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2015-2016学年高二数学人教B版选修1-2同步练习第2章2.2第1课时《综合法与分析法》

第二章 2.2 第 1 课时

一、选择题 1.分析法证明问题是从所证命题的结论出发,寻求使这个结论成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分条件又非必要条件 [答案] A [解析] 分析法证明是从所证命题的结论出发,寻求使结论成立的充分条件.

2.要证明 3+ 7<2 5可选择的方法有以下几种,其中最合理的为( )

A.综合法

B.分析法

C.反证法

D.归纳法

[答案] B

[解析] 要证明 3+ 7<2 5最合理的方法是分析法.

3.a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是( )

A.a+b+ 1 ≥2 2 ab

B.(a+b)??1a+1b??≥4

C.a2+b2≥a+b ab

D.a2+abb≥ ab

[答案] D

[解析] ∵a>0,b>0,∴ 2ab ≤ ab. a+b

4.下面的四个不等式:

①a2+b2+c2≥ab+bc+ca;②a(1-a)≤14;③ba+ab≥2;④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2.

其中恒成立的有( )

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

[答案] C

[解析] ∵a2+b2+c2≥ab+bc+ac,

a(1-a)-14=-a2+a-14=-(a-12)2≤0,

(a2+b2)·(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

≥a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2,

只有当ba>0 时,才有ba+ab≥2,∴应选 C.

5.若 a、b∈R,则a13>b13成立的一个充分不必要条件是(

)

A.ab>0

B.b>a

C.a<b<0

D.ab(a-b)<0

[答案] C

[解析] 由 a<b<0?a3<b3<0?a13>b13,

但a13>b13?/ a<b<0.

11 ∴a<b<0 是a3>b3的一个充分不必要条件.

6.若 x、y∈R,且 2x2+y2=6x,则 x2+y2+2x 的最大值为( )

A.14

B.15

C.16

D.17

[答案] B

[解析] 由 y2=6x-2x2≥0 得 0≤x≤3,从而 x2+y2+2x=-(x-4)2+16,∴当 x=3 时,

最大值为 15. 二、填空题 7.已知 a、b 是互不相等的正数,且 a+b=1,则1a+1b与 4 的大小关系是________. [答案] 1a+1b>4 [解析] ∵a、b 是互不相等的正数,a+b=1,

∴1a+1b=a+a b+a+b b=2+ba+ab>4.

8.若平面内有O→P1+O→P2+O→P3=0,且|O→P1|=|O→P2|=|O→P3|,则△P1P2P3 一定是________(形

状)三角形.

[答案] 等边

[解析]

→→→

→→→

由OP1+OP2+OP3=0,且|OP1|=|OP2|=|OP3|,∴△P1P2P3 是等边三角形.

三、解答题

9.用分析法、综合法证明:若 a>0,b>0,a≠b,则a+2 b> ab. [证明] (1)分析法
a+b 为了证明 2 > ab成立,需证明下面不等式成立: a+b>2 ab 由于 a>0,b>0,即要证(a+b)2>4ab 成立. 展开这个不等式左边,即得 a2+2ab+b2>4ab 即证 a2-2ab+b2>0 成立. 即证(a-b)2>0 成立,以上证明过程步步可逆,
a+b ∵a≠b,∴(a-b)2>0 成立.故 2 > ab成立. (2)综合法 由 a>0,b>0,且 a≠b 知 a>0, b>0,且 a≠ b
a+b ∴( a- b)2>0?a+b>2 ab? 2 > ab.

一、选择题

1.设 a 与 b 为正数,并且满足 a+b=1,a2+b2≥k,则 k 的最大值为( )

1

1

A.8

B.4

1 C.2

D.1

[答案] C

[解析] ∵a2+b2≥12(a+b)2=12(当且仅当 a=b 时取等号),∴kmax=12.

