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高等数学第六版(同济大学)[上册]课后习题答案解析

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高等数学第六版上册课后习题答案及解析

第一章
习题 1?1 1? 设 A?(??? ?5)?(5? ??)? B?[?10? 3)? 写出 A?B? A?B? A\B 及 A\(A\B)的 表达式? 解 A?B?(??? 3)?(5? ??)?
A?B?[?10? ?5)? A\B?(??? ?10)?(5? ??)? A\(A\B)?[?10? ?5)? 2? 设 A、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A?B)C?AC ?BC ? 证明 因为 x?(A?B)C?x?A?B? x?A 或 x?B? x?AC 或 x?BC ? x?AC ?BC? 所以 (A?B)C?AC ?BC ? 3? 设映射 f ? X ?Y? A?X? B?X ? 证明 (1)f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)f(A?B)?f(A)?f(B)? 证明 因为 y?f(A?B)??x?A?B? 使 f(x)?y
?(因为 x?A 或 x?B) y?f(A)或 y?f(B) ? y?f(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)因为 y?f(A?B)??x?A?B? 使 f(x)?y?(因为 x?A 且 x?B) y?f(A)且 y?f(B)? y? f(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)?
4? 设映射 f ? X?Y? 若存在一个映射 g? Y?X? 使 g ? f ? IX ? f ? g ? IY ? 其中 IX、
IY 分别是 X、Y 上的恒等映射? 即对于每一个 x?X? 有 IX x?x? 对于每一个 y?Y? 有 IY y?y? 证明? f 是双射? 且 g 是 f 的逆映射? g?f ?1?
证明 因为对于任意的 y?Y? 有 x?g(y)?X? 且 f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 即 Y 中

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任意元素都是 X 中某元素的像? 所以 f 为 X 到 Y 的满射? 又因为对于任意的 x1?x2? 必有 f(x1)?f(x2)? 否则若
f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)] ? x1?x2? 因此 f 既是单射? 又是满射? 即 f 是双射? 对于映射 g? Y?X? 因为对每个 y?Y? 有 g(y)?x?X? 且满足 f(x)?f[g(y)]?Iy
y?y? 按逆映射的定义? g 是 f 的逆映射? 5? 设映射 f ? X?Y? A?X ? 证明? (1)f ?1(f(A))?A? (2)当 f 是单射时? 有 f ?1(f(A))?A ? 证明 (1)因为 x?A ? f(x)?y?f(A) ? f ?1(y)?x?f ?1(f(A))?
所以 f ?1(f(A))?A? (2)由(1)知 f ?1(f(A))?A? 另一方面? 对于任意的 x?f ?1(f(A))?存在 y?f(A)? 使 f ?1(y)?x?f(x)?y ?
因为 y?f(A)且 f 是单射? 所以 x?A? 这就证明了 f ?1(f(A))?A? 因此 f ?1(f(A))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域?
(1) y ? 3x ? 2 ?

解 由 3x?2?0 得 x?? 2 ? 函数的定义域为[? 2 , ??) ?

3

3

(2)

y

?

1 1? x2

?

解 由 1?x2?0 得 x??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)?

(3) y ? 1 ? 1? x2 ? x

解 由 x?0 且 1?x2?0 得函数的定义域 D?[?1? 0)?(0? 1]?

(4) y ? 1 ? 4? x2

解 由 4?x2?0 得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5) y ?sin x ?

解 由 x?0 得函数的定义 D?[0? ??)?

(6) y?tan(x?1)?

解 由 x?1?? (k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为 x?k? ?? ?1 (k?0? ?1? ?2?

2

2

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? ? ?)? (7) y?arcsin(x?3)? 解 由|x?3|?1 得函数的定义域 D?[2? 4]? (8) y? 3? x ?arctan1 ? x 解 由 3?x?0 且 x?0 得函数的定义域 D?(??? 0)?(0? 3)? (9) y?ln(x?1)? 解 由 x?1?0 得函数的定义域 D?(?1? ??)?
1
(10) y ?e x ?
解 由 x?0 得函数的定义域 D?(??? 0)?(0? ??)? 7? 下列各题中? 函数 f(x)和 g(x)是否相同?为什么? (1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x?
(2) f(x)?x? g(x)? x2 ?

(3) f (x)?3 x4 ? x3 ? g(x) ? x3 x ?1 ?

(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同? (2)不同? 因为对应法则不同? x?0 时? g(x)??x? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?

8?



?(x)

?

??|sin ?

x|

?0

| x|? ?

|

x|?

3 ?

?

求?(? ) ? 6

?(? ) ? 4

?(?? ) ? 4

?(?2)?

并作出函数

?

3

y??(x)的图形?



?(? )?|sin ? |? 1 ?

6

62

?(? )?|sin ? |?

4

4

2? 2

?(?? )?|sin(?? )|?

4

4

2? 2

?(?2)?0 ?

9? 试证下列函数在指定区间内的单调性?

(1) y? x ? (??? 1)? 1? x
(2)y?x?ln x? (0? ??)? 证明 (1)对于任意的 x1? x2?(??? 1)? 有 1?x1?0? 1?x2?0? 因为当 x1?x2 时?

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y1

?

y2

? x1 1? x1

? x2 1? x2

?

(1?

x1 ? x2 x1)(1?

x2)

?

0

?

所以函数 y? x 在区间(??? 1)内是单调增加的? 1? x
(2)对于任意的 x1? x2?(0? ??)? 当 x1?x2 时? 有

y1 ?

y2

?

(x1

? ln

x1) ? (x2

? ln

x2)

?

(x1

?

x2) ? ln

x1 x2

?

0

?

所以函数 y?x?ln x 在区间(0? ??)内是单调增加的? 10? 设 f(x)为定义在(?l? l)内的奇函数? 若 f(x)在(0? l)内单调增加? 证明
f(x)在(?l? 0)内也单调增加? 证明 对于?x1? x2?(?l? 0)且 x1?x2? 有?x1? ?x2?(0? l)且?x1??x2? 因为 f(x)在(0? l)内单调增加且为奇函数? 所以 f(?x2)?f(?x1)? ?f(x2)??f(x1)? f(x2)?f(x1)?
这就证明了对于?x1? x2?(?l? 0)? 有 f(x1)? f(x2)? 所以 f(x)在(?l? 0)内也单调 增加?
11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l? l)上的? 证明? (1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数? (2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇 函数的乘积是奇函数? 证明 (1)设 F(x)?f(x)?g(x)? 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数? 则
F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)? 所以 F(x)为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数?
如果 f(x)和 g(x)都是奇函数? 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)??f(x)?g(x)??F(x)?
所以 F(x)为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数? (2)设 F(x)?f(x)?g(x)? 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数? 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)?
所以 F(x)为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数? 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数? 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?[?f(x)][?g(x)]?f(x)?g(x)?F(x)?
所以 F(x)为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数? 如果 f(x)是偶函数? 而 g(x)是奇函数? 则

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F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)[?g(x)]??f(x)?g(x)??F(x)?

所以 F(x)为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?

12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函

数?

(1)y?x2(1?x2)?

(2)y?3x2?x3?

(3)

y

?1? 1?

x2 x2

?

(4)y?x(x?1)(x?1)?

(5)y?sin x?cos x?1?

(6) y ? ax ? a?x ? 2

解 (1)因为 f(?x)?(?x)2[1?(?x)2]?x2(1?x2)?f(x)? 所以 f(x)是偶函数?

(2)由 f(?x)?3(?x)2?(?x)3?3x2?x3 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数?

(3)因为

f

(?x)

?1? 1?

(?x)2
?? x?2

?1? 1?

x2 x2

?

f

(x)

?

所以 f(x)是偶函数?

(4)因为 f(?x)?(?x)(?x?1)(?x?1)??x(x?1)(x?1)??f(x)? 所以 f(x)是奇函

数?

(5)由 f(?x)?sin(?x)?cos(?x)?1??sin x?cos x?1 可见 f(x)既非奇函数又

非偶函数?

(6)因为 f (?x)? a(?x) ? a?(?x) ? a?x ? ax ? f (x) ? 所以 f(x)是偶函数?

2

2

13? 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数? 指出其周期?

(1)y?cos(x?2)?

解 是周期函数? 周期为 l?2??

(2)y?cos 4x?

解 是周期函数? 周期为 l ?? ? 2

(3)y?1?sin ?x?

解 是周期函数? 周期为 l?2?

(4)y?xcos x?

解 不是周期函数?

(5)y?sin2x?

解 是周期函数? 周期为 l???

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14? 求下列函数的反函数? (1) y ?3 x ?1 错误!未指定书签。错误!未指定书签。?

解 由 y ?3 x ?1 得 x?y3?1? 所以 y ?3 x ?1 的反函数为 y?x3?1?

(2) y?1? x 错误!未指定书签。? 1? x





y

?1? 1?

x x



x

?1? 1?

y y

?

所以 y?1? x 的反函数为 y?1? x ?

1? x

1? x

(3) y? ax?b (ad?bc?0)? cx ? d

解 由 y? ax?b 得 x? ?dy?b ? 所以 y? ax?b 的反函数为 y ? ?dx?b ?

cx ? d

cy ?a

cx ? d

cx ? a

(4) y?2sin3x?

解 由 y?2sin 3x 得 x? 1 arcsin y ? 所以 y?2sin3x 的反函数为 y?1arcsinx ?

3

2

3

2

(5) y?1?ln(x?2)?

解 由 y?1?ln(x?2)得 x?ey?1?2? 所以 y?1?ln(x?2)的反函数为 y?ex?1?2?

(6)

y

?

2x 2x ?1

?





y

?

2x 2x ?1



x

? log 2

y 1? y

?

所以

y

?

2x 2x ?1

的反函数为

y

?

log

2

x 1? x

?

15? 设函数 f(x)在数集 X 上有定义? 试证? 函数 f(x)在 X 上有界的充分必要

条件是它在 X 上既有上界又有下界?

证明 先证必要性? 设函数 f(x)在 X 上有界? 则存在正数 M? 使|f(x)|?M? 即

?M?f(x)?M? 这就证明了 f(x)在 X 上有下界?M 和上界 M?

再证充分性? 设函数 f(x)在 X 上有下界 K1 和上界 K2? 即 K1?f(x)? K2 ? 取

M?max{|K1|? |K2|}? 则

?M? K1?f(x)? K2?M ?



|f(x)|?M?

这就证明了 f(x)在 X 上有界?

16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于 给定自变量值 x1 和 x2 的函数值?

(1) y?u2?

u?sin x?

x1

?

? 6

?

x2

?? 3

?

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解 y?sin2x?

y1

?sin

2

? 6

?(1)2 ? 1 24

?

y2

?sin

2

? 3

?(

3)2 ? 3 24

?

(2)

y?sin

u?

u?2x?

x1

?

? 8

?

x2

?? 4

?

解 y?sin2x?

y1

?

sin(2?

? 8

)

?

s

in

? 4

?

2 2

?

y2

?sin(2?? 4

) ?sin

? 2

?1?

(3) y ? u ? u?1?x2? x1?1? x2? 2?

解 y ? 1? x2 ? y1? 1?12 ? 2 ? y2 ? 1?22 ? 5 ? (4) y?eu? u?x2? x1 ?0? x2?1?
解 y ? ex2 ? y1 ? e02 ?1? y2 ? e12 ? e ? (5) y?u2 ? u?ex ? x1?1? x2??1? 解 y?e2x? y1?e2?1?e2? y2?e2?(?1)?e?2?

17? 设 f(x)的定义域 D?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f(x2)? 解 由 0?x2?1 得|x|?1? 所以函数 f(x2)的定义域为[?1? 1]? (2) f(sinx)? 解 由 0?sin x?1 得 2n??x?(2n?1)? (n?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数 f(sin x) 的定义域为
[2n?? (2n?1)?] (n?0? ?1? ?2? ? ?) ? (3) f(x?a)(a>0)? 解 由 0?x?a?1 得?a?x?1?a? 所以函数 f(x?a)的定义域为[?a? 1?a]? (4) f(x?a)?f(x?a)(a?0)?

解 由 0?x?a?1 且 0?x?a?1 得? 当 0?a? 1 时? a?x?1?a? 当 a ? 1 时? 无解? 因

2

2

此当 0?a? 1 时函数的定义域为[a? 1?a]? 当 a ? 1 时函数无意义?

2

2

18?



f

(x)

?

?? ?

1 0

???1

| x|?1 | x|?1? g(x)?ex 错误!未指定书签。? 求 f[g(x)]和 g[f(x)]?
| x|?1

并作出这两个函数的图形?

?1



f

[g(x)]?

? ?

0

???1

|ex |?1 |ex |?1?



f

[g(x)]?

?? ?

1 0

|ex |?1

???1

x?0 x?0 ? x?0

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? e1

g[

f

(x)]?

e

f

(x)

?

? ?

e0

??e?1

| x|?1 | x|?1 ?



g[

f

(x)]

?

?? ?

e 1

| x|?1

??e?1

| x|?1 | x|?1 ? | x|?1

19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角 ??40?(图 1?37)? 当过水断面 ABCD 的面积为定值 S0 时? 求湿周 L(L?AB?BC?CD)与水深 h 之间的函数关系式? 并指明其 定义域? 图 1?37



AB

?

DC

?

h sin 40?

?

又从

1 2

h[BC

?(BC?

2cot40?

?h)]?

S0



BC? S0 ?cot40? ?h ? 所以 h

L

?

S0 h

?

2

? c os40? sin 40?

h

?

自变量 h 的取值范围应由不等式组
h?0? S0 ?cot40? ?h?0 h
确定? 定义域为 0?h? S0 cot40? ?
20? 收敛音机每台售价为 90 元? 成本为 60 元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购量超过 100 台以上的? 每多订购 1 台? 售价就降低 1 分? 但最低价为 每台 75 元?
(1)将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数? (2)将厂方所获的利润 P 表示成订购量 x 的函数? (3)某一商行订购了 1000 台? 厂方可获利润多少? 解 (1)当 0?x?100 时? p?90? 令 0?01(x0?100)?90?75? 得 x0?1600? 因此当 x?1600 时? p?75? 当 100?x?1600 时?
p?90?(x?100)?0?01?91?0? 01x? 综合上述结果得到

p ????91?900.01x

0? x?100 100? x?1600?

?? 75

x ?1600

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? 30x

0? x?100

(2) P ?( p ?60)x???31x?0.01x2 100 ? x?1600 ?

?? 15x

x ?1600

(3) P?31?1000?0?01?10002?21000(元)?

习题 1?2 1? 观察一般项 xn 如下的数列{xn}的变化趋势? 写出它们的极限?

(1)

xn

?

1 2n

?

解 当 n??时?

xn

?

1 2n

?0?

lim
n??

1 2n

?

0

?

(2)

xn

?

(?1)n

1 n

?

解 当 n??时?

xn

?

(?1)n

1 n

?0?

lim (?1)n 1 ?0 ?

n??

n

(3)

xn

?

2?

1 n2

?

解 当 n??时?

xn

?

2?

1 n2

?2?

lim (2?
n??

1 n2

)?2

?

(4)

xn

?

n n

?1 ?1

?

解 当 n??时?

xn

?

n?1 n?1

?1?

2 n?1

?0?

lim n?1?1 ? n?? n?1

(5) xn?n(?1)n?

解 当 n??时? xn?n(?1)n 没有极限?

2?

设数列{xn}的一般项

xn

?

c

os n2? n

?



lim
n??

xn

??

求出 N?

使当 n?N 时?

xn 与其

极限之差的绝对值小于正数 ? ? 当? ?0?001 时? 求出数 N?



lim
n??

xn

?

0

?

|

xn

?

0|?

|c

os n2? n

|

?

1 n

?

??

?0?

要使|x n?0|??

?

