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2019-2020年高二数学同步教学_必修五_ 第三章 不等式__阶段质量检测_第三章

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P72~P74,回答下列问题: (1)在数轴上不同的点 A 与点 B 分别表示两个不同的实数 a 与 b.如果 a-b 分别是正数、 零、负数,那么 a,b 之间具有怎样的大小关系? 提示:a,b 之间的大小关系分别为 a>b,a=b,a<b.
(2)如果 a,b 之间的大小关系分别为 a>b,a=b,a<b,那么 a-b 分别是怎样的数? 提示:a-b 分别是正数、零、负数.
2.归纳总结,核心必记 (1)比较实数 a,b 的大小 ①文字叙述: 如果 a-b 是正数,那么 a> b;如果 a-b 等于零,那么 a=b;如果 a-b 是负数,那么 a< b,反之也成立. ②符号表示: a-b>0?a>b;a-b=0?a=b; a-b<0?a<b. (2)常用的不等式的基本性质 ①a>b?b<a(对称性); ②a>b,b>c?a>c(传递性); ③a>b?a+c>b+c(可加性); ④a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc; ⑤a>b,c>d?a+c>b+d;

⑥a>b>0,c>d>0?ac>bd; ⑦a>b>0,n∈N,n≥1?an>bn;

⑧a>b>0,n∈N,n≥2?n a>n b.

[问题思考]

关于不等式的性质,下列结论中正确的有哪些?

(1)a>b 且 c>d 则 a-c>b-d. (2)a>b 则 ac>bc. (3)a>b>0 且 c>d>0 则ac>bd. (4)a>b>0 则 an>bn.

(5)a>b 则ca2>cb2.

提示:对于不等式的性质,有可加性但没有作差与作商的性质,

(1)中例如 5>3 且 4>1 时,则 5-4>3-1 是错的,故(1)错.(2)中当 c≤0 时,不成立.(3) 中例如 5>3 且 4>1,则54>31是错的,故(3)错.(4)中对 n≤0 均不成立,例如 a=3,b=2,n= -1,则 3-1>2-1 显然错,故(4)错.(5)因为c12>0,所以 a·c12>b·c12,故(5)正确.因此正确的结

论有(5).

[课前反思]

1.如何比较两个实数 a,b 的大小?

; 2.不等式的性质有哪些?



[思考 1] 限速 40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超

过 40 km/h,用不等式如何表示? 名师指津:v≤40. [思考 2] 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 f 应不少于 2.5%,蛋白质的
含量 p 应不少于 2.3%,如何用不等式组表示上述关系?
?f≥2.5%, 名师指津:?
?p≥2.3%.
[思考 3] 设点 A 与平面 α 的距离为 d,B 为平面 α 上的任意一点,则 d 与|AB|的大小关 系如何?
名师指津:d≤|AB|. 讲一讲 1.某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶 员.此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次,乙型卡 车每辆每天可往返 8 次,写出满足上述所有不等关系的不等式.(链接教材 P72-问题 3) [尝试解答] 设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆.由题意得
?x+y≤9, ?10×6x+6×8y≥360, ?0≤x≤4, ?0≤y≤7, ?x∈N,y∈N,
??x+y≤9, 5x+4y≥30, 即
?0≤x≤4,0≤y≤7, ??x∈N,y∈N.
用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系. (2)找出体现不等关系的关键词:“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不 超过”等.用代数式表示相应各量,并用关键词连接.特别需要考虑的是“≤”“≥”中的

“=”能否取到. 练一练
1.某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本.据市场调查,若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2 000 本.若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表 示销售的总收入仍不低于 20 万元呢?
解:设杂志社的定价为 x 元,则销售的总收入为???8-x-0.12.5×0.2???x 万元,那么不等关系 “销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式???8-x-0.12.5×0.2???x≥20.
讲一讲 2.比较下列各组中的两个代数式的大小: (1)x2+3 与 3x; (2)已知 a,b 均为正数,且 a≠b,比较 a3+b3 与 a2b+ab2 的大小. [尝试解答] (1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
=??x-32??2+34≥34>0,∴x2+3>3x.
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2) =a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b), ∵a>0,b>0 且 a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即 a3+b3>a2b+ab2.
比较两个实数(或代数式)的大小,通常用作差法,其一般步骤为: (1)作差:对要比较大小的两个式子作差; (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形; (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号;

(4)作出结论. 上述步骤可概括为“三步一结论”,这里的“判断符号”是目的,“变形”是关键.其

中变形的技巧较多,常见的有因式分解法、配方法、有理化法等. 练一练
2.(1)已知 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小. 解:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y).

∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0.

∴-2xy(x-y)>0. ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). (2)已知 b>a>0,x>y>0,求证:x+x a-y+y b. 证明:∵ x - y
x+a y+b

x(y+b)-y(x+a) =
(x+a)(y+b)

xy+bx-xy-ay

bx-ay







(x+a)(y+b) (x+a)(y+b)

又??b>a>0,?x+a>0,y+b>0,bx>ay, ?x>y>0



bx-ay

>0,即 x > y .

(x+a)(y+b)

x+a y+b

[讲一讲] 3.(1)下列说法正确的序号是________.(链接教材 P74-例 1) ①ac<bc且 c>0?a>b; ②a>b 且 c>d?ac>bd;

③a>b>0 且 c>d>0?

a d>

bc;

④ca2>cb2?a>b;

⑤若 c>a>b>0,则c-a a>c-b b. (2)若 bc-ad≥0,bd>0,求证:a+b b≤c+d d.

[尝试解答] (1)① acc><0bc??????1a<1b,当 a<0,b>0 时,此式成立,推不出 a>b,∴①错误.

②当 a=3,b=1,c=-2,d=-3 时,命题显然不成立,

∴②错误.③ ac>>db>>00????ad>bc>0?

a d>

bc成立.∴③正确.

④显然 c2>0,

∴两边同乘以 c2 得 a>b,∴④正确.

⑤∵a>b>0?-a<-b<0?c-a<c-b.

∵c>a,∴c-a>0.

∴0<c-a<c-b.

两边同乘以

1

得 1 > 1 >0.

(c-a)(c-b) c-a c-b

又∵a>b>0,∴ a > b ,∴⑤正确. c-a c-b

(2)因为 bc-ad≥0,所以 bc≥ad,

a+b c+d 所以 bc+bd≥ad+bd,即 b(c+d)≥d(a+b),又 bd>0,两边同除以 bd 得, b ≤ d . [答案] (1)③④⑤

利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础 上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条

件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 练一练
3.已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证:a-e c>b-e d. 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0, 又∵a>b>0,∴a+(-c)>b+(-d)>0. 即 a-c>b-d>0, ∴0< 1 < 1 .
a-c b-d 又∵e<0,∴ e > e .
a-c b-d
讲一讲 4.已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b 和ab的取值范围. [思路点拨] 用 a,b 的范围表示出 a-b,ab即可. [尝试解答] ∵15<b<36, ∴-36<-b<-15, ∴12-36<a-b<60-15, 即-24<a-b<45.又316<1b<115, ∴3162<ab<1650. ∴13<ab<4.
∴a-b 的取值范围是(-24,45),ab的取值范围是??13,4??.
利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运

算,解出待求的范围.

(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程

中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.

练一练

4.(1)若 1<a<3,-4<b<2,那么 a-|b|的范围是( )

A.(-3,3]

B.(-3,5)

C.(-3,3)

D.(1,4)

解析:选 C ∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0.又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3.即 a-

|b|的范围是(-3,3).

(2)已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是________.(答案用区间表

示)

? ??a+b=2,

a=-12,

? 解析:设 2x-3y=a(x+y)+b(x-y),由待定系数法可得?

解得

? ??a-b=-3

b=52,

所以 z=-12(x+y)+52(x-y),

?-2<-12(x+y)<12, ??5<52(x-y)<125.

两式相加得 z∈(3,8).

答案:(3,8)

———————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————— —
1.本节课的重点是不等式的性质及两个数(式)的大小比较问题,难点是利用不等式(组)

表示不等关系.

2.要熟练掌握常见的文字语言与数学语言之间的转换.

文字语言 大于 小于

数学符号 > <

文字语言 至多 至少

数学符号 ≤ ≥

大于或等于



不少于



小于或等于



不多于



3.本节课要重点掌握的规律方法

(1)比较两个代数式(数)的大小,见讲 2.

(2)利用不等式的性质求取值范围,见讲 4.这也是本节课的易错点.

[即时达标对点练] 题组 1 用不等式(组)表示不等关系 1.有一家三口的年龄之和为 65 岁,设父亲、母亲和小孩的年龄分别为 x,y,z,则下 列选项中能反映 x,y,z 关系的是( )

A.x+y+z=65

??x+y+z=65, B.?x>y>z,
??x,y,z∈N*

??x+y+z=65, x>z>0,
? C. y>z>0, ??x,y,z∈N*

??x+y+z=65, x<65,
?D. y<65, ??z<65,
x,y,z∈N*

解析:选 C 由题意得 x+y+z=65,x>z>0,y>z>0,x,y,z∈N*.故选 C.

2.一辆汽车原来每天行驶 x km,如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km,那么

在 8 天内它的行程就超过 2 200 km,写成不等式为________;如果它每天行驶的路程比原来

少 12 km,那么它原来行驶 8 天的路程就得花 9 天多的时间,用不等式表示为________.

答案:8(x+19)>2 200

8x 9<x-12<10

题组 2 比较两数(式)的大小

3.设 M=3x2-x+1,N=2x2+x,则( )

A.M>N

B.M<N

C.M≤N

D.M≥N

解析:选 D M-N=(3x2-x+1)-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0. 4.若 a>1,b<1,则 ab+1 与 a+b 的大小关系为 ab+1________a+b. 解析:ab+1-a-b=a(b-1)-(b-1)=(b-1)(a-1).

∵a>1,b<1,∴a-1>0,b-1<0,

∴(b-1)(a-1)<0,即 ab+1<a+b. 答案:< 5.已知两实数 a=-2x2+2x-10,b=-x2+3x-9,a,b 分别对应实数轴上两点 A,B, 则点 A 在点 B 的________(填“左边”或“右边”). 解析:∵a-b=-2x2+2x-10-(-x2+3x-9)
=-2x2+2x-10+x2-3x+9
=-x2-x-1=-??x+12??2-34<0,

∴a<b,∴点 A 在点 B 的左边.

答案:左边

题组 3 不等式的性质

6.设 a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是( )

11 A.a<b

11 B.a>b

C.a2>2b

D.a>b2

解析:选 D A 错,例如 a=2,b=-12时,1a=12,1b=-2,此时,1a>1b;B 错,例如 a

=2,b=12时,1a=12,1b=2,此时,1a<1b;C 错,例如 a=54,b=1156时,a2=2156,2b=3106,此

时 a2<2b;由 a>1,b2<1 得 a>b2,故 D 正确.

7.已知 a>b,则下列不等式:①a2>b2;②1a<1b;③a-1 b>1a.其中不成立的个数是(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:选 D 虽然已知 a>b,但并不知道 a、b 的正负,如有 2>-3,但 22<(-3)2,故①

错;2>-3?12>-13,②错;若有 a=1,b=-2,则a-1 b=13,1a=1,故③错.

8.若 abcd<0,且 a>0,b>c,d<0,则( )

A.b<0,c<0

B.b>0,c>0

C.b>0,c<0

D.0<c<b 或 c<b<0

解析:选 D 由 a>0,d<0,且 abcd<0,知 bc>0,又∵b>c,∴0<c<b 或 c<b<0.

题组 4 利用不等式的性质求取值范围

9.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( )

A.-2<α-β<0

B.-2<α-β<-1

C.-1<α-β<0

D.-1<α-β<1

解析:选 A 由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1,

∴-2<α-β<2.但 α<β,故-2<α-β<0.

10.已知 1≤lg

xy≤2,2≤lg

x3 ≤3,求 lg y

x3 的取值范围. 3

y

?1≤lg xy≤2, ? 解:由 2≤lg x3 ≤3
?y

??1≤lg x-lg y≤2,

变形,得? ??2≤3lg

x-21lg

y≤3.

设 lg

x3 3

=3lg

x-13lg

y=m(lg

x-lg

y)+n3lg

x-12lg

y=(m+3n)lg

x-??m+n2??lg

y,

y

??m+3n=3, 则???m+n2=13

?m=-15, ? ,解得
?n=1165.

?-25≤-15?lg x-lg y?≤-15, ?∴ ?3125≤1165??3lg x-12lg y??≤156,

∴2165≤lg

x3 ≤3, 3

y

∴lg 3x3y的取值范围是??2165,3??.

[能力提升综合练] 1.已知 a,b,c 为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=

2(a+b+c),那么 P 与 Q 的大小关系是( )

A.P>Q C.P<Q

B.P≥Q D.P≤Q

解析:选 A P-Q=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2>0.

2.如图,y=f(x)反映了某公司的销售收入 y(万元)与销售量 x 之间的函数关系,y=g(x) 反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系,若该公司赢利,则销售量 x 应满足 ()

A.x>a C.x≥a

B.x<a D.0≤x<a

解析:选 A 赢利意味着收入大于成本,观察图象易知 A 正确.

3.若1a<1b<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ba+ab>2 中,正确的不等

式有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

解析:选 B ∵1a<1b<0,∴a<0,b<0.

∴a+b<0,ab>0.∴a+b<ab.故①正确;

由1a<1b<0,得1a-1b=b- aba<0.∵ab>0,∴b-a<0, 即 b<a.故③错误;由 b<a<0,知|b|>|a|,故②错误;

由??ba+ab??-2=b2+aa2b-2ab=(a-abb)2,
∵b<a<0,∴(a-b)2>0.又 ab>0,
∴(a-abb)2>0.即ba+ab>2,故④正确. 4.已知|a|<1,则1+1 a与 1-a 的大小关系为________.
1 解析:由|a|<1,得-1<a<1.∴1+a>0,1-a>0.即11+ -aa=1-1 a2.∵0<1-a2≤1,

∴1-1a2≥1,∴1+1 a≥1-a.

答案:1+1 a≥1-a 5.已知三个不等式:①ab>0,②-ac<-db,③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一个作 为结论,则可以组成________个正确的命题.
解析:若①、②成立,则 ab??-ac??<ab??-db??.

即-bc<-ad,∴bc>ab,即③成立; 若①、③成立,则abbc>aabd,∴ac>db,∴-ac<-db, 即②成立;若②、③成立,则由②得ac>db,
bc-ad 即 ab >0.由③得 bc-ad>0,则 ab>0,即①成立.

故可组成 3 个正确命题. 答案:3 6.(1)比较 a2+b2 与 2(2a-b)-5 的大小; (2)已知 a,b∈(0,+∞),求证:aabb≥(ab)a+2 b,当且仅当 a=b 时等号成立. 解:(1)∵a2+b2-[2(2a-b)-5]=(a-2)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(2a-b)-5,

当且仅当 a=2,b=-1 时,等号成立.

(2)证明:设 y=aabb÷(ab)a+2 b=??ab??a-2 b.



a>b>0

时,ab>1,a-2 b>0,根据指数函数的性质可知

y>1,即

a+b aabb>(ab) 2 .



b>a>0

时,0<ab<1,a-2 b<0,根据指数函数的性质可知

y>1,即

a+b aabb>(ab) 2 .

a+b 当 a=b>0 时,y=1,即 aabb=(ab) 2 .

a+b 综上所述:aabb≥(ab) 2 ,当且仅当 a=b 时等号成立. 7.甲、乙两车从 A 地沿同一路线到达 B 地,甲车一半时间的速度为 a,另一半时间的 速度为 b;乙车用速度 a 行走一半路程,用速度 b 行走另一半路程,若 a≠b,试判断哪辆车 先到达 B 地. 解:设:A、B 两地路程为 2s,甲车走完 A 地到 B 地的路程所用的时间为 t1,则t21a+t21b =2s,t1=a+4sb,乙车走完 A 地到 B 地的路程所用的时间为 t2,则 t2=as+bs,又 t1-t2b=2s,

4s

ss

4s s s

t1=a+b,乙走完 A 地到 B 地的路程所用的时间为 t2,则 t2=a+b,又 t1-t2=a+b-a-b=

4sab-sb(a+b)-sa(a+b) -s(a-b)2



<0(∵a≠b,a>0,b>0),

ab(a+b)

ab(a+b)

∴t1<t2,即甲车先到达 B 地.

第 1 课时 一元二次不等式的解法

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P76~P78,回答下列问题: (1)某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供选择,公司 A 每小时 收费 1.5 元;公司 B 的收费标准为:用户上网的第 1 小时内收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每小时减少 0.1 元,若用户一次上网时间不超过 17 小时,请问: ①假设一次上网 x 小时(0<x≤17,x∈N*),两公司收取的费用各是多少? 提示:公司 A 收取的费用为 1.5x(元),公司 B 收取的费用为 1.7+1.6+…+[1.7-(x-

1)×0.1]

x{1.7+[1.7-(x-1)×0.1]} x(35-x)



2

= 20 (元).

②一次上网在多长时间以内能够保证选择公司 A 的上网费用小于或等于选择公司 B 所需 费用?

x(35-x) 提示:选择公司 A 的上网费用少,即 20 ≥1.5x,整理得 x2-5x≤0,只要求得

满足 x2-5x≤0 的解集,就得到了问题的答案.

③在②中得到的不等式 x2-5x≤0 是一个关于 x 的一元二次不等式,那么一元二次不等 式有什么特点?

提示:含有一个未知数,且未知数的最高次数为 2.

(2)画出二次函数 y=x2-5x 的图象,如图所示,思考下列问题:

①不等式 x2-5x≤0 的解集是什么? ②不等式 x2-5x>0 的解集是什么? 提示:①{x|0≤x≤5};②{x|x>5 或 x<0}. (3)根据上述问题,你认为怎样确定一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集呢? 提示:可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系,先求出一元二次方程的根,再

根据函数图象与 x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.

2.归纳总结,核心必记

(1)一元二次不等式的概念

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式.

(2)二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系

Δ=b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

y=ax2+

bx+c

(a>0)

的图象

ax2+bx+c=0

(a>0)的根

x1,x2

x0=-2ba

没有实数根

ax2+bx+c>0

(a>0)的解集

{x|x>x2

或 x<x1}

???x??x≠-2ba???

R

ax2+bx+c<0

(a>0)的解集 x<x2}

{x|x1< ?

? [问题思考]

(1)若 ax2+bx+c≥0,a≠0 恒成立(或解集为 R),则 a、b、c 满足的条件是什么?

提示:借助函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可知,条件为 b2-4ac≤0,且 a>0. (2)一元二次不等式与二次函数有什么关系? 提示:一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的解集,就是二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的 图象在 x 轴上方的点的横坐标 x 的集合.ax2+bx+c<0(a>0)的解集,就是二次函数 y=ax2+ bx+c(a>0)的图象在 x 轴下方的点的横坐标 x 的集合.
[课前反思] 1.一元二次不等式的定义是什么?
; 2.二次函数、二次方程、二次不等式之间有什么关系?