2.已知函数 f(x)=??12??x,a、b∈R+,A=f??a+2 b??,B=f( ab),C=f??a2+abb??,则 A、B、C

的大小关系为( )

A.A≤B≤C

B.A≤C≤B

C.B≤C≤A

D.C≤B≤A

[答案] A

[解析]

a+b ∵2≥

ab≥ 2ab ,又函数 a+b

f(x)



(

1 2

)x

在(-∞,+∞)上是单调减函数,∴

f(a+2 b)≤f( ab)≤f(a2+abb).

3.已知 a>0,b>0,1a+3b=1,则 a+2b 的最小值为( )

A.7+2 6

B.2 3

C.7+2 3

D.14

[答案] A

[解析] a+2b=(a+2b)·??1a+3b??=7+3ba+2ab.

又∵a>0,b>0,∴由均值不等式可得:a+2b=7+3ba+2ab≥7+2

3a 2b b ·a =7+2 6.当且仅

3a 2b 1 3 当 b = a 且a+b=1,即

3a2=2b2

13 且a+b=1

时等号成立,故选

A.

4.已知 f(x)=ax+1,0<a<1,若 x1、x2∈R,且 x1≠x2,则( )
A.f?x1?+2 f?x2?≤f??x1+2 x2??

B.f?x1?+2 f?x2?=f??x1+2 x2??

C.f?x1?+2 f?x2?≥f??x1+2 x2??

D.f?x1?+2 f?x2?>f??x1+2 x2??

[答案] D

[解析]

f?x1?+f?x2? ax1+1+ax2+1

∵2=

2

>

ax1+1ax2+1

=ax1+2 x2+1=f???x1+2 x2???,

∴f?x1?+2 f?x2?>f???x1+2 x2???,∴选 D.
二、填空题 5.已知 f(x)=a?22x+x+11?-2是奇函数,那么实数 a 的值等于________. [答案] 1
a?2x+1?-2 [解析] ∵f(x)= 2x+1 (x∈R)是奇函数

a?2-x+1?-2 a?2x+1?-2 则 f(-x)+f(x)= 2-x+1 + 2x+1 =0

∴a=1.

6.已知 p=a+a-1 2(a>2),q=2-a2+4a-2(a>2),则 p 与 q 的大小关系是________.

[答案] p>q

[解析] ∵p=a+ 1 =a-2+ 1 +2≥4(当且仅当 a=3 时取“=”),q=2-a2+4a-2

a-2

a-2

=2-(a-2)2+2<4.∴p>q.

三、解答题 7.设 a、b、c 三个数成等比数列,而 x、y 分别为 a、b 和 b、c 的等差中项,求证ax+cy= 2.

[证明]

已知

a、b、c

成等比数列,即ab=bc.由比例性质有a+a b=b+b c.又由题设

a+b x= 2 ,

y=b+2 c,有ax+cy=a2+ab+b2+cc=b2+bc+b2+cc=2?bb++cc?=2,故等式成立. 8.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,E、F 分别为 AB、CD 的中点.求证:
AF∥平面 PEC.

[证明] ∵四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,∴AB 綊 CD. 又∵E、F 分别为 AB、CD 的中点, ∴CF 綊 AE. ∴四边形 AECF 为平行四边形. ∴AF∥EC. 又 AF?平面 PEC,EC?平面 PEC, ∴AF∥平面 PEC. 9.已知 a、b、c 为△ABC 的三边长,若 a2=b(b+c),求证:A=2B.

b2+c2-a2 b2+c2-?b2+bc? c2-bc c-b

[证明] ∵a2=b(b+c)=b2+bc,∴cos A= 2bc =

2bc

= 2bc = 2b ,cos

a2+c2-b2 b2+bc+c2-b2 b+c

B= 2ac =

2ac

= 2a ,∴cos

2B



2cos2B-1=

2·??b+c?? ? 2a ?

2-1



?b+c?2 2a2 -1=

?b+c?2

b+c c-b

-1= 2b?b+c?

2b

-1=

2b

,∴cos A=cos 2B.又∵A、B 均为三角形的内角,

∴A=2B.



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