只要 1 ? ? ? n

也就是

n

?

1 ?

?



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N ?[?1]? 则?n?N? 有|xn?0|?? ?

当 ? ?0?001 时? N ?[?1]?1000? 3? 根据数列极限的定义证明?

(1)

lim
n??

1 n2

?

0

?

分析

要使

|

1 n2

?0|?

1 n2

??

?

只须 n2 ? 1 ? ?

即n?

1 ?

?

证明

因为???0?

? N ?[

1 ]? ?

当 n?N 时?



|

1 n2

?0|??

?

所以

lim
n??

1 n2

?0

?

(2) lim 3n?1? 3 ? n?? 2n?1 2

分析

要使

|

3n ?1 2n ?1

?

3 2

|?

1 2(2n ?1)

?

1 4n

??

?

只须 1 ?? 4n

?



n

?

1 4?

?

证明

因为???0?

? N ?[41? ] ?

当 n?N 时?

有| 3n?1? 3|?? ? 2n?1 2

所以 lim 3n?1? 3 ? n?? 2n?1 2

(3) lim n2 ? a2 ?1? n?? n

分析 要使|

n2 ?a2 ?1|? n

n2 ?a2 ?n ?

n

n(

a2

? a2 ?? ?

n2 ?a2 ?n) n

只须

n

?

a2 ?

?

证明 因为???0? ? N ?[a?2 ] ? 当?n?N 时? 有|

n2 ? a2 ?1|?? ? 所以 n

lim n2 ? a2 ?1? n?? n

(4) nli?m?0?.? 99? n9个????? 9?1?

分析

要使|0?99

?

?

?

9?1|

?

1 10n?1

??

?

只须

1 10n?1

??

?



n?1?lg

1 ?

?

证明 因为???0? ? N ?[1?lg ?1]? 当?n?N 时? 有|0?99 ? ? ? 9?1|?? ? 所以

nli?m?0?.? 99? n9个????? 9?1?

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4? nli?m?un ?a ? 证明 nli?m?|un|?|a| ? 并举例说明? 如果数列{|xn|}有极限? 但数列 {xn}未必有极限?
证明 因为 nli?m?un ?a ? 所以???0? ?N?N? 当 n?N 时? 有 |un ?a|?? ? 从而 ||un|?|a||?|un?a|?? ?
这就证明了 nli?m?|un |?|a| ?

数列{|xn|}有极限? 但数列{xn}未必有极限? 例如 lim |(?1)n |?1? 但 lim (?1)n 不

n??

n??

存在?

5?

设数列{xn}有界?



lim
n??

yn

?0

?

证明?

lim
n??

xn

yn

?

0

?

证明 因为数列{xn}有界? 所以存在 M? 使?n?Z? 有|xn|?M?



lim
n??

yn

?0

?

所以???0?

?N?N?

当 n?N 时?



|

yn

|?

? M

?

从而当 n?N 时?



| xn

yn

?0|?| xn

yn |? M

|

yn

|?M

?

? M

??

?

所以

lim
n??

xn

yn

?

0

?

6? 对于数列{xn}? 若 x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)? 证明? xn?a(n??)?
证明 因为 x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)? 所以???0? ?K1? 当 2k?1?2K1?1 时? 有| x2k?1?a|?? ? ?K2? 当 2k?2K2 时? 有|x2k?a|?? ? 取 N?max{2K1?1? 2K2}? 只要 n?N? 就有|xn?a|?? ? 因此 xn?a (n??)?

习题 1?3 1? 根据函数极限的定义证明?
(1) lim(3x?1)?8 ?
x?3
分析 因为 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|?
所以要使|(3x?1)?8|?? ? 只须|x?3|?1? ? 3

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证明 因为???0? ?? ?1? ? 当 0?|x?3|?? 时? 有 3
|(3x?1)?8|?? ?
所以 lim(3x?1)?8 ?
x?3

(2) lim(5x?2)?12 ?
x?2

分析 因为 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|?
所以要使|(5x?2)?12|?? ? 只须|x?2|? 1? ? 5

证明 因为?? ?0? ? ? ? 1? ? 当 0?|x?2|?? 时? 有
5
|(5x?2)?12|?? ?

所以 lim(5x?2)?12 ?
x?2

(3) lim x2 ?4 ??4 ? x??2 x ? 2
分析 因为

x2 ?4 ?(?4) ? x2 ?4x?4 ?| x?2|?| x?(?2)| ?

x?2

x?2

所以要使 x2 ?4 ?(?4) ?? ? 只须|x?(?2)|?? ? x?2
证明 因为?? ?0? ? ? ?? ? 当 0?|x?(?2)|?? 时? 有

x2 ?4 ?(?4) ?? ? x?2

所以 lim x2 ?4 ??4 ? x??2 x ? 2

(4) lim 1?4x3 ?2 ?

x??

1 2

2x ?1

分析 因为

1?4x3 ?2 ?|1?2x?2|?2|x?(? 1)| ?

2x ?1

2

所以要使 1?4x3 ?2 ?? ? 只须|x?(? 1)|? 1 ? ?

2x ?1

22

证明 因为?? ?0? ?? ? 1 ? ? 当 0?|x?(? 1)|?? 时? 有

2

2

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1?4x3 ?2 ?? ? 2x ?1

所以 lim 1?4x3 ?2 ? x?? 1 2x?1
2

2? 根据函数极限的定义证明?

(1)

lim
x??

1? x3 2x3

?

1 2

?

分析 因为

1? x3 2x3

?

1 2

?

1? x3 ? x3 2x3

?

1 2| x|3

?

所以要使

1? x3 2x3

?

1 2

?? ?

只须

1 2| x|3

??

?

即|x|? 3

1 2?

?

证明

因为??

?0?

?

X

?

3

1 2?

?

当|x|?X 时?



1? x3 2x3

?

1 2

?? ?

所以

lim
x??

1? x3 2x3

?

1 2

?

(2) lim sin x ?0 ? x??? x
分析 因为

sin x ?0 ?|sin x| ? 1 ?

x

xx

所以要使

sin x ?0 x

?? ?

只须

1 ?? ? x



x

?

1 ?2

?

证明

因为???0?

?

X

?

1 ?2

?

当 x?X 时?



sin x ?0 ?? ? x

所以 lim sin x ?0 ? x??? x 3? 当 x?2 时? y?x2?4? 问 ? 等于多少? 使当|x?2|<? 时? |y?4|<0?001? 解 由于当 x?2 时? |x?2|?0? 故可设|x?2|?1? 即 1?x?3? 要使 |x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0?001?

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只要|x?2|? 0.001?0.0002? 5
取 ??0?0002? 则当 0?|x?2|?? 时? 就有|x2?4|?0? 001?

4? 当 x??时?

y

?

x2 x2

?1 ?3

?1

?

问 X 等于多少?

使当|x|?X 时?

|y?1|?0?01?

解 要使

x2 x2

?1 ?3

?1

?

4 x2 ?3

?

0.01?

只要 | x|?

4 ?3? 0.01

397 ? 故 X ?

397 ?

5? 证明函数 f(x)?|x|当 x?0 时极限为零? 证明 因为
|f(x)?0|?||x|?0|?|x|?|x?0|? 所以要使|f(x)?0|??? 只须|x|???
因为对???0? ????? 使当 0?|x?0|??? 时有 |f(x)?0|?||x|?0|???

所以 lim | x|?0 ?
x?0

6? 求 f (x)? x , ?(x)?|x| 当 x?0 时的左﹑右极限? 并说明它们在 x?0 时的极

x

x

限是否存在?

证明 因为

lim f (x)? lim x ? lim 1?1?

x?0?

x?0? x x?0?

lim f (x)? lim x ? lim 1?1?

x?0?

x?0? x x?0?

lim f (x)? lim f (x) ?

x?0?

x?0?

所以极限 lim f (x) 存在?
x?0
因为

lim ?(x)? lim |x| ? lim ? x ??1?

x?0?

x?0? x x?0? x

lim ?(x)? lim |x| ? lim x ?1?

x?0?

x?0? x x?0? x

lim ?(x)? lim ?(x) ?

x?0?

x?0?

所以极限 lim ?(x) 不存在? x?0 7? 证明? 若 x???及 x???时? 函数 f(x)的极限都存在且都等于 A? 则

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lim f (x)? A ?
x??

证明 因为 lim f (x)? A ? lim f (x)? A ? 所以??>0?

x???

x???

?X1?0? 使当 x??X1 时? 有|f(x)?A|?? ? ?X2?0? 使当 x?X2 时? 有|f(x)?A|?? ?

取 X?max{X1? X2}? 则当|x|?X 时? 有|f(x)?A|?? ? 即 lim f (x)? A ? x??

8? 根据极限的定义证明? 函数 f(x)当 x?x0 时极限存在的充分必要条件是左 极限、右极限各自存在并且相等?
证明 先证明必要性? 设 f(x)?A(x?x0)? 则??>0? ???0? 使当 0<|x?x0|<? 时? 有
|f(x)?A|<? ? 因此当 x0??<x<x0 和 x0<x<x0?? 时都有 |f(x)?A|<? ? 这说明 f(x)当 x?x0 时左右极限都存在并且都等于 A ?
再证明充分性? 设 f(x0?0)?f(x0?0)?A? 则??>0? ??1>0? 使当 x0??1<x<x0 时? 有| f(x)?A<? ? ??2>0? 使当 x0<x<x0+?2 时? 有| f(x)?A|<? ?
取 ??min{?1? ?2}? 则当 0<|x?x0|<? 时? 有 x0??1<x<x0 及 x0<x<x0+?2 ? 从而有 | f(x)?A|<? ? 即 f(x)?A(x?x0)?
9? 试给出 x??时函数极限的局部有界性的定理? 并加以证明? 解 x??时函数极限的局部有界性的定理? 如果 f(x)当 x??时的极限存在? 则存在 X?0 及 M?0? 使当|x|?X 时? |f(x)|?M? 证明 设 f(x)?A(x??)? 则对于? ?1? ?X?0? 当|x|?X 时? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以
|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|? 这就是说存在 X?0 及 M?0? 使当|x|?X 时? |f(x)|?M? 其中 M?1?|A|?

习题 1?4 1? 两个无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明之? 解 不一定?

例如?

当 x?0 时?

?(x)?2x?

?(x)?3x 都是无穷小?



lim
x?0

?(x) ? (x)

?

2 3

?

?(x) 不是 ? (x)

无穷小? 2? 根据定义证明?
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(1) y ? x2 ?9 当 x?3 时为无穷小; x?3
(2) y? xsin 1 当 x?0 时为无穷小? x
证明 (1)当 x?3 时| y|? x2 ?9 ?| x?3| ? 因为???0? ???? ? 当 0?|x?3|?? 时? 有 x?3 | y|? x2 ?9 ?|x?3|?? ?? ? x?3
所以当 x?3 时 y ? x2 ?9 为无穷小? x?3
(2)当 x?0 时| y|?|x||sin 1|?|x?0| ? 因为???0? ???? ? 当 0?|x?0|?? 时? 有 x | y|?|x||sin 1 |?|x?0|?? ?? ? x
所以当 x?0 时 y? xsin 1 为无穷小? x

3? 根据定义证明? 函数 y ?1?2x 为当 x?0 时的无穷大? 问 x 应满足什么条件? x

能使|y|?104?

证明 分析| y|? 1?2x ? 2? 1 ? 1 ?2 ? 要使|y|?M? 只须 1 ?2? M ? 即

x

x |x|

|x|

|x|? 1 ? M ?2

证明 因为?M?0? ?? ? 1 ? 使当 0?|x?0|?? 时? 有 1?2x ? M ?

M ?2

x

所以当 x?0 时? 函数 y ?1?2x 是无穷大? x

取 M?104?



?

?

1 104 ?

2

?

当 0?|x?0|?1041?2 时?

|y|?104?

4? 求下列极限并说明理由?

(1) lim 2x?1 ; x?? x

(2) lim 1? x2 ? x?0 1? x

解 (1)因为 2x?1?2? 1 ? 而当 x?? 时 1 是无穷小? 所以 lim 2x?1 ? 2 ?

x

x

x

x?? x

(2)因为 1? x2 ?1? x (x?1)? 而当 x?0 时 x 为无穷小? 所以 lim 1? x2 ?1?

1? x

x?0 1? x

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5? 根据函数极限或无穷大定义? 填写下表?

f(x)?A

f(x)??

f(x)?? f(x)??

?

?

x?x0

???0? ???0? 使 当 0?|x?x0|?? 时? 有恒

x?x0? x?x0?

|f(x)?A|???

x??

???0? ?X?0? 使当|x|?X 时? 有恒|f(x)|?M?

x??

? x??

?


x?x0
x?x0?
x?x0?
x?? x??
? x??

f(x)?A
???0? ???0? 使 当 0?|x?x0|??时? 有恒 |f(x)?A|???
???0? ???0? 使 当 0?x?x0??时? 有恒 |f(x)?A|??? ???0? ???0? 使 当 0?x0?x??时? 有恒 |f(x)?A|??? ???0? ?X?0? 使 当|x|?X 时? 有 恒|f(x)?A|??? ???0? ?X?0? 使 当 x?X 时? 有恒 |f(x)?A|??? ???0? ?X?0? 使

f(x)?? ?M?0? ???0? 使 当 0?|x?x0|??时 ? 有恒|f(x)|?M?
?M?0? ???0? 使 当 0?x?x0??时? 有恒|f(x)|?M?
?M?0? ???0? 使 当 0?x0?x??时? 有恒|f(x)|?M?
???0? ?X?0? 使 当|x|?X 时? 有 恒|f(x)|?M? ???0? ?X?0? 使 当 x?X 时? 有恒 |f(x)|?M? ???0? ?X?0? 使

f(x)??? ?M?0? ???0? 使 当 0?|x?x0|??时 ? 有恒 f(x)?M?
?M?0? ???0? 使 当 0?x?x0??时? 有恒 f(x)?M?
?M?0? ???0? 使 当 0?x0?x??时? 有恒 f(x)?M?
???0? ?X?0? 使 当|x|?X 时? 有 恒 f(x)?M? ???0? ?X?0? 使 当 x?X 时? 有恒 f(x)?M? ???0? ?X?0? 使

f(x)??? ?M?0? ???0? 使 当 0?|x?x0|??时? 有恒 f(x)??M?
?M?0? ???0? 使 当 0?x?x0??时? 有恒 f(x)??M?
?M?0? ???0? 使 当 0?x0?x??时? 有恒 f(x)??M?
???0? ?X?0? 使 当|x|?X 时? 有 恒 f(x)??M? ???0? ?X?0? 使 当 x?X 时? 有恒 f(x)??M? ???0? ?X?0? 使

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? 当 x??X 时? 有恒 当 x??X 时? 有恒 当 x??X 时? 有恒 当 x??X 时? 有恒

|f(x)?A|???

|f(x)|?M?

f(x)?M?

f(x)??M?

6? 函数 y?xcos x 在(??? ??)内是否有界?这个函数是否为当 x??? 时的无 穷大?为什么?
解 函数 y?xcos x 在(??? ??)内无界? 这是因为?M?0? 在(??? ??)内总能找到这样的 x? 使得|y(x)|?M? 例如
y(2k?)?2k? cos2k??2k? (k?0? 1? 2? ? ? ?)? 当 k 充分大时? 就有| y(2k?)|?M?
当 x??? 时? 函数 y?xcos x 不是无穷大? 这是因为?M?0? 找不到这样一个时刻 N? 使对一切大于 N 的 x? 都有|y(x)|?M? 例如

y(2k? ?? )?(2k? ?? )cos(2k? ?? )?0(k?0? 1? 2? ? ? ?)?