[思考 1] 当 a>0 时,若方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 α,β 且 α<β,则不等式 ax2 +bx+c>0 的解集是什么?
名师指津:借助函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可知,不等式的解集为{x|x<α 或 x>β}. [思考 2] 若[思考 1]中的 a<0,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是什么? 名师指津:解集为{x|α<x<β}. [思考 3] 若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式 Δ=b2-4ac<0,则 ax2+bx+c>0 的 解集是什么? 名师指津:当 a>0 时,不等式的解集为 R;当 a<0 时,不等式的解集为?. 讲一讲 1.解下列不等式:(链接教材 P78-例 1、例 2) (1)2x2+7x+3>0; (2)x2-4x-5≤0; (3)-4x2+18x-841≥0; (4)-12x2+3x-5>0;

(5)-2x2+3x-2<0. [尝试解答] (1)因为 Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程 2x2+7x+3=0 有两个不等实根 x1=-3,x2=-12.又二次函数 y=2x2+7x+3 的图象开口向上,所以原不等式的解集为
???x??x>-21,或x<-3???.
(2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}.
(3)原不等式可化为??2x-92??2≤0,所以原不等式的解集为???x??x=49???. (4)原不等式可化为 x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0,所以方程 x2-6x+10=0 无
实根,又二次函数 y=x2-6x+10 的图象开口向上,所以原不等式的解集为?. (5)原不等式可化为 2x2-3x+2>0,因为 Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程 2x2-3x+2
=0 无实根,又二次函数 y=2x2-3x+2 的图象开口向上,所以原不等式的解集为 R.
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集.
练一练 1.解下列不等式: (1)x2-5x-6>0;(2)-x2+7x>6; (3)(2-x)(x+3)<0;(4)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 解:(1)x2-5x-6=0 的两根为 x1=-1,x2=6.

结合二次函数 y=x2-5x-6 的图象知,原不等式的解集为{x|x<-1 或 x>6}. (2)原不等式可化为 x2-7x+6<0. 解方程 x2-7x+6=0 得,x1=1,x2=6. 结合二次函数 y=x2-7x+6 的图象知,原不等式的解集为{x|1<x<6}. (3)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0 两根为 2 和-3. 结合二次函数 y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<-3 或 x>2}. (4)由原不等式得 8x2-8x+4>4x-x2. ∴原不等式等价于 9x2-12x+4>0. 解方程 9x2-12x+4=0,得 x1=x2=23.
结合二次函数 y=9x2-12x+4 的图象知,原不等式的解集为???x??x≠23???.
讲一讲 1.解关于 x 的不等式:ax2-(a-1)x-1<0(a∈R). [尝试解答] 原不等式可化为:(ax+1)(x-1)<0, 当 a=0 时,x<1;
当 a>0 时,??x+1a??(x-1)<0.
∴-1a<x<1;当 a=-1 时,x≠1;
当-1<a<0 时,??x+1a??(x-1)>0,
∴x>-1a或 x<1; 当 a<-1 时,-1a<1, ∴x>1 或 x<-1a, 综上所述,原不等式的解集是: 当 a=0 时,{x|x<1};

当 a>0 时,???x??-1a<x<1???;
当 a=-1 时,{x|x≠1};
当-1<a<0 时,???x??x<1或x>-1a???. 当 a<-1 时,???x??x<-a1或x>1???.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
注:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并. 练一练
2.解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0. 解:方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象开 口向上,则当 a<-1 时,原不等式解集为{x|a<x<-1}; 当 a=-1 时,原不等式解集为?; 当 a>-1 时,原不等式解集为{x|-1<x<a}.
[思考 1] 设一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)和 ax2+bx+c<0(a>0)的解集分别为 {x|x<x1 或 x>x2},{x|x1<x<x2}(x1<x2),则 x1+x2,x1x2 为何值?
名师指津:x1+x2=-ba,x1x2=ac. [思考 2] 由[思考 1]的结论可知,不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的解集的端点与对应方程 ax2+bx+c=0 的两根之间有什么关系? 名师指津:不等式解集的端点值是相应方程的根.

讲一讲 3.已知关于 x 的不等式 x2+ax+b<0 的解集为{x|1<x<2},求关于 x 的不等式 bx2+ax+ 1>0 的解集. [思路点拨] 由根与系数的关系及不等式与方程根的关系求出 a,b,解不等式.

[尝试解答] ∵x2+ax+b<0 的解集为{x|1<x<2},

∴1,2 是 x2+ax+b=0 的两根.

??-a=1+2, ??a=-3,

由根与系数的关系得?

得?

??b=1×2, ??b=2,

代入所求不等式,得

2x2-3x+1>0.

由 2x2-3x+1>0?(2x-1)(x-1)>0? x<12或 x>1.
∴bx2+ax+1>0 的解集为??-∞,12??∪(1,+∞).

三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程 和一元二次不等式的形式来研究. (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函 数的图象及性质来解决问题,关系如下:

练一练
3.若不等式 ax2+bx+c≥0 的解集是???x??-13≤x≤2???,求不等式 cx2+bx+a<0 的解集. 解:法一:由 ax2+bx+c≥0 的解集为???x??-13≤x≤2???知 a<0. 又??-13??×2=ac<0,则 c>0.
又-13,2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根,

∴-ba=53,∴ba=-53.又ac=-23, ∴b=-53a,c=-23a.
∴不等式变为??-23a??x2+??-53a??x+a<0,
即 2ax2+5ax-3a>0. 又∵a<0,∴2x2+5x-3<0,
所求不等式的解集为???x??-3<x<12???.
法二:由已知得 a<0 且??-13??+2=-ba,??-13??×2=ac知 c>0,
设方程 cx2+bx+a=0 的两根分别为 x1,x2, 则 x1+x2=-bc,x1·x2=ac,
其中ac=??-131??×2=-32, -bc=-acab=????- -1331????+ ×22 =??-113??+12=-52, ∴x1=??-113??=-3,x2=12, ∴不等式 cx2+bx+a<0(c>0)的解集为???x??-3<x<12???.
——————————————[课堂归纳·感悟提 升]———————————————
1.本节课的重点一元二次不等式的解法及三个“二次”关系的应用.难点是解含参数 的一元二次不等式,也是本节的易错点.
2.本节课要重点掌握的规律方法.

(1)解一元二次不等式的常见方法 ①图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次 不等式的一般步骤: (ⅰ)化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0),或 ax2+bx+c<0(a>0); (ⅱ)求方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数 y=ax2+bx+c 图象的简图; (ⅲ)由图象得出不等式的解集. ②代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当 m<n 时,若(x-m)(x-n)>0,则可得 x>n 或 x<m; 若(x-m)(x-n)<0,则可得 m<x<n. 有口诀如下:大于取两边,小于取中间. (2)含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不 重不漏”,讨论需从以下三个方面进行考虑: ①关于不等式类型的讨论:二次项系数 a>0,a<0,a=0. ②关于不等式对应的方程根的讨论:二根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0). ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2.

[即时达标对点练]

题组 1 一元二次不等式的解法 1.不等式-x2-5x+6≥0 的解集为( )

A.{x|x≥6 或 x≤-1}

B.{x|-1≤x≤6}

C.{x|-6≤x≤1}

D.{x|x≤-6 或 x≥1}

解析:选 C -x2-5x+6≥0 可化为 x2+5x-6≤0.方程 x2+5x-6=0 的两根为 1,-6,

又 y=x2+5x-6 的图象开口向上,所以 x2+5x-6≤0 的解集为{x|-6≤x≤1}.

2.若 0<t<1,则不等式(x-t)??x-1t ??<0 的解集为________.
解析:∵0<t<1,∴1t >1,
所以(x-t)??x-1t ??<0 的解集为???x??t<x<1t ???. 答案:???x??t<x<1t ???
3.不等式 x(3-x)≥x(x+2)+1 的解集是________. 解析:原不等式即为 3x-x2≥x2+2x+1, 可化为 2x2-x+1≤0,
由于判别式 Δ=-7<0, 所以方程 2x2-x+1=0 无实数根,
因此原不等式的解集是?. 答案:? 4.解下列不等式: (1)2+3x-2x2>0; (2)x(3-x)≤x(x+2)-1; (3)x2-2x+3>0. 解:(1)原不等式可化为 2x2-3x-2<0,
∴(2x+1)(x-2)<0,
故原不等式的解集是???x??-12<x<2???.
(2)原不等式可化为 2x2-x-1≥0.
∴(2x+1)(x-1)≥0,
故原不等式的解集为???x??x≤-21或x≥1???.
(3)∵Δ=(-2)2-4×3=-8<0,
故原不等式的解集是 R. 题组 2 解含参数的一元二次不等式 5.解关于 x 的不等式 x2-x-a(a-1)>0. 解:原不等式可以化为:(x+a-1)(x-a)>0,

∴当 a>-(a-1)即 a>12时,
{ } 原不等式的解集为 x|x>a或x<1-a ;

当 a=-(a-1)即 a=12时,
由??x-12??2>0,得原不等式的解集为???x??x≠12???.
当 a<-(a-1)即 a<12时,
{ } 原不等式的解集为 x|x<a或x>1-a .
6.解关于 x 的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0). 解:原不等式移项得 ax2+(a-2)x-2≥0,

化简为(x+1)(ax-2)≥0.

∵a<0,∴(x+1)??x-2a??≤0.

当-2<a<0 时,2a≤x≤-1;当 a=-2 时,x=-1;

当 a<-2 时,-1≤x≤2a.

综上所述,当-2<a<0 时,解集为???x??2a≤x≤-1???;

{ } 当 a=-2 时,解集为 x|x=-1 ;

当 a<-2 时,解集为???x??-1≤x≤2a???.

题组 3 三个“二次”之间的关系问题

7.已知不等式 ax2+3x-2>0 的解集为{x|1<x<b},则 a,b 的值等于( )

A.a=1,b=-2

B.a=2,b=-1

C.a=-1,b=2

D.a=-2,b=1

解析:选 C 因为不等式 ax2+3x-2>0 的解集为{x|1<x<b},所以方程 ax2+3x-2=0

的两个根分别为 1 和 b,根据根与系数的关系,得 1+b=-3a,b=-2a,所以 a=-1,b=2.

8.若不等式 ax2+bx+2<0 的解集是???x??-12<x<13???,则 a+b 的值为(

)

A.14

B.-10

C.10

D.-14

解析:选 D 由已知得,ax2+bx+2=0 的解为-12,13,

?-ba=-12+13, ??a=-12,

?∴

解得?

∴a+b=-14.

?2a=??-12??×13,

??b=-2,

9.已知 ax2+2x+c>0 的解集为???x??-13<x<12???,试求 a,c 的值,并解不等式-cx2+2x-
a>0.
解:由 ax2+2x+c>0 的解集是???x??-13<x<12???,知 a<0,且方程 ax2+2x+c=0 的两根为

a<0,
??? x1=-13,x2=12,由根与系数的关系知 -13+12=-a2, ??-31×12=ac,

解得 a=-12,c=2.

此时,-cx2+2x-a>0,即 2x2-2x-12<0,

{ } 其解集为 x|-2<x<3 .

[能力提升综合练] 1.不等式 x2-|x|-2<0 的解集是( )

A.{x|-2<x<2}

B.{x|x<-2或x>2}

C.{x|-1<x<1}

D.{x|x<-1或x>1}

解析:选 A 令 t=|x|,则原不等式可化为 t2-t-2<0,即(t-2)(t+1)<0.

∵t=|x|≥0,∴t-2<0,∴t<2.

∴|x|<2,得-2<x<2.

2.当 a<0 时,不等式 42x2+ax-a2<0 的解集为(

A.??a7,-a6??

B.??-a6,a7??

C.??a7,-27a??

) D.?

解析:选 A 不等式化为(6x+a)(7x-a)<0,

∵a<0,∴-a6>a7,故选 A.

3.不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图象为下列中
的( )

解析:选 B 由根与系数的关系知1a=-2+1=-1,-ac=-2,∴a=-1,c=-2.∴f(x)

=-x2-x+2.

∴f(-x)=-x2+x+2,故选 B.

4.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为???x??x<-1或x>12???,则 f(10x)>0 的解集为(

)

A.{x|x<-1或x>-lg 2}

B.{x|-1<x<-lg 2}

C.{x|x>-lg 2}

D.{x|x<-lg 2}

解析:选 D 由题意知,一元二次不等式 f(x)>0 的解集为??-1,12??,即-1<10x<12?x<

-lg 2,所以选 D.

5.已知函数

f(x)=

??x2+1,x≥0,
?
??1,x<0,













f(1-x2)>f(2x)的

x

的取值范围是

________.

?1-x2>0, ??1-x2>2x,

解析:由题意有?

或?

?2x<0

??2x≥0,

解得-1<x<0 或 0≤x< 2-1.

∴所求 x 的取值范围为(-1, 2-1).

答案:(-1, 2-1) 6.设 0<b<1+a.若关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集中的整数解恰有 3 个,则 a 的取 值范围为________. 解析:原不等式转化为[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0.①当 a≤1 时,结合不等式解集形式

知不符合题意;②当 a>1 时, b <x< b ,由题意知 0< b <1,∴要使原不等式解集中的

1-a a+1

a+1

整数解恰有 3 个,则需-3≤ b <-2.整理,得 2a-2<b≤3a-3.结合题意 b<1+a,有 2a- 1-a

2<1+a,∴a<3,从而有 1<a<3.综上可得 a∈(1,3).

答案:(1,3) 7.已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值. 解:(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6, ∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3, ∴原不等式可化为 a2-6a-3<0,
解得 3-2 3<a<3+2 3.
∴原不等式的解集为{a|3-2 3<a<3+2 3}. (2)f(x)>b 的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0 的两根为-1,3,

?? a?6-a? -1+3= 3 ,
∴? ?? 6-b
-1×3=- 3 ,

??a=3± 3, 解得?
??b=-3.

8.已知关于 x 的不等式 ax2-3x+2>0 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; (2)解关于 x 的不等式:ax2-(ac+b)x+bx<0. 解:(1)∵不等式 ax2-3x+2>0 的解集为{x|x<1 或 x>b},

∴a>0,且方程 ax2-3x+2=0 的两个根是 1 和 b.

?1+b=3a, ? 由根与系数的关系,得
?1·b=2a,

解得 a=1,b=2.

(2)∵a=1,b=2, ∴ax2-(ac+b)x+bx<0,即 x2-(c+2)x+2x<0,即 x(x-c)<0.

∴当 c>0 时,解得 0<x<c;

当 c=0 时,不等式无解;

当 c<0 时,解得 c<x<0.

综上,当 c>0 时,不等式的解集是(0,c);当 c=0 时,不等式的解集是?;当 c<0 时,

不等式的解集是(c,0).

第 2 课时 一元二次不等式的应用(习题课)

[思考 1] 求解形如hf((xx))>a 的分式不等式,能否利用解分式方程的方法去分母?为什 么?应该怎样解?
名师指津:一般不能采取去分母的方法,因为不清楚分母 h(x)是否大于 0,如果能判断

出 h(x)大于 0 或者小于 0,完全可以采取去分母的方法.一般解法是移项、通分化成标准型

f(x)

f(x)

>0(<0)或

≥0(≤0),再等价成整式不等式来解.

g(x)

g(x)

f(x) f(x) f(x)

f(x)

[思考 2] 形如

>0,

<0,

≥0,

≤0 的分式不等式,等价变形

g(x) g(x) g(x) g(x)

成怎样的整式不等式?

名师指津:分别等价变形为 f(x)·g(x)>0;

f(x)·g(x)<0;

??f(x)·g(x)≥0,??f(x)·g(x)≤0,

?

?

??g(x)≠0;

??g(x)≠0.

讲一讲

1.解下列不等式:

(1)x1+-2x<0;(2)xx+ -12≤2.

x+2 [尝试解答] (1)由 <0,
1-x

x+2 得 >0,
x-1

此不等式等价于(x+2)(x-1)>0,

∴原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}.

x+1 (2)法一:移项得 -2≤0,
x-2

-x+5

左边通分并化简有

≤0,

x-2

x-5 即 ≥0,
x-2

??(x-2)(x-5)≥0, 它的同解不等式为?
??x-2≠0,
∴x<2 或 x≥5.

∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

x-5 法二:原不等式可化为 ≥0,
x-2

??x-5≥0,

此不等式等价于?



??x-2>0

??x-5≤0,

或?



??x-2<0,

解①得 x≥5,解②得 x<2,

∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求 解,但要注意分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转 化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
练一练 1.解下列不等式: (1)x3+-2x≥0;(2)23x--41x>1.

??(x+2)(3-x)≥0, 解:(1)原不等式等价于?
??3-x≠0,

??(x+2)(x-3)≤0,

即?

?-2≤x<3.

??x≠3

∴原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.

2x-1

3x-2

(2)原不等式可化为 -1>0,即 <0.

3-4x

4x-3

等价于(3x-2)(4x-3)<0,∴23<x<34.
∴原不等式的解集为???x??23<x<34???.

[思考 1] 不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数的条件是什么? 名师指津:当 a=0 时,b=0,c>0;

?a>0. 当 a≠0 时,?
?Δ<0.
[思考 2] 不等式 ax2+bx+c<0 的解是全体实数的条件是什么? 名师指津:当 a=0 时,b=0,c<0;

??a<0, 当 a≠0 时,?
??Δ<0.
讲一讲 2.设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.
[尝 试 解 答 ] (1) 要 使 mx2 - mx - 1<0 恒 成 立 , 若 m = 0, 显 然 - 1<0. 若 m≠0 ,

??m<0,

?

?-4<m<0.∴-4<m≤0,即 m 的取值范围是(-4,0].

??Δ=m2+4m<0

(2)法一:要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立,就要使 m??x-12??2+34m-6<0 在 x∈[1,

3]上恒成立.
令 g(x)=m??x-12??2+34m-6,x∈[1,3].
当 m>0 时,g(x)是增函数,∴g(x)max=g(3)=7m-6<0,∴0<m<67;当 m=0 时,-6<0 恒 成立;当 m<0 时,g(x)是减函数,∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得 m<6.∴m<0.
综上所述,m<67,即 m 的取值范围是??-∞,67??.

法二:当 x∈[1,3]时,f(x)<-m+5 恒成立,
即当 x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0 恒成立.
∵x2-x+1=??x-12??2+34>0,
又 m(x2-x+1)-6<0,∴m<x2-6x+1.
∵函数 y=x2-6x+1=??x-126??2+34在[1,3]上的最小值为67,∴只需 m<67即可. ∴m 的取值范围是??-∞,67??.
一元二次不等式恒成立的类型及解法 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
??a>0, (1)f(x)>0 在 R 上恒成立??
??Δ<0; ??a<0, (2)f(x)<0 在 R 上恒成立?? ??Δ<0;
??f(α)<0, (3)a>0 时,f(x)<0 在区间[α,β]上恒成立??
??f(β)<0; ??f(α)>0, (4)a<0 时,f(x)>0 在区间[α,β]上恒成立?? ??f(β)>0;
(5)分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题,即:
k ≥ f(x)(k>f(x)) 恒 成 立 ? k ≥ f(x)max(k>f(x)max) ; k≤f(x)(k<f(x)) 恒 成 立 ? k ≤
f(x)min(k<f(x)min). 练一练
2.已知 f(x)=x2+2(a-2)x+4. (1)如果对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使得对任意 x∈[-3,1],f(x)<0 恒成立.若存在,求出 a 的取值范 围;若不存在,说明理由. 解:(1)由题意可知,

只有当二次函数 f(x)=x2+2(a-2)x+4 与直角坐标系中的 x 轴无交点时,才满足题意, 则其相应方程 x2+2(a-2)x+4=0 此时应满足 Δ<0,即 4(a-2)2-16<0,解得 0<a<4. (2)若对任意 x∈[-3,1],f(x)<0 恒成立,则满足题意的函数 f(x)=x2+2(a-2)x+4 的图 象如图所示.

??f(-3)<0, ??25-6a<0,

?a>265,

? ? 由图象可知,此时 a 应该满足 f(1)<0, 即 1+2a<0, 解得
?? ?? ?? -3<2-a<1, 1<a<5,

a<-12, 1<a<5,

这样的实数 a 是不存在的,所以不存在实数 a 满足:对任意 x∈[-3,1],f(x)<0 恒成立.

