 得………………………………………………………………( ) a

(A) ? a

(B)- a

(C)- ? a

(D) a

【提示】 ? a3 = ? a ? a2 = ? a · a2 =|a| ? a =-a ? a .【答案】C. 20.当 a<0,b<0 时,-a+2 ab -b 可变形为………………… ……………………( )
(A) ( a ? b )2 (B)- ( a ? b )2 (C) ( ? a ? ? b )2 (D) ( ? a ? ? b )2 【提示】∵ a<0,b<0,
∴ -a>0,-b>0.并且-a= ( ? a )2 ,-b= ( ? b )2 , ab = (?a)(?b) .
【答案】C.【点评】本题考查逆向运用公式 ( a )2 =a(a≥0)和完全平方公式.注意(A)、(B)
不正确是因为 a<0,b<0 时, a 、 b 都没有意义.
(四)在实数范围内因式分解:(每小题 3 分,共 6 分)
21.9x2-5y2;【提示】用平方差公式分解,并注意到 5y2= ( 5 y) 2 .【答案】(3x+ 5 y)(3x-

5 y). 22.4x4-4x2+1.【提示】先用完全平方公式,再用平方差公式分解.【答案】( 2 x+1)2( 2 x-

1)2. (五)计算题:(每小题 6 分,共 24 分)
23.( 5 ? 3 ? 2 )( 5 ? 3 ? 2 );
【提示】将 5 ? 3 看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式. 【解】原式=( 5 ? 3 )2- ( 2 )2 =5-2 15 +3-2=6-2 15 .
24. 5 - 4 - 2 ;【提示】先分别分母有理化,再合并同类二次根式. 4 ? 11 11 ? 7 3 ? 7

【解】原式= 5(4 ? 11) - 4( 11 ? 7 ) - 2(3 ? 7 ) =4+ 11 - 11 - 7 -3+ 7 =1.

16 ?11

11 ? 7

9?7

25.(a2 n - ab mn + n m )÷a2b2 n ;

mm

mn

m

【提示】先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式.

【解】原式=(a2 n - ab mn + n m )· 1 m

mm

mn

a2b2 n

= 1 n ? m - 1 mn ? m + n

b2 m n mab

n ma2b2

= 1 - 1 + 1 = a2 ? ab ?1 .

b2 ab a2b2

a2b2

m?m nn

26.( a + b ? ab )÷( a + b - a ? b )(a≠b).

a? b

ab ? b ab ? a ab

【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分.

【解】原式= a ? ab ? b ? ab ÷ a a ( a ? b) ? b b( a ? b) ? (a ? b)(a ? b)

a? b

ab( a ? b)( a ? b)

= a ? b ÷ a2 ? a ab ? b ab ? b2 ? a2 ? b2

a? b

ab( a ? b)( a ? b)

= a ? b · ab( a ? b)( a ? b) =- a ? b .

a? b

? ab(a ? b)

【 点评】本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐. (六)求值:(每小题 7 分,共 14 分)

27.已知 x= 3 ? 2 ,y= 3 ? 2 ,求

x3 ? xy2

的值.

3? 2

3? 2

x4 y ? 2x3y2 ? x2 y3

【提示】先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值.

【解】∵ x= 3 ? 2 = ( 3 ? 2)2 =5+2 6 , 3? 2

y= 3 ? 2 = ( 3 ? 2)2 =5-2 6 . 3? 2

∴ x+y=10,x-y=4 6 ,xy=52-(2 6 )2=1.

x3 ? xy 2

= x(x ? y)( x ? y) = x ? y = 4 6 = 2

x4 y ? 2x3 y 2 ? x2 y3 x2 y(x ? y)2 xy(x ? y) 1?10 5

6.

【点评】本题将 x、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x+y”、“x-y”、“xy”.从而使求值 的过程更简捷.

28.当 x=1- 2 时,求

x

+ 2x ? x2 ? a2 + 1 的值.

x2 ? a2 ? x x2 ? a2 x2 ? x x2 ? a2

x2 ? a2

【提示】注意:x2+a2= ( x2 ? a2 )2 ,

∴ x2+a2-x x2 ? a2 = x2 ? a2 ( x2 ? a2 -x),x2-x x2 ? a2 =-x( x2 ? a2 -x).

【解】原式=

x

- 2x ? x2 ? a2 + 1

x2 ? a2 ( x2 ? a2 ? x) x( x2 ? a2 ? x) x2 ? a2

= x2 ? x2 ? a2 (2x ? x2 ? a2 ) ? x( x2 ? a2 ? x) x x2 ? a2 ( x2 ? a2 ? x)

= x2 ? 2x x2 ? a2 ? ( x2 ? a2 )2 ? x x2 ? a2 ? x2 = ( x2 ? a2 )2 ? x x2 ? a2 = x2 ? a2 ( x2 ? a2 ? x)

x x2 ? a2 ( x2 ? a2 ? x)

x x2 ? a2 ( x2 ? a2 ? x) x x2 ? a2 ( x2 ? a2 ? x)

= 1 .当 x=1- 2 时,原式= 1 =-1- 2 .【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成 两个

x

1? 2

“分式”之差,那么化简会更简便.即原式=

x

- 2x ? x2 ? a2 +

1

x2 ? a2 ( x2 ? a2 ? x) x( x2 ? a2 ? x)

x2 ? a2

=(

1

? 1 )-(

1

? 1)+

x2 ? a2 ? x x2 ? a2

x2 ? a2 ? x x

七、解答题:(每小题 8 分,共 16 分 )

1 =1. x2 ? a2 x

29.计算(2 5 +1)( 1 + 1 + 1 +…+

1

).

1? 2 2 ? 3 3 ? 4

99 ? 100

【提示】先将每个部分分母有理化后,再计算.

【解】原式=(2 5 +1)( 2 ?1 + 3 ? 2 + 4 ? 3 +…+ 100 ? 99 )

2?1 3? 2

4?3

100 ? 99

=(2 5 +1)[( 2 ?1)+( 3 ? 2 )+( 4 ? 3 )+…+( 100 ? 99 )]

=(2 5 +1)( 100 ?1)

=9(2 5 +1).
【点评】本题第二个括号内有 99 个不同分母,不可能通分.这里采用的是先分母有理化,将分母 化为整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消.这种方法也叫做裂项相消法.

30.若 x,y 为实数,且 y= 1? 4x + 4x ?1 + 1 .求 x ? 2 ? y - x ? 2 ? y 的值.

2

y xy x

【提示】要使

y

有意义,必须满足什么条件?[???14?x

4x ?1

? ?

0 ]
0.

你能求出

x,y

的值吗?[????x

? ??

y

? ?

1 4 1 2

] .

【解】要使

y

有意义,必须

?1 ? [??4x

4x ?1

? ?

0 0

,即

???x ? ???x

? ?

1 4 1 4

.



x= 1 .当 x= 1 时,y= 1 .

4

4

2

又∵

x ? 2 ? y - x ? 2? y = ( x ? y )2 - ( x ? y )2

y

x

y

x

yx

yx

=|

x? y

y |-|
x

x? y

y |∵ x

x= 1 ,y= 1 ,∴

4

2

x<y. yx



原式=

x? y

y- x

y? x

x =2 y

x 当 x= 1 ,y= 1 时,

y

4

2

原式=2

1 4



2 .【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出 x 的值,进而求出 y 的

1

2

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