2

2

2

对任何大的 N? 当 k 充分大时? 总有 x?2k? ?? ? N ? 但|y(x)|?0?M? 2

7? 证明? 函数 y ? 1 sin 1 在区间(0? 1]上无界? 但这函数不是当 x?0+时的无穷 xx
大?

证明 函数 y ? 1 sin 1 在区间(0? 1]上无界? 这是因为 xx
?M?0? 在(0? 1]中总可以找到点 xk? 使 y(xk)?M? 例如当

xk

?

1 2k? ?

?

(k?0?

1?

2?

?

?

?)

2

时? 有

当 k 充分大时? y(xk)?M?

y(xk ) ? 2k?

?

? 2

?

当 x?0+ 时? 函数 y ? 1 sin 1 不是无穷大? 这是因为 xx
?M?0? 对所有的 ??0? 总可以找到这样的点 xk? 使 0?xk??? 但 y(xk)?M? 例如可 取

xk

?

1 2k?

(k?0?

1?

2?

?

?

?)?

当 k 充分大时? xk??? 但 y(xk)?2k?sin2k??0?M?

习题 1?5 1? 计算下列极限?
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(1) lim x2 ?5 ? x?2 x?3
解 lim x2 ?5 ? 22 ?5 ??9 ? x?2 x?3 2?3

(2)

lim
x? 3

x2 x2

?3 ?1

?



lim
x? 3

x2 x2

?3 ?1

?

( (

3)2 ?3 ?0 ? 3)2 ?1

(3)

lim
x?1

x2 ?2x ?1 x2 ?1

?



lim
x?1

x2 ?2x ?1 x2 ?1

?

lim
x?1

(x ?1)2 (x ?1)(x ?1)

?

lim
x?1

x x

?1 ?1

?

0 2

?

0

?

(4)

lim
x?0

4x3 ?2x2 ? 3x2 ? 2x

x

?



lim
x?0

4x3 ?2x2 ? 3x2 ?2x

x

?

lim
x?0

4x2 ?2x?1 3x ? 2

?

1 2

?

(5) lim (x?h)2 ? x2 ?

h?0

h

解 lim (x?h)2 ? x2 ? lim x2 ?2hx?h2 ? x2 ? lim (2x?h)?2x ?

h?0

h

h?0

h

h?0

(6)

lim (2
x??

?

1 x

?

1 x2

)

?



lim (2?
x??

1 x

?

1 x2

)

?

2?

lim
x??

1 x

?

lim
x??

1 x2

?

2

?

(7)

lim
x??

x2 ?1 2x2 ? x?1

?



lim
x??

x2 ?1 2x2 ? x ?1

?

lim
x??

1? 2? 1
x

1

x2

?

1 x2

?

1 2

?

(8)

lim
x??

x4

x2 ? x ?3x2 ?1

?



lim
x??

x4

x2 ? x ?3x2 ?1

?

0

(分子次数低于分母次数?

极限为零)?

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lim
x??

x4

x2 ? ?3x

x 2 ?1

?

lim
x??

1 x2

?

1 x3

1?

2 x2

?

1 x4

?0?

(9)

lim
x?4

x2 x2

?6x?8 ?5x ? 4

?



lim
x?4

x2 x2

? 6x ? ? 5x ?

8 4

?

lim
x?4

(x ? 2)(x ? 4) (x ?1)(x ? 4)

?

lim
x?4

x?2 x ?1

?

4?2 4?1

?

2 3

?

(10)

lim (1?
x??

1 x

)(2?

1 x2

)

?



lim (1?
x??

1)(2 x

?

1 x2

)

?

lim (1?
x??

1)? x

lim (2
x??

?

1 x2

)

?1?2

?

2

?

(11)

lim (1?
n??

1 2

?

1 4

?

?

?

?

?

1 2n

)

?



lim (1?
n??

1 2

?

1 4

?

?

?

?

?

1 2n

)

?

lim
n??

1? ( 1 )n?1 2
1? 1

?

2

?

2

(12)

lim
n??

1?

2

?

3? ?? n2

?

?

(n

?1)

?

(n ?1)n



lim
n??

1?

2

?

3

??? n2

?

?

(n

?1)

?

lim
n??

2 n2

? 1 lim n?1? 1 ? 2 n?? n 2

(13)

lim
n??

(n

?1)(n ? 2)(n ? 3) 5n3

?



lim
n ??

(n

?1)(n ? 2)(n 5n3

?

3)

?

1 5

(分子与分母的次数相同? 极限为

最高次项系数之比)?



lim
n??

(n ?1)(n ? 2)(n ? 3) 5n3

?

1 5

lim (1?
n??

1)(1? n

2)(1? n

3)? n

1 5

?

(14)

lim( 1 x?1 1? x

?1?3x3

)

?



lim( 1 x?1 1?

x

?1?3x3

)

?

lim
x?1

1? x? x2 (1? x)(1? x

?3 ? x2)

?

?lim
x?1

(1? x)(x?2) (1? x)(1? x? x2)

? ?lxi?m11?xx??2x2 ? ?1? 2? 计算下列极限?
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(1)

lim
x?2

x3 ? 2x2 (x ? 2)2

?



因为

lim
x?2

(x ? 2)2 x3 ? 2x2

?

0 16

?0

?

所以

lim
x?2

x3 ? (x?

2x2 2)2

?

?

?

(2) lim x2 ? x?? 2x?1
解 lim x2 ?? (因为分子次数高于分母次数)? x?? 2x ?1
(3) lim (2x3 ? x ?1) ?
x??

解 lim (2x3 ? x?1)?? (因为分子次数高于分母次数)?
x??

3? 计算下列极限?

(1) lim x2 sin 1 ?

x?0

x

解 lim x2 sin 1 ?0 (当 x?0 时? x2 是无穷小? 而 sin 1 是有界变量)?

x?0

x

x

(2) lim arctanx ? x?? x

解 lim arctanx ? lim 1 ?arctanx?0 (当 x??时? 1 是无穷小?

x?? x

x?? x

x

而 arctan x 是有界变量)?

4? 证明本节定理 3 中的(2)?

习题 1?5 1? 计算下列极限? (1) lim x2 ?5 ? x?2 x?3 解 lim x2 ?5 ? 22 ?5 ??9 ? x?2 x?3 2?3

(2)

lim
x? 3

x2 x2

?3 ?1

?

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lim
x? 3

x2 x2

?3 ?1

?

( (

3)2 ?3 ?0 ? 3)2 ?1

(3)

lim
x?1

x2 ?2x ?1 x2 ?1

?



lim
x?1

x2 ?2x ?1 x2 ?1

?

lim
x?1

(x ?1)2 (x ?1)(x ?1)

?

lim
x?1

x x

?1 ?1

?

0 2

?

0

?

(4)

lim
x?0

4x3 ?2x2 ? 3x2 ? 2x

x

?



lim
x?0

4x3 ?2x2 ? 3x2 ?2x

x

?

lim
x?0

4x2 ?2x?1 3x ? 2

?

1 2

?

(5) lim (x?h)2 ? x2 ?

h?0

h

解 lim (x?h)2 ? x2 ? lim x2 ?2hx?h2 ? x2 ? lim (2x?h)?2x ?

h?0

h

h?0

h

h?0

(6)

lim (2
x??

?

1 x

?

1 x2

)

?



lim (2?
x??

1 x

?

1 x2

)

?

2?

lim
x??

1 x

?

lim
x??

1 x2

?

2

?

(7)

lim
x??

x2 ?1 2x2 ? x?1

?



lim
x??

x2 ?1 2x2 ? x ?1

?

lim
x??

1? 2? 1
x

1

x2

?

1 x2

?

1 2

?

(8)

lim
x??

x4

x2 ? x ?3x2 ?1

?



lim
x??

x4

x2 ? x ?3x2 ?1

?

0

(分子次数低于分母次数?

极限为零)?



lim
x??

x4

x2 ? ?3x

x 2 ?1

?

lim
x??

1 x2

?

1 x3

1?

2 x2

?

1 x4

?0?

(9)

lim
x?4

x2 x2

?6x?8 ?5x ? 4

?

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lim
x?4

x2 x2

? 6x ? ? 5x ?

8 4

?

lim
x?4

(x ? 2)(x ? 4) (x ?1)(x ? 4)

?

lim
x?4

x?2 x ?1

?

4?2 4?1

?

2 3

?

(10)

lim (1?
x??

1 x

)(2?

1 x2

)

?



lim (1?
x??

1)(2 x

?

1 x2

)

?

lim (1?
x??

1)? x

lim (2
x??

?

1 x2

)

?1?2

?

2

?

(11)

lim (1?
n??

1 2

?

1 4

?

?

?

?

?

1 2n

)

?



lim (1?
n??

1 2

?

1 4

?

?

?

?

?

1 2n

)

?

lim
n??

1? ( 1 )n?1 2
1? 1

?

2

?

2

(12)

lim
n??

1?

2

?

3? ?? n2

?

?

(n

?1)

?

(n ?1)n



lim
n??

1?

2

?

3

??? n2

?

?

(n

?1)

?

lim
n??

2 n2

? 1 lim n?1? 1 ? 2 n?? n 2

(13)

lim
n??

(n

?1)(n ? 2)(n ? 3) 5n3

?



lim
n ??

(n

?1)(n ? 2)(n 5n3

?

3)

?

1 5

(分子与分母的次数相同? 极限为

最高次项系数之比)?



lim
n??

(n ?1)(n ? 2)(n ? 3) 5n3

?

1 5

lim (1?
n??

1)(1? n

2)(1? n

3)? n

1 5

?

(14)

lim( 1 x?1 1? x

?1?3x3

)

?



lim( 1 x?1 1?

x

?1?3x3

)

?

lim
x?1

1? x? x2 (1? x)(1? x

?3 ? x2)

?

?lim
x?1

(1? x)(x?2) (1? x)(1? x? x2)

? ?lxi?m11?xx??2x2 ? ?1? 2? 计算下列极限?

(1)

lim
x?2

x3 ? 2x2 (x ? 2)2

?



因为

lim
x?2

(x ? 2)2 x3 ? 2x2

?

0 16

?0

?

所以

lim
x?2

x3 ? (x?

2x2 2)2

?

?

?

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(2) lim x2 ? x?? 2x?1
解 lim x2 ?? (因为分子次数高于分母次数)? x?? 2x ?1
(3) lim (2x3 ? x ?1) ?
x??

解 lim (2x3 ? x?1)?? (因为分子次数高于分母次数)?
x??

3? 计算下列极限?

(1) lim x2 sin 1 ?

x?0

x

解 lim x2 sin 1 ?0 (当 x?0 时? x2 是无穷小? 而 sin 1 是有界变量)?

x?0

x

x

(2) lim arctanx ? x?? x

解 lim arctanx ? lim 1 ?arctanx?0 (当 x??时? 1 是无穷小?

x?? x

x?? x

x

而 arctan x 是有界变量)?

4? 证明本节定理 3 中的(2)?

习题 1?7 1? 当 x?0 时? 2x?x2 与 x2?x3 相比? 哪一个是高阶无穷小?



因为

lim
x?0

x2 2x

? ?

x3 x2

?

lim
x?0

x? x2 2?x

?

0

?

所以当 x?0 时? x2?x3 是高阶无穷小? 即 x2?x3?o(2x?x2)?

2? 当 x?1 时? 无穷小 1?x 和(1)1?x3? (2) 1 (1? x2) 是否同阶?是否等价? 2

解 (1)因为 lim 1? x3 ?lim (1? x)(1? x? x2) ?lim(1? x? x2)?3 ?

x?1 1? x x?1

1? x

x?1

所以当 x?1 时? 1?x 和 1?x3 是同阶的无穷小? 但不是等价无穷小?

(2)因为 lim

1 2

(1?

x2

)

?

1

lim

(1?

x)

?1

?

x?1 1? x 2 x?1

所以当 x?1 时? 1?x 和 1 (1? x2) 是同阶的无穷小? 而且是等价无穷小? 2

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3? 证明? 当 x?0 时? 有? (1) arctan x~x?
(2) secx?1~ x2 ? 2

证明 (1)因为 lim arctanx ? lim y ?1(提示? 令 y?arctan x? 则当 x?0 时?

x?0 x

y?0 tan y

y?0)? 所以当 x?0 时? arctanx~x?

(2)因为

lim
x?0

sec 1

x ?1 x2

?

2

lxi?m01x?2 cc

osx osx

?

lim
x?0

2sin2 x2

x 2

?

2sin

lim (
x?0

x

x 2

)2

?1?

2

2

2

所以当 x?0 时? secx?1~ x2 ? 2
4? 利用等价无穷小的性质? 求下列极限?
(1) lim tan3x ? x?0 2x

(2)

lim
x?0

sin(xn) (sin x)m

(n?

m 为正整数)?

(3)

lim
x?0

tan x?sin sin3 x

x

?

(4) lim

sin x?tan x

?

x?0 (3 1? x2 ?1)( 1?sin x ?1)

解 (1) lim tan3x ?lim 3x ? 3 ? x?0 2x x?0 2x 2

(2)

lim
x ?0

sin(xn) (sin x)m

?

lim
x?0

xn xm

?

???01 ???

n?m n?m ? n?m

(3)

lim
x?0

tan x?sin sin3 x

x

?

lim
x?0

sin

x( 1 cos x
sin3 x

?1)

?

lim
x?0

1?cos x cos xsin2

x

?

lim
x?0

1 x2 2 x2 cos

x

?

1 2

?

(4)因为

sin x?tan x?tan x(cosx?1)??2tan xsin2 x ~?2x?(x)2 ?? 1 x3 (x?0)?

2

22

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所以

3 1? x2 ?1?

x2

~ 1 x2 (x?0)?

3 (1? x2)2 ?3 1? x2 ?1 3

1?sin x ?1? sin x ~sin x~ x (x?0)? 1?sin x ?1

lim
x?0

(3

1?

sin x? x2 ?1)(

tan x 1?sin

x

?1)

?

lim
x?0

? 1

1 x3 2 x2 ? x

?

?3

?

3

5? 证明无穷小的等价关系具有下列性质?

(1) ? ~? (自反性)?

(2) 若 ? ~?? 则 ?~?(对称性)?

(3)若 ? ~?? ?~?? 则 ?~?(传递性)?

证明

(1)

lim

? ?

?1?

所以 ?

~?

?

(2)

若?

~??



lim

? ?

?1 ?

从而

lim

? ?

?1 ?

因此 ?~?

?

(3)

若?

~??

?~??

lim

? ?

?

lim

? ?

?lim

? ?

?1 ?

因此 ?~??

习题 1?8 1? 研究下列函数的连续性? 并画出函数的图形?

(1)

f

(x)

?

?x2 ??2 ?

x

0? x?1 1? x?2

?

解 已知多项式函数是连续函数? 所以函数 f(x)在[0? 1)和(1? 2]内是连续的?

在 x?1 处? 因为 f(1)?1? 并且

lim f (x)? lim x2 ?1? lim f (x)? lim (2? x)?1?

x?1?

x?1?

x?1?

x?1?

所以 lim f (x)?1 ? 从而函数 f(x)在 x?1 处是连续的? x?1

综上所述,函数 f(x)在[0? 2]上是连续函数?

(2)

f

(x) ?

?x ??1

?1? x?1 | x|?1

?

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解 只需考察函数在 x??1 和 x?1 处的连续性? 在 x??1 处? 因为 f(?1)??1? 并且

lim f (x)? lim 1?1? f (?1) ?

x??1?

x??1?

lim f (x)? lim x??1? f (?1) ?

x??1?

x??1?

所以函数在 x??1 处间断? 但右连续? 在 x?1 处? 因为 f(1)?1? 并且

lim f (x)? lim x?1 ?f(1)? lim f (x)? lim 1?1?f(1)?

x?1?

x?1?

x?1?

x?1?