讲一讲 3.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶 70 元, 不加附加税时,每年大约产销 100 万瓶,若政府征收附加税,每销售 100 元要征税 k 元(叫做 税率 k%),则每年的产销量将减少 10k 万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于 112 万元,问 k 应怎样确定?(链接教材 P79-例 4) [尝试解答] 设产销量为每年 x 万瓶,则销售收入每年 70x 万元,从中征收的税金为 70x·k%万元,其中 x=100-10k.由题意,得 70(100-10k)k%≥112,整理得 k2-10k+16≤0, 解得 2≤k≤8. 因此,当 2≤k≤8(单位:元)时,每年在此项经营中所收附加税金不少于 112 万元.
解一元二次不等式应用题的四个步骤 (1)认真审题,理解题意,把握题目中的关键量,找准不等关系. (2)引入数学符号.根据题意建立相应的不等关系(或函数关系),把实际问题抽象成一元 二次不等式问题. (3)解不等式(或求函数的最值).

(4)回扣实际问题. 练一练
3.某农贸公司按每担 200 元收购某农产品,并每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个 百分点),计划可收购 a 万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低 x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加 2x 个百分点.
(1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%,试确定 x 的取值范围. 解:(1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为 a(1+2x%)万担,收购总金额
为 200a(1+2x%)万元. 依题意得 y=200a(1+2x%)(10-x)%=510a·(100+2x)·(10-x)(0<x<10). (2)原计划税收为 200a·10%=20a(万元). 依题意得510a(100+2x)·(10-x)≥20a×83.2%, 化简得 x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2, 又因为 0<x<10,所以 0<x≤2.
因此要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%,x 的取值范围应为(0,2].

——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————— 1.本节课的重点是一元二次不等式的恒成立问题,难点是一元二次不等式的实际应用.

f(x)

2.本节课的易错点有:(1)解不等式

≥0(或≤0)时,忽视 g(x)≠0;(2)解不等式

g(x)

f(x) >a(或<a)时,不考虑 g(x)的符号,直接去分母.
g(x)

3.本节课重点掌握的规律方法

(1)分式不等式的解法,见讲 1;

(2)不等式的恒成立问题的解法,见讲 2.

4.有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种:

(1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小) 值,从而建立参量的不等式;
(2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数),并结合 图象建立参量的不等式求解.
5.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作 用的未知量为 x,用 x 来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解.

[即时达标对点练]

题组 1 解简单的分式不等式

1.不等式(x-2)x+2(1 x-3)<0 的解集为(

)

A.{x|-1<x<2 或 2<x<3}

B.{x|1<x<3}

C.{x|2<x<3}

D.{x|-1<x<3}

解析:选 A

??(x-3)(x+1)<0, ? 原不等式等价于 x+1≠0,
??(x-2)2≠0,

解得-1<x<3,且 x≠2,故选 A.

2.解下列不等式: (1)23xx- +11≥0;(2)x2+-3x>1.

2x-1

??(2x-1)(3x+1)≥0,

解:(1)∵ ≥0??

3x+1

??3x+1≠0

??? ? xx≤≠--1313或x≥12,?x<-13或 x≥12.

∴原不等式的解集为???x??x<-31或x≥12???.

??x+3>0, ??x+3<0, ??x>-3, ??x<-3, (2)法一:原不等式可化为???2-x>x+3或???2-x<x+3????x<-12 或???x>-12 ?-3<x<-
1 2.
∴原不等式的解集为???x??-3<x<-12???.

(2-x)-(x+3)

法二:原不等式可化为

>0?

x+3

-2x-1 x+3

>0

?

2x+1 x+3

<0

?

(2x



1)(x



3)<0

?



3<x<



1 2

.



















???x??-3<x<-21???.

题组 2 不等式的恒成立问题

3.若不等式 x2+mx+m2 >0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围为(

)

A.(2,+∞)

B.(-∞,2)

C.(-∞,0)∪(2,+∞)

D.(0,2)

解析:选 D 由 Δ=m2-4×m2 =m2-2m<0,

可得 0<m<2.
4.已知不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( ) A.[-4,4] B.(-4,4) C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞) 解析:选 A 由 Δ=a2-4×4≤0,

得 a2≤16,即-4≤a≤4. 5.若方程 x2+(m-3)x+m=0 的实数解,则 m 的取值范围为________. 解析:若方程 x2+(m-3)x+m=0 有实数解,则 Δ=(m-3)2-4m≥0,解得 m≤1 或 m≥9.

答案:{m|m≤1 或 m≥9} 6.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合为________. 解析:(1)当 a=0 时,满足题意;

??a>0, (2)当 a≠0 时,应满足?
??Δ≤0,
解得 0<a≤4.

综上可知,a 值的集合为{a|0≤a≤4}.

答案:[0,4]

7.函数 f(x)=

1

的定义域是

ax2+3ax+1

R,则实数

a

的取值范围是________.

解析:由已知 f(x)的定义域是 R.

所以不等式 ax2+3ax+1>0 恒成立.

(1)当 a=0 时,不等式等价于 1>0,显然恒成立;

??a>0, ??a>0, (2)当 a≠0 时,则有? ??
??Δ<0 ??(3a)2-4a<0 ??????aa(>09,a-4)<0?0<a<49.
由(1),(2)知,0≤a<49.
答案:???a??0≤a<94???
8.关于 x 的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1 对 x∈R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:原不等式等价于 mx2+mx+m-1<0,对 x∈R 恒成立.

当 m=0 时,0·x2+0·x-1<0 对 x∈R 恒成立.

当 m≠0 时,由题意,得

??m<0,

??m<0,

?

??

??Δ=m2-4m(m-1)<0 ??3m2-4m>0

??m<0, ????m<0或m>43?m<0.

综上,m 的取值范围为(-∞,0]. 题组 3 一元二次不等式的实际应用 9.在一个限速 40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹

车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m,乙车的刹车距离略超过 10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离 s m 与车速 x km/h 之间分别有如下关系:s 甲=0.1x +0.01x2,s 乙=0.05x+0.005x2.这次事故的主要责任方为________.
解析:由题意列出不等式 s 甲=0.1x+0.01x2>12,
s 乙=0.05x+0.005x2>10.

分别求解,得

x 甲<-40 或 x 甲>30,

x 乙<-50 或 x 乙>40.

由于 x>0,从而得 x 甲>30 km/h,x 乙>40 km/h.

经比较知乙车超过限速,应负主要责任. 答案:乙车 10.有一桶纯农药液,倒出 8 升后用水补满,然后又倒出 4 升后再用水补满,此时桶中 的农药不超过容积的 28%,则桶的容积的取值范围是________. 解析:设桶的容积为 x 升,那么第一次倒出 8 升纯农药液后,桶内还有(x-8)(x>8)升,

x-8 用水补满后,桶内纯农药液的浓度为 x .

4(x-8) 第二次又倒出 4 升药液,则倒出的纯农药液为 x 升,此时桶内有纯农药液

???(x-8)-4(xx-8)???升.

4(x-8) 依题意,得(x-8)- x ≤28%·x.

由于 x>0,因而原不等式化简为 9x2-150x+400≤0,

即(3x-10)(3x-40)≤0.解得130≤x≤430.又∵x>8,∴8<x≤430.

答案:??8,430??

[能力提升综合练]

1.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈??0,12??成立,则 a 的最小值为( )

A.0

B.-2

C.-52

D.-3

解析:选 C ax≥-(x2+1)?a≥-??x+1x??,

∵x∈??0,12??,∴由 x+1x的单调性可知,x+1x的最小值为12+2=52.∴a≥-52.

2.已知关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是(1,+∞),则关于 x 的不等式

ax-b x-2 >0

的解

集是( )

A.{x|x<-1 或 x>2}

B.{x|-1<x<2}

C.{x|1<x<2}

D.{x|x>2}

解析:选 A 依题意,a>0 且-ba=1.

axx--2b>0?(ax-b)(x-2)>0???x-ba??(x-2)>0,

即(x+1)(x-2)>0?x>2 或 x<-1.

3.对于任意实数 x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

() A.(-∞,2)

B.(-∞,2]

C.(-2,2)

D.(-2,2]

解析:选 D 当 a-2≠0 时,

??a-2<0,

?a<2,

?

??

??4(a-2)2-4(a-2)·(-4)<0 ?a2<4

?-2<a<2.

当 a-2=0 时,-4<0 恒成立.综上所述,-2<a≤2.
4.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合 A={x|x2-x-2>0},则?RA=( ) A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 解析:选 B ∵x2-x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,

∴x>2 或 x<-1,即 A={x|x>2 或 x<-1}.

则?RA={x|-1≤x≤2}.故选 B. 5.不等式 x2-2x+3≤a2-2a-1 在 R 上的解集是?,则实数 a 的取值范围是________.

解析:∵x2-2x-(a2-2a-4)≤0 的解集为?,∴Δ=4+4(a2-2a-4)<0,即 a2-2a-3<0,

解得-1<a<3. 答案:(-1,3) 6.已知不等式 x2+px+1>2x+p,如果不等式当|p|≤2 时恒成立,求 x 的取值范围. 解:不等式化为:(x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,

则 f(p)的图象是一条直线.又因为|p|≤2,

??f(-2)>0, 所以-2≤p≤2,于是得?
??f(2)>0,

??(x-1)·(-2)+x2-2x+1>0, 即?
??(x-1)·2+x2-2x+1>0,

??x2-4x+3>0,

即?

所以 x>3 或 x<-1.

??x2-1>0,

故 x 的取值范围是{x|x>3 或 x<-1}.

7.某企业生产一种机器的固定成本为 0.5 万元,但每年生产 100 台时又需可变成本 0.25 万元,市场对此商品的年需求量为 500 台,销售收入函数为 R(x)=5x-12x2(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量为多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量为多少时,企业才不亏本? 解:(1)当 x≤5 时,产品能全部售出.

当 x>5 时,只能销售 5 百台.

于是利润

???5x-21x2??-?0.5+0.25x??0≤x≤5?, ? L(x)=
???5×5-12×52??-?0.5+0.25x??x>5?,

??-0.5x2+4.75x-0.5?0≤x≤5?, 即 L(x)=?
??-0.25x+12?x>5?.

(2)当 0≤x≤5 时,

L(x)=-12(x-4.75)2+10.781 25. 故当 x=4.75 时,L(x)max=10.781 25. 当 x>5 时,L(x)<12-1.25=10.75.

所以当生产 475 台时,利润最大.

(3)若企业不亏本,由题意得

??0≤x≤5, ???-12x2+4.75x-0.5≥0

??x>5, 或?
??12-0.25x≥0,

解得 5≥x≥4.75- 21.562 5≈0.106 或 5<x≤48,

即企业产量在 11 台到 4 800 台之间时,企业不亏本.

第 1 课时 二元一次不等式(组)与平面区域

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P82~P86,回答下列问题:
一家银行的信贷部计划年初投入 25 000 000 元用于企业投资和个人贷款,希望这笔资 金至少可带来 30 000 元的收益,其中从企业贷款中获益 12%,从个人贷款中获益 10%,那 么,信贷部应该如何分配资金呢?
(1)假设信贷部用于企业投资的资金为 x 元,用于个人贷款的资金为 y 元,那么 x 和 y 应 满足哪些不等关系?
(2)问题(1)中得出的不等关系有什么特点? 提示:(1)分析题意,我们可得到以下式子
x+y≤25 000 000,
???12x+10y≥3 000 000, ??x≥0,
y≥0.
(2)是由含有两个未知量且次数为 1 的多个不等式构成的不等式组.
2.归纳总结,核心必记 (1)二元一次不等式(组)的概念 ①二元一次不等式 含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式称为二元一次不等式. ②二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. ③二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等式(组) 的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. (2)二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧 所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界. 不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线. (3)二元一次不等式表示的平面区域的确定 ①直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得的符号都相 同. ②在直线 Ax+By+C=0 的一侧取某个特殊点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的符号可以断定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.

[问题思考] (1)不等式 x>y 是二元一次不等式吗? 提示:是,符合二元一次不等式的两个特征. (2)点(2,1)是否是不等式 3x-2y+1>0 的解? 提示:是.因为将点(2,1)代入上式的左边可得 3×2-2×1+1=5>0,适合上述不等式. (3)在平面内画一条直线 x-y=6,这条直线将平面分为几个部分? 提示:分成三部分,即直线左上方的点、直线上的点和直线右下方的点. (4)如下图,设点 P(x,y1)是直线上的点,选取点 A(x,y2)满足不等式 x-y<6,你能完成 下面的表格吗?

提示:

横坐标 x 点P的 纵坐标 y1 点A的 纵坐标 y2

-3 -2 -1 0 1 2 3

横坐标 x

-3 -2 -1

0

1

2

3

点P的 纵坐标 y1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

点A的 纵坐标 y2

>-9 >-8 >-7 >-6 >-5 >-4 >-3

(5)当点 A 与点 P 有相同的横坐标时,他们的纵坐标有什么关系?直线 l 左上方点的坐标

与不等式 x-y<6 有什么关系?直线 l 右下方点的坐标呢?

提示:当点 A 与点 P 有相同的横坐标时,A 的纵坐标大于点 P 的纵坐标,即 x-y2<6.

在直角坐标系中,以二元一次不等式 x-y<6 的解为坐标的点都在直线的左上方;反之,

直线左上方点的坐标也满足,不等式 x-y<6.因此,在直角坐标系中,不等式 x-y<6 表示直

线 x-y=6 左上方的平面区域.类似地,不等式 x-y>6 表示直线 x-y=6 右下方的平面区域.

(6)平面区域的边界有时为实线,有时为虚线,它们有什么区别? 提示:边界为实线时表示包括边界,对应的不等式含有等号;边界为虚线时表示不包括
边界,对应的不等式不含等号. [课前反思]
1.二元一次不等式的定义是: ;
2.二元一次不等式组的定义是: ;
3.如何确定二元一次不等式所表示的平面区域? .

[思考 1] 如何判断二元一次不等式表示哪个平面区域? 名师指津:直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,

所得符号都相同,所以只需在直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由 Ax0+By0

+C 的符号确定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. [思考 2] 如何判断二元一次不等式组表示哪个平面区域? 名师指津:二元一次不等式组表示的平面区域是指各个二元一次不等式所表示的平面区

域的公共部分.

讲一讲

1.画出下列不等式(组)表示的平面区域.(链接教材 P84-例 1、例 2)

(1)2x-y-6≥0;

??x-y+5≥0, (2)?x+y≥0,
??x≤3.

[尝试解答]

(1)如图,先画出直线 2x-y-6=0, 取原点 O(0,0)代入 2x-y-6 中,∵2×0-1×0-6=-6<0,

∴与点 O 在直线 2x-y-6=0 同一侧的所有点(x,y)都满足 2x-y-6<0,因此 2x-y-6≥0 表示直线下方的区域(包含边界).
(2)先画出直线 x-y+5=0(画成实线),如图,
取原点 O(0,0)代入 x-y+5,∵0-0+5=5>0, ∴原点在 x-y+5>0 表示的平面区域内,即 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下
方的点的集合.同理可得,x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及其右上方的点的集合,x≤3 表示 直线 x=3 上及其左方的点的集合.图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域.
(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域,再取它 们的公共部分即可.其步骤为:①画线;②定侧;③求“交”;④表示.
(2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域,只需在它所对应的直线的某一侧取一 个特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负判定.
练一练 1.(1)将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.
解:①平面区域的边界线为虚线,方程为 x=-2 和 x=2, 所以平面区域满足的不等式是-2<x<2. ②平面区域的边界线为虚线,方程为 y=-2x,即 2x+y=0. 因为点(1,0)在平面区域中且满足不等式 2x+y>0, 所以平面区域满足的不等式是 2x+y>0.

③平面区域的边界线为实线,方程为x2+-y2=1,即 x-y-2=0. 因为原点(0,0)在平面区域中且满足不等式 x-y-2<0, 所以平面区域满足的不等式是 x-y-2≤0.
??x+y≤5, (2)画出不等式组?x-2y>3,表示的平面区域.
??x+2y≥0
解:不等式 x+y≤5 表示直线 x+y-5=0 上及左下方的区域. 不等式 x-2y>3 表示直线 x-2y-3=0 右下方的区域. 不等式 x+2y≥0 表示直线 x+2y=0 上及右上方的区域. 所以不等式组表示的平面区域如图所示.
讲一讲
??x+y≤5, 2.求由不等式组?2x+y≤6,确定的平面区域的面积 S 阴影部分.
??x≥0,y≥0
[尝试解答] 如图,作出不等式组所确定的平面区域(阴影部分),其四个顶点为 O(0,0), B(3,0),A(0,5),P(1,4).过 P 点作 y 轴的垂线,垂足为 C.
则 AC=|5-4|=1,PC=|1-0|=1,OC=4,OB=3,得 S△ACP=12AC·PC=12, S 梯形 COBP=12(CP+OB)·OC=8.所以 S 阴影部分=S△ACP+S 梯形 COBP=127.

求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后根据区域的形状求面积,若

画出的图形为规则的,则直接利用面积公式求解;若图形为不规则图形,可采用分割的方法,

将平面区域分为几个规则图形后求解. 练一练
2.求不式组?????y|x≤|≤2,y≤|x|+1所表示的平面区域的面积大小. 解:可将不等式组分解成如下两个不等式组:

x≥0,

x≤0,

?? ?? y≥x,

y≥-x,



或②

? ? y≤x+1,

y≤-x+1,

?? ?? y≤2,

y≤2.

上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示,

故所围成的面积 S=12×4×2-12×2×1=3.

讲一讲

3.一工厂生产甲、乙两种产品,生产每种 1 t 产品的资源需求如下表:

品种 电力/(kW·h) 煤/t 工人/人



2

3

5



8

5

2

该厂有工人 200 人,每天只能保证 160 kW·h 的用电额度,每天用煤不得超过 150 t,

请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围.(链接教材 P85-例 3)

[思路点拨] 设出甲、乙产品的数量 x,y.把 x,y 的限制条件列成不等式组,作出不等

式组表示的平面区域.

[尝试解答] 设每天分别生产甲、乙两种产品 x t 和 y t,生产 x t 甲产品和 y t 乙产品的

用电量是(2x+8y)(kW·h),根据条件,有 2x+8y≤160;用煤量为(3x+5y)t,

根据条件,有 3x+5y≤150;用工人数为 5x+2y≤200;另外,还有 x≥0,y≥0.

2x+8y≤160,
??3x+5y≤150,
综上所述,x,y 应满足不等式组
?5x+2y≤200, ??x≥0,y≥0.
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域,即如图所示的阴影部分(含边 界):
用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时, (1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示. (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来. (3)由实际问题中有关的限制条件,或由问题中所有量均有实际意义,写出所有的不等式. (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.
练一练 3.某家具厂有方木料 90 m3,五合板 600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每 张书桌需要方木料 0.1 m3、五合板 2 m2;生产每个书橱需要方木料 0.2 m3、五合板 1 m2.用 不等式将书桌与书橱的产量之间的关系表示出来.并画出相应的平面区域. 解:设生产书桌 x 张,书橱 y 个,则 x、y 满足
??0.1x+0.2y≤90, 2x+y≤600,
?x≥0且x∈N, ??y≥0且y∈N,
x+2y≤900,
??2x+y≤600,

?x≥0且x∈N, ??y≥0且y∈N.

