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内蒙古集宁一中2018届高三上学期期末考试理数试卷 含答案 精品

集宁一中西校区 2017 学年第一学期期末考试 高三年级理科数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
1. 若集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则 a=( ) A.92B.98C.0 D.0 或98
2. 若复数 z 满足 2 ? zi ? z ? 2i ( i 为虚数单位),则复数 z 的模 z ? ( )

A. 2

B. 2

C. 3

D. 3

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯 三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下

一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( )

A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏
4.将甲、乙、丙三位新同学分到 2 个不同的班级,每班至少 1 人,则甲、乙被分到同一个班的概 率为( )

A. 1

B. 1 C. 1

D. 1

2

34

6

5. 一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示,将该石材切削、打磨、加工

成球,则能得到的最大球的半径等于( )

A.1

B.2 C.3

D.4

? x?0

6.

已知

x,

y

满足条件

? ?

y?0

,则目标函数 z ? x ? y 从最小值变化到1 时,所有满

?? y ? x ? 2

足条件的点 ? x, y? 构成的平面区域的面积为( )

A. 7 4

B. 3 4

C. 3 2

D. 3

7.执行如图的程序框图,如果输入的 a=﹣1,则输出的 S=( )

A.2 B.3 C.4 D.5

8.设函数

f

?x?

?

?x ? 1, x ? 0

? ?

2x, x ? 0

,则满足

f

?x?

?

f

? ??

x

?

1 2

? ??

?1的

x

的取值范围是(



A.

? ??

?

1 2

,

??

? ??

B. ???,0?

C.

? ??

?

1 4

,

??

? ??

D.

? ??

1 4

,

??

? ??

9. 将函数 f ? x? ? sin 2x 的图像向右平移? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 g ? x? 的图像. 若对
2

满足

f ? x1 ? ? g ? x2 ?

? 2 的 x1, x2 ,有

x1

?

x2

min

?

? 3

,则 ?

?(



A. ?

B. ?

C. ?

D. 5?

3

4

6

12

y2
10. 已知抛物线 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 且倾斜角为 60o 的直线 L 与抛物线在第一四

象限分别交于 A,B 两点,则 AF 等于( ) BF

A.3

B. 5 C. 5 D.2

23

11.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们

称之为神奇数. 具体数列为:1,1,2,3,5,8... ,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等

于前两个相邻数字之和. 已知数列?an? 为“斐波那契”数列, Sn 为数列?an? 的前 n 项的

和,若 a2017 ? m ,则 S2015 ? (



A. 2m

B.

2m ? 1 2

C. m ?1

D. m ?1

12. 已知函数 f ? x? ? ?x3 ? 3x2 ? mx ? 2m ,若存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 ,则 m 的

取值范围是( )

A. ?0,1?

B.

? ??

1 3

,1???

C.

? ??

2 3

,1???

D.

? ??

2 3

,

??

? ??

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分·把答案填在题中的横线上·
13.直线 x ? t( t ? 0 )与函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ,g( x) ? ln x 的图象分别交于 A 、B 两点,当| AB |

最小时, t 值是。

14.若 ?1? mx?6 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? a6 x6 且 a1 ? a2 ? a3 ? ? a6 ? 63,则实数 m 的值为.
15. 已知直线 ax+by+c-1=0(b,c>0)经过圆 x2+y2-2y-5=0 的圆心,则4b+1c的最小值

是。
16. 四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 为正方形,PA ? 底 ABCD,AB=2,若该四棱锥的所有顶点 都在体积为 243? 的同一球面上,则 PA=。
16
三:解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。共 70 分。) 17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
2(tan A ? tan B) ? tan A ? tan B . cos B cos A
(Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求 cosC 的最小值. 18.(本小题满分 12 分)为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制 成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.
(Ⅰ)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率;
(Ⅱ)从图中 A,B,C,D 四人中随机选出两人,记? 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的 人数,求? 的分布列和数学期望 E(? );
(Ⅲ)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只 需写出结论) 19 ·(本小题满分 12 分)在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8.现沿对角线
BD 把 ? ABD 折起,折起后使 ? ADC 的余弦值为 9 25
(1)求证:平面 ABD ? 平面 CBD;
(2)若 M 是 AB 的中点,求折起后 AC 与平面 MCD 所成角的正弦值

20.(本小题满分 12 分)已知平面上动点 P(x,y)及两个定点 A(一 2,0),B(2,0),直线

PA, PB 的斜率分别为 k1,k2 且 k1k2= - 1 4
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

(2)设直线 l:y=kx+m 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,当 0M ? ON(0 为坐标原点)时,求点
0 到直线 l 的距离·

21.(本小题满分

12

分)已知函数

f

?x?

?

? ??

1 2

x3

?

x2

? ??

?

e

x

.