所以函数在 x?1 处连续? 综合上述讨论? 函数在(??? ?1)和(?1? ??)内连续? 在 x??1 处间断? 但右连
续? 2? 下列函数在指出的点处间断? 说明这些间断点属于哪一类? 如果是可去间
断点? 则补充或改变函数的定义使它连续?

(1)

y

?

x2

x2 ?1 ? 3x ?

2

?

x?1?

x?2?



y

?

x2

x2 ?1 ? 3x ?

2

?

(x ?1)(x ?1) (x ? 2)(x ?1)

?

因为函数在 x?2 和 x?1 处无定义?

所以 x?2 和

x?1 是函数的间断点?

因为

lim
x?2

y

?

lim
x?2

x2

x2 ?1 ? 3x ?

2

?

?

?

所以 x?2 是函数的第二类间断点?

因为 lim y ?lim (x ?1) ??2 ? 所以 x?1 是函数的第一类间断点? 并且是可去间断 x?1 x?1 (x ? 2)

点? 在 x?1 处? 令 y??2? 则函数在 x?1 处成为连续的?

(2) y ? x ? x?k? x?k? ?? (k?0? ?1? ?2? ? ? ?)?

tan x

2

解 函数在点 x?k?(k?Z)和 x?k? ? ? (k?Z)处无定义? 因而这些点都是函数 2
的间断点?

因 lim x ?? (k?0)? 故 x?k?(k?0)是第二类间断点? x?k? tan x

因为 lim x ?1? lim x ?0 (k?Z)? 所以 x?0 和 x?k? ? ? (k?Z) 是第一

x?0 tan x

x?k? ?? tan x

2

2

类间断点且是可去间断点?

令 y|x?0?1? 则函数在 x?0 处成为连续的?

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令 x?k? ? ? 时? y?0? 则函数在 x?k? ? ? 处成为连续的?

2

2

(3) y ?cos2 1 ? x?0? x

解 因为函数 y?cos2 1 在 x?0 处无定义? 所以 x?0 是函数 y?cos2 1 的间断点?

x

x

又因为 lim cos2 1 不存在? 所以 x?0 是函数的第二类间断点?

x?0

x

(4)

y

? ???3x

?1 ?x

x x

??11 ?

x

?1?

解 因为 lim f (x)? lim (x?1)?0 lim f (x)? lim (3? x)?2 ? 所以 x?1 是函数的

x?1?

x?1?

x?1?

x?1?

第一类不可去间断点?

3?

讨论函数

f

(x)? lim 1? n?? 1?

x2n x2n

x

的连续性?

若有间断点?

判别其类型?



f

(x)? lim 1? n?? 1?

x2n x2n

x

?

??? ?

x 0

?? x

| x|?1 | x|?1? | x|?1

在分段点 x??1 处? 因为 lim f (x)? lim (?x)?1? lim f (x)? lim x??1? 所以

x??1?

x??1?

x??1?

x??1?

x??1 为函数的第一类不可去间断点?

在分段点 x?1 处? 因为 lim f (x)? lim x?1 ? lim f (x)? lim (?x)??1? 所以 x?1

x?1?

x?1?

x?1?

x?1?

为函数的第一类不可去间断点? 4? 证明? 若函数 f(x)在点 x0 连续且 f(x0)?0? 则存在 x0 的某一邻域 U(x0)? 当
x?U(x0)时? f(x)?0?

证明

不妨设 f(x0)>0?

因为 f(x)在 x0连续?

所以 lim
x?x0

f (x)? f (x0)?0 ?

由极限的

?

?

局部保号性定理? 存在 x0 的某一去心邻域U (x0) ? 使当 x?U (x0) 时 f(x)>0? 从而当

x?U(x0)时? f(x)>0? 这就是说? 则存在 x0 的某一邻域 U(x0)? 当 x?U(x0)时? f(x)?0? 5? 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子?

(1)x?0? ?1? ?2? ? 1 ? ? ? ?? ?n? ? 1 ? ? ? ?是 f(x)的所有间断点? 且它们都是

2

n

无穷间断点?

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解 函数 f (x)?csc(?x)?csc? 在点 x?0? ?1? ?2? ? 1 ? ? ? ?? ?n? ? 1 ? ? ? ?处是间

x

2

n

且这些点是函数的无穷间断点? (2)f(x)在 R 上处处不连续? 但|f(x)|在 R 上处处连续?



函数

f

(x)

?

??1 ?? 1

x?Q x?Q



R

上处处不连续?

但|f(x)|?1 在 R 上处处连续?

(3)f(x)在 R 上处处有定义? 但仅在一点连续?



函数

f

(x)

?

? ???

x x

x?Q x?Q



R

上处处有定义?

它只在 x?0 处连续?

习题 1?9

1?

求函数

f

(x) ?

x3 ?3x2 ? x?3 x2 ? x?6

的连续区间?

并求极限 lim f (x) ?
x?0

lim f (x) 及
x??3

lim f (x) ?
x?2



f

(x) ?

x3

?3x2 ? x?3 x2 ? x?6

?

(x

? 3)(x ?1)(x ?1) (x ? 3)(x ? 2)

?

函数在(??? ??)内除点 x?2 和 x??3

外是连续的? 所以函数 f(x)的连续区间为(??? ?3)、(?3? 2)、(2? ??)?

在函数的连续点 x?0 处? lim f (x)? f (0)? 1 ?

x?0

2

在函数的间断点 x?2 和 x??3 处?

lim f (x)? lim (x?3)(x?1)(x?1) ?? ? lim f (x)? lim (x?1)(x?1) ?? 8 ?

x?2

x?2 (x ?3)(x ?2)

x??3

x??3 x ?2

5

2? 设函数 f(x)与 g(x)在点 x0 连续? 证明函数 ?(x)?max{f(x)? g(x)}? ?(x)?min{f(x)? g(x)}
在点 x0 也连续?

证明

已知

lim
x ? x0

f

(x) ?

f

(x0) ?

lim
x?x0

g(x)

?

g

(x0

)

?

可以验证

?(x)? 1[ f (x)? g(x)?| f (x)? g(x)| ]? 2

?(x)? 1[ f (x)? g(x)?| f (x)? g(x)| ] ? 2

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因此

?(x0)

?

1[ 2

f

(x0)

?

g(x0)?|

f

(x0)

?

g(x0)|

]

?

?

(x0)

?

1[ 2

f

(x0)

?

g(x0)?|

f

(x0)

?

g(x0)|

]

?

因为

lim ?(x)? lim 1[ f (x)? g(x)?| f (x)? g(x)| ]

x?x0

x?x0 2

? 1[ lim f (x)? lim g(x)?| lim f (x)? lim g(x)| ]

2 x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

?

1 2

[

f

(x0)

?

g(x0)?|

f

(x0)

?

g(x0)|

]

??(x0)?

所以?(x)在点 x0 也连续?

同理可证明?(x)在点 x0 也连续?

3? 求下列极限? (1) lim x2 ?2x?5 ?
x?0
(2) lim (sin2x)3 ?
x?? 4
(3) lim ln(2cos2x) ?
x?? 6
(4) lim x?1?1 ? x?0 x
(5) lim 5x?4 ? x ? x?1 x ?1
(6) lim sin x?sin a ? x?a x ?a
(7) lim ( x2 ? x ? x2 ? x) ?
x???
解 (1)因为函数 f (x)? x2 ?2x?5 是初等函数? f(x)在点 x?0 有定义? 所以

lim x2 ?2x?5 ? f (0)? 02 ?2?0?5 ? 5 ?
x?0
(2)因为函数 f(x)?(sin 2x)3 是初等函数? f(x)在点 x ? ? 有定义? 所以 4

lim (sin 2x)3 ? f (? )?(sin 2?? )3 ?1 ?

x??

4

4

4

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(3)因为函数 f(x)?ln(2cos2x)是初等函数? f(x)在点 x ? ? 有定义? 所以 6

lim ln(2cos2x)? f (? )?ln(2cos2?? )?0 ?

x??

6

6

6

(4) lim x?1?1 ? lim ( x?1?1)( x?1?1) ? lim x

x?0 x

x?0 x( x?1?1)

x?0 x( x?1?1)

? lim 1 ? 1 ? 1 ? x?0 x?1?1 0?1?1 2

(5) lim 5x?4 ? x ? lim ( 5x?4 ? x)( 5x?4 ? x)

x?1 x?1

x?1 (x?1)( 5x?4 ? x)

?lim

4x ? 4

?lim

4

?

4

?2?

x?1 (x ?1)( 5x ?4 ? x) x?1 5x?4 ? x 5?1?4 ? 1

(6)

lim

sin

x

?sin

a

?

lim

2cos

x?a 2

sin

x?a 2

x?a x?a

x?a

x?a

?

lim
x?a

cos

x

? 2

a

?

lim
x?a

s

in x

x ?

?
2 a

a

?

c

os

a

? 2

a

?1?

c

osa

?

2

(7) lim ( x2 ? x ? x2 ? x)? lim ( x2 ? x ? x2 ? x)( x2 ? x ? x2 ? x)

x???

x???

( x2 ? x ? x2 ? x)

? lim

2x

? lim

2

?1?

x??? ( x2 ? x ?

x2 ? x)

x???
(

1? 1 ?

1? 1 )

x

x

4? 求下列极限?
1
(1) lim e x ?
x??
(2) lim ln sin x ? x?0 x

(3)

lim

(1?

1

)

x 2

?

x?? x

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(4) lim (1?3tan2 x)cot2 x ?
x?0

(5)

lim

(3?

x)

x?1 2

?

x?? 6? x

(6) lim 1? tan x ? 1?sin x ? x?0 x 1?sin2 x ? x

1 lim 1
解 (1) lim e x ?ex?? x ?e0 ?1 ?
x??

(2) lim ln sin x ?ln(lim sin x)?ln1?0 ?

x?0 x

x?0 x

? ? (3)

lim

(1?

1)

x 2

?

lim

(1? 1)x

11
2 ?e2 ?

e?

x?? x

x??

x

? ? 1
(4) lim (1?3tan2 x)cot2 x ? lim (1?3tan2 x)3tan2 x 3 ?e3 ?

x?0

x?0

(5)

(

3?

x

)

x?1 2

?

(1?

?3

)

6? x ?3

? ?3 6? x

x?1
2?

因为

6? x

6? x

lim (1?

?3

6? x
) ?3 ?e ?

lim

?3 ? x?1?? 3 ?

x?? 6? x

x?? 6? x 2 2

所以

lim

(3?

x)

x?1 2

?e?

3 2

?

x?? 6? x

(6) lim 1? tan x ? 1?sin x ? lim ( 1? tan x ? 1?sin x)( 1?sin2 x ?1) x?0 x 1?sin2 x ? x x?0 x( 1?sin2 x ?1)( 1? tan x ? 1?sin x)

?

lim
x?0

(tanx?sin x)( xsin2 x( 1?tan

1?sin2 x ?1) x ? 1?sin x)

?

lim
x?0

tan x?2sin2 xsin2 x

x 2

?

lim
x?0

2x?( x)2 2
x3

?

1 2

?

5?

设函数

f

(

x)

?

? ? ?

ex a?

x

x?0 x?0

应当如何选择数 a? 使得 f(x)成为在(??? ??)

内的连续函数?

解 要使函数 f(x)在(??? ??)内连续? 只须 f(x)在 x?0 处连续? 即只须

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lim f (x)? lim f (x)? f (0)?a ?

x??0

x??0

因为 lim f (x)? lim ex ?1? lim f (x)? lim (a? x)?a ? 所以只须取 a?1?

x??0

x??0

x??0

x??0

习题 1?10 1? 证明方程 x5?3x?1 至少有一个根介于 1 和 2 之间? 证明 设 f(x)?x5?3x?1? 则 f(x)是闭区间[1? 2]上的连续函数? 因为 f(1)??3? f(2)?25? f(1)f(2)?0? 所以由零点定理? 在(1? 2)内至少有一
点? (1???2)? 使 f(?)?0? 即 x?? 是方程 x5?3x?1 的介于 1 和 2 之间的根?
因此方程 x5?3x?1 至少有一个根介于 1 和 2 之间?

2? 证明方程 x?asinx?b? 其中 a?0? b?0? 至少有一个正根? 并且它不超过 a?b? 证明 设 f(x)?asin x?b?x? 则 f(x)是[0? a?b]上的连续函数?

f(0)?b? f(a?b)?a sin (a?b)?b?(a?b)?a[sin(a?b)?1]?0?

若 f(a?b)?0? 则说明 x?a?b 就是方程 x?asinx?b 的一个不超过 a?b 的根?

若 f(a?b)?0? 则 f(0)f(a?b)?0? 由零点定理? 至少存在一点??(0? a?b)? 使

f(?)?0? 这说明 x?? 也是方程 x=asinx?b 的一个不超过 a?b 的根?

总之? 方程 x?asinx?b 至少有一个正根? 并且它不超过 a?b?

3? 设函数 f(x)对于闭区间[a? b]上的任意两点 x、y? 恒有 |f(x)?f(y)|?L|x?y|? 其中 L 为正常数? 且 f(a)?f(b)?0? 证明? 至少有一点??(a? b)? 使得 f(?)?0?
证明 设 x0 为(a? b)内任意一点? 因为

0?

lim
x?x0

|

f

(x)

?

f

(x0)|?

lim
x?x0

L|

x

?

x0

|?0

?

所以

lim
x?x0

|

f

(x) ?

f

(x0)|?0

?



lim
x ? x0

f

(x) ?

f

(x0) ?

因此 f(x)在(a? b)内连续?

同理可证 f(x)在点 a 处左连续? 在点 b 处右连续? 所以 f(x)在[a? b]上连续?

因为 f(x)在[a? b]上连续? 且 f(a)?f(b)?0? 由零点定理? 至少有一点??(a? b)?

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使得 f(?)?0? 4? 若 f(x)在[a? b]上连续? a?x1?x2? ? ? ? ?xn?b? 则在[x1? xn]上至少有一点? ?
使 f (?)? f (x1)? f (x2)? ? ? ? ? f (xn) ? n
证明 显然 f(x)在[x1? xn]上也连续? 设 M 和 m 分别是 f(x)在[x1? xn]上的最大
值和最小值?
因为 xi?[x1? xn](1? i?n)? 所以有 m?f(xi)?M? 从而有
n?m? f (x1)? f (x2)? ? ? ? ? f (xn)?n?M ?
m? f (x1)? f (x2)? ? ? ? ? f (xn) ?M ? n
由介值定理推论? 在[x1? xn]上至少有一点? 使 f (?)? f (x1)? f (x2)? ? ? ? ? f (xn) ? n
5? 证明? 若 f(x)在(??? ??)内连续? 且 lim f (x) 存在? 则 f(x)必在(??? ??) x??
内有界? 证明 令 lim f (x)? A ? 则对于给定的 ??0? 存在 X?0? 只要|x|?X? 就有
x??
|f(x)?A|?? ? 即 A???f(x)?A?? ? 又由于 f(x)在闭区间[?X? X]上连续? 根据有界性定理? 存在 M?0? 使|f(x)|?M? x?[?X? X]? 取 N?max{M? |A??|? |A??|}? 则|f(x)|?N? x?(??? ??)? 即 f(x)在(??? ??) 内有界? 6? 在什么条件下? (a? b)内的连续函数 f(x)为一致连续? 总习题一 1? 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格 内? (1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件? 数列{xn}收敛是数列{xn} 有界的________的条件? (2)f(x) 在 x0 的 某 一 去 心 邻 域 内 有 界 是 lim f (x) 存 在 的 ________ 条 件 ?
x?x0
lim f (x) 存在是 f(x)在 x0 的某一去心邻域内有界的________条件?
x?x0
(3) f(x) 在 x0 的 某 一 去 心 邻 域 内 无 界 是 lim f (x) ? ? 的 ________ 条 件 ? x?x0

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lim f (x) ? ? 是 f(x)在 x0 的某一去心邻域内无界的________条件?
x?x0

(4)f(x)当 x?x0 时的右极限 f(x0?)及左极限 f(x0?)都存在且相等是 lim f (x) x?x0

存在的________条件? 解 (1) 必要? 充分? (2) 必要? 充分?