在平面直角坐标系中,画出上述不等式组表示的平面区域,如图,阴影部分的整点:

——————————————[课堂归纳·感悟提 升]———————————————
1.本节课的重点是二元一次不等式表示的平面区域的判定,难点是二元一次不等式组 所表示的平面区域的确定.
2.本节课要掌握的规律方法 (1)二元一次不等式(组)表示平面区域的确定方法,见讲 1. (2)求二元一次不等式组所表示的平面区域面积的方法,见讲 2. 3.本节课的易错点为:画平面区域时,注意边界线的虚实问题,见讲 1.

[即时达标对点练] 题组 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 1.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )

??x+y-1≥0, A.???x-2y+2≥0

??x+y-1≤0, B.???x-2y+2≤0

??x+y-1≥0, C.???x-2y+2≤0

??x+y-1≤0, D.???x-2y+2≥0

解析:选 A 取原点 O(0,0)检验满足 x+y-1≤0,故异侧点应为 x+y-1≥0,排除 B、

D.点 O 满足 x-2y+2≥0,排除 C.故选 A.

??x-4y+3≤0, 2.不等式组?3x+5y≤25, 表示的平面区域图形是( )
??x≥1

A.四边形

B.第二象限内的三角形

C.第一象限内的三角形

D.不确定

解析:选 C 画出不等式组表示的平面区域(如下图)可知选 C.

3.图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组表示为( )

x+y-1>0
??2x+3y-6<0 ? A. x-y-1≥0
??x-2y+2≤0
x+y-1>0
??2x+3y-6≤0 ? C. x-y-1≤0
??x-2y+2>0

x+y-1<0
??2x+3y-6≥0 ? B. x-y-1≥0
??x-2y+2<0
x+y-1≥0
??2x+3y-6<0 ? D. x-y-1<0
??x-2y+2≥0

解析:选 C 两条虚线边界直线方程分别为 x+y-1=0 与 x-2y+2=0,故排除 A 与 D,

另外点(0,0)不满足不等式 x+y-1>0 的区域,故只能选 C.

??x-y+1≥0, 4 . 二 元 一 次 不 等 式 组 ?x+y-4≤0, 表 示 的 平 面 区 域 为 A , 二 元 一 次 不 等 式 组
??x≥0,y≥0

??0≤x≤4,

???0≤y≤25 表示的平面区域为 B,则 A 与 B 的关系是(

)

解析:选 C 二元一次不等式组表示的平面区域 A 为如图(1)阴影部分,而平面区域 B 为矩

形,如图(2),显然

.

题组 2 二元一次不等式组表示的平面区域的面积

?? y≥0, 5.已知实数 x,y 满足?x-y≥1, 则该不等式组所表示的平面区域的面积为( )
??x+2y≤4,

A.12

B.32

C.2

D.3

解析:选 B 根据题中所给的不等式组,画出其对应的平面区域,

如图中阴影部分的三角形区域所示.

解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为(1,0),(2,1),(4,0), 根据三角形的面积公式可以求得 S=12×(4-1)×1=32.故选 B.

??x+y-1≥0, 6.在平面直角坐标系中,若不等式组?2ax-y+1≥0,
??x≤1

(a 为常数)所表示的平面区域

的面积等于 4,则 a 的值为( )

3

5

7

9

A.2

B.2

C.2

D.2

解析:选 C

?x+y-1≥0, ? 作出不等式组 2ax-y+1≥0,
?x≤1

(a 为常数)对应

的平面区域,若不等式组表示的平面区域能构成三角形且面积等于 4, 则 a>0,此时对应的区域为△ABC,如图所示.
则 A(1,0),B(0,1),C(1,2a+1),∴S△ABC=12×(2a+1)×1=a+12,∴a+12=4,∴a=72.故选

C.

??x≥0, 7.若不等组?x+3y≥4,所表示的平面区域被直线
??3x+y≤4

y=kx+43分为面积相等的两部分,则

k 的值是( )

A.73

B.37

C.43

D.34

解析:选 A 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分△ABC,

??x+3y=4,

由?



??3x+y=4,

A(1,1),又

B(0,4),C??0,43??,∴S△ABC=12??4-43??×1=43,

设 y=kx+43与 3x+y=4 的交点为 D.则由 S△BCD=12S△ABC=23,知 xD=12,

∴yD=52.∴52=k×12+43,k=73.

题组 3 用二元一次不等式组表示实际问题

8.完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为 2∶3,请木工需付工资每人 50 元,请瓦工

需付工资每人 40 元,现有工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,x,y 满足的条件是( )

??2x+3y≤5, A.???x、y∈N*

??50x+40y≤2 000, B.???xy=23

5x+4y≤200,
??? C. xy=23, ??x、y∈N*

??5x+6y<100, D.???xy=23

解析:选 C ∵木工和瓦工各请 x、y 人,∴有 x∶y=2∶3,50x+40y≤2 000,且 x、y∈N*.

9.某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知 木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要 1 h 和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需 要 3 h 和 1 h.又木工、漆工每天工作分别不得超过 8 h 和 9 h.请列出满足生产条件的数学 关系式,并画出相应的平面区域.
解:设家具厂每天生产甲,乙型号桌子的张数分别为 x 和 y,它们满足的数学关系式为:

x+2y≤8,
??3x+y≤9,
分别画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,
?x≥0,x∈N, ??y≥0,y∈N.

生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件.
[能力提升综合练] 1.已知点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(24,+∞) B.(-24,7) C.(-7,24) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) 解析:选 C 要使点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,只需(3×3-2×1+

a)[3× (-4)-2× 6+a]<0 即可,由此解得-7<a<24.

2.设点 P(x,y),其中 x,y∈N,满足 x+y≤3 的点 P 的个数为( )

A.10

B.9

C.3

D.无数个

??x+y≤3,

解析:选 A 作?

的平面区域,如图所示,

??x,y∈N

符合要求的点 P 的个数为 10,故选 A.

x-y≥0,
??2x+y≤2, ? 3.若不等式组 y≥0,
??x+y≤a

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是(

)

A.??43,+∞??

B.(0,1]

C.??1,43??

D.(0,1]∪??43,+∞??

解析:选 D 直线 x+y=0 从原点向右移动时,移动到(1,0)时,再往右移,不等式组

所表示的区域就不能构成三角形了.又从点 A??23,23??向右移动时,不等式组所表示的区域为

整个阴影部分的三角形,

∴0<a≤1 或 a≥43,故选 D.

??x≤0, 4.若 A 为不等式组?y≥0, 表示的平面区域.则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线
??y-x≤2

x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( )

A.34

B.1

C.74

D.2

解析:选 C

??x≤0, ? 在坐标平面内画出不等式组 y≥0, 所表示的平面区域可以看出是一个三
??y-x≤2

角形区域(包括边界).其中三个顶点的坐标分别是 O(0,0),C(-2,0),B(0,2),再画出直

线 x+y=-2 与直线 x+y=1.记直线 x+y=1 与 y-x=2,y 轴的交点分别为点 D,E,则点
D??-12,32??,E(0,1).

结合图形可知,当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线扫过 A 中那部分区域是四边形 OCDE,
因此所求区域的面积等于12×2×2-12×?? 22??2=74.
5.点 P(a,4)到直线 x-2y+2=0 的距离等于 2 5,且在不等式 3x+y>3 表示的平面区

域内,则 P 点坐标为________.

|a-2×4+2|

解析:由题意知

=2 5,得 a=16 或 a=-4,

1+(-2)2

又点 P(a,4)在不等式 3x+y>3 表示的平面区域内,∴a=16,即 P(16,4).

答案:(16,4)

??x-y+1≥0, 6.不等式组?x+y≤0,
??y≥0

表示的平面区域与 x2+y2+x-y+14≤0 表示的平面区域的

公共部分面积为________.

?x-y+1≥0, ? 解析:画出不等式组 x+y≤0,
?y≥0

表示的平面区域,如图中阴影部分所示.

??x-y+1=0, 由?
??x+y=0,

可得 A??-12,12??,x2+y2+x-y+14≤0,可化为??x+12??2+??y-12??2≤14,

?x-y+1≥0,

? 表示以??-12,12??为圆心,以12为半径的圆内各点,由图可知不等式组 x+y≤0,

表示

?y≥0

的平面区域与 x2+y2+x-y+14≤0 表示的平面区域的公共部分面积为以??-12,12??为圆心,以12 为半径的圆的四分之一,其面积为14×π??12??2=1π6.
答案:1π6 7.在坐标平面上画出不等式组?????yy≥ ≤|-x-|x1|+|,3所表示的平面区域并求出其面积. 解:如图阴影部分所示,点(0,3)到直线 y=x-1 与直线 y=1-x 的距离分别为 2 2, 2,

所以阴影部分的面积为 4.

??x-y+8≥0, 8.设不等式组?x+y≥0, 表示的平面区域是 Q.
??x≤4
(1)求 Q 的面积 S; (2)若点 M(t,1)在平面区域 Q 内,求整数 t 的取值集合.
解:(1)作出平面区域 Q,它是一个等腰直角三角形(如图所示).

??x+y=0,

由?

解得 A(4,-4),

??x=4,

??x-y+8=0,

由?

解得 B(4,12),

??x=4,

??x-y+8=0,

由?

解得 C(-4,4).

??x+y=0,

于是可得|AB|=16,AB 边上的高 d=8.∴S=12×16×8=64.

t-1+8≥0, t≥-7,

?? ?? t+1≥0,
(2)由已知得
? ? t≤4,

t≥-1, 即
t≤4,

?? ?? t∈Z.

t∈Z.

??-1≤t≤4,

亦即?

得 t=-1,0,1,2,3,4.

??t∈Z,

故整数 t 的取值集合是{-1,0,1,2,3,4}.

第 2 课时 利用简单的线性规划求最值

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P87~P91,回答下列问题:
某工厂用 A、B 两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用 4 个 A 配件 耗时 1 h,每生产一件乙种产品使用 4 个 B 配件耗时 2 h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天工作 8 小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?若 生产 1 件甲种产品获利 2 万元,生产 1 件乙种产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利润最大?
(1)如果设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,则如何用不等式组表示上述问题中的限制 条件?
提示:由已知条件可得二元一次不等式组: x+2y≤8,
??4x≤16, ?4y≤12,
x≥0,
??y≥0.
(2)你能画出不等式组所表示的平面区域吗? 提示:如图,区域内所有坐标为整数的点 P(x,y),安排生产任务 x,y 都是有意义的, 就代表所有可能的日生产安排.
(3)如果设生产利润为 z,则 z 与 x、y 之间有什么关系? 提示:z=2x+3y. (4)采用哪种生产安排利润最大问题应当转化成怎样的问题来解答?

x+2y≤8,

??4x≤16,

提示:转化为在不等式组

的条件下,求 z 的最大值是多少.

?4y≤12,

??x≥0,y≥0

(5)若把 z=2x+3y 变形为 y=-23x+3z,这是斜率为定值-23,在 y 轴上的截距为3z的直线, 当点 P 在可允许的取值范围变化时,如何求 z 的最大值?
提示:如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给定一个点,就能确定一条直线,

因而确定出唯一截距3z,

可以看到,直线 y=-23x+3z与不等式组(1)表示的区域的交点坐标满足不等式组(1),而 且当截距3z最大时,z 取得最大值.
因此,在区域内找一个点 P,使直线经过点 P 时截距3z最大.由图可以看出,当直线 y= -23x+3z经过直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M(4,2)时,截距3z的值最大,最大值为134, 这时 2x+3y=14,所以,每天生产甲产品 4 件,乙产品 2 件时,工厂可获得最大利润 14 万

元.

2.归纳总结,核心必记

线性规划的有关概念

名称

意义

约束条件

关于变量 x、y 的不等式(组)

线性约 束条件

由 x、y 的一次不等式组成的不等式组

目标函数

欲求最大值或最小值所涉及的变量 x,y 的函数解析式

线性目标 函数

关于 x,y 的一次解析式

可行解

满足线性约束条件的解(x,y)

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划 问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

[问题思考]

线性目标函数 z=ax+by 的最值与其截距有什么关系?对 b 的符号要注意什么?

提示:线性目标函数 z=ax+by 与 y 轴的交点为??0,bz??,z=b·bz=b×(线性目标函数在 y

轴上的截距).故对 b 的符号一定要注意:当 b>0 时,当直线过可行域且在 y 轴上的截距最大

时,z 值最大,在 y 轴上的截距最小时,z 值最小,当 b<0 时,当直线过可行域且在 y 轴上的

截距最大时,z 值最小,在 y 轴上的截距最小时,z 值最大.
[课前反思] 1.约束条件和线性约束条件的定义是:
; 2.目标函数和线性目标函数的定义是:
; 3.可行解、可行域及最优解的定义是什么?它们有什么关系?


讲一讲

??x-2y-2≤0, 1.(2018·全国卷Ⅰ)若 x,y 满足约束条件?x-y+1≥0,
??y≤0,

则 z=3x+2y 的最大值为

________.

[尝试解答] 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示.

由 z=3x+2y,得 y=-32x+2z. 作直线 l0:y=-32x. 平移直线 l0,当直线 y=-32x+2z过点(2,0)时, z 取最大值,zmax=3×2+2×0=6. [答案] 6

用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤 (1)画:根据线性约束条件,在直角坐标系中,把可行域表示的平面图形准确地画出来,

可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域.

(2)移:运用数形结合的思想,把目标函数表示的直线平行移动,最先通过或最后通过的

顶点(或边界)便是最优解.

(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值.

(4)答:写出答案.

练一练

??x+2y≥2, 1.设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, 则目标函数 z=3x-y 的取值范围是( )
??4x-y≥-1,

A.??-32,6??

B.??-32,-1??

C.[-1,6]

D.??-6,32??

解析:选 A

??x+2y≥2, ? 约束条件 2x+y≤4,所表示的平面区域如图阴影部分,直线 y=3x-z 斜
??4x-y≥-1

率为 3.

由图象知当直线 y=3x-z 经过 A(2,0)时,z 取最大值 6,当直线 y=3x-z 经过 B??12,3?? 时,z 取最小值-32,∴z=3x-y 的取值范围为??-32,6??,故选 A.

一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义,利用数形结合的思想解决. [思考 1] 目标函数 z=x2+y2 和 z=(x-a)2+(y-b)2 的几何意义是什么? 名师指津:z=x2+y2 表示可行域内的点(x,y)到坐标原点的距离的平方;z=(x-a)2+(y

-b)2 表示可行域内的点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方.

[思考 2] 目标函数 z=xy--ba(x≠a)和 z=acxy+ +bd(ac≠0)表示的几何意义是什么?

y-b

ay+b

名师指津:z= (x≠a)表示可行域内的点(x,y)与定点(a,b)的连线的斜率;z=

x-a

cx+d

=ac·xy--????--badc????,表示可行域内的点(x,y)与定点??-dc,-ba??的连线的斜率的ac倍.
[思考 3] z=|ax+by+c|(a2+b2≠0)的几何意义是什么?

|ax+bx+c|

名师指津:z=|ax+by+c|= a2+b2·

,表示可行域内的点(x,y)到直线 ax+

a2+b2

by+c=0 的距离的 a2+b2倍.
讲一讲
??x-y+2≥0, 2.已知?x+y-4≥0, 求:
??2x-y-5≤0,
(1)z=x2+y2-10y+25 的最小值;

(2)z=2xy++11的取值范围. [尝试解答] 作出可行域如图,并求出顶点的坐标 A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).

(1)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过 M 作直线

AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上,故 z 的最小值为|MN|2=92.

y-??-12??

(2)z=2·

表示可行域内任一点(x,y)与定点

x-(-1)

Q??-1,-12??连线的斜率的两倍,

且 kQA=74,kQB=38,所以 z 的取值范围为??34,72??.

(1)非线性目标函数最值问题,要充分理解非线性目标函数的几何意义,诸如两点间的距
离(或平方),点到直线的距离,过已知两点的直线斜率等,充分利用数形结合知识解题,能
起到事半功倍的效果.
(2)当斜率 k,两点间的距离,点到直线的距离与可行域相结合求最值时,注意数形结合
思想方法的灵活运用. 练一练
??x-y+1≥0, 2.若实数 x,y 满足?x+y-3≥0, 求:
??3x-y-5≤0,
(1)z=2x+y 的最小值; (2)z=x2+y2 的取值范围; (3)z=y+x x的最大值. 解:作出满足已知条件的可行域为△ABC 内(及边界)区域,如图

所示,其中 A(1,2),B(2,1),C(3,4).

(1)目标函数 z=2x+y,表示直线 l:y=-2x+z,z 表示该直线的纵截距,当 l 过点 A 时

纵截距有最小值,故 zmin=4. (2)目标函数 z=x2+y2 表示区域内的点到坐标系原点的距离的平方,又原点 O 到 AB 的

距离

d=

|3| =3 2

2

2,且垂足

D??32,32??在线段

AB

上,故

OD2≤z≤OC2,即

z∈??92,25??.

(3)目标函数 z=xy+1,记 k=xy.

则 k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率,当直线过点 A 时,斜率最大,则 kmax=2,
即 zmax=???y+x x???max=3.

讲一讲

??y≥x, 3.设 m>1,约束条件?y≤mx,下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值
??x+y≤1

范围为( )

A.(1,1+ 2)

B.(1+ 2,+∞)

C.(1,3)

D.(3,+∞)

[思路点拨]作出图形,数形结合分析

[尝试解答]

??y≥x, ? ∵m>1,由 y≤mx,画出可行域,如图:
??x+y≤1

对于目标函数:z=x+my,即 y=-m1 x+mz ,∵m>1,∴-m1 ∈(-1,0),

x= 1 ,

??? ∴当直线

y=-m1 x+mz 过

P

点时

z

??y=mx,

取得最大值.由?



??x+y=1,

m+1 y= m .

?? m+1

∴zmax=m+1 1+mm+21<2.∴1<m<1+ 2.

[答案] A

已知目标函数的最值求参数,这是线性规划的逆向思维问题.解答此类问题必须要明确

线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得,运用数形结合的思想方法求解.同时,

要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.

练一练

??x-2≤0, 3.若实数 x,y 满足不等式组?y-1≤0,

目标函数 t=x-2y 的最大值为 2,求实数

??x+2y-a≥0,

a 的值是多少?

解:如图,

??x=2, 由?
??x+2y-a=0.
?x=2, 得? a-2
?y= 2 ,
代入 x-2y=2 中, 解得 a=2.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1.本节课的重点是求线性目标函数的最值及已知目标函数的最值求参数问题.难点是 非线性目标函数最值的求法及已知目标函数的最值求参数问题.

2.本节课要重点掌握的规律方法: (1)用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤: ①在平面直角坐标系内作出可行域. ②考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. ③确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解. ④求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值,见讲 1 和讲 2. (2)逆用目标函数的最值求参数,见讲 3.

[即时达标对点练] 题组 1 求线性目标函数的最值
??2x+y≥4, 1.设实数 x,y 满足?x-y≥-1, 则 z=x+y( )
??x-2y≤2,
A.有最小值 2,最大值 3 B.有最大值 3,无最小值 C.有最小值 2,无最大值 D.既无最大值也无最小值
解析:选 C 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.

由 z=x+y 得 y=-x+z,平移直线 y=-x+z,

由图象可知当直线 y=-x+z 经过点 C 时,直线 y=-x+z 的截距

最小,此时 z 最小.

??2x+y=4,

??x=2,

由?

解得?

即 C(2,0),

??x-2y=2,

??y=0,

代入目标函数 z=x+y 得 z=2,即目标函数 z=x+y 的最小值为 2,无最大值.故选 C.

