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【专题课件】北师大小升初衔接第二单元《有理数及其运算》第七课

发布时间:

第二章:有理数及其运算
8 有理数的除法

本节课对有理数的除法,有理数的乘方进行学*,整体难度中等,适合所有 学生。通过实际生活实例引导学生探究有理数除法的运算法则以及有理数乘 方的定义及计算方法。提升学生运算能力及实际应用能力

1.认识有理数的除法,经历除法的运算过程. 2.理解除法法则,体验除法与乘法的转化关系. 3.掌握有理数的除法及乘除混合运算.(重点、难点)

导入新课
复*引入

倒数的定义你还记得吗?

你能很快地说出下列各数的倒数吗?

原数 -5 ? 9 7
8

倒数 ? 1 5

?8 9

1 7

0

?1

?12 3

-1

?3 5

讲授新课

一 有理数的除法及分数化简 计算:

8×9=__7_2_, (-4)×3 =_-__1_2, 2×(-3)=_-__6_ ,
(-4)×(-3)=__1_2_, 0×(-6)=__0__,

72÷9=_8___, (-12)÷(-4)=_3___, (-6) ÷2=-__3__, 12÷(-4)=-__3__,
0÷(-6)=__0__,

观察右侧算式, 两个有理数相除时:

商的符号如何确定? 商的绝对值如何确定?

72÷9=_8___, (-12)÷(-4)=_3___,
(-6) ÷2=-__3__, 12÷(-4)=-__3__,

同号两数相除得正, 并 把绝对值相除
异号两数相除得负,并 把绝对值相除

0÷(-6)=_0___,

零除以任何非零数得零

商的符号如何确定? 商的绝对值如何确定?

两个有理数相除, 同号得_正___, 异号得__负___,并把绝对值__相__除___. 0除以任何一个不等于0的数都得__0___.
0不能作为除数

典例精析

例1.计算:

(1)(-15)÷(-3);(2)12÷(-

1 4

);

(3)(-0.75)÷0.25.

解:(1)原式=+(15÷3)=5 1
(2)原式=-(12÷4 )=-48
(3)原式=-( 0.75 ÷ 0.25 )=-3

想一想 (-12)÷?( 1 )÷(-100) 12

下面两种计算正确吗?请说明理由:

(=1()-解12:)原÷(式? =1()-12=)-1÷44(0?0112
1200

÷100)
(×)

(2)解:原式=(?

1 12

)÷(-12)÷(-100)

=

1 144

÷(-100)=?

1 14400

(×)

除法不适合交换律与结合律,所以不正确.

做一做 比较下列各组数计算结果:

2

5

(1)1÷(-5 )与1×(-2 )

?5 2

(2)0.8÷(-3 10

10 )与0.8×(-3



?8 3

(3)(-

1)÷(- 1

4

60

1
)与(-
4

)×(-60 ) 15

除以一个数等于乘以这个数的倒数

除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.

除数变为倒数作因数

也可以表示成:

1

a ÷ b = a ·b

除号变乘号

(b≠0)

对比记忆
有理数的减法法则
减去一个数,等于 加这个数的相反数.
减数变为相反数作加数
a - b = a + (-b)
减号变加号

有理数的除法法则
除以一个不等于0的 数,等于乘这个数的倒数.
除数变为倒数作因数
1 b
a ÷ b = a · (b≠0)
除号变乘号

典例精析

例2 计算(1)(-36)÷9; (2)(? 12 ) ? (? 3) . 25 5

解:(1)原式= - (36÷ 9)= - 4;

(2)原式=(?

12 ) 25

?

(?

5) 3

?

4 5

.

练一练

计算:

(1)24 ? (?6); -4

(2)(?4) ? 1 ; 2

-8

(3)0 ? 3 ;

0

4

(4)(? 7) ? (? 4). 49

8

7 32

二 有理数的乘除混合运算

例3 计算

(1) ?? ? 125 5 ?? ? ?? 5?;
? 7?

解:(1)原式

?

125

5 7

?

5

? (125 ? 5 ) ? 1

75

? 125? 1 ? 5 ? 1 5 75

? 25 ? 1 ? 25 1 .

7

7

(2) ? 2.5 ? 5 ? (? 1). 84

(2)原式?

5 2

?

8 5

?

1 4

? 1.

方法归纳 (1)有理数除法化为有理数乘法以后,可以 利用有理数乘法的运算律简化运算
(2)乘除混合运算往往先将除法化为乘法,然 后确定积的符号,最后求出结果(乘除混合运算 按从左到右的顺序进行计算)

当堂练*

1.计算

? ??

?

1 7

? ??

?

?

?7

?

的结果正确的是

(C )

A.1 B.-1 C. 1 49

D.- 1 49

2.算式

? ??