(3) 必要? 充分?

(4) 充分必要?

2? 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论?

设 f(x)?2x?3x?2? 则当 x?0 时? 有(

)?

(A)f(x)与 x 是等价无穷小? (B)f(x)与 x 同阶但非等价无穷小?

(C)f(x)是比 x 高阶的无穷小? (D)f(x)是比 x 低阶的无穷小?

解 因为 lim f (x) ? lim 2x ?3x ?2 ? lim 2x ?1?lim 3x ?1

x?0 x x?0 x

x?0 x x?0 x

? ln 2lim t ?ln 3lim u ? ln 2?ln 3(令 2x?1?t? 3x?1?u) ? t?0 ln(1?t) u?0 ln(1?u)

所以 f(x)与 x 同阶但非等价无穷小? 故应选 B? 3? 设 f(x)的定义域是[0? 1]? 求下列函数的定义域? (1) f(ex)? (2) f(ln x)? (3) f(arctan x)? (4) f(cos x)? 解 (1)由 0?ex?1 得 x?0? 即函数 f(ex)的定义域为(??? 0]? (2) 由 0? ln x?1 得 1?x?e ? 即函数 f(ln x)的定义域为[1? e]? (3) 由 0? arctan x ?1 得 0?x?tan 1? 即函数 f(arctan x)的定义域为[0? tan
1]?

(4) 由 0? cos x?1 得 2n? ?? ? x ? 2n? ?? (n?0? ?1? ?2? ? ? ?)?

2

2

即函数 f(cos x)的定义域为[ 2n? ?? , n? ?? ]? (n?0? ?1? ?2? ? ? ?)?

2

2

4? 设

f

(x)

?

?0 ??x

x x

?0 ?0

?

g(x)

?

?0 ???

x2

x?0 x?0

?

求 f[f(x)]? g[g(x)]? f[g(x)]? g[f(x)]?



因为 f(x)?0?

所以

f[f(x)]?f(x)

?

?0 ??x

x x

? ?

0 0

?

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因为 g(x)?0? 所以 g[g(x)]?0? 因为 g(x)?0? 所以 f[g(x)]?0?

因为 f(x)?0?

所以 g[f(x)]??f

2(x)

?

?0 ???

x2

x?0 x?0

?

5? 利用 y?sin x 的图形作出下列函数的图形? (1)y?|sin x|? (2)y?sin|x|?

(3) y ? 2sin x ? 2

6? 把半径为 R 的一圆形铁片? 自中心处剪去中心角为 ? 的一扇形后围成一无

底圆锥? 试将这圆锥的体积表为 ? 的函数? 解 设围成的圆锥的底半径为 r? 高为 h? 依题意有

R(2???)?2?r

?

r

?

R(2? ??) 2?

?

h?

R2 ?r2 ?

R2 ?

R2(2? ??)2 4? 2

?R

4?? ?? 2 2?

?

圆锥的体积为

V

?

1? 3

?

R2(2? ??)2 4? 2

?R

4?? ?? 2 2?

?

R3 24?

2

(2?

??

)2

?

4?? ?a2

(0???2?)?

7? 根据函数极限的定义证明 lim x2 ? x?6 ?5 ? x?3 x?3

证明 对于任意给定的 ??0? 要使 | x2 ? x?6 ?5|?? ? 只需|x?3|??? 取 ???? 当 x?3

0?|x?3|?? 时? 就有|x?3|??? 即| x2 ? x?6 ?5|?? ? 所以 lim x2 ? x?6 ?5 ?

x?3

x?3 x?3

8? 求下列极限?

(1)

lim
x?1

x2 ? x?1 (x ?1)2

?

(2) lim x( x2 ?1? x) ?
x???
(3) lim (2x?3)x?1 ? x?? 2x?1

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(4)

lim
x?0

tan

x ?s in x3

x

?

(5)

lim

(ax

?bx

?cx

1
)x

(a?0?

b?0?

c?0)?

x?0

3

(6) lim (sin x)tanx ?
x??2



(1)因为

lim
x?1

(x ?1)2 x2 ? x?1

?

0

?

所以

lim
x?1

x2 ? x?1 (x ?1)2

?

?

?

(2) lim x( x2 ?1? x) ? lim x( x2 ?1? x)( x2 ?1? x)

x???

x???

( x2 ?1? x)

? lim x ? lim 1 ? 1 ?

x???

x2 ?1? x

x???

1?

1 x2

?1

2

(3) lim (2x?3)x?1 ? lim (1?

2

)x?1 ? lim (1?

2

)

2x2?1?

1 2

x?? 2x?1

x?? 2x?1

x?? 2x?1

? lim (1?

2

2x?1
) 2 (1?

2

1
)2

x?? 2x?1

2x ?1

? lim (1?

2

2x?1
) 2 ? lim (1?

2

1
)2 ?e?

x?? 2x?1

x?? 2x?1

(4)

lim
x?0

tan

x?s x3

in

x

?

lim
x?0

s

in

x(

1
cos x3

x

?1)

?

lim
x?0

sin

x(1?cos x3 cos x

x)

?

lim
x ?0

sin x?2sin2 x3 cos x

x 2

?

lim
x?0

2x?( x)2 2
x3

?

1 2

(提示? 用等价无穷小换)?

(5)

lim (ax

?bx

?cx

1
)x

?

lim (1?

ax

?bx

?cx

?

3)

a

x

?b

3 x ?c

x

? ?3

a

x

?bx ?c 3x

x

?3

?

因为

x?0

3

x?0

3

lim

(1?

ax

?bx

?cx

?3)

ax

3 ?bx ?cx

?3

?

e

?

x?0

3

lim ax ?bx ?cx ?3 ? 1 lim ( ax ?1? b x ?1? c x ?1)

x?0

3x

3 x?0 x

x

x

? 1[lnalim 1 ?ln blim 1 ?ln clim 1 ] 3 t?0 ln(1?t) u?0 ln(1?u) v?0 ln(1?v)

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? 1(lna?lnb?ln c) ?ln 3 abc ? 3

所以

lim (ax

?bx

?cx

1
)x

? eln3

abc

?3

abc

?

x?0

3

提示? 求极限过程中作了变换 ax?1?t? bx?1?u? cx?1?v?

(6) lim (sin x)tanx ? lim [1?(sin x ?1)]sin1x?1?(sinx?1)tanx ? 因为

x??

x??

2

2

1
lim [1?(sin x?1)]sinx?1 ? e ?
x?? 2

lim (sin x?1)tan x ? lim sin x(sin x?1)

x??

x?? cosx

2

2

? lim sin x(sin2 x?1) ? ? lim sin xcosx ? 0 ? x??2 cosx(sin x?1) x??2 sin x?1

所以

lim (sin x)tanx ? e0 ?1?
x??2

9?



f

(x)

?

??xsin ?

1 x

??a? x2

x ? 0 ? 要使 f(x)在(??? ??)内连续? 应怎样选择数 a? x?0

解 要使函数连续? 必须使函数在 x?0 处连续?

因为

f(0)?a? lim f (x) ? lim (a? x2) ? a ? lim f (x) ? lim xsin 1 ?0 ?

x?0?

x?0?

x?0?

x?0?

x

所以当 a?0 时? f(x)在 x?0 处连续? 因此选取 a?0 时? f(x)在(??? ??)内连续?

10?



f

(x)

?

???e

1 x?1

x ? 0 ? 求 f(x)的间断点? 并说明间断点所属类形?

??ln(1? x) ?1? x ? 0

解 因为函数 f(x)在 x?1 处无定义? 所以 x?1 是函数的一个间断点?

1

因为 lim f (x) ? lim e x?1 ? 0 (提示 lim 1 ? ?? )?

x?1?

x?1?

x?1? x?1

1

lim f (x) ? lim e x?1 ? ? (提示 lim 1 ? ?? )?

x?1?

x?1?

x?1? x?1

所以 x?1 是函数的第二类间断点?

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1

又因为 lim f (x) ? lim ln(x?1) ? 0 ? lim f (x) ? lim e x?1 ? 1 ?

x?0?

x?0?

x?0?

x?0?

e

所以 x?0 也是函数的间断点? 且为第一类间断点?

? ? 11? 证明 lim 1 ? 1 ? ??? ? 1 ?1?

n?? n2 ?1 n2 ?2

n2 ?n

? ? 证明 因为 n ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 ? n ? 且

n2 ?n n2 ?1 n2 ?2

n2 ?n n2 ?1

lim n ? lim 1 ?1 ? lim n ? lim 1 ?1?

n?? n2 ?n n?? 1? 1 n

n??

n2 ?1

n??

1?

1 n2

? ? 所以 lim 1 ? 1 ? ??? ? 1 ?1?

n?? n2 ?1 n2 ?2

n2 ?n

12? 证明方程 sin x?x?1?0 在开区间 (?? , ? ) 内至少有一个根? 22

证明 设 f(x)?sin x?x?1? 则函数 f(x)在[? ? ,? ]上连续? 22

因为 f (? ? ) ? ?1?? ?1? ?? ? f ( ? ) ?1?? ?1? 2?? ? f (? ? )? f ( ? ) ?0 ?

2

2

22 2

2

22

所以由零点定理? 在区间 (? ? ,? ) 内至少存在一点 ?? 使 f(?)?0? 22

这说明方程 sin x?x?1?0 在开区间 (? ? ,? ) 内至少有一个根? 22
13? 如果存在直线 L? y?kx?b? 使得当 x??(或 x???? x???)时? 曲线 y?f(x) 上的动点 M(x? y)到直线 L 的距离 d(M? L)?0? 则称 L 为曲线 y?f(x)的渐近线? 当 直线 L 的斜率 k?0 时? 称 L 为斜渐近线?
(1)证明? 直线 L? y?kx?b 为曲线 y?f(x)的渐近线的充分必要条件是

k ? lim f (x) ? b ? lim [ f (x)?kx] ?

x??

x

x??

( x ???, x ???)

( x???, x???)

1
(2)求曲线 y ? (2x?1)e x 的斜渐近线? 证明 (1) 仅就 x??的情况进行证明? 按渐近线的定义? y?kx?b 是曲线 y?f(x)的渐近线的充要条件是
lim [ f (x)?(kx?b)]? 0?
x??

必要性? 设 y?kx?b 是曲线 y?f(x)的渐近线? 则 lim [ f (x)?(kx?b)]? 0? x??

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于是有 同时有

lim x[ f (x) ?k ? b]? 0 ? lim f (x) ?k ? 0 ? k ? lim f (x) ?

x?? x

x

x?? x

x?? x

lim [ f (x)?kx?b]? 0 ? b ? lim [ f (x)?kx] ?

x??

x??

充分性? 如果 k ? lim f (x) ? b ? lim [ f (x)?kx] ? 则

x?? x

x??

lim [ f (x)?(kx?b)]? lim [ f (x)?kx?b]? lim[ f (x)?kx]?b ?b?b ?0 ?

x??

x??

x??

因此 y?kx?b 是曲线 y?f(x)的渐近线?

(2)因为 k ? lim

y ? lim

2x

?1?e

1 x

?

2

?

x?? x x?? x

1

1

b ? lim [y ?2x]? lim [(2x?1)e x ?2x]? 2 lim x(e x ?1)?1? 2lim

t

?1?1?

x??

x??

x??

t?0 ln(1?t)

1
所以曲线 y ? (2x?1)e x 的斜渐近线为 y?2x?1?

习题 2?1 1? 设物体绕定轴旋转? 在时间间隔[0? t]内转过的角度为 ?? 从而转角 ? 是 t

的函数? ???(t)? 如果旋转是匀速的? 那么称? ?? 为该物体旋转的角速度? 如果 t

旋转是非匀速的? 应怎样确定该物体在时刻 t0 的角速度?

解 在时间间隔[t0? t0??t]内的平均角速度? 为

? ? ?? ??(t0 ??t)??(t0) ?

?t

?t

故 t0 时刻的角速度为

?

? lim ? ?t?0

? lim ?? ?t?0 ?t

? lim ?(t0 ?t?0

? ?t) ?? (t0) ?t

???(t0) ?

2? 当物体的温度高于周围介质的温度时? 物体就不断冷却? 若物体的温度 T

与时间 t 的函数关系为 T?T(t)? 应怎样确定该物体在时刻 t 的冷却速度?

解 物体在时间间隔[t0? t0??t]内? 温度的改变量为 ?T?T(t??t)?T(t)?

平均冷却速度为

?T ? T(t ??t)?T(t) ?

?t

?t

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故物体在时刻 t 的冷却速度为

lim ?T ? lim T(t ??t)?T(t) ?T?(t) ?

?t?0 ?t ?t?0

?t

3? 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元? 此函数 f(x)称为成本函

数? 成本函数 f(x)的导数 f?(x)在经济学中称为边际成本? 试说明边际成本 f?(x)

的实际意义?

解 f(x??x)?f(x)表示当产量由 x 改变到 x??x 时成本的改变量?

f (x??x)? f (x) 表示当产量由 x 改变到 x??x 时单位产量的成本? ?x

f ?(x) ? lim f (x??x)? f (x) 表示当产量为 x 时单位产量的成本?

?x?0

?x

4? 设 f(x)?10x2? 试按定义? 求 f ?(?1)?

解 f ?(?1) ? lim f (?1??x)? f (?1) ? lim 10(?1??x)2 ?10(?1)2

?x?0

?x

?x?0

?x

?10 lim ?2?x??x2 ?10 lim (?2??x) ? ?20 ?

?x?0 ?x

?x?0

5? 证明(cos x)???sin x?

解 (cosx)? ? lim cos(x??x)?cosx

?x?0

?x

?2sin(x? ?x)sin ?x

? lim

22

?x?0

?x

?

lim [?sin(x
?x?0

?

?x 2

)

sin ?x 2
?x

]

?

?sin

x

?

2

6? 下列各题中均假定 f ?(x0)存在? 按照导数定义观察下列极限? 指出 A 表示

什么?

(1) lim f (x0 ??x)? f (x0) ? A ?

?x?0

?x

解 A? lim f (x0 ??x)? f (x0)

?x?0

?x

? ? lim
??x?0

f

(x0 ??x)? ??x

f

(x0)

??

f

?(x0)

?

(2) lim f (x) ? A ? 其中 f(0)?0? 且 f ?(0)存在? x?0 x

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解 A? lim f (x) ? lim f (0? x)? f (0) ? f ?(0) ?

x?0 x x?0

x

(3) lim f (x0 ?h)? f (x0 ?h) ? A?

h?0

h

解 A? lim f (x0 ?h)? f (x0 ?h)

h?0

h

? lim [ f (x0 ?h)? f (x0)]?[ f (x0 ?h)? f (x0)]

h?0

h

? lim f (x0 ?h)? f (x0) ?lim f (x0 ?h)? f (x0)

h?0

h

h?0

h

?f ?(x0)?[?f ?(x0)]?2f ?(x0)?

7? 求下列函数的导数?

(1)y?x4?

(2) y?3 x2 ?

(3)y?x1? 6?

(4) y ? 1 ? x

(5)

y?

1 x2

?

(6) y ? x35 x ?

(7) y ? x23 x2 ? x5
解 (1)y??(x4)??4x4?1?4x3 ?

(2)

y? ? (3

2
x2 )? ? (x3)? ?

2

2 ?1
x3 ?