??y≤1, 2.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, 则 z=x-2y 的最大值为( )
??x-y-2≤0,

A.4

B.3

C.2

D.1

解析:选 B 画出可行域(如图),

由 z=x-2y 得 y=12x-2z,则当目标函数过 C(1,-1)时取得最大值,所以 zmax=1-2×(- 1)=3.

题组 2 求非线性目标函数的最值
??x≥0, 3.已知 x,y 满足约束条件?y≥0, 则(x+3)2+y2 的最小值为( )
??x+y≥1,

A. 10

B.2 2

C.8

D.10

解析:选 D 先由约束条件作出可行域如图.

A(0,1),B(1,0),目标函数 z=(x+3)2+y2 表示阴影部分的点与点 C(-3,0)的距离的 平方.由图可知最小值为|AC|2=32+12=10.
4.已知变量 x,y 满足约束条件?????xxx- ≥ +y1y+ -,27≤ ≤00, ,则xy的取值范围是________.
解析:画出可行域如图,由xy的几何意义知,最优解为
A??52,92??,B(1,6),而 kQA=95,kQB=6,

∴xy的取值范围为??95,6??.

答案:??95,6??
题组 3 已知目标函数的最值求参数

??x+1-y≥0, 5.已知实数 x,y 满足约束条件?x+y-4≤0,
??y≥m.

若目标函数 z=2x+y 的最大值与最小

值的差为 2,则实数 m 的值为( )

A.4

B.3

C.2

D.-12

解析:选 C 根据题中约束条件作出可行域(如图阴影区域所示),

由 z=2x+y 可得 y=-2x+z.平移直线 y=-2x+z,结合图形可得当

直线经过可行域内的点 B 时,直线在 y 轴上的截距最大,此时 z 最大.

??y=-x+4,

由?

得 B(4-m,m),∴zmax=2x+y=8-m.

??y=m,

同理,在 A 点时目标函数 z=2x+y 值最小,

??y=x+1,

由?

得 A(m-1,m),∴zmin=2x+y=3m-2.

??y=m,

由题意得 zmax-zmin=10-4m=2,解得 m=2,故选 C.
??y≥x, 6.设 m>1,在约束条件?y≤mx,下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为
??x+y≤1
________.
解析:画出可行域如图,可知 z=x+5y 在点 A???1+1 m,1+mm???取最大值为 4,解得 m=3.

答案:3

[能力提升综合练]

x+y≤5,
??2x-y≤4, ? 1.(2018·天津高考)设变量 x,y 满足约束条件 -x+y≤1,
??y≥0,

则目标函数 z=3x+5y

的最大值为( ) A.6 C.21

B.19 D.45

解析:选 C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,

由 z=3x+5y 得 y=-35x+5z. 设直线 l0 为 y=-35x,平移直线 l0,当直线 y=-35x+5z过点 P 时,

??-x+y=1,

??x=2,

z 取得最大值.联立?

解得?

即 P(2,3),

??x+y=5,

??y=3,

所以 zmax=3×2+5×3=21.

??x2+y2-2x-2y+1≥0,

2.设 O 为坐标原点,A(1,1),若点 B(x,y)满足?1≤x≤2,



??1≤y≤2,

取得最小值时,点 B 的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.无数个

解析:选 B 如图,阴影部分为点 B(x,y)所在的区域.

令 z=x+y,则 y=-x+z.

由图可知,当点 B 在 C 点或 D 点时,z 取最小值,故点 B 的个数为 2.

3.设

x,y

满足约束条件???x+y≥a, 且 ??x-y≤-1,

z=x+ay

的最小值为

7,则

a=(

)

A.-5

B.3

C.-5 或 3

D.5 或-3

解析:选 B 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中 A???a-2 1,a+2 1???.平移直

线 x+ay=0,可知在点 A???a-2 1,a+2 1???处,z 取得最值,

因此a-2 1+a×a+2 1=7,化简得 a2+2a-15=0,解得 a=3 或 a=-5,但 a=-5 时,z

取得最大值,故舍去,答案为 a=3.

4.在△ABC 中,三个顶点分别为 A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点 P(x,y)在△ABC

的内部及其边界上运动,则 y-x 的取值范围为( )

A.[1,3]

B.[-3,1]

C.[-1,3]

D.[-3,-1]

解析:选 C 先画出三角形区域(如图),

然后转化为一个线性规划问题,求线性目标函数 z=y-x 的取值范围.由图求出其取值

范围是[-1,3].

??x-y≥0, 5.(2018·浙江高考)若 x,y 满足约束条件?2x+y≤6,
??x+y≥2,

则 z=x+3y 的最小值是

________,最大值是________.

解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所

示.

??2x+y=6, 由?
??x+y=2,

解得 A(4,-2).

??x-y=0,

由?

解得 B(2,2).

??2x+y=6,

将函数 y=-13x 的图象平移可知,

当目标函数的图象经过 A(4,-2)时,zmin=4+3×(-2)=-2;

当目标函数的图象经过 B(2,2)时,zmax=2+3×2=8.

答案:-2 8

x+y-2≤0,

??x-y+2≤0,

? 6.若目标函数 z=x+y+1 在约束条件 y≤n,

下,取得最大值的最优解有无穷

??x≥-3

多个,则 n 的取值范围是________.

??x+y-2≤0, ? 解析:先根据 x-y+2≤0,作出如图所示阴影部分的可行域,
??x≥-3

欲使目标函数 z=x+y+1 取得最大值的最优解有无穷多个,需使目标函数对应的直线平

移时达到可行域的边界直线 x+y-2=0,且只有当 n>2 时,可行域才包含 x+y-2=0 这条

直线上的线段 BC 或其部分.

答案:(2,+∞)

7.已知变量

x,y

满足约束条件???1≤x+y≤4, 若目标函数 ??-2≤x-y≤2,

z=ax+y(其中

a>0)仅在点

(3,1)处取得最大值,求 a 的取值范围.

解:由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形 ABCD(包括边界).

点 C 的坐标为(3,1),z 最大即直线 y=-ax+z 在 y 轴上的截距最大, ∴-a<kCD,即-a<-1.∴a>1.即 a 的取值范围为(1,+∞).

??2x-y+2≥0, 8.如果点 P 在平面区域?x+y-2≤0, 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2=1 上,求|PQ|的
??2y-1≥0
最小值. 解:画出不等式组
??2x-y+2≥0, ?x+y-2≤0, 所表示的平面区域, ??2y-1≥0
x2+(y+2)2=1 所表示的曲线是以(0,-2)为圆心,1 为半径的一个圆.
如图所示,只有当点 P 在点 A??0,12??,点 Q 在点 B(0,-1)时,|PQ|取最小值32.
第 3 课时 线性规划的实际应用
讲一讲 1.某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机,由于两种产品的市场需求量非常大, 有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量, 以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限 制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于两种产品的有关数据如下表:

试问:怎样确定两种货的供应量,才能使总利润最大,最大利润是多少? [尝试解答] 设电子琴和洗衣机月供应量分别为 x 架、y 台(x,y∈N),总利润为 z 百元,则根据题意,

x≥0,

??y≥0,



且 z=6x+8y,作出以上不等式组所表示的平面区域,如图中所示

?30x+20y≤300,

??5x+10y≤110,

的阴影部分.

令 z=0,作直线 l:6x+8y=0, 即 3x+4y=0.
??30x+20y=300, 当移动直线 l 过图中的 A 点时,z=6x+8y 取得最大值.解方程组?
??5x+10y=110,
得 A(4,9), 代入 z=6x+8y 得 zmax=6×4+8×9=96. 所以当供应量为电子琴 4 架、洗衣机 9 台时,公司可获得最大利润,最大利润是 96 百 元.
线性规划解应用题的解题步骤 (1)建模.这是解决线性规划问题极为重要的环节.根据题意,设出变量,建立目标函数.

(2)求解.列出线性约束条件,借助图形确定目标函数取得最值的位置,并求出最值.
(3)还原.把数学问题还原为实际问题,以便用来指导我们的实际生活. 练一练
1.某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂,流经第一化工厂的河流流量为 500 万 立方米/天,在两个化工厂之间还有一条流量为 200 万立方米/天的支流并入大河(如图).第一 化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水 2 万立方米;第二化工厂每天排放这种工业废 水 1.4 万立方米,从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前,有 20%可自然净化.

环保要求:河流中工业废水的含量应不大于 0.2%,因此,这两个工厂都需各自处理部 分工业废水,第一化工厂处理工业废水的成本是 1 000 元/万立方米,第二化工厂处理工业废 水的成本是 800 元/万立方米.试问:在满足环保要求的条件下,两个化工厂应各自处理多少 工业废水,才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小?
解:设第一化工厂每天处理工业废水 x 万立方米,

2-x 需满足: 500 ≤0.2%,0≤x≤2;

设第二化工厂每天处理工业废水 y 万立方米,需满足:

0.8(2-x)+(1.4-y)

700

≤0.2%,0≤y≤1.4.两个化工厂每天处理工业废水总的费用为 1

000x+800y 元.

2-x
? 500 ≤0.2%,

?0.8(2-x)+(1.4-y)

? 问题即为:在约束条件

700

≤0.2%,

?0≤x≤2, ?0≤y≤1.4,

x≥1,
??4x+5y-8≥0,

?0≤x≤2, ??0≤y≤1.4,

求目标函数 z=200(5x+4y)的最小值.如图,作出可行域.
可知当 x=1,y=0.8 时目标函数有最小值,即第一化工厂每天处理工业废水 1 万立方米, 第二化工厂每天处理工业废水 0.8 万立方米,能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小.
讲一讲 2.两类药片有效成分如下表所示,若要求至少提供 12 毫克阿司匹林,70 毫克小苏打, 28 毫克可待因,问两类药片最小总数是多少?怎样搭配价格最低?(链接教材 P88-例 5)
[尝试解答] 设 A,B 两种药品分别为 x 片和 y 片(x,y∈N),
?2x+y≥12, ?5x+7y≥70, ? 则有 x+6y≥28, ?x≥0, ?y≥0,
两类药片的总数为 z=x+y,两类药片的价格和为 k=0.1x+0.2y. 如图所示,作直线 l:x+y=0,
将直线 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上一点 A,且与原点最近.

??2x+y=12, 解方程组?
??5x+7y=70, 得交点 A 坐标??194,890??.
由于 A 不是整点,因此不是 z 的最优解,结合图形可知,经过可行域内整点且与原点距 离最近的直线是 x+y=11,经过的整点是(1,10),(2,9),(3,8),
因此 z 的最小值为 11.药片最小总数为 11 片. 同理可得,当 x=3,y=8 时,k 取最小值 1.9, 因此当 A 类药品 3 片、B 类药品 8 片时,药品价格最低.
在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等),而直接根据约 束条件得到的不一定是整数解,可以运用枚举法验证求最优整数解,或者运用平移直线求最 优整数解.最优整数解有时并非只有一个,很可能是许多个,应具体情况具体分析.
练一练 2.要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的 小钢板块数如下表所示:
今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得 所需的三种规格成品,且使所用钢板张数最少?
解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张(x,y∈N).
??2x+y≥15, ? 可得 x+2y≥18,求目标函数 z=x+y 取得最小值时的 x、y.作可行域如图所示,
??x+3y≥27,

平移直线 z=x+y,可知直线
经过点 A??158,359??,此时 x+y=557,但158与359都不是整数,所以可行域内的点 A??158,359??
不是最优解,如何求整点最优解呢?
法一:(平移求解法):首先在可行域内打网格,其次描出 A??158,359??附近的所有整点,接
着平移直线 l:x+y=0,会发现当移至 B(3,9)、C(4,8)时,z 取得最小值 12. 法二:(特值验证法):由方法一知,目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下
侧靠近边界的地方,依次满足条件的整点 A0(0,15),A1(1,13),A2(2,11),A3(3,9),A4(4, 8),A5(5,8),A6(6,7),A7(7,7),A8(8,7),A9(9,6),A10(10,6),…,A27(27,0).
将这些点的坐标分别代入 z=x+y,求出各个对应值,经验证可知,在整点 A3(3,9)和 A4(4,8)处 z 取得最小值.
法三:(调整优值法):由非整点最优解??158,359??,z=557,∴z≥12.
令 x+y=12,y=12-x 代入约束条件整理得 3≤x≤92, ∴x=3 和 x=4,这时最优整点为(3,9)和(4,8). 故有两种截法: 第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张;第二种截法是截第一种钢板 4 张、 第二种钢板 8 张.两种方法最少要截两种钢板共 12 张.
——————————————[课堂归纳·感悟提 升]———————————————
1.本节课的重点是线性规划的实际应用问题和实际应用中的最优整数解问题.其中最 优整数解问题也是本节课的难点和易错点.
2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)线性规划解应用题的步骤,见讲 1.

(2)寻找整点最优解的三种方法 ①平移找解法:先打网格,描整点,平移直线 l,最先经过或最后经过的整点便是最优 整点解,这种方法应充分利用非整点最优解的信息,结合精确的作图才行,当可行域是有限 区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解. ②小范围搜寻法:即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来,代入目标函数,直接 求出目标函数的最大(小)值. ③调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再调整最优值,最后筛选出整点最优解.

[即时达标对点练]

题组 1 线性规划的实际应用问题

1.某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于项

目乙投资的23倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元.对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4

万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这

两个项目上共可获得的最大利润为( )

A.36 万元

B.31.2 万元

C.30.4 万元

D.24 万元

解析:选 B 设对项目甲投资 x 万元,对项目乙投资 y 万元, x+y≤60,
???则 x≥32y, ??x≥5,
y≥5. 目标函数 z=0.4x+0.6y.作出可行域如图所示,由直线斜率的关系知目标函数在 A 点取

最大值,代入得 zmax=0.4×24+0.6×36=31.2,所以选 B.

2.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载

重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送

一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车

需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可

得最大利润为( )

A.4 650 元

B.4 700 元

C.4 900 元

D.5 000 元

解析:选 C 设派用甲型卡车 x(辆),乙型卡车 y(辆),获得的利润为 u(元),u=450x+

?x+y≤12, ?2x+y≤19, ? 350y,由题意,x,y 满足关系式 10x+6y≥72,作出相应的平面区域(略),u=450x+350y ?0≤x≤8, ?0≤y≤7,

??x+y≤12,

=50(9x+7y)在由?

确定的交点(7,5)处取得最大值 4 900 元.

??2x+y≤19

3.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉 9 g,咖啡 4 g,糖 3 g;乙种饮料每杯含奶 粉 4 g,咖啡 5 g,糖 10 g.已知每天原料的使用限额为奶粉 3 600 g,咖啡 2 000 g,糖 3 000 g.如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元,乙种饮料每杯能获利 1.2 元,每天在原料的使用限额内 饮料能全部售出,若你是咖啡馆的经理,你将如何配制这两种饮料?

解:经营咖啡馆者应想获得最大的利润,设配制甲种饮料 x 杯,乙种饮料 y 杯,

??9x+4y≤3 600, 4x+5y≤2 000, 线性约束条件为
?3x+10y≤3 000, ??x,y≥0,

利润 z=0.7x+1.2y,x,y∈N,因此这是一个线性规划问题,作出可行域如图.由图可知

??4x+5y=2 000,

在点 A 处 z 取得最大值.由?

可得 A(200,240).所以 zmax=0.7×200+

??3x+10y=3 000,

1.2×240=428(元).

故配制甲种饮料 200 杯,乙种饮料 240 杯可获得最大利润. 题组 2 实际应用中的最优整数解问题 4.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一 箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加工一 箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间 每天共能完成至多 70 箱原料的加工.每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析:
选 B 设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱(x,y∈N),根据题意,得约束条件
??x+y≤70, ?10x+6y≤480,画出可行域如图(阴影部分整数点).目标函数 z=280x+200y, ??x≥0,y≥0,
即 y=-75x+20z0,作直线 y=-75x 平移,得最优解 A(15,55).所以当 x=15,y=55 时, z 取最大值.
5.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每 天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件, B 类产品 140 件,所需租赁费最少为________元.
解析:设需租赁甲种设备 x 台,乙种设备 y 台,

5x+6y≥50,

??10x+20y≥140,



目标函数为 z=200x+300y.

?x∈N,

??y∈N.

作出其可行域(图中阴影部分的整点),易知当 x=4,y=5 时,z=200x+300y 有最小值 2

300 元.

答案:2 300

6.物流行业最近几年得到迅猛发展,某货运公司最近接了一批货物,决定采用厢式货

车托运甲、乙两种货物,已知某辆厢式货车所装托运货物的总体积不能超过 40 m3,总质量

不能超过 2 000 kg.甲、乙两种货物每袋的体积、质量和可获得的利润,列表如下:

货物

每袋体积 (单位:m3)

每袋质量 (单位:100 kg)

每袋利润 (单位:元)



5

2

300



4

3

400

求该辆厢式货车各托运这两种货物多少袋时,可获得最大利润?

解:设该辆厢式货车装甲、乙两种货物分别为 x,y 袋,则其利润为 z=300x+400y,则

由题意可得 x,y 所满足的条件如下:

??5x+4y≤40,

??5x+4y≤40,

? ? 200x+300y≤2 000,即 2x+3y≤20,

??x,y∈N.

??x,y∈N.

如图,作出可行域(阴影中(包括边界)的整数点).

作出目标函数对应的直线 300x+400y-z=0,显然当直线过点 B 时,目标函数取得最大

值.

??5x+4y=40,

由?

得交点 B 的坐标不是整数,又因为 x,y∈N,所以 B 的坐标不是最优解,

??2x+3y=20,

故目标函数在可行域内该点附近取最值.如图,将平面区域网格化,找出可行域内的整点,

显然点 B 附近的整点为(4,4),(5,3),(6,2),(7,1).

目标函数在(4,4)点处的值 z1=300×4+400×4=2 800; 目标函数在(5,3)点处的值 z2=300×5+400×3=2 700; 目标函数在(6,2)点处的值 z3=300×6+400×2=2 600; 目标函数在(7,1)点处的值 z4=300×7+400×1=2 500. 显然 z1 最大.即运送甲种货物 4 袋,乙种货物 4 袋时,利润最大,最大利润为 2 800 元.
[能力提升综合练] 1.配置 A、B 两种药剂都需要甲、乙两种原料,用料要求如下表所示(单位:kg)

药剂 A、B 至少各配一剂,且药剂 A、B 每剂售价分别为 100 元、200 元,现有原料甲 20 kg,原料乙 33 kg,那么可以获得的最大销售额为( )

A.600 元

B.700 元

C.800 元

D.900 元

解析:选 D

??2x+5y≤20, 5x+4y≤33,

设配制药剂 A 为 x 剂,药剂 B 为 y 剂,则有不等式组
?x∈N*, ??y∈N*

成立,

即求 u=100x+200y 在上述线性约束条件下的最大值.借助于线性规划可得 x=5,y=2

时,u 最大,umax=900. 2.4 支水笔与 5 支铅笔的价格之和不小于 22 元,6 支水笔与 3 支铅笔的价格之和不大
于 24 元,则 1 支水笔与 1 支铅笔的价格之差的最大值是( )

A.0.5 元 B.1 元 C.4.4 元 D.8 元 解析:选 B 设 1 支水笔与 1 支铅笔的价格分别为 x 元、y 元,

??4x+5y≥22, ? 则 6x+3y≤24,
??x,y≥0.

不等式组表示的可行域如图中阴影部分.

设 1 支水笔与 1 支铅笔的价格之差为 z=x-y,即 y=x-z,则直线经过点 A(3,2)时,z

取得最大值,为 3-2=1,

所以 1 支水笔与 1 支铅笔的价格之差的最大值是 1 元.故选 B.