-

3 4

? ??

?

?

? =-2 中的括号内应填上

A.- 3 B. 3 C.- 3

D. 3

2

2

8

8

(D )

3.填空:

(1)若

a, b互为相反数,且 a

a
? b,则 b

? ___?_1____,

2b ? 2a ?____0____;

a (2)当 a ? 0时,

=___?_1___;

a

(3)若a ? b, a ? 0,则 a, b的符号分别是_a__?__0_,_b__?__0__.
b

4.计算:规定一种新的运算:A★B=A×B-A÷B,如 4★2=4×2-4÷2=6,则6★(-3)的值为-16 .

5.计算

(1)-

4 5

?(?

2);

(2)-

0.5

?

7 8

?

? ??

?

5 4

???;

(3)-

7

?

? ??

?

3 2

? ??

?

? ??

?

7 5

??? .

解: (1)原式 ? 4 ? 1 ? 2. 52 5

(2)原式 ? 1 ? 8 ? 5 ? 5. 274 7

(3)原式 ? ?7? 5 ? 2 ? ?10. 73 3

6.计算: (1)??49? ? 7 ? 4 ? ??16?.
47

(2)

? ?4 ?

?

?? ????

?

4 5

? ??

?

? ??

?

1 2

?? ????

.

解:

(1)原式

?

??49?

?

4 7

?

4 7

?

? ??

?1 16

? ??

?

49

?

4 7

?

4 7

?

1 16

?

1.

(2)原式

?

??4?

?

?? ????

?

4 5

? ??

?

??2???
?

?

??4?

?

8 5

?

??4?

?

5 8

?

?

5 2

.

两个有理数相 除,同号得正, 异号得负,并 把绝对值相除.

0除以任何非0 的数都得0.

除以一个数 等于乘这个 数的倒数.

法则一

有 理除 数法

法则二

第二章:有理数及其运算
9 有理数的乘方

1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概 念及意义.(重点)
2.能够正确进行有理数的乘方运算.(难点)

导入新课
下图是日本某小学门前贴的一张海报,你懂其中的 含义吗?
一点一滴地努力,总有一天能够变成巨大的力量. 反之,稍微有一点怠慢的话,总有一天会变得无力.

讲授新课
一 有理数乘方的含义
问题引导
手工拉面是我国的传统面食.制作时,拉面师傅将一团 和好的面,揉搓成1根长条后,手握两端用力拉长,然后将 长条对折,再拉长,再对折,每次对折称为一扣,如此反复 操作,连续扣六七次后便成了许多细细的面条.假如拉扣 了10次,你能算出共有多少根面条吗?

捏合前 捏一次后 捏两次后
捏三次后

2 2×2
2×2×2

问题:捏合10次后可拉成几根面条?请用算式表示.
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
思考:捏合100次后可拉成几根面条?请用算式表示. 算式中有几个2相乘?
2×2×...×2
100
想一想:在这个乘积中有100个2相乘,这么长的算式 有简单的记法吗?

知 识

一般地,n个相同的因数a相乘,记作an,

要 读作“a的n次幂(或a的n次方)”,即



a×a×……×a = an

n个
这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方,

乘方的结果叫做幂.



a n 指数 因数的个数

底数 因数 (1次方可省略不写,2次方又叫*方,3次方又叫立方)

填一填

温馨提示:幂的底数 是分数或负数时,底 数应该添上括号!

(1)(-5)2的底数是_-__5__,指数是___2__,(-5)2表示2个

__-__5_相乘,读作_-__5__的2次方,也读作-5的_*____.



(2) (1)6 表示 _6_ 个 1 相乘,读作 1 的 _6_ 次方,也读

2

2

2

作1的
2

6

次幂,其中 1 叫做底数 ,6叫做指数 .
2

二 有理数乘方的运算

典例精析
例1 计算:
(1) (-4)3;

(2) (-2)4;

(3)

? ??

?

2 3

3
? ??

.

你发现负数的 幂的正负有什
么规律?

解:(1) (-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64;

(2) (-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16;

(3)

? ??

?

2 3

3
? ??

=

? ??

?

2 3

? ??

?

? ??

?

2 3

? ??

?

? ??

?

2 3

? ??

=

?

8 27

.

归纳总结
根据有理数的乘法法则可以得出: 负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.
正数的任何正整数次幂都是正数,0的任何正 整数次幂都是0.

练一练
你能迅速的判断下列各幂的正负吗?
165, 254, ( ? 7)9, ( ? 3)6, ( ?1)101, ( ? 1 )50 4
0.012, ( ? 1 )2, 02, a2 (a ? 0), a2 (a ? 0) 8

试一试
口答 (1)13 (3)(-1)8 (5)(-1)7

(2)12018 (4)(-1)2018 (6)(-1)2017

规律
(1)1的任何次幂都为1; (2)-1的幂很有规律:
-1的奇次幂是-1, -1的偶次幂是1.
注意:当底数是负数或分数时,底数一定要加上 括号,这也是辨认底数的方法.