2

?1
x3

?

3

3

(3)y??(x1? 6)??1?6x1? 6?1?1?6x 0? 6?

(4) y??(

1

)?

?

?
(x

1 2

)?

?

?

1

?
x

1 2

?1

?

?

1

?
x

3 2

?

x

2

2

(5)

y??(

1 x2

)??(x?2)???2x?3

?

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(6)

y? ? (x35

16
x)??(x 5 )??16

16
x5

?1

?

16

11
x5 ?

5

5

(7)

y??( x23

x2

1
)??(x 6)??

1

x

1 6

?1

?

1

?5
x6

?

x5

6

6

8? 已知物体的运动规律为 s?t3(m)? 求这物体在 t?2 秒(s)时的速度? 解 v?(s)??3t2? v|t?2?12(米/秒)? 9? 如果 f(x)为偶函数? 且 f(0)存在? 证明 f(0)?0? 证明 当 f(x)为偶函数时? f(?x)?f(x)? 所以

f ?(0)? lim f (x)? f (0) ? lim f (?x)? f (0) ?? lim f (?x)? f (0) ?? f ?(0) ?

x?0 x ?0 x?0 x ?0

?x?0 ? x ?0

从而有 2f ?(0)?0? 即 f ?(0)?0?

10? 求曲线 y?sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率? x ? 2? ? x???
3
解 因为 y??cos x? 所以斜率分别为

k1

?

cos

2 3

?

?

?

1 2

?

k2 ?cos? ??1?

11? 求曲线 y?cos x 上点 (? , 1) 处的切线方程和法线方程式? 32

解 y???sin x?

y?

x?? 3

??sin

? 3

??

3 2

?

故在点 (? , 1) 处? 切线方程为 y ? 1 ?? 3 (x?? ) ?

32

22 3

法线方程为 y ? 1 ? ?2 (x?? ) ? 23 3

12? 求曲线 y?ex 在点(0?1)处的切线方程?

解 y??ex? y?|x?0?1? 故在(0? 1)处的切线方程为

y?1?1?(x?0)? 即 y?x?1?

13? 在抛物线 y?x2 上取横坐标为 x1?1 及 x2?3 的两点? 作过这两点的割线? 问

该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?

解 y??2x? 割线斜率为 k ? y(3)? y(1) ? 9?1?4 ? 3?1 2
令 2x?4? 得 x?2?

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因此抛物线 y?x2 上点(2? 4)处的切线平行于这条割线? 14? 讨论下列函数在 x?0 处的连续性与可导性?

(1)y?|sin x|?

(2)

y

?

??x2 ?

sin

1 x

??0

解 (1)因为

x?0 ? x?0

y(0)?0? lim y ? lim |sin x|? lim (?sin x) ?0 ?

x?0? x?0?

x?0?

lim y ? lim |sin x|? lim sin x ?0 ?

x?0? x?0?

x?0?

所以函数在 x?0 处连续?

又因为

y?? (0)

?

lim
x?0?

y(x)? y(0) x?0

? lim
x?0?

|sin x|?|sin0| x?0

? lim
x?0?

?sin x x

? ?1?

y?? (0) ?

lim
x?0?

y(x)? y(0) x?0

?

lim
x?0?

|sin

x | ? | sin 0| x?0

? lim
x?0?

sin x x

?1?

而 y??(0)?y??(0)? 所以函数在 x?0 处不可导?

解 因为 lim y(x)?lim x2sin 1 ?0 ? 又 y(0)?0? 所以函数在 x?0 处连续?

x?0

x?0

x

又因为

lim

y(x)? y(0) ? lim

x2 sin 1 ?0 x ? lim

xsin 1

?0?

x?0 x?0

x?0

x

x?0

x

所以函数在点 x?0 处可导? 且 y?(0)?0?

15?

设函数

f

(x)

?

? x2 ??ax ?

b

x x

?1 ?1

为了使函数

f(x)在

x?1

处连续且可导?

a?

b应

取什么值? 解 因为

lim f (x) ? lim x2 ?1? lim f (x) ? lim (ax?b) ? a?b ? f(1)?a?b?

x?1?

x?1?

x?1?

x?1?

所以要使函数在 x?1 处连续? 必须 a?b?1 ?

又因为当 a?b?1 时

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f??(1)

?

lim
x?1?

x2 ?1 x ?1

?

2?

f??(1)

?

lim
x?1?

ax?b?1 x?1

?

lim
x?1?

a(x?1)?a?b x?1

?1

?

lim
x?1?

a(x?1) x?1

?

a

?

所以要使函数在 x?1 处可导? 必须 a?2? 此时 b??1?

16?

已知

f

(x)

?

? x2 ??? x

x?0 x?0



f??(0)及

f??(0)?

又f

?(0)是否存在?

解 因为

f??(0)? lim x?0?

f (x)? f (0) ? lim ?x?0 ? ?1?

x

x?0? x

f??(0)? lim x?0?

f (x)? x

f (0) ? lim
x?0?

x2 ?0 ?0 ? x

而 f??(0)?f??(0)? 所以 f ?(0)不存在?

17? 已知 f(x)? ???sixn x

x x

? ?

0 0

?

求f

?(x)

?

解 当 x<0 时? f(x)?sin x? f ?(x)?cos x ?

当 x>0 时? f(x)?x? f ?(x)?1?

因为

f??(0)?

lim
x?0?

f (x)? f (0) ? lim sin x?0 ?1?

x

x?0? x

f??(0)? lim x?0?

f (x)? f (0) ? lim x?0 ?1?

x

x?0? x

所以 f

?(0)?1?

从而

f ?(x)? ???co1s x

x x

? ?

0 0

?

18? 证明? 双曲线 xy?a2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都

等于 2a2 ?



由 xy?a2 得 y ? a2 ? x

k

?

y? ? ?

a2 x2

?

设(x0? y0)为曲线上任一点? 则过该点的切线方程为

y

?

y0

?

?

a2 x02

(x

?

x0)

?

令 y?0?

并注意 x0y0?a2?

解得

x

?

y0 x02 a2

?

x0

?

2x0

?

为切线在 x 轴上的距?

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令 x?0?

并注意 x0y0?a2?

解得

y

?

a2 x0

?

y0

?

2 y0

?

为切线在 y 轴上的距?

此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为

S

?

1 2

|2x0

||2y0

|?

2|

x0

y0

|?

2a2

?

习题 2?2

1? 推导余切函数及余割函数的导数公式?

(cot x)???csc2x ? (csc x)???csc xcot x ?



(cotx)?

?

(cosx)? sin x

?

?sin

x?sin x?cosx?cosx sin2 x

?

?

sin2 x?cos2 sin2 x

x

?

?

1 sin2

x

?

?c

sc2

x

?

(cscx)??( 1 sin

)??? x

cosx sin2 x

?

?

cscx?cot

x

?

2? 求下列函数的导数?

(1)

y

?

4 x5

?

7 x4

?

2 x

?12

?

(2) y?5x3?2x?3ex ?

(3) y?2tan x?sec x?1?

(4) y?sin x?cos x ?

(5) y?x2ln x ?

(6) y?3excos x ?

(7) y? ln x ? x

(8)

y

?

ex x2

?

ln

3

?

(9) y?x2ln x cos x ?

(10) s? 1?sint ? 1? c ost



(1)

y??(

4 x5

?

7 x4

?

2 x

?12)??(4x?5

?

7x?4

?2x?1

?12)?

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?

?20x?6

?

28x?5

?

2x?2

?

?

20 x6

?

28 x5

?

2 x2

?

(2) y??(5x3?2x?3ex)??15x2?2x ln2?3ex?

(3) y??(2tan x ?sec x?1)??2sec2x?sec x?tan x?sec x(2sec x?tan x)?

(4) y??(sin x?cos x)??(sin x)??cos x?sin x?(cos x)?

?cos x?cos x?sin x?(?sin x)?cos 2x?

(5) y??(x2ln x)??2x?ln x?x2? 1 ?x(2ln x?1) ?
x
(6) y??(3excos x)??3ex?cos x?3ex?(?sin x)?3ex(cos x?sin x)?

(7)

y??(ln x)?? x

1 x

?

x ?ln x2

x

?

1? ln x2

x

?

(8)

y??(

ex x2

? ln

3)??

ex

?

x2 ?ex x4

?2x

?

ex(x? x3

2)

?

(9) y??(x2ln x cos x)??2x?ln x cos x?x2? 1 ?cos x?x2 ln x?(?sin x) x

2x ln x cos x?x cos x?x2 ln x sin x ?

(10)

s??(1?sint )?? 1? cost

cost(1? cost) ? (1? sin t)(? sin t) (1? cost)2

?

1?sint ?cost (1? cost)2

?

3? 求下列函数在给定点处的导数?

(1) y?sin x?cos x ? 求 y? x?? 和 y? x?? ?

6

4

(2)

?

??

sin?

?

1 2

cos?

?求

d? d?

? ?? ?
4

(3) f (x)? 3 ? x2 ? 求 f ?(0)和 f ?(2) ? 5?x 5
解 (1)y??cos x?sin x?

y?

x?? 6

?

cos

? 6

? s in

? 6

?

3?1? 22

3 ?1 2

?

y?

x?? 4

? cos ? 4

? s in

? 4

?

2? 2

2? 2

2?

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(2)

d? d?

?sin?

??

cos?

?

1 2

sin?

?

1 2

sin?

??

cos?

?

d? d?

?

?? 4

?

1 2

sin

? 4

?

? 4

cos ? 4

?

1 2

?

2 ?? ? 24

2? 2

2 (1? ? ) ? 42

(3)

f

?(x)

?

3 (5? x)2

?

2 5

x

?

f ?(0)? 3 ? 25

f ?(2)?17 ? 15

4?

以初速 v0 竖直上抛的物体?

其上升高度

s

与时间

t

的关系是

s ?v0t

?

1 2

gt2

?

求?

(1)该物体的速度 v(t)?

(2)该物体达到最高点的时刻? 解 (1)v(t)?s?(t)?v0?gt?

(2)令 v(t)?0?

即 v0?gt?0?

得 t ? v0 ? g

这就是物体达到最高点的时刻?

5? 求曲线 y?2sin x?x2 上横坐标为 x?0 的点处的切线方程和法线方程? 解 因为 y??2cos x?2x? y?|x?0?2? 又当 x?0 时? y?0? 所以所求的切线方程为
y?2x? 所求的法线方程为
y?? 1 x ? 即 x?2y?0? 2
6? 求下列函数的导数? (1) y?(2x?5)4 (2) y?cos(4?3x)?

(3) y ?e?3x2 ?

(4) y?ln(1?x2)? (5) y?sin2x ?

(6) y? a2 ? x2 ?
(7) y?tan(x2)? (8) y?arctan(ex)? (9) y?(arcsin x)2?

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(10) y?lncos x? 解 (1) y??4(2x?5)4?1?(2x?5)??4(2x?5)3?2?8(2x?5)3? (2) y???sin(4?3x)?(4?3x)???sin(4?3x)?(?3)?3sin(4?3x)?

(3) y??e?3x2 ?(?3x2)??e?3x2 ?(?6x) ? ?6xe?3x2 ?

(4) y??1?1x2 ?(1? x2)??1?1x2 ?2x?1?2xx2 ? (5) y??2sin x?(sin x)??2sin x?cos x?sin 2x ?

(6)

y?

?

[(a2

?

x2)

1 2

]?

?

1

(a2

?

x2)

1 2

?1?(a2

?

x2)?

2

?

1

(a2

?

?1
x2) 2

?(?2x)

?

?

x

?

2

a2 ?x2

(7) y??sec2(x2)?(x2)??2xsec2(x2)?

(8)

y?? 1?

1 (e x )2

?(ex

)?

?

ex 1? e2x

?

(9) y? ?2arcsinx?(arcsinx)?? 2arcsinx ? 1? x2

(10) y?? 1 ?(cosx)?? 1 (?sin x)??tan x ?

cosx

cosx

7? 求下列函数的导数?

(1) y?arcsin(1?2x)?

(2) y ? 1 ? 1? x2

(3)

y

?

?
e

x 2

cos3x

?

(4) y ?arccos1 ? x
(5) y ?1?ln x ? 1?ln x
(6) y ? sin2x ? x

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(7) y ?arcsin x ?

(8) y?ln(x? a2 ? x2 ) ?

(9) y?ln(sec x?tan x)? (10) y?ln(csc x?cot x)?

解 (1) y?? 1 ?(1?2x)?? ?2 ?? 1 ?

1? (1? 2x)2

1? (1? 2x)2

x? x2

(2)

y?

?

[(1?

x2)?

1 2

]?

?

?

1

(1?

x2)?

1 2

?1

?(1?

x2)?

2

?

?

1

(1?

x2)?

3 2

?(?2x)

?

x

?

2

(1? x2) 1? x2

(3)

y?

?

?
(e

x 2

)?cos

3x

?

?
e

x 2

(cos

3x)?

?

?
e

x 2

(?

x

)?cos3x

?

?
e

x 2

(?

s

in

3x)(3x)?

2

?

?

1

?
e

x 2

cos3x

?

?
3e

x 2

sin

3x

?

?

1

?
e

x 2

(cos

3x

?

6

s

in

3x)

?

2

2

(4) y???

1 (1)??? 1?(1)2 x

1 1?(1)2

(?

1 x2

)

?

x2

|x| x2 ?1

?

x

x

(5)

? 1 (1?ln x)?(1?ln x) 1

y?? x (1?ln x)2

x

??

2 x(1? ln

x)2

?

(6)

y?

?

c

os2x?2? x ?sin x2

2x?1

?

2x

c os2x ?sin x2

2x

?

(7) y?? 1 ?( x)?? 1 ? 1 ? 1 ?

1?( x)2

1?( x)2 2 x 2 x ? x2

(8) y?? 1 ?(x? a2 ? x2 )?? 1 ?[1? 1 (a2 ? x2)?]

x? a2 ? x2

x? a2 ? x2 2 a2 ? x2

? 1 ?[1? 1 (2x)]? 1 ?

x? a2 ? x2 2 a2 ? x2

a2 ? x2

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(9) y?? 1 ?(secx? tan x)?? secxtan x?sec2 x ?secx ?

secx? tan x

secx? tan x

(10) y?? 1 ?(cscx?cotx)?? ?cscxcotx?csc2 x ?cscx ?

c scx ? c ot x

c scx ? c ot x

8? 求下列函数的导数? (1) y ?(arcsinx)2 ?
2 (2) y ?ln tan x ?
2 (3) y? 1?ln2 x ?
(4) y ?earctan x ? (5)y?sinnxcos nx ? (6) y ?arctanx?1 ?
x ?1 (7) y ? arcsinx ?
arccosx (8) y=ln[ln(ln x)] ?
(9) y 1? x ? 1? x ? 1? x ? 1? x

(10) y ?arcsin

1? 1?

x x

?

解 (1) y?? 2(arcsinx)?(arcsinx)?

2

2

? 2(arcsinx)? 1 ?( x)? 2 1?( x)2 2 2

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? 2(arcsinx)? 1 ?1 ? 2 1?( x)2 2 2

2arcsin x

?

2

4? x2

(2)

y?

?

1 tan

x

?(tan

x 2

)?

?

1 tan

x

?sec2

x 2

?(

x )? 2

2

2

?

1 tan

x

?sec2

x 2

?

1 2

?

csc

x

?