3.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇.现有 4 辆甲型货

车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型

货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输

费用为( )

A.2 000 元

B.2 200 元

C.2 400 元

D.2 800 元

解析:选 B 设需使用甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,运输费用 z 元,根据题意,得线

??20x+10y≥100, 0≤x≤4,

性约束条件
?0≤y≤8, ??x,y∈N*,

目标函数 z=400x+300y,画图可知,

当平移直线 400x+300y=0 至经过点(4,2)时,z 取得最小值 2 200.

??5x-11y≥-22, 4.某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 需满足约束条件?2x+3y≥9, 则 z
??2x≤11,
=10x+10y 的最大值是________.
解析:先画出满足约束条件的可行域,如图中阴影部分所示.

??5x-11y=-22, ??x=5.5,

由?

解得?



x∈N*,y∈N*,结合图知当

x=5,y=4

时,zmax=90.

??2x=11,

??y=4.5,

答案:90 5.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的 价格 c 如下表:

a

b(万吨)

c(百万元)

A 50%

1

3

B 70%

0.5

6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石

的最少费用为________(百万元).

解析:设购买铁矿石 A、B 分别为 x,y 万吨,购买铁矿石的费用为 z(百万元),

0.5x+0.7y≥1.9,

??x+0.5y≤2,

?则

目标函数 z=3x+6y.

??x≥0, y≥0.

??0.5x+0.7y=1.9, ??x=1,

由?

得?

记 P(1,2),画出可行域,如图所示.

??x+0.5y=2,

??y=2.

当目标函数 z=3x+6y 过点 P(1,2)时,z 取到最小值,且最小值为 zmin=3×1+6×2=15. 答案:15

6.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超 过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.甲、乙两个电 视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.设该公司 在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟.
(1)用 x,y 列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大,并求出最大收 益是多少? 解:(1)设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,则 x,y 满
??x+y≤300, 500x+200y≤90 000, 足的数学关系式为
?x≥0, ??y≥0,

??x+y≤300, 5x+2y≤900, 该不等式组等价于
?x≥0, ??y≥0,

作出其所表示的平面区域,如图中阴影部分所

示.

(2)设公司的收益为 z 元,则目标函数为 z=3 000x+2 000y,

考虑

z=3

000x+2

000y,将它变形为

y=-32x+2

1 000z.

这是斜率为-32,随

z

变化的一组平行直线,当截距2

1 000z

最大时,即

z

最大.

又∵x,y 满足约束条件,∴由图可知,

当直线

y=-32x+2

1 000z

经过可行域上的点

A

时,截距2

1 000z

最大,即

z

最大.

??x+y=300,

??x=100,

解方程组?

得?

即 A(100,200),

??5x+2y=900, ??y=200,

代入目标函数得 zmax=3 000×100+2 000×200=700 000.

所以该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告使公司的收益最大,

最大收益是 70 万元.

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P97~P98,回答下列问题: 阅读教材 P97 的“探究”内容,思考下列问题: (1)我们把“风车”造型抽象成平面图形,如图所示,在正方形 ABCD 中有 4 个全等的 直角三角形.设直角三角形的长为 a、b,那么正方形的边长为多少?面积为多少?4 个直角 三角形的面积和又是多少?
提示: a2+b2,a2+b2,2ab. (2)根据 4 个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系,我们可得一个怎样的不等 式? 提示:a2+b2>2ab.

(3)存在 4 个直角三角形的面积和与正方形的面积相等的情况吗?何时相等?图形怎样 变化?
提示:当直角三角形变成等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 变成一个点,这 时有 a2+b2=2ab.
2.归纳总结,核心必记 (1)重要不等式 对于任意实数 a、b 有 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. (2)基本不等式 如果 a>0,b>0 那么 ab≤a+2 b,当且仅当 a=b 时,等号成立.
[问题思考] (1)如果 a>0,b>0,用 a, b分别代替不等式 a2+b2≥2ab 中的 a,b,可得到怎样的不 等式? 提示:a+b≥2 ab. (2)不等式 a2+b2≥2ab 与 ab≤a+2 b成立的条件相同吗?如果不同各是什么?
a+b 提示:不同,a2+b2≥2ab 成立的条件是 a,b∈R; ab≤ 2 成立的条件是 a,b 均为正 实数.
(3)a+2 b≥ ab与??a+2 b??2≥ab 是等价的吗?
提示:不等价,前者条件是 a>0,b>0,后者是 a,b∈R. [课前反思]
1.重要不等式的内容及不等式成立的条件是什么?
; 2.基本不等式的内容及不等式成立的条件是什么?

; 3.重要不等式和基本不等式的适用条件有什么不同?

讲一讲 1.(1)已知 a,b,c 为任意的实数,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. (2)已知 a,b,c 为不全相等的正数,求证:a+b+c> ab+ bc+ ca. [尝试解答] (1)∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. ∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), 即 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. (2)∵a>0,b>0,c>0, ∴a+b≥2 ab>0,b+c≥2 bc>0,c+a≥2 ca>0. ∴2(a+b+c)≥2( ab+ bc+ ca),即 a+b+c≥ ab+ bc+ ca. 由于 a,b,c 为不全相等的正实数,故等号不成立.∴a+b+c> ab+ bc+ ca.
在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形 配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.
练一练 1.(1)求证:a-4 3+a≥7(其中 a>3); (2)已知 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9. 证明:(1) 4 +a= 4 +a-3+3.
a-3 a-3

∵a>3,∴a-3>0.

由基本不等式,得 4 +a= 4 +a-3+3≥2 a-3 a-3
当且仅当 4 =a-3,即 a=5 时,等号成立. a-3

4 ·?a-3?+3=2 4+3=7. a-3

(2)∵a,b,c∈R+,且 a+b+c=1, ∴1a+1b+1c
a+b+c a+b+c a+b+c =a+b+c
=3+??ba+ab??+??ac+ac??+??bc+bc??≥3+2+2+2=9.
当且仅当 a=b=c=13时等号成立.

[思考 1] 已知 x,y 都是正数,若 x+y=s(和为定值),那么 xy 有最大值还是最小值? 如何求?
名师指津:xy 有最大值.由基本不等式,得 s=x+y≥2 xy,所以 xy≤s42,当 x=y 时, s2
积 xy 取得最大值 4 . [思考 2] 已知 x,y 都是正数,若 xy=p(积为定值),那么 x+y 有最大值还是最小值?
如何求? 名师指津:x+y 有最小值.由基本不等式,得 x+y≥2 xy=2 p.当 x=y 时,x+y 取得
最小值 2 p. 讲一讲 2.(1)已知 m,n>0 且 m+n=16,求12mn 的最大值; (2)已知 x>3,求 f(x)=x+x-4 3的最小值; (3)设 x>0,y>0,且 2x+y=1,求1x+1y的最小值. [尝试解答] (1)∵m,n>0 且 m+n=16,
所以由基本不等式可得 mn≤???m+2 n???2=??126??2=64,

当且仅当 m=n=8 时,mn 取到最大值 64. ∴12mn 的最大值为 32. (2)∵x>3,∴x-3>0, 4 >0,
x-3

于是 f(x)=x+ 4 =x-3+ 4 +3≥2 (x-3)· 4 +3=7,

x-3

x-3

x-3

当且仅当 x-3= 4 即 x=5 时,f(x)取到最小值 7. x-3

(3)法一:∵x>0,y>0,2x+y=1,

∴1x+1y=2xx+y+2x+ y y=3+xy+2yx≥3+2 xy·2yx=3+2 2,当且仅当xy=2yx,即 y= 2x

时,等号成立,

解得 x=1- 22,y= 2-1, ∴当 x=1- 22,y= 2-1 时,1x+1y有最小值 3+2 2.
法二:1x+1y=??1x+1y??·1=??1x+1y??(2x+y)=3+2yx+xy≥3+2 xy·2yx=3+2 2,以下同解法

一.

(1)利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即: a+b
①一正:符合基本不等式 2 ≥ ab成立的前提条件,a>0,b>0; ②二定:化不等式的一边为定值; ③三相等:必须存在取“=”号的条件,即“=”号成立. 以上三点缺一不可. (2)若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用) 和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.
练一练 2.(1)已知 lg a+lg b=2,求 a+b 的最小值;

(2)已知 x>0,y>0,且 2x+3y=6,求 xy 的最大值; (3)已知 x>0,y>0,1x+9y=1,求 x+y 的最小值. 解:(1)由 lg a+lg b=2 可得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0,b>0,因此由基本不等式可 得 a+b≥2 ab=2 100=20,当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20. (2)∵x>0,y>0,2x+3y=6,
∴xy=16(2x·3y)≤16·???2x+2 3y???2=16·??62??2=32,当且仅当 2x=3y,
即 x=32,y=1 时,xy 取到最大值32. (3)∵1x+9y=1,
∴x+y=(x+y)×??1x+9y??=1+9yx+xy+9=xy+9yx+10,
又∵x>0,y>0, ∴xy+9yx+10≥2 xy×9yx+10=16, 当且仅当xy=9yx,即 y=3x 时,等号成立.
??y=3x, ??x=4, 由???1x+9y=1,得???y=12,
即当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.
讲一讲 3.如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各 面用钢筋网围成.
(1)现有可围 36 m 长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最 大?
(2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎 笼的钢筋网总长最小?
[思路点拨] 根据题中变量,认真分析图形,构建函数关系式,利用基本不等式求最值.

[尝试解答] (1)设每间虎笼长为 x m,宽为 y m,则由条件得 4x+6y=36,即 2x+3y=

18,设每间虎笼面积为 S,则 S=xy.

由于 2x+3y≥2 2x·3y=2 6xy,∴2 6xy≤18,得 xy≤227, 即 S≤227,当且仅当 2x=3y 时,等号成立,

??2x+3y=18, ??x=4.5,

由?

解得?

??2x=3y,

??y=3.

故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使面积最大.

(2)法一:由条件知 S=xy=24,设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y.

∵2x+3y≥2 2x·3y=2 6xy=24,

∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.

??2x=3y, ??x=6,

由?

解得?

??xy=24, ??y=4.

故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

法二:由 xy=24,得 x=2y4.

∴l=4x+6y=9y6+6y=6??1y6+y??≥6×2 1y6·y=48,当且仅当1y6=y,即 y=4 时,等号

成立,此时 x=6.

故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

基本不等式解决实际问题的思路方法 (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最大值或最小值.
(4)回到实际问题中,结合实际意义写出正确的答案. 练一练
3.某森林出现火灾,火势正以 100 m2/min 的速度顺风蔓延,消防站接到警报后立即派 消防队员前去,在火灾发生 5 min 后到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟可

灭火 50 m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元,另附加每次救火所 耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元,而烧毁 1 m2 森林损失费为 60 元,则应该 派多少名消防队员前去救火,才能使总损失最少?
解:设派 x 名消防队员前去救火,用 t min 将火扑灭,总损失为 y 元,则 t= 5×100 = 50x-100
10 (x>2). x-2

y=125tx+100x+60(500+100t)

=125x·10 +100x+30 000+60 000

x-2

x-2

=1

x-2+2

250·

+100(x-2+2)+30

000+60

000

x-2

x-2

=31 450+100(x-2)+62 500≥31 450+2 100×62 500=36 450. x-2

当且仅当 100(x-2)=62 500, x-2

即 x=27 时,y 有最小值 36 450.

所以应该派 27 名消防队员去救火,才能使总损失最少,最少损失为 36 450 元. ——————————————[课堂归纳·感悟提 升]———————————————
1.本节课的重点是利用基本不等式求最值,难点是基本不等式在实际问题中的应用.
2.本节课重点掌握的规律方法

(1)由基本不等式变形得到的常见的结论

①ab≤???a+2 b???2≤a2+2 b2;

a+b ② ab≤ 2 ≤

a2+b2 2 (a,b∈(0,+∞));

③ba+ab≥2(a,b 同号);

④(a+b)??1a+1b??≥4(a,b∈(0,+∞));

⑤a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

(2)利用基本不等式求最值的方法及注意事项 ①利用基本不等式求最值要把握下列三个条件: “一正”——各项为正数;“二定”——“和”或“积”为定值;“三相等”——等号 一定能取到.这三个条件缺一不可. ②利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用 适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件. ③在求最值的一些问题中,有时看起来可以运用基本不等式求最值,但由于其中的等号 取不到,所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的,这时通常可以借助函数 y=x+px(p>0) 的单调性求得函数的最值.

[即时达标对点练]

题组 1 利用基本不等式证明不等式

1.若 a>b>0,则下列不等式成立的是( )

A.a>b>a+2 b> ab

B.a>a+2 b> ab>b

C.a>a+2 b>b> ab

D.a>

a+b ab> 2 >b

a+a a+b 解析:选 B a= 2 > 2 > ab> b·b=b,因此只有 B 项正确. 2.下列不等式一定成立的是( )
A.lg??x2+14??>lg x(x>0)
B.sin x+sin1 x≥2(x≠kπ ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.x2+1 1>1(x∈R)

解析:选 C



x=12,则

lg??x2+14??=lg

x,故排除

A;取

3π x= 2 ,则

sin

x=-1,故排

除 B;取 x=0,则x2+1 1=1,故排除 D.应选 C.

3.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比 q≠1,设 P=12(log0.5a5+log0.5a7),Q=

log0.5a3+2 a9,则 P 与 Q 的大小关系是(

)

A.P≥Q

B.P<Q

C.P≤Q

D.P>Q

解析:选 D P=12(log0.5a5+log0.5a7)=12log0.5a5a7=log0.5a6,Q=log0.5a3+2 a9<log0.5 a3a9=

log0.5a6,所以 P>Q.
4.设 a>0,b>0,给出下列下等式: ①a2+1>a;
②??a+1a????b+1b??≥4; ③(a+b)??1a+1b??≥4;
④a2+9>6a. 其中恒成立的是________.(填序号)
解析:由于 a2+1-a=??a-12??2+34>0,故①恒成立; 由于 a+1a≥2,b+1b≥2,∴??a+1a????b+1b??≥4,故②恒成立;由于 a+b≥2 ab,1a+1b≥

2 a1b,故(a+b)·??1a+1b??≥4,故③恒成立;当 a=3 时,a2+9=6a,故④不能恒成立.

答案:①②③

题组 2 利用基本不等式求最值

5.已知 a+2b=4,则 2a+4b 的最小值为( )

A.16

B.8

C.4

D.2

解析:选 B 由题得 2a+4b=2a+22b≥2 2a·22b=2 2a+2b=2 24=8,当且仅当 a=2,b

=1 时取等号,∴2a+4b 的最小值为 8.故选 B.

6.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( )

A.13

B.12

C.34

D.23

解析:选 B 由 x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×94=34,当且仅当 3x=3-3x,即 x=12时等

号成立.

7.函数 y=3x2+x2+6 1的最小值是(

)

A.3 2-3

B.-3

C.6 2

D.6 2-3

解析:选 D y=3???x2+x2+2 1???=3???x2+1+x2+2 1-1???≥3(2 2-1)=6 2-3,当且仅当 x2

+1=x2+2 1时等号成立.

8.已知函数 y=loga(x-1)+2(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A.若直线 mx+ny=2 过点 A,

其中 m,n 是正实数,则m1 +n2的最小值是( )

A.3+ 2

B.3+2 2

9 C.2

D.5

解析:选 B 易知函数 y=loga(x-1)+2 过定点(2,2),∴2m+2n=2,即 m+n=1,∴m1 +

n2=(m+n)·??m1 +n2??=3+2nm+mn ≥3+2 2nm·mn =3+2 2,当且仅当2nm=mn ,即 m= 2-1,

n=2- 2时取等号.故选 B.

9.已知 0<x<12,求 y=12x(1-2x)的最大值. 解:∵0<x<12,

∴1-2x>0.

y=14·2x·(1-2x)≤14·???2x+21-2x???2=14×14=116.

1

1

∴当且仅当 2x=1-2x,即 x=4时,y 最大值=16.

10.已知 x<3,求 f(x)=x-4 3+x 的最大值.

解:∵x<3,∴x-3<0,

∴f(x)= 4 +x= 4 +(x-3)+3 x-3 x-3

=-???3-4 x+?3-x????+3

≤-2

4 ·?3-x?+3=-1,

3-x

当且仅当 4 =3-x,即 x=1 时取等号, 3-x

∴f(x)的最大值为-1.

11.已知 x,y∈R+,且 x+y=4,求1x+3y的最小值.
解:法一:∵x,y∈R+,∴(x+y)??1x+3y??=4+??xy+3yx??≥4+2 3.
当且仅当xy=3yx,即 x=2( 3-1),y=2(3- 3)时取“=”.



x+y=4,∴1x+3y≥1+

23,故1x+3y的最小值为

1+

3 2.

法二:∵x,y∈R+,且 x+y=4,

∴1x+3y=x4+xy+3?x4+y y?=1+??4yx+34xy??≥1+
2 4yx·34xy=1+ 23.当且仅当4yx=34xy,即 x=2( 3-1),

y=2(3- 3)时取“=”.

∴1x+3y的最小值为

1+

3 2.

题组 3 基本不等式在实际问题中的应用

12.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费

用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站 10 km 处建仓库,则土地费用和运输费用分别

为 2 万元和 8 万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )

A.5 km 处

B.4 km 处

C.3 km 处

D.2 km 处

解析:选 A 设车站到仓库距离为 x,土地费用为 y1,运输费用为 y2,由题意得 y1=kx1,

y2=k2x,∵x=10 时,y1=2,y2=8,∴k1=20,k2=45,∴费用之和为 y=y1+y2=2x0+45x≥

2 2x0×45x=8,当且仅当2x0=45x,即 x=5 时取等号. 13.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存

储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=________吨. 解析:每年购买次数为4x00 次.

∴总费用=4x00·4+4x≥2 6 400=160,

当且仅当1 6x00=4x,即 x=20 时等号成立.

答案:20

[能力提升综合练]

1.若-4<x<1,则 f(x)=x2-2x2-x+2 2(

)

A.有最小值 1

B.有最大值 1

C.有最小值-1

D.有最大值-1

解析:选 D f(x)=x2-2x2-x+2 2=12???(x-1)+x-1 1???,又∵-4<x<1,∴x-1<0.∴-(x-

1)>0.
故 f(x)=-12???-(x-1)+-(x1-1)???≤-1.

当且仅当 x-1= 1 ,即 x=0 时等号成立. x-1

2.已知 x>0,y>0,且 x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )

A.16

B.25

C.9

D.36

解析:选 B (1+x)(1+y)≤??(1+x)+(1+y)??2=??2+(x+y)??2=??2+8??2=25,因

?

2

? ? 2 ? ?2?

此当且仅当 1+x=1+y,即 x=y=4 时,(1+x)(1+y)取最大值 25,故选 B.

3.已知 x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则1x+31y的最小值为(

)

A.2

B.2 2

C.4

D.2 3

解析:选 C 由 lg 2x+lg 8y=lg 2,得 2x·8y=2,即 2x+3y=21,

∴x+3y=1,∴1x+31y=??1x+31y??(x+3y)=x+x3y+x+3y3y=1+3xy+3xy+1≥2+2 3xy·3xy=2

+2=4. 当且仅当3xy=3xy,即 x=12,y=16时等号成立.

4.若对任意 x>0,x2+3xx+1≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. 解析:因为 x>0,所以 x+1x≥2.当且仅当 x=1 时取等号,所以有 x2+3xx+1=x+11x+3≤2+1 3=15,即x2+3xx+1的最大值为15,故 a≥15.
答案:??15,+∞ ??
5.(2018·天津高考)已知 a,b∈R,且 a-3b+6=0,则 2a+81b的最小值为________. 解析:∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6. ∴2a+81b=2a+2-3b≥2 2a·2-3b=2 2a-3b =2 2-6=2×2-3=14,

??a=-3b, 当且仅当?