(I)讨论函数 f ? x? 的单调性;

(II)求 f(x)在 ??1,1? 上的最大值和最小值.

考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号。

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,圆

C

是以点

C

? ??

2, 11? 6

? ??

为圆心,

2

为半径的圆.

(Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程;

(Ⅱ)求圆 C 被直线 l :? ? 7? ?? ? R? 所截得的弦长.
12 23.(本小题满分 10 分)选修 4 一 5:不等式选讲

设函数 f(x)= x ? 2 ? x ? m(m ? 2) 若 f(x)的最小值为 1

(1)试求实数 m 的值。

(2)求证:

log(2 2a

?

2b )-

m

?

a

? 2

b

集宁一中西校区 2017 学年第一学期期末考试

高三年级理科数学试题

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、 选择题 1D 2.A 3.B4.B

理科数学 5.B 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A11.D 12.C

二、填空题

13. 2 14. 1 或-3 2

15.9

16. 7 2

三.解答题

17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知

2(tan A ? tan B) ? tan A ? tan B . cos B cos A
(Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求 cosC 的最小值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 1 2
【解析】 试题分析:(Ⅰ)根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明; (Ⅱ)根据余弦定理公式表示出 cosC,由基本不等式求 cosC 的最小值.

试题解析:

???

由题意知

2

? ??

sin cos

A A

?

sin B cos B

? ??

?

sin A cos Acos

B

?

sin B cos Acos

B



化简得 2?sin Acos B ? sin Bcos A? ? sin A? sin B ,

即 2sin? A? B? ? sin A? sin B .
因为 A? B ? C ? ? ,
所以 sin? A? B? ? sin?? ?C? ? sinC .
从而 sin A? sin B=2sinC . 由正弦定理得 a ? b ? 2c .

(?) 由 (?) 知 c ? a ? b , 2

所以

a2 ? b2 ? c2 cos C ?
2ab

?

a2

?

b2

?

? ??

a

? 2

b

2
? ??

2ab

?

3 8

? ??

b a

?

a b

? ??

?

1 4

?

1 2



当且仅当 a ? b 时,等号成立. 故 cosC 的最小值为 1 .
2 18.解:(Ⅰ)由图知,在服药的 50 名患者中,指标 y 的值小于 60 的有 15 人,

所以从服药的 50 名患者中随机选出一人,此人指标 y 的值小于 60 的概率为 15 ? 0.3 . 50
(Ⅱ)由图知,A,B,C,D 四人中,指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人:A 和 C.
所以? 的所有可能取值为 0,1,2.

P(?

?

0)

?

C22 C24

?

1 , P(? 6

? 1)

?

C12C12 C24

?

2 , P(? 3

?

2)

?

C22 C24

?

1 6

.

所以? 的分布列为

?

0

1

2

P

1

2

1

6

3

6

故? 的期望 E(? ) ? 0? 1 ?1? 2 ? 2? 1 ? 1. 63 6

(Ⅲ)在这 100 名患者中,服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差.
19. (1)省(详见微信群)
3 53 (2) 53
x2 ? y2 ? 1(x ? ?2)
20. 4

25 d= 5
解:(1) f ?(x )=( x2+2x)ex +( x3+x2)ex=
21.

x(x+1)(x+4)ex……2 分

因为 x ? R ,令 f′(x)=0,解得 x=0,x=﹣1 或 x=﹣4
当 x<﹣4 时,f′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当﹣4<x<﹣1 时,f′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当﹣1<x<0 时,f′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当 x>0 时,f′(x)>0,故 g(x)为增函数;…………………………5 分 综上知 f(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)内为减函数,在(﹣4,﹣1)和 (0,+∞)内为增函数…………………………………………………7 分
(2)因为 x ? [?1,1]

由(1)知, x ? [?1,0]上 f(x)单调递减,在 x ?[0,1] 上 f(x)单调递增

………………………………………………………9 分
所以f(x )min ? f(0) ? 0 ……………………………………………….10 分



f(1)=

3 2

e

,f(-1)=

1 2e



所以

f

( x)max

?

f

(1)

?

3 e ………………………………………………12 分 2

22.(1)圆 C 是将圆 ρ=4cosθ 绕极点按顺时针方向旋转 而得到的圆,所以圆 C 的极坐标方

程是 ρ=4cos(θ+ )…………………………………….5 分

(2)将 θ=﹣ 代入圆 C 的极坐标方程 ρ=4cos(θ+ ),得 ρ=2 ,

所以,圆

C

被直线

l:θ=

7? 12

所截得的弦长,可将

θ=﹣

代入极坐标方程求得为 ρ=2 .即

弦长为 2 ……………………………………………………10 分

23.m=1 详见数学组微信群。精品推荐 强力推荐 值得拥有
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