2

(3) y? ? 1?ln2 x ? 1 ?(1?ln2 x)? 2 1?ln2 x

? 1 ?2ln x?(ln x)? ? 1 ?2ln x? 1

2 1?ln2 x

2 1?ln2 x

x

? ln x ? x 1?ln2 x

(4) y? ? earctan x ?(arctan x)? ? earctan x ? 1 ?( x)? 1?( x)2

? earctan x ? 1 ? 1 ? earctan x ? 1? ( x)2 2 x 2 x(1? x)

(5) y??n sinn?1x?(sin x)??cos nx?sinnx?(?sin nx)?(nx)? ?n sinn?1x?cos x ?cos nx?sinnx?(?sin nx)?n ?n sinn?1x?(cos x?cos nx?sin x?sin nx)? n sinn?1xcos(n?1)x ?

(6)

y?? 1?

(

1 x ?1)2

?(

x x

?1)? ?1

? 1?

(

1 x ?1)2

?

(x

?1) ? (x ?1) (x ?1)2

? ? 1?1x2

?

x ?1

x ?1

1 arccosx? 1 arcsinx

(7) y? ? 1? x2

1? x2 (arccosx)2

?

1 1?

x2

?

arc c osx ? arc s inx (arccosx)2

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?

?

?

2 1? x2 (arccos x)2

(8) y? ? 1 ?[ln(ln x)]? ? 1 ? 1 ?(ln x)?

ln(ln x)

ln(ln x) ln x

? 1 ? 1 ?1 ?

1

?

ln(ln x) ln x x xln x?ln(ln x)

( 1 ? 1 )( 1? x ? 1? x)?( 1? x ? 1? x)( 1 ? 1 )

(9) y?? 2 1? x 2 1? x

2 1? x 2 1? x

( 1? x ? 1? x)2

?

1

?

1? x2 ?1? x2

(10) y? ?

1 ?(1? x)? ? 1?1? x 1? x

1 1?1? x

?

?

(1? x) (1?

?(1? x)2

x)

1? x

1? x

??

1

?

(1? x) 2x(1? x)

9. 设函数 f(x)和 g(x)可导? 且 f2(x)?g2(x)?0? 试求函数 y ? f 2(x)? g2(x) 的

导数?

解 y? ?

1

?[ f 2(x)? g2(x)]?

2 f 2(x)? g2(x)

?

1

?[2 f (x) f ?(x)?2g(x)g?(x)]

2 f 2(x)? g2(x)

? f (x) f ?(x)? g(x)g?(x) ? f 2(x)? g2(x)
10? 设 f(x)可导? 求下列函数 y 的导数 dy ? dx
(1) y?f(x2)? (2) y?f(sin2x)?f(cos2x)? 解 (1) y??f ?(x2)?(x2)?? f ?(x2)?2x?2x?f ?(x2)?

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(2) y??f ?(sin2x)?(sin2x)??f ?(cos2x)?(cos2x)?

? f ?(sin2x)?2sin x?cos x?f ?(cos2x)?2cosx?(?sin x)

?sin 2x[f ?(sin2x)? f ?(cos2x)]?

11? 求下列函数的导数?

(1) y?ch(sh x )?

(2) y?sh x?ech x?

(3) y?th(ln x)?

(4) y?sh3x ?ch2x ?

(5) y?th(1?x2)?

(6) y?arch(x2?1)?

(7) y?arch(e2x)?

(8) y?arctan(th x)?

(9)

y

?ln

c hx ?

1 2ch2x

?

(10) y ?ch2( x?1) x?1
解 (1) y??sh(sh x)?(sh x)??sh(sh x)?ch x ?

(2) y??ch x?ech x?sh x?ech x?sh x?ech x(ch x?sh2x) ?

(3)

y??

1 ch2(ln

x)

?(ln

x)??

1 x?ch2(ln

x)

?

(4) y??3sh2x?ch x?2ch x?sh x ?sh x?ch x?(3sh x?2) ?

(5)

y??

1 ch2(1?

x2)

?(1?

x2)

?

? 2x ch2(1? x2)

?

(6) y?? 1 ?(x2 ?1)??

2x

?

1?(x2 ?1)

x4 ?2x2 ?2

(7) y?? 1 ?(e2x)?? 2e2x ?

(e2x)2 ?1

e4x ?1

(8)

y?

?

1 1?(thx)2

?(th

x)?

?

1?

1 th2x

?

1 ch2x

? 1?

1 sh2x ch2x

?

1 ch2x

?

ch2x

1 ?sh2x

? 1?

1 2sh2

x

?

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(9)

y?

?

1 ch

x

?(c

h

x)??

1 2ch4x

?(ch2x)?

?

sh ch

x x

?

1 2ch4x

?2c

h

x?shx

?

sh ch

x x

?

shx ch3x

?

sh

x?c h2 x ?s hx ch3x

?

sh

x?(ch2x ch3x

?1)

?

sh3x ch3x

?

th3x

?

(10) y?? 2ch( x?1)?[ch( x?1)]? ? 2ch( x?1)?sh( x?1)?( x?1)?

x?1 x?1

x?1 x?1 x?1

?

sh(2?

x x

?1)? ?1

(x

?1) ? (x ?1) (x ?1)2

?

(x

2 ?1)2

sh(2?

x x

?1) ?1

?

12? 求下列函数的导数?

(1) y?e?x(x2?2x?3)?

(2) y?sin2x?sin(x2)?

(3) y ?(arctanx)2 ? 2

(4)

y

?

ln x xn

?

(5)

y?

et et

? e?t ? e?t

?

(6) y?ln cos1 ? x

(7)

y

?sin2
?e

1 x

?

(8) y? x? x ?
(9) y ? xarcsin x ? 4? x2 ? 2
(10) y?arcsin1?2tt2 ? 解 (1) y???e?x(x2?2x?3)?e?x(2x?2)
?e?x(?x2?4x?5)? (2) y??2sin x?cos x?sin(x2)?sin2x?cos(x2)?2x
?sin2x?sin(x2)?2x?sin2x?cos(x2)?

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(3)

y? ? 2 arctan

x 2

?1?1x2

?

1 2

?

4 x2 ?

4

arctan

x 2

?

4

(4)

y??

1 x

?

xn

?ln x?nxn?1 x2n

?

1? n ln xn?1

x

?

(5)

y??

(et

? e?t )(et

? e?t ) ?(et ?e?t )(et (et ? e?t )2

?e?t )

?

4e2t (e2t ?1)2

?

(6)

y?

?sec

1 x

?(cos1)??sec x

1 x

?(?sin

1)?(? x

1 x2

)

?

1 x2

tan

1 x

?

(7)

y?

?

?sin2
e

1 x

?(?sin2

1)? x

?

?sin2
e

1 x

?(?2sin

1)?c x

os

1 x

?(?

1 x2

)

?

1 x2

?sin

2

?sin2
?e

x

1 x

?

(8) y? ? 1 ?(x? x)? ? 1 ?(1? 1 )

2 x? x

2 x? x 2 x

? 2 x ?1 ? 4 x? x? x

(9) y??arcsin x ? x? 1 ? 1 ? 1 ?(?2x)?arcsin x ?

2

1? x2 2 2 4? x2

2

4

(10) y??

1

1?

( 2t 1? t

2

)2

?( 2t 1? t

2

)??

1

1?

( 2t 1? t

2

)2

?

2?(1? t 2) ? 2t (1? t 2 )2

?(2t)

?

1? t 2 (1? t 2 )2

?

2(1? t 2) (1? t 2)2

?

2(1? t 2) |1? t 2 |(1? t 2)

?

习题 2?3 1? 求函数的二阶导数?
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(1) y?2x2?ln x? (2) y?e2x?1? (3) y?xcos x? (4) y?e?t sin t?

(5) y? a2 ? x2 ?

(6) y?ln(1?x2)

(7) y?tan x?

(8)

y

?

1 x3 ?1

?

(9) y?(1?x2)arctan x ?

(10) y ? ex ? x

(11) y? xex2 ?

(12) y?ln(x? 1? x2 ) ?

解 (1) y? ? 4x? 1 ? x

y??

?

4?

1 x2

?

(2) y??e2x?1 ?2?2e2x?1? y???2e2x?1 ?2?4e2x?1?

(3) y?xcos x ? y??cos x?xsin x?

y????sin x?sin x?xcos x??2sin x?xcos x ?

(4) y???e?tsin t?e?tcos t?e?t(cos t?sin t)

y????e?t(cos t?sin t)?e?t(?sin t?cos t)??2e?tcos t ?

(5) y?? 1 ?(a2 ? x2)??? x ?

2 a2 ? x2

a2 ? x2

a2 ? x2 ? x? ? x

y?? ? ?

a2 ? x2 a2 ? x2

??

a2

(a2 ? x2) a2 ? x2

?

(6) y??1?1x2 ?(1? x2)???1?2xx2 ?

y??

?

?

2(1?

x2 ) ? 2x ?(?2x) (1? x2)2

?

?

2(1? x2) (1? x2)2

?

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(7) y??sec2 x? y???2sec x?(sec x)??2sec x?sec x?tan x?2sec2x?tan x ?

(8)

y?

?

?(x3 ?1)? (x3 ?1)2

?

?

3x2 (x3 ?1)2

?

y??

?

?

6x

?(x3

?1)2 ?3x2 ?2(x3 (x3 ?1)4

?1)?3x

?

6x(2x3 ?1) (x3 ?1)3

?

(9) y??2xarctanx?(1? x2)?1?1x2 ?2xarctanx?1?

y??

?

2arc

tanx

?

2x 1? x2

?

(10)

y??

ex

?x?ex x2

?1?

ex (x ?1) x2

?

y?? ? [e x (x

?1) ? ex ]? x2 x4

?ex(x

?1)?2x

?

ex(x2

? 2x ? x3

2)

?

(11) y??ex2 ? x?ex2 ?(2x)?ex2 (1? 2x2) ?

y???ex2 ?2x?(1? 2x2)? ex2 ?4x ?2xex2 (3? 2x2) ?

(12) y?? 1 ?(x? 1? x2 )?? 1 ?(1? 2x )? 1 ?

x? 1? x2

x? 1? x2 2 1? x2 1? x2

y????1?1x2 ?(

1?

x2

?)?

?

?

1 1? x2

?

2

2x ??

x

1? x2) (1? x)2

? 1? x

2? 设 f(x)?(x?10)6? f ???(2)??

解 f ?(x)?6(x?10)5? f ??(x)?30(x?10)4? f ???(x)?120(x?10)3?

f ???(2)?120(2?10)3?207360?

3?

若f

??(x)存在?

求下列函数

y

的二阶导数

d2y dx2

?

(1) y?f(x2)?

(2) y?ln[f(x)] ?

解 (1)y?? f ?(x2)?(x2)??2xf ?(x2)?

y???2f ?(x2)?2x?2xf ??(x2)?2f ?(x2)?4x2f ??(x2)?

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(2) y?? 1 f ?(x) ? f (x)

y???

f

??(x) f

(x)? f ?(x) f [ f (x)]2

?(x)

?

f

??(x)

f (x) ?[ f ?(x)]2 [ f (x)]2

?

4?

试从

dx dy

?

1 y?

导出?

(1)

d2x dy2

??

y?? ( y?)3

?

(2)

d3x dy3

?

3(

y??)2 ? y?y??? ( y?)5

?

? ? ? ? ? ? 解

(1)

d2x dy2

?

d dy

dx dy

?d dy

1 y?

?d dx

1 y?

?

dx dy

?

? y?? ( y?)2

?

1 y?

??

y?? ( y?)3

?

? ? ? ? (2)

d3x dy3

?

d dy

?

y??
?y??3

?d dx

?

y??
?y??3

? dx dy

?

?

y???( y?)3

? y???3(y?)2 ( y?)6

y?? ?

1 y?

?

3(y??)2 ? y?y??? ( y?)5

?

5? 已知物体的运动规律为 s?Asin?t(A、?是常数)? 求物体运动的加速度? 并

验证?

d 2s dt2

??

2s

?

0

?

解 ds ? A? cos? t ? dt

d 2s dt2

?

?A?

2

s

in?

t

?

d 2s dt2

就是物体运动的加速度?

d 2s dt2

??

2s

?

?

A?

2

sin?

t??

2

As

in?

t?0

?

6? 验证函数 y?C1e?x?C2e??x(??C1? C2 是常数)满足关系式?

y????2y?0 ?

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解 y??C1?e?x?C2?e??x? y???C1?2e?x?C2?2e??x? y????2y?(C1?2e?x?C2?2e??x)??2(C1e?x?C2e??x) ?(C1?2e?x?C2?2e??x)?(C1?2e?x?C2?2e??x)?0 ?
7? 验证函数 y?exsin x 满足关系式?

y???2y??2y?0 ?

解 y??exsin x?excos x?ex(sin x?cos x)? y???ex(sin x?cos x)?ex(cos x?sin x)?2excos x ?

y???2y??2y?2excos x?2ex(sin x?cos x)?2exsin x

?2excos x?2exsin x?2excos x?2exsin x?0 ?

8? 求下列函数的 n 阶导数的一般表达式?

(1) y?xn?a1xn?1?a2xn?2? ? ? ? ?an?1x?an (a1? a2? ? ? ?? an 都是常数)? (2) y?sin2x ?

(3) y?xln x ?

(4) y?xex ?

解 (1) y??nxn?1?(n?1)a1xn?2?(n?2)a2xn?3? ? ? ? ?an?1? y???n(n?1)xn?2?(n?1)(n?2)a1xn?3?(n?2)(n?3)a2xn?4? ? ? ? ?an?2?

? ? ?? y(n)?n(n?1)(n?2)? ? ?2?1x0?n! ?

(2) y??2sin x cos x?sin2x ?

y???2cos2x?2sin(2x?? ) ? 2

y????22 cos(2x?? )?22 sin(2x?2?? ) ?

2

2

y(4) ?23 cos(2x?2?? )?23sin(2x?3?? ) ?

2

2

? ? ??

y(n) ?2n?1sin[2x?(n?1)?? ] ? 2

(3) y??ln x?1?

y??? 1 ? x?1? x

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y????(?1)x?2? y(4)?(?1)(?2)x?3?

? ? ??

y(n)?(?1)(?2)(?3)?

?

?(?n?2)x?n?1

?

(?1)n?2

(nx?n?21)!?(?1)n

(n ? 2)! xn?1

?

(4) y??ex?xex ?

y???ex?ex?xex?2ex?xex ?

y????2ex?ex?xex?3ex?xex ?

? ? ?? y(n)?nex?xex?ex(n?x) ? 9? 求下列函数所指定的阶的导数? (1) y?excos x? 求 y(4) ? (2) y?xsh x? y 求 ? (100) (3) y?x2sin 2x? 求 y(50) . 解 (1)令 u?ex? v?cos x ? 有 u??u???u????u(4)?ex? v???sin x ? v????cos x ? v????sin x? v(4)?cos x ? 所以 y(4)?u(4)?v?4u????v??6u???v???4u??v????u?v(4)
?ex[cos x?4(?sin x)?6(?cos x)?4sin x?cos x]??4excos x ? (2)令 u?x? v?sh x? 则有
u??1? u???0? v??ch x? v???sh x? ? ? ? ? v(99)?ch x ? v(100)?sh x? 所以

y(100) ?u(100) ?v ?C1100u(99) ?v??C1200u(98) ?v??? ? ? ? C19080u???v(98) ?C19090u??v(99) ?u ?v(100)
?100ch x?xsh x ? (3)令 u?x2 ? v?sin 2x? 则有
u??2x? u???2? u????0? v(48) ?248sin(2x?48?? )?248sin 2x ?
2 v(49)?249cos 2x? v(50)??250sin 2x ?