??a=-3,

即?

时等号成立.

??a-3b+6=0, ??b=1

答案:14 6.某汽车公司购买了 4 辆大客车,每辆 200 万元,用于长途客运,预计每辆车每年收 入约 100 万元,每辆车第一年各种费用约为 16 万元,且从第二年开始每年比上一年所需费 用要增加 16 万元. (1)写出 4 辆车运营的总利润 y(万元)与运营年数 x(∈N*)的函数关系式; (2)这 4 辆车运营多少年,可使年平均运营利润最大? 解:(1)依题意,每辆车 x 年总收入为 100x 万元,
总支出为 200+16×(1+2+…+x)=200+12x(x+1)·16(万元).
∴y=4??100x-200-12x(x+1)·16??=16(-2x2+23x-50). (2)年平均利润为xy=16??23-2x-5x0??=16??23-2??x+2x5????.

又 x∈N*,∴x+2x5≥2 x·2x5=10, 当且仅当 x=5 时,等号成立,此时xy≤16×(23-20)=48.

∴运营 5 年可使年平均运营利润最大,最大利润为 48 万元.

1.一元二次不等式的求解流程 (1)一化:化二次项系数为正数. (2)二判:判断对应方程的根. (3)三求:求对应方程的根. (4)四画:画出对应函数的图象. (5)五解集:根据图象写出不等式的解集. 2.含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤 (1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式,要注意对二次项系数是否为零进行讨论, 特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式的问题来求解. (2)对含参数的一元二次不等式,在其解的情况不明确的情况下,需要对其判别式分 Δ> 0,Δ =0,Δ <0 三种情况进行讨论. (3)若含参数的一元二次不等式可以转化为用其根 x1,x2 表示成形如 a(x-x1)(x-x2)的形

式时,往往需要对其根分 x1>x2,x1=x2,x1<x2 三种情况进行讨论,或用根与系数的关系 帮助求解.
[典例 1] (1)解不等式-1<x2+2x-1≤2; (2)解不等式a(xx--21)>1(a≠1).
??x2+2x-1>-1, 解:(1)原不等式等价于?
??x2+2x-1≤2, ??x2+2x>0; ① 即? ??x2+2x-3≤0, ②
由①得 x(x+2)>0,
所以 x<-2 或 x>0; 由②得(x+3)(x-1)≤0, 所以-3≤x≤1. 将①②的解集在数轴上表示出来,如图,

求其交集得原不等式的解集为
{ } x|-3≤x<-2或0<x≤1 .

a(x-1)

(2)原不等式可化为

-1>0,

x-2

a-2 即(a-1)(x- )(x-2)>0(*),
a-1

a-2

a-2

-a

①当 a>1 时,(*)式即为(x- )(x-2)>0,而 -2= <0,

a-1

a-1 a-1

a-2

a-2

所以 <2,此时 x>2 或 x< .

a-1

a-1

a-2

a-2

②当 a<1 时,(*)式即为(x- )(x-2)<0,而 2- =

a



a-1

a-1 a-1

a-2 a.若 0<a<1,则 >2,
a-1

a-2 此时 2<x< ;
a-1

b.若 a=0,则(x-2)2<0,此时无解;

a-2

ɑ-2

c.若 a<0,则 <2,此时 <x<2.

a-1

a-1

综上所述,

?

a-2

?

当 a>1 时,不等式的解集为?x|x< 或x>2?;

?

a-1

?

?

a-2?

当 0<a<1 时,不等式的解集为?x|2<x< ?;

?

a-1?

当 a=0 时,不等式的解集为?;

? a-2

?

当 a<0 时,不等式的解集为?x| <x<2?.

? a-1

?

[典例 2] 若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),则 m=________.

解析:因为 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),

所以 1,m 是方程 ax2-6x+a2=0 的根,

m>1,
??? 且 m>1? 1+m=6a,??????ma==22., ??1·m=a
答案: 2 [典例 3] 设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M?[1,4],求实数 a 的取值 范围. 解: M?[1,4]有两种情况:
其一是 M=?,此时 Δ<0;其二是 M≠?,此时 Δ=0 或 Δ>0,下面分三种情况计算 a

的取值范围. 设 f(x)=x2-2ax+a+2, 则有 Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2),

(1)当 Δ<0 时,-1<a<2,M=??[1,4];

(2)当 Δ=0 时,a=-1 或 2;

{ } 当 a=-1 时,M= -1 [1,4];

当 a=2 时,M={2}?[1,4].

(3)当 Δ>0 时,a<-1 或 a>2.

设方程 f(x)=0 的两根 x1,x2,且 x1<x2,

??f(1)≥0,且f(4)≥0,

那 么 M = [x1 , x2] , M ? [1 , 4] ? 1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 4 ? ?



??1≤a≤4,且Δ>0.

-a+3≥0,
??18-7a≥0, ?1≤a≤4, ??a<-1或a>2.

解得 2<a≤178.

∴M?[1,4]时,a 的取值范围是(-1,178]. [对点训练] 1.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解:(1)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3),

设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0.

因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.



由方程 f(x)+6a=0 得 ax2-(2+4a)x+9a=0.②

因为方程②有两个相等的根,

所以 Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,即 5a2-4a-1=0. 解得 a=1 或 a=-15.由于 a<0,舍去 a=1.将 a=-15代入①得 f(x)的解析式 f(x)=-15x2 -65x-35.

(2)由 f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a

1+2a a2+4a+1 =a(x- a )2- a .

a2+4a+1 又 a<0,可得 f(x)的最大值为- a .

a2+4a+1

?- ? 由

a

>0,

?a<0,

解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0.

故当 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2- 3)∪(-2+ 3,0).

对于恒成立不等式求参数范围问题,常见类型及解法有以下几种: 1.变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作主元. 2.分离参数法 若 f(a)<g(x)恒成立,则 f(a)<g(x)min. 若 f(a)>g(x)恒成立,则 f(a)>g(x)max. 3.数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化. [典例 4] (1)设函数 f(x)=mx2-mx-6+m.若对于 m∈[-2,2],f(x)<0 恒成立,求实 数 x 的取值范围; (2)若关于 x 的不等式x24-x+2xm+3<2 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)设 f(x)=m(x2-x+1)-6=g(m),
则 g(m)是关于 m 的一次函数,且一次项系数为 x2-x+1.∵x2-x+1=(x-12)2+34>0, ∴g(m)在[-2,2]上递增.∴g(m)<0 等价于 g(2)=2(x2-x+1)-6<0,
即-1<x<2.∴所求的 x 的取值范围为(-1,2).
(2)法一:∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
4x+m ∴不等式x2-2x+3<2?4x+m<2x2-4x+6,

即 2x2-8x+6-m>0,要使原不等式对任意实数 x 恒成立,只要 2x2-8x+6-m>0,

对任意实数 x 恒成立,

∴Δ<0,即 64-8(6-m)<0,整理并解得 m<-2. ∴实数 m 的取值范围是(-∞,-2).

4x+m 法二:由法一可知,要使x2-2x+3<2 对任意实数 x 恒成立,只要 2x2-8x+6-m>0

恒成立即可.变形为 m<2x2-8x+6,设 h(x)=2x2-8x+6,要使 m<2x2-8x+6 恒成立,

只要 m<h(x)min.而 h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2,

∴h(x)min=-2.∴m<-2.即 m 的取值范围为(-∞,-2).

[典例 5] 若 x>0,y>0,且不等式 x+ y-a x+y≤0 恒成立,求 a 的取值范围.

x+ y

解:由不等式可得 a≥



x+y

x+ y x+y+2 xy

而(

)2=



x+y

x+y

x+y+2 xy

由于 x+y≥2 xy,所以

≤2,

x+y

x+ y



的最大值为 2,故 a 的取值范围是[ 2,+∞).

x+y

[对点训练] 2.对于任意实数 x,若不等式 sin4x-asin2x+1≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:由原不等式可得 asin2x≤sin4x+1.

(1)当 sin x=0 时,化为 0<1,恒成立,故 a∈R.

(2)当 sin x≠0 时,a≤sinsi4nx2+x 1=sin2x+sin12x. 问题转化为求 a 小于或等于 f(x)=sin2x+sin12x的最小值问题. 因 sin2x+sin12x≥2,当且仅当 sin2x=sin12x,即 sin2x=1 时等号成立.

即 f(x)的最小值为 2,于是 a≤2,所以 a 的取值范围是(-∞,2].

基本不等式通常用来求最值问题:一般用 a+b≥2 ab(a>0,b>0)解“定积求和, 和最小”问题,用 ab≤(a+2 b)2 求“定和求积,积最大”问题.一定要注意适用的范围和条 件;“ 一正、二定、三相等”,特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方 法,构造定值条件的方法,和对等号能否成立的验证.
若等号不能取到,则应用函数单调性来求最值,还要注意运用基本不等式解决实际问题. [典例 6] 设函数 f(x)=x+x+a 1,x∈[0,+∞). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值; (2)当 0<a<1 时,求函数 f(x)的最小值. 解:(1)把 a=2 代入 f(x)=x+ a ,
x+1

得 f(x)=x+ 2 =(x+1)+ 2 -1,

x+1

x+1

∵x∈[0,+∞),

∴x+1>0, 2 >0, x+1

∴x+1+ 2 ≥2 2.当且仅当 x+1= 2 ,

x+1

x+1

即 x= 2-1 时,f(x)取最小值.

此时,f(x)min=2 2-1. (2)当 0<a<1 时,f(x)=x+1+ a -1.
x+1 若 x+1+ a ≥2 a,
x+1 则当且仅当 x+1= a 时取等号,此时 x= a-1<0(不合题意),因此,上式等号取不
x+1

到.设 x1>x2≥0,则 f(x1)-f(x2)=x1+x1+a 1-x2-x2+a 1 a =(x1-x2)[1-(x1+1)(x2+1)],

∵x1>x2≥0,∴x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1.

∴(x1+1)(x2+1)>1,而 0<a<1. a
∴(x1+1)(x2+1)<1,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,

∴f(x)min=f(0)=a.

[对点训练]

3.若 x,y 是正数,则(x+21y)2+(y+21x)2 的最小值是(

)

A.3

B.72

C.4

D.92

解析:选 C ∵(x+21y)2+(y+21x)2=x2+xy+41y2+y2+xy+41x2=(x2+41x2)+(y2+41y2)+xy+

xy≥2 x2·41x2+2 y2·41y2+2 xy·xy=4,当且仅当 x=y= 22时,(x+21y)2+(y+21x)2 取得最小

值 4.

4.设 a>0,若对于任意的正数 m,n,都有 m+n=8,则满足1a≤m1 +n+4 1的 a 的取值范

围是________.

解析:由

m+n=8

可得

m



n



1



9





1 m



4 n+1



1 9

(m



n



1)

???m1 +n+4 1???



1 9

???1+4+n+m 1+n4+m1???≥19×(5+2 4)=99=1,当且仅当 n+1=2m,即 m=3,n=5 时等号成
立,∴只需1a≤1,即 a≥1. 答案:[1,+∞)

简单线性规划问题的解法称为图解法,即通过研究一族平行直线与可行域有交点 时,直线在 y 轴上截距的最大(小)值求解,其步骤如下:
(1)设出未知数,确定目标函数; (2)确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域; (3)由目标函数 z=ax+by 变形为 y=-abx+bz,所以求 z 的最值可看成是直线 y=-abx+bz 在 y 轴上截距的最值;

(4)作平行线:将直线 ax+by=0 平移(即作 ax+by=0 的平行线),使直线与可行域有交

点,且观察在可行域中使bz最大(或最小)时所经过的点;

(5)求出最优解,将该点代入目标函数,从而求出 z 的最大(或最小)值.

[典例 7] 某企业生产 A、B 两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表:

产品品种 劳动力(个)

煤(t)

电(kW·h)

A 产品

3

9

4

B 产品

10

4

5

已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品的利润是 12 万元,现因条件限

制,该企业仅有劳动力 300 个,煤 360 t,并且供电局只能供电 200 kW,试问该企业生产 A、

B 两种产品多少吨,才能获得最大利润?

??3x+10y≤300, 9x+4y≤360,

解:设分别生产 A、B 两种产品 x 吨,y 吨,利润为 z 万元,则

z=7x

?4x+5y≤200,

??x≥0,y≥0,

+12y 作出可行域,如图阴影所示.当直线 7x+12y=0 向右上方平行移动时,经过 M(20,

24)时 z 取最大值.

∴该企业生产 A、B 两种产品分别为 20 t 和 24 t 时,才能获得最大利润.

[对点训练]

5.已知正数

x,y

满足???2x-y≤0, ??x-3y+5≥0,

则 z=4-x·??12??y 的最小值为(

)

A.1

B.143 2

C.116

D.312

解析:选 C z=4-x·??12??y=2-2x-y.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.

易知当直线 m=-2x-y 经过点 A 时,m 取得最小值.

??2x-y=0, 由?
??x-3y+5=0,

得 A(1,2),所以 zmin=2-2×1-2=116,故选 C.

??x≥2, 6.已知实数 x,y 满足条件?x+y≤4,

若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,则其

??-2x+y+c≥0,

最大值为( )

A.10

B.12

C.14

D.15

解析:选 A 画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.作直线 l:y=-3x,

平移 l,从而可知当 x=2,y=4-c 时,z 取得最小值,zmin=3×2+4-c=10-c=5,∴c=5,

4+c

8-c

当 x= 3 =3,y= 3 =1 时,z 取得最大值,zmax=3×3+1=10.

一、选择题

1.已知 a<0,-1<b<0,则( )

A.-a<ab<0

B.-a>ab>0

C.a>ab>ab2

D.ab>a>ab2

解析:选 B ∵-1<b<0,∴-a>ab>0.

2.不等式 x2-x-6<0 的解集为( )

A.??-13,12??

B.??-21,13??

C.(-3,2)

D.(-2,3)

解析:选 D 解方程 x2-x-6=0,得 x1=3,x2=-2,∴不等式 x2-x-6<0 的解集为(-

2,3).故选 D.

3.若不等式 x2+kx+1<0 的解集为空集,则 k 的取值范围是( )

A.[-2,2]

B.(-∞,-2]∪[2,+∞)

C.(-2,2)

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

解析:选 A 因为不等式 x2+kx+1<0 的解集为空集,对应的二次函数开口向上,

所以判别式 Δ=k2-4≤0,即 k2≤4,

解得-2≤k≤2,即 k∈[-2,2],故选 A.

??x≥0, 4.若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3,则 z=x-y 的最小值是( )
??2x+y≤3,

A.-3

B.0

3 C.2

D.3

解析:选 A 可行域为如图所示的阴影部分,可知 z=x-y 在点 A(0,3)处取得最小值,

∴z 最小值=-3.

5.设 a,b 是两个实数,且 a≠b,有如下三个式子:①a5+b5>a3b2+a2b3,②a2+b2≥2(a

-b-1),③ab+ba>2.其中恒成立的有( ) A.0 个 C.2 个

B.1 个 D.3 个

解析:选 B ①a5+b5-(a3b2+a2b3)=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a

+b)(a2+ab+b2)>0 不恒成立;②(a2+b2)-2(a-b-1)=a2-2a+b2+2b+2=(a-1)2+(b+

1)2≥0 恒成立;③ab+ba>2 或ab+ba≤-2,③式也不恒成立.故选 B. 6.若直线 ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线 y=1+sin πx(0<x<2)的对称中心,则1a+2b的
最小值为( )

A. 2+1

B.4 2

C.3+2 2

D.6

解析:选 C 因为曲线 y=1+sin πx(0<x<2)的对称中心是点(1,1),所以 a+b=1,1a+2b=

??1a+2b??·(a+b)=3+ba+2ba≥3+2 2,当且仅当ba=2ba,即 a= 2-1,b= 2a=2- 2时取等

号,因此1a+2b的最小值是 3+2 2,故选 C.

7.已知点(x,y)是如图所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点,若目标函数 z=x

+ay 取最小值时,其最优解有无数个,则x-y a的最大值是(

)

2

1

2

2

A.5

B.3

C.7

D.3

解析:选 A 目标函数 z=x+ay 可化为 y=-1ax+1az,由题意知,当 a<0,且直线 y= -1ax+1az 与直线 AC 重合时,符合题意,此时 kAC=24- -02=1,所以-1a=1,a=-1,而x-y a
y-0 = 表示过可行域内的点(x,y)与点(-1,0)的直线的斜率,显然过点 C(4,2)与点(-1,
x+1 0)的直线的斜率最大,即4-2(--01)=25.
8.若不等式组?????xxx++ -y2y-+y-22≤m2≥≥0,00,表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则 m 的值为
()

A.-3

B.1

C.43

D.3

解析:选 B 作出可行域,如图中阴影部分所示,

2-4m 2+2m 易求 A,B,C,D 的坐标分别为 A(2,0),B(1-m,1+m),C( 3 , 3 ),
D(-2m,0).S△ABC=S△ADB-S△ADC=12|AD|·|yB-yC|=12(2+2m)???1+m-2+32m??? =(1+m)???1+m-3 2???=43,

解得 m=1 或 m=-3(舍去).
9.已知 a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=1a+1b+1c,则( ) A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥0 解析:选 B 法一:取特殊值,a=2,b=c=-1,则 T=-32<0,排除 A、C、D,可

知选 B.

法二:由 a+b+c=0,abc>0,知三数中一正两负,

不妨设 a>0,b<0,c<0,

则 T=1a+1b+1c=ab+abbcc+ca=ab+c(abbc+a)=aba-bcc2.

∵ab<0,-c2<0,abc>0,故 T<0.

10.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈(0,12]都成立,则 a 的最小值为(

)

A.0

B.-2

C.-3

D.-52

解析:选 D 由对一切 x∈(0,12],不等式 x2+ax+1≥0 都成立,

所以 ax≥-x2-1,即 a≥-x-1x.

设 g(x)=-x-1x,只需 a≥g(x)max, 而 g(x)=-x-1x在 x∈(0,12]上是增函数, 所以 g(x)=-x-1x的最大值是 g(12)=-52.

??x-y≤0, 11.已知点 P(x,y)满足?x-3y+2≥0 ,则(x-1)2+y2 的取值范围是( )
??y>0,

A.??12,9??
C.[1,9)

B.??12,9?? D.??12,3??

解析:选 A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(不包含

x 轴),(x-1)2+y2 可看成阴影部分的点(x,y)到点 A(1,0)的距离的平方.易

得点 A 到直线 x-y=0 的距离为 22,点 A 到点 B(-2,0)的距离为 3,设

阴影部分的点到点 A 的距离为 d,则 22≤d<3,所以12≤(x-1)2+y2<9,故选 A.

12.已知 x>0,y>0.若2xy+8yx>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是(

)

A.m≥4 或 m≤-2

B.m≥2 或 m≤-4

C.-2<m<4

D.-4<m<2

解析:选 D ∵x>0,y>0,∴2xy+8yx≥8??当且仅当2xy=8yx时取“=”??.

若2xy+8yx>m2+2m 恒成立,则 m2+2m<8,解之得-4<m<2.

二、填空题 13.已知不等式 x2-ax-b<0 的解集为(2,3),则不等式 bx2-ax-1>0 的解集为 ________.

解析:方程 x2-ax-b=0 的根为 2,3.根据根与系数的关系得:a=5,b=-6.所以不等式

为 6x2+5x+1<0,解得解集为??-21,-13??. 答案:??-21,-13??