填一填

102 ? _10_0_ 103? _1_0_00_ 104? _1_0_00_0_

? ?10?2 ? _1_0_0 ? ?10?3? __-1_0_00_ ? ?10?4? __10_0_0_0_

105 ? _10_0_00_0_ ? ?10?5 ? _-_10_0_0_00_

观察上述结果,你发现了什么规律?

规律
1.底数为10的幂的特点: 10的几次幂,1的后面就有几个0.
2.有理数乘方运算的符号法则: 正数的任何次幂都是正数; 负数的偶数次幂是正数,奇数次幂是负数.
3.互为相反数的相同偶次幂相等,相同奇次幂互 为相反数.

议一议:(-3)2与-32有什么不同?结果相等吗?

写法

(-3)2 有括号

-32 无括号

读法

-3的*方

3的*方的相反数

意义 结果

2个(-3)相乘 即(-3)×(-3)
9

2个3相乘的积的相反数 即-(3×3)
-9

注意:底数是负数或分数时,必须加上括号.

练一练
计算:
(1)(-1.5)2;(2)(-12)2. 3
解: (1)(-1.5)2=+(1.5×1.5)=2.25.
(2)(-123)2=(-53)2=+(53×53)=295.

三 规律探究
例3 有一张厚度为0.1毫米的纸,将它对折一次后, 厚度为2×0.1毫米,求:
(1)对折2次后,厚度为多少毫米? (2)对折20次后,厚度为多少毫米?
对折次数 1 2 3 4 … 20 纸的层数 21 22 23 24 … 220

解:(1)∵厚度为0.1毫米的纸,将它对折一次后, 厚度为2×0.1毫米, ∴对折2次的厚度是0.1×22毫米. (2)对折20次的厚度是0.1×220=104857.6(毫米).

变式1:按如图方式,将一个边长为1的正方形纸片分

割成6个部分. (1) 1
①的面积 2 .

1
②的面积 4 .

1
③的面积 8 .
1
⑤的面积 25 .

1
④的面积 24 .
1
⑥的面积 25 .

(2)受此启发,你能求出

1 2

?

1 4

?

1 8

?

?

?

1 25

的值吗?

变式2:完成下列填空
(1)一组数列:8,16,32,64,…
则第n个数表示为_2__n_?_2_
(2)一组数列:-4,8,-16,32,-64,…
则第n个数表示为__(_?_1_)_n__?_2__n_?_1 __
(3)一组数列:1,-4,9,-16,25,…
则第n个数表示为_(_-_1_)_n_-1__?_n__2_或__(_-_1_)_n_+_1__?_n__2_

变式3:计算

1 ? 2 ? 22 ?L L ? 29 ? 210 ? 1

结果 幂

跳一次

1 ? 1 ? 21 ?1

跳两次

1? 2 ? 3 ? 22 ?1

跳三次 1 ? 2 ? 22 ? 7 ? 23 ?1

跳四次 1 ? 2 ? 22 ? 23 ?15 ? 24 ?1

当堂练*

1.计算(-3)2的结果为( B )

A.-9

B .9

C .-6

D. 6

变式1 计算-42的结果为( A )

A.-16

B .16

C .-8

D. 8

变式2 -12的相反数为( D )

A.-2

B .2

C .-1

D. 1

2.填空: (1)(-5)3= -125 ; (2)0.13= 0.001 ; (3)(-1)9= -1 ; (4)(-1)12= 1 ;

(5)(-1)2n= 1 ; (6)(-1)2n+1=-1 ;

(7)(-1)n=

?-1(当n为奇数时) . ??1 (当n为偶数时).

3.已知| b-2 |与 (a+1)2 互为相反数,求ab 的值.

解:∵ |b-2| 和 ( a+1)2 都是非负数,

且两者互为相反数,

∴ |b-2| = ( a +1)2= 0

∴ b=2, a= -1,

.

∴ ab=1.

4.计算:0.1252016×82017

解:原式= 01.14254?40.41225?4L4 ?40.41325?81?482?L4 ?38

2016

2017

=(10.41245?48)4?(40.414225?48)4L 4?(40.41245?438)?8
2016

=11?412L 43?1? 8
2016
=8.

两个人打赌谁得到的钱多,甲对乙说:我从明天 开始,每天给你100元,而你第一天只需给我1元钱, 以后你每天给我的钱是前一天的2倍,时间为11天, 乙欣然同意了.
你觉得,最后谁得到的钱多呢?

乘方的意义
{有理数的乘方 乘方的运算 规律探究




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