14.已知 x>-1,则函数 y=?x+1x0+??1x+2?的最小值为________.

[?x+1?+9][?x+1?+1] ?x+1?2+10?x+1?+9

解析:由 x>-1,得 x+1>0,则 y=



=(x

x+1

x+1

+1)+ 9 +10≥6+10=16,当且仅当 x+1

x+1= 9 ,即 x+1

x=2

时等号成立,所以

ymin=16.

答案:16

15.若关于

x、y

的不等式组???|x|+|y|≤2,

表示的平面区域是一个三角形,则

??y+2≤k(x+1)

k

的取

值范围是________.

解析:不等式|x|+|y|≤2 表示的平面区域为如图所示的正方形 ABCD 及其内部.

直线 y+2=k(x+1)过定点 P(-1,-2),斜率为 k,

要使平面区域表示一个三角形,则 kPD<k≤kPA 或 k<kPC.而 kPD=0,kPA=02--((--21))=23,

0-(-2) kPC=(-2)-(-1)=-2,故

0<k≤23或

k<-2.

答案:(0,23]∪(-∞,-2) 16.若不等式t2+t 9≤a≤t+t2 2在 t∈(0,2]上恒成立,则 a 的取值范围是________. 解析:t2+t 9=t+1 9t ,而 y=t+9t 在(0,2]上单调递减,故 t+9t ≥2+92=123,t2+t 9=t+1 9t ≤123

(当且仅当 t=2 时等号成立),因为1t ≥12,所以t+t2 2=1t +t22=2(1t +14)2-18≥1(当且仅当 t=2 时 等号成立),故 a 的取值范围为[123,1].
答案:[123,1] 三、解答题

17.(本小题 10 分)已知集合 A=x2x2-2x-3<123(x-1),B=???x|log13?9-x2?<log13?6-2x????,
又 A∩B={x|x2+ax+b<0},求 a+b 的值.
解:由 2x2-2x-3<123(x-1)=23-3x,得 x2+x-6<0,
{ } 所以-3<x<2,故 A= x|-3<x<2 . ??9-x2>0,
? 由集合 B 可得: 6-2x>0, ??9-x2>6-2x,
{ } 解得-1<x<3,B= x|-1<x<3 , { } A∩B= x|-1<x<2 ,
所以方程 x2+ax+b=0 的两个根为-1 和 2,则 a=-1,b=-2,所以 a+b=-3. 18.(本小题 12 分)已知函数 y= ax2+2ax+1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的不等式 x2-x-a2+a<0. 解:(1)因为函数 y= ax2+2ax+1的定义域为 R. 所以 ax2+2ax+1≥0,恒成立. ①当 a=0 时,1≥0 恒成立;
??a>0, ②当 a≠0 时,则?
??Δ=4a2-4a≤0,
解得 0<a≤1.
综上,a 的取值范围为[0,1]. (2)由 x2-x-a2+a<0 得,(x-a)[x-(1-a)]<0. 因为 0≤a≤1, 所以①当 1-a>a,即 0≤a<12时, a<x<1-a;②当 1-a=a,即 a=12时,(x-12)2<0,不等式无解; ③当 1-a<a,即12<a≤1 时,1-a<x<a.

综上所述,
当 0≤a<12时,解集为(a,1-a); 当 a=12时,解集为?; 当12<a≤1 时,解集为(1-a,a). 19.(本小题 12 分)已知函数 f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当 x∈(-2,6)时,其值为正,而 当 x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时,其值为负. (1)求实数 a,b 的值及函数 f(x)的解析式; (2)设 F(x)=-k4f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问 k 取何值时,函数 F(x)的值恒为负值? 解:(1)由题意可知-2 和 6 是方程 f(x)=0 的两根,

?-a=-2+6=4,

??a=-4,

??∴ 2b-a a3=-2×6=-12.∴???b=-8.

∴f(x)=-4x2+16x+48.

(2)F(x)=-k4(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2.

当 k=0 时,F(x)=4x-2 不恒为负值;

当 k≠0 时,若 F(x)的值恒为负值,

??k<0, 则有?

解得 k<-2.

??16+8k<0,

20.(本小题 12 分)一个农民有田 2 亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为 400 千克;若种花生,则每亩每期产量为 100 千克,但水稻成本较高,每亩每期需 240 元, 而花生只要 80 元,且花生每千克可卖 5 元,稻米每千克只卖 3 元,现在他只能凑足 400 元, 问这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?

解:设水稻种 x 亩,花生种 y 亩,则由题意得

x+y≤2,

x+y≤2,

?? ?? 240x+80y≤400, ? ? 即 3x+y≤5,

画出可行域如图阴影部分所示.

??x≥0, y≥0.

??x≥0,y≥0,

而利润 P=(3×400-240)x+(5×100-80)y=960x+420y(目标函数),

??x+y=2,

可联立?

得交点 B(1.5,0.5).故当 x=1.5,y=0.5 时,

??3x+y=5,

P 最大值=960×1.5+420×0.5=1 650,

即水稻种 1.5 亩,花生种 0.5 亩时所得到的利润最大. 21.(本小题 12 分)已知函数 f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16, (1)求不等式 g(x)<0 的解集; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)g(x)=2x2-4x-16<0,

∴(2x+4)(x-4)<0,

解得-2<x<4,

{ } ∴不等式 g(x)<0 的解集为 x|-2<x<4 .
(2)∵f(x)=x2-2x-8.

当 x>2 时,f(x)≥(m+2)x-m-15 恒成立,

∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,

即 x2-4x+7≥m(x-1).

x2-4x+7

∴对一切 x>2,均有不等式

≥m 成立.

x-1

x2-4x+7



=(x-1)+

4

-2

x-1

x-1

≥2 (x-1)× 4 -2=2(当且仅当 x=3 时等号成立), x-1

∴实数 m 的取值范围是(-∞,2]. 22.(本小题 12 分)某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要

各种费用 12 万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加 4 万元,该船每 年捕捞总收入 50 万元.
(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少? (2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少? 解:(1)设该船捕捞 n 年后的总盈利为 y 万元,则

n(n-1) y=50n-98-[12×n+ 2 ×4] =-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102.

所以当捕捞 10 年后总盈利最大,最大是 102 万元.

(2)年平均利润为ny=-2(n+4n9-20)≤-2·(2 n·4n9-20)=12,当且仅当 n=4n9, 即 n=7 时“=”成立.

所以,当捕捞 7 年后年平均利润最大,最大是 12 万元.
模块综合检测
一、选择题 1.目标函数 z=3x-y,将其看成直线方程时,z 的意义是( ) A.该直线的截距 B.该直线的纵截距 C.该直线纵截距的相反数 D.该直线的横截距 解析:选 C 由 z=3x-y 得 y=3x-z,在该直线方程中-z 表示直线的纵截距,因此 z

表示该直线的纵截距的相反数.

2.一个等差数列的第 5 项 a5=10,且 a1+a2+a3=3,则有( )

A.a1=-2,d=3

B.a1=2,d=-3

C.a1=-3,d=2

D.a1=3,d=-2

解析:选 A ∵a1+a2+a3=3 且 2a2=a1+a3,∴a2=1.

又∵a5=a2+3d=1+3d=10,d=3.∴a1=a2-d=1-3=-2.

3.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 2cos2A+2 B-cos 2C=1,4sin B =3sin A,a-b=1,则 c 的值为( )

A. 13

B. 7

C. 37

D.6

A+B 解析:选 A 由已知可得 cos 2C=2cos2 2 -1=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,则

2cos2C+cos C-1=0.∵C∈(0,π),解得 cos C=12,根据余弦定理得12=a2+2ba2b-c2.∵4sin B=3sin

A,由正弦定理可得 4b=3a.又∵a-b=1,∴b=3,a=4,代入余弦公式得到 c 的值为 13.故

选 A.

4.等差数列{an}满足 a24+a27+2a4a7=9,则其前 10 项之和为( )

A.-9

B.-1

C.15

D.±15

解析:选 D a24+a27+2a4a7=(a4+a7)2=9,

10(a1+a10)

∴a4+a7=±3,∴a1+a10=±3,∴S10=

2

=±15.

5.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= 3,则 c=( )

A.2 3

B.2

C. 2

D.1

解析:选 B

由已知及正弦定理得sin1

A=sin3B=sin

32A=2sin

3 Acos

A,

所以 cos A= 23,A=30°,结合余弦定理得

12=( 3)2+c2-2c× 3× 23,整理得 c2-3c+2=0,解得 c=1 或 c=2.

当 c=1 时,△ABC 为等腰三角形,A=C=30°,B=2A=60°,不满足内角和定理,

故 c=2.

6.已知数列{an}的通项公式为 an=5-n,其前 n 项和为 Sn,将数列{an}的前 4 项抽去其

中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前 3 项,记{bn}的前 n 项和为 Tn.若存在

m∈N*,使对任意 n∈N*,总有 Sn<Tm+λ 成立,则实数 λ 的取值范围是( )

A.[2,+∞)

B.(3,+∞)

C.[3,+∞)

D.(2,+∞)

解析:选 D 由已知得 Sn=-12n2+92n,(Sn)max=S4=S5=10.等比数列{bn}的前 3 项为

4,2,1,所以 Tn=8??1-21n??,显然{Tn}是递增数列,且 4≤Tn<8.因为存在 m∈N*,使对任意 n∈

N*,总有 Sn<Tm+λ 成立,则 10<8+λ,所以 λ>2.故选 D.

7.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,sin A+ 2sin B=2sin C,b

=3,当内角 C 最大时,△ABC 的面积等于( )

9+3 3 A. 4

6+3 2 B. 4

3 2 6- 2

C.

4

3 6-3 2 D. 4

a+3 2 解析:选 A 根据正弦定理及 sin A+ 2sin B=2sin C 得 a+ 2b=2c,∴c= 2 ,cos

a2+6 2a+18

a2+b2-c2 a2+9-

4

C= 2ab =

6a

=a8+43a- 42≥2

a8·43a- 42=

6- 4

2,当且仅当a8

=43a,即 a=

6时,等号成立.此时 sin C=

6+ 4

2

1

,S△ABC=2absin

C=12×

6×3×

6+ 4

2

9+3 3 =4.

2x+y≤40,

??x+2y≤50,

? 8.若变量 x,y 满足 x≥0,

则 z=3x+2y 的最大值是(

??y≥0,

)

A.90

B.80

C.70

D.40

解析:选 C 作出可行域如图所示,

由于 2x+y=40、x+2y=50 的斜率分别为-2、-12,而 3x+2y=0 的斜率为-32,故线

性目标函数的倾斜角大于 2x+y=40 的倾斜角而小于 x+2y=50 的倾斜角,由图知,3x+2y

=z 经过点 A(10,20)时,z 有最大值,z 的最大值为 70.

9.对任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值范

围是( )

A.1<x<3

B.x<1 或 x>3

C.1<x<2

D.x<1 或 x>2

解析:选 B 设 g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),

??g(1)=x2-3x+2>0 ??x<1或x>2

g(a)>0,恒成立??

??

?x<1 或 x>3.

??g(-1)=x2-5x+6>0 ??x<2或x>3

10.一个等比数列前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,则该数列

有( )

A.13 项

B.12 项

C.11 项

D.10 项

解析:选 B 设该数列的前三项分别为 a1,a1q,a1q2,

后三项分别为 a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1,

所以前三项之积 a13q3=2,后三项之积 a31q3n-6=4,两式相乘,得 a16q3(n-1)=8,

即 a21qn-1=2.又 a1·a1q·a1q2·a1qn-1=64,

n(n-1)
所以 an1·q 2 =64,即(a21qn-1)n=642,即 2n=642,所以 n=12.

11.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原 料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万

元,则该企业每天可获得最大利润为( )

甲 乙 原料限额

A(吨)

32

12

B(吨)

12

8

A.12 万元 C.17 万元 解析:选 D

B.16 万元 D.18 万元

设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨,每天所获利润为 z 万元,

??3x+2y≤12, ? 则有 x+2y≤8,
??x≥0,y≥0,

z=3x+4y,作出可行域如图阴影部分所示,

由图形可知,当直线 z=3x+4y 经过点 A(2,3)时,z 取最大值,最大值为 3×2+4×3

=18.

12.设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当xzy取得最小值时,x+2y-z 的最

大值为( )

A.0

9 B.8

C.2

9 D.4

解析:选 C ∵x2-3xy+4y2-z=0,

∴z=x2-3xy+4y2,又 x,y,z 为正实数,

∴xzy=xy+4xy-3≥2 xy·4xy-3=1(当且仅当 x=2y 时取“=”),

即 x=2y(y>0),

∴x+2y-z=2y+2y-(x2-3xy+4y2)=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2.

∴x+2y-z 的最大值为 2.故选 C.
二、填空题 13.设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=9x+ax2+7.若 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围是________. 解析:当 x<0 时,-9x-ax2≥6|a|,∴f(x)≤7-6|a|.∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴当 x>0
时,f(x)≥6|a|- 7.∵a+1≤f(x)对一切 x>0 成立,∴a+1≤f(x)min,即 a+1≤6|a|-7,∴

??a+1≤6a-7,a≥0, ? ??a+1≤-6a-7,a<0.

解得 a≤-87或 a≥85.

当 x=0 时,f(0)=0≥a+1,∴a≤-1. 综上可知 a≤-87.
答案:??-∞,-87?? 14.在数列{an}中,a1=2,an+1-2an=0(n∈N*),bn 是 an 和 an+1 的等差中项,设 Sn 为 数列{bn}的前 n 项和,则 S6=________. 解析:由 an+1=2an,{an}为等比数列,
∴an=2n, ∴2bn=2n+2n+1,

即 bn=3·2n-1,

∴S6=3·1+3·2+…+3·25=189. 答案:189 15.若锐角△ABC 的面积为 10 3,且 AB=5,AC=8,则 BC 等于________. 解析:由已知,得 S=12×AB×AC×sin A=10 3,

∴sin

A=250×83=

3 2.

∵A∈???0,π2 ???,

π ∴A= 3 .由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos A

π =25+64-2×5×8×cos 3=49,

∴BC=7.
答案:7
??x+y-2≥0, 16.设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0,
??2x-y-4≤0,
若 z 的最大值为 12,则实数 k=________.
解析:可行域如图,

??x-2y+4=0,

由?

得 A(4,4),

??2x-y-4=0,

同样地,得 B(0,2), 目标函数 z=kx+y 变形为 y=-kx+z,

①当-k<12 时,由图可看出 z 在 x=4,y=4 时取最大值,即直线 z=kx+y 在 y 轴上的

截距 z 最大,

此时,12=4k+4,故 k=2. ②当-k≥12时,目标函数 z=kx+y 在 x=0,y=2 时取最大值,即直线 z=kx+y 在 y 轴

上的截距 z 最大,

此时,12=0×k+2,故 k 不存在,

综上,k=2.
答案:2 三.解答题 17.(本小题 10 分)已知函数 f(x)=log3(x2-4x+m)的图象过点(0,1). (1)求实数 m 的值; (2)解不等式 f(x)≤1. 解:(1)由已知有 f(0)=log3m=1,

∴m=3.

(2)由(1)知 f(x)=log3(x2-4x+3). 由 x2-4x+3>0,得 x<1 或 x>3,

∴函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). ∵log3(x2-4x+3)≤1 且 y=log3x 为增函数, ∴0<x2-4x+3≤3,

∴0≤x<1 或 3<x≤4,

{ } ∴不等式的解集为 x|0≤x<1或3<x≤4 .

18.(本小题 12 分)(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,

AB=2,BD=5.

(1)求 cos ∠ADB;

(2)若 DC=2 2,求 BC.

解:(1)在△ABD

中,由正弦定理得 BD = sin ∠A sin

A∠BADB,即sin545°=sin

2 ,所以 sin ∠ADB

∠ADB=

2 5.

由题设知,∠ADB<90°,

所以 cos ∠ADB=

1-225=

23 5.

(2)由题设及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB= 52.

在△BCD 中,由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos ∠BDC

=25+8-2×5×2 2× 52=25,

所以 BC=5.
19.(本小题 12 分)(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 bn=ann. (1)求 b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式.
2?n+1? 解:(1)由条件可得 an+1= n an.

将 n=1 代入得,a2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4.

将 n=2 代入得,a3=3a2,所以 a3=12.

从而 b1=1,b2=2,b3=4.

(2)数列{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列.

由条件可得na+n+11 =2nan,即 bn+1=2bn,

又 b1=1, 所以数列{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. (3)由(2)可得ann=2n-1, 所以 an=n·2n-1. 20.在△ABC 中,∠B=45°,AC= 10,cos C=2 5 5,

(1)求 BC 边的长; (2)记 AB 的中点为 D,求中线 CD 的长. 解:(1)由 cos C=25 5得 sin C= 55,

sin

A=sin(180°-45°-C)=

2 2 (cos

C+sin

C)=3

10 10 .

由正弦定理知 BC=siAnCB·sin A=

10·3 2

1010=3

2.

2

(2)AB=siAnCB·sin C=

10· 2

55=2.

2

BD=12AB=1.由余弦定理知

CD= BD2+BC2-2BD·BC·cos B

= 1+18-2×1×3 2× 22= 13.
21.(本小题 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差 数列{bn}中,bn>0(n∈N*),且 b1+b2+b3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.
解:(1)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*), ∴an=2Sn-1+1(n∈N*,n>1), ∴an+1-an=2(Sn-Sn-1), 即 an+1-an=2an, ∴an+1=3an(n∈N*,n>1). 而 a2=2a1+1=3, ∴a2=3a1,
∴数列{an}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,
∴an=3n-1(n∈N*). ∴a1=1,a2=3,a3=9.
在等差数列{bn}中,

∵b1+b2+b3=15,

∴b2=5.
又∵a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,设等差数列{bn}的公差为 d,则有(a1+b1)(a3
+b3)=(a2+b2)2.

∴(1+5-d)(9+5+d)=64,

解得 d=-10 或 d=2, ∵bn>0(n∈N*),

∴舍去 d=-10,取 d=2,∴b1=3,

∴bn=2n+1(n∈N*).

(2)由(1)知 Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)·3n-2+(2n+1)3n-1,①

∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②

∴①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+

3-3n

33+…+3n-1)-(2n+1)·3n=3+2×

-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n·3n.

1-3

∴Tn=n·3n.
22.(本小题 12 分)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽、 柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018 年某企业计划引进新能源 汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本 2 500 万元,每生产汽车 x(百辆),需另
??10x2+100x,0<x<40, 投入成本 C(x)(万元),且 C(x)=???501x+10 x000-4 500,x≥40. 由市场调研知,每辆车售价
5 万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出 2018 年的利润 L(x)(万元)关于年产量 x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成
本) (2)2018 年产量为多少百辆时,企业所获利润最大,并求出最大利润. 解:(1)当 0<x<40 时,

L(x)=5×100x-10x2-100x-2 500=-10x2+400x-2 500;

当 x≥40 时,

L(x)=5×100x-501x-10 x000+4 500-2 500=2 000-??x+10 x000??.

??-10x2+400x-2 500,0<x<40,

∴L(x)=? ??2

000-??x+10

x000??,x≥40.

(2)当 0<x<40 时,L(x)=-10(x-20)2+1 500,

∴当 x=20 时,L(x)max=L(20)=1 500;

当 x≥40 时,L(x)=2 000-??x+10 x000??≤2 000-2

10 x·

x000=2

000-200=1

800,

当且仅当 x=10 x000,即 x=100 时,L(x)max=L(100)=1 800>1 500.

∴当 x=100 时,即 2018 年生产 100 百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为 1 800

万元.



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