所以

y(50) ?u(50) ?v ?C1150u(49) ?v??C520u(48) ?v??? ? ? ? C5408u???v(48) ?C5409u??v(49) ?u?v(50)

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?C5408u???v(48) ? C5409u??v(49) ? u ?v(50)
? 50?49?2?228sin 2x?50?2x?249 cos2x? x2?(?250sin 2x) 2
?250(?x2 sin 2x?50xcos2x?1225sin 2x) ? 2

习题 2?4
1? 求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数 dy ? dx
(1) y2?2x y?9?0? (2) x3?y3?3axy?0? (3) xy?ex?y ? (4) y?1?xey? 解 (1)方程两边求导数得
2y y??2y?2x y? ?0 ? 于是 (y?x)y??y?

y?? y ? y?x

(2)方程两边求导数得 3x2?3y2y??2ay?3axy??0?
于是 (y2?ax)y??ay?x2 ?

y??

ay y2

? ?

x2 ax

?

(3)方程两边求导数得

于是

y ?xy??e x?y(1?y?)? (x?ex?y)y??ex?y?y?

y?

?

ex?y ? x?ex?

y
y

?

(4)方程两边求导数得

于是

y???e y?xeyy?? (1?xe y)y???e y?

y??

?

ey 1? xe

y

?

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2?

2 22
求曲线 x 3 ? y 3 ? a 3 在点 (

2 a,

2 a) 处的切线方程和法线方程?

44

解 方程两边求导数得

2

?
x

1 3

?

2

y

?

1 3

y?

?

0

?

33

于是

?1

y? ? ?

x3

y

?1 3

?

在点 ( 2 a, 2 a) 处 y???1? 44
所求切线方程为

y ? 2 a ??(x? 2 a)? 即 x ? y ? 2 a ?

4

4

2

所求法线方程为

y ? 2 a ?(x? 2 a) ? 即 x?y?0?

4

4

3?

求由下列方程所确定的隐函数

y

的二阶导数

d2y dx2

?

(1) x2?y2?1?

(2) b2x2?a2y2?a2b2?

(3) y?tan(x?y)?

(4) y?1?xey?

解 (1)方程两边求导数得

2x?2yy??0?

y?? x ? y

y?? ? (

x y

)??

y

? xy? y2

?

y

?x y2

x y

?

y2 ? x2 y3

?

?

1 y3

?

(2)方程两边求导数得 2b2x?2a2yy??0?

y? ? ?

b2 a2

?

x y

?

y??

?

?

b2 a2

?

y

? xy? y2

?

?

b2 a2

?

y

?

x(?

b2 a2

y2

?

x y

)

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?

?

b2 a2

?

a2

y2 ?b2 a2 y3

x2

?

?

b4 a2 y3

?

(3)方程两边求导数得 y??sec2(x?y)?(1?y?)?

y?

?

sec2(x? y) 1?sec2(x? y)

?

1 cos2(x ?

y)

?1

?

s in 2(x ? ?s

y) ? cos2(x in2(x? y)

?

y)

? ?1?

1 y2

?

y???

2 y3

y??

2 y3

(?1?

1 y2

)??

2(1? y2) y5

?

(4)方程两边求导数得 y??e y?xe yy??

y?

?

ey 1? xe

y

? ey 1?(y ?1)

?

ey 2? y

?

y??

?

e

y

y?(2 ? (2

y) ? e ? y)2

y

(?

y?)

?

e

y(3? y)y? (2? y)2

?

e2y (2

(3? y) ? y)3

?

4? 用对数求导法求下列函数的导数? (1) y ?( x )x ?
1? x

(2) y ?5 x?5 ? 5 x2 ?2

(3) y ?

x ? 2(3? (x ?1)5

x)4

?

(4) y? xsin x 1?ex ?

解 (1)两边取对数得

ln y?xln|x|?xln|1?x|, 两边求导得

1 y

y??ln

x?

x?

1 x

?ln(1?

x)

?

x? 1 1?

x

?

于是

y??( x )x[ln x ? 1 ]? 1? x 1? x 1? x

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(2)两边取对数得

ln y? 1 ln|x?5|? 1 ln(x2 ?2) ?

5

25

两边求导得

1 y

y??

1? 5

1? x?5

1? 25

2x x2 ?2

?

于是

y?

?

1 5

5

5

x?5 x2 ?2

?[

x

1 ?

5

?

1 5

?

2x x2 ?

] 2

?

(3)两边取对数得

ln y? 1 ln(x?2)?4ln(3? x)?5ln(x?1) ? 2
两边求导得

1 y?? 1 ? 4 ? 5 ? y 2(x?2) 3? x x?1

于是

y??

x

? 2(3? (x ?1)5

x)4

[

1 2(x ?

2)

?

x

4 ?

3

?

x5?1]

(4)两边取对数得

ln y? 1 ln x? 1 ln sin x? 1 ln(1?ex) ?

22

4

两边求导得

1 y

y??

1 2x

?

1 2

cot

x

?

ex 4(1? e x )

?

于是

y? ?

xsin x

1?e

x

[

1 2x

?

1 2

cot

x

?

ex 4(1?ex

)

]

?1 4

xsin x

1?ex

[

2 x

?

2c

otx

?

exe?x 1]

?

5? 求下列参数方程所确定的函数的导数 dy ? dx

(1)

?x ? at 2

? ?

y

?bt

2

?

(2)

?x ?? (1?sin? ??y ?? cos?

)

?



(1)

dy dx

?

yt? xt?

?

3bt 2 2at

?

3b 2a

t

?

(2)

dy dx

?

y?? x??

?1?cosisn??????scino?s?

?

6?

已知

?x ? et ??y ?et

sin t, cost.

求当 t

?? 3



dy dx

的值?

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dy dx

?

yt? xt?

?

et et

cost ?et sin t sin t ?et cost

?

cost ?sint sint ?cost

?

当 t ?? 时? 3

dy

?

1 2

?

dx 1 ?

3 2 ?1? 3 1?

3? 3

3?2 ?

22

7? 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程?

(1)

?x

? ?

y

?sin t ? cos 2t

?

在 t ?? 处? 4

(2) ?????xy??1133??aatttt222 ? 在 t=2 处?



(1)

dy dx

?

yt? xt?

?

?2sin 2t cost

?

当 t ?? 时? 4

dy dx

?

?

2sin(2? cos?

? 4

)

?

?2 2

?

?2

2?

x0 ?

2 2

?

y0 ?0 ?

4

2

所求切线方程为

y ??2 2(x ? 2 ) ? 即 2 2x ? y ?2?0 ? 2
所求法线方程为

y ?? 1 (x ? 2 ) ? 即 2x ?4y ?1?0 ? ?2 2 2

(2)

yt?

?

6at(1? t 2) ? 3at (1? t 2 )2

2

?2t

?

6at (1? t 2 )2

?

xt? ?

3a(1? t 2 ) ? 3at ? 2t (1? t 2 )2

?

3a ?3at2 (1? t 2 )2

?

dy dx

?

yt? xt?

?

6at 3a ?3at2

?

2t 1?t

2

?

当 t?2 时?

dy dx

?12??222

?

?

4 3

?

x0

?

6 5

a

?

y0

?

12 5

a

?

所求切线方程为

y?12 a?? 4 (x? 6 a) ? 即 4x?3y?12a?0? 5 35
所求法线方程为

y?12 a? 3 (x? 6 a) ? 即 3x?4y?6a?0? 545

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8?

求下列参数方程所确定的函数的二阶导数

d2y dx2

?

(1)

??x ? t2 ?2

?

??y ?1?t.

(2)

?x

? ?

y

? a cost ?bsin t

?

(3)

?x ?3e?t

? ?

y

?

2et

?

(4)

?x? f t(t) ??y ?tf t(t)?

f

(t)

?

设f

??(t)存在且不为零?

1

解 (1)

dy dx

?

yt? xt?

?

?1 t

?

d2y dx2

?

(

y?x)?t xt?

?

t2 t

?

1 t3

?

(2)

dy dx

?

yt? xt?

?

b cos t ?asin t

?

?

b a

cot

t

?

d2y dx2

?

(

y?x)?t xt?

?

b csc2 t a ? a sin t

?

?

a2

b sin3

t

?

(3)

dy dx

?

yt? xt?

?

2et ? 3e?t

??

2 3

e2t

?

d2y dx2

?

( y?x )?t xt?

?

? 2 ?2e2t 3 ?3e?t

?

4 9

e3t

?

(4)

dy ? dx

yt? xt?

?

f

?(t)?tf ??(t)? f ??(t)

f

?(t) ?t

?

d2y dx2

?

(

y?x )?t xt?

?

f

1 ??(t)

?

9?

求下列参数方程所确定的函数的三阶导数

d3y dx3

?

(1)

?x ?1? t 2 ??y ?t ?t3

?

(2)

?x ?ln(1?t2) ??y ?t ?arctan

t

?

解(1)

dy dx

?

(t ?t3)? (1? t 2 )?

? 1? 3t 2 ? 2t

?

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d2y dx2

?

(1? 3t 2 ? 2t ? 2t

)?

?

?

1 4

(t13

?

3) t

?

d3y dx3

?

?

1 4

(t13 ? ? 2t

3)? t

?

?

3 8t5

(1?

t

2

)

?

(2)

dy dx

?

(t ?arctant)? [ln(1? t 2 )]?

?

1?

1
1? t 2t

2

?

1t 2

?

1? t 2

d2y dx2

?

(1 t)? 2 2t

? 1? t 2 4t

?

1? t 2

d3y dx3

?

(1? t 2 4t 2t

)?

?

t4 ?1 8t3

?

1? t 2

10? 落在平静水面上的石头? 产生同心波纹? 若最外一圈波半径的增大率总 是 6m/s? 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少?
解 设波的半径为 r? 对应圆面积为 S? 则 S??r2? 两边同时对 t 求导得 S t??2?rr??
当 t?2 时? r?6?2?12? r?t?6? 故 S t?|t?2?2?12?6??144? (米 2 )?
11? 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中? 其速率为 4m2/min ? 当水深
为 5m 时? 其表面上升的速度为多少?

解 水深为 h 时? 水面半径为 r ? 1 h ? 水面面积为 S ? 1 h2? ?

2

4

水的体积为V ? 1 hS ? 1 h?1 h2? ? ? h3? 3 3 4 12

dV ? ? ?3h2? dh ? dt 12 dt

dh dt

?

4 ?h2

?

dV dt

?

已知 h?5(m), dV ?4 (m3/min)? 因此 dt

dh dt

?

4 ?h2

? dV dt

?

4 25?

?4 ?

16 25?

(m/min)?

12? 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形 筒中? 开始时漏斗中盛满了溶液? 已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时? 其表面下降 的速率为 1cm/min? 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?
解 设在 t 时刻漏斗在的水深为 y? 圆柱形筒中水深为 h? 于是有

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1?62? ?18?1?r2y?52h ?

3

3

由 r ? y ? 得 r ? y ? 代入上式得

6 18

3

1?62? ?18? 1?( y)2 y ?52h ?

3

33



1 ?62? 3

?18?

1 33

y3 ?52h ?

两边对 t 求导得

?

1 32

y2 yt?

?52h?

?

当 y?12 时? y?t??1 代入上式得

ht?

?

?

1 32

?12 2 52

?(?1)

?

16 25

?

0.64

(cm/min).?

2?7
1? 已知 y?x3?x? 计算在 x?2 处当 ?x 分别等于 1? 0?1? 0?01 时的 ?y 及 dy? 解 ?y|x?2? ?x?1?[(2?1)3?(2?1)]?(23?2)?18?
dy|x?2? ?x?1?(3x2?1)?x|x?2? ?x?1?11? ?y|x?2? ?x?0.1?[(2?0.1)3?(2?0.1)]?(23?2)?1?161? dy|x?2? ?x?0.1?(3x2?1)?x|x?2? ?x?0.1?1?1? ?y|x?2? ?x?0?01?[(2?0?01)3?(2?0?01)]?(23?2)?0?110601? dy|x?2? ?x?0?01?(3x2?1)?x|x?2? ?x?0?01?0?11?

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2? 设函数 y?f(x)的图形如图所示? 试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在 点 x0 的 dy、?y 及 ?y?dy 并说明其正负?
解 (a)?y?0? dy?0? ?y?dy?0? (b)?y?0? dy?0? ?y?dy?0? (c)?y?0? dy?0? ?y?dy?0? (d)?y?0? dy?0? ?y?dy?0? 3? 求下列函数的微分? (1) y? 1 ?2 x ?
x (2) y?xsin 2x ?

(3) y ? x ? x2 ?1

(4) y?ln2(1?x)? (5) y?x2e2x ? (6) y?e?xcos(3?x)?

(7) y?arcsin 1? x2 ?

(8) y?tan2(1?2x2)?

(9)

y

?

arc

tan1? 1?

x2 x2

?

(10) s?Asin(?t??) (A? ?? ? 是常数) ?



(1)因为

y?

?

?

1 x2

?

1? x

所以

dy

?

(?

1 x2

?

1 )dx ? x

(2)因为 y??sin2x?2xcos2x ? 所以 dy?(sin2x?2xcos2x)dx?

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x2 ?1?? x

(3)因为 y??

x2

?1

x2

?1

?

(x2

1 ?1)

? x2 ?1

所以 dy?

1

(x2 ?1)

dx ? x2 ?1

(4) dy? y?dx?[ln2(1? x)]?dx?[2ln(1? x)? ?1 ]dx? 2 ln(1? x)dx ? (1? x) x?1
(5)dy?y?dx?(x2e2x)?dx?(2xe2x?2x2e2x)dx?2x(1?x)e2x? (6) dy?y?dx?[e?xcos(3?x)]dx?[?e?xcos(3?x)?e?xsin(3?x)]dx
?e?x[sin(3?x)?cos(3?x)]dx ?

(7) dy ? y?dx?(arcsin 1? x2 )?dx? 1 ?(? 2 )dx?? x dx ?

1?(1? x2) 1? x2

| x| 1? x2

(8) dy?dtan2(1?2x2)?2tan(1?2x2)dtan(1?2x2)

?2tan(1?2x2)?sec2(1?2x2)d(1?2x2)

?2tan(1?2x2)?sec2(1?2x2)?4xdx

?8x?tan(1?2x2)?sec2(1?2x2)dx ?

(9)

dy

?

d

arc

tan1? 1?

x2 x2

? 1?

1 (1? 1?

x2 x2

)2

d

(1? 1?

x2 x2

)

? 1?

1 (1? 1?

x2 x2

)2

?

?2x(1? x2)?2x(1? (1? x2)2

x2)

dx ?

?

4x 1? x4

dx

?

(10) dy?d[Asin(? t??)]?Acos(? t??)d(?t??)?A? cos(?t??)dx ?

4? 将适当的函数填入下列括号内? 使等式成立?

(1) d( )?2dx ?

(2) d( )?3xdx ?

(3) d( )?costdt ?

(4) d( )?sin ?xdx ?

(5) d( (6) d(

) ? 1 dx ? x ?1
)?e?2xdx ?

(7) d( (8) d(

) ? 1 dx ? x
)?sec23xdx ?

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解 (1) d( 2x?C )?2dx ?

(2) d( 3 x2 ?C )?3xdx ? 2
(3) d( sin t?C )?costdt ?

(4)

d(

?

1 ?

cos?x

?C

)?sin

?xdx

?

(5) d( ln(1?x)?C ) ? 1 dx ? x ?1

(6) d( ? 1 e?2x ?C )?e?2xdx ? 2
(7) d( 2 x ?C ) ? 1 dx ? x

(8) d( 1 tan3x?C )?sec23xdx ? 3

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5?

如图所示的电缆

? AOB

的长为

s?

跨度为 2l?

电缆的最低点 O 与杆顶连线 AB

的距离为 f? 则电缆长可按下面公式计算?

s

?

2l(1?

2f 2 3l 2

)

?

当 f 变化了 ?f 时? 电缆长的变化约为多少?



?S

?

dS

?

2l(1?

2f 2 3l 2

)?df

?8 3l

f?f

?

6? 设扇形的圆心角 ??60?? 半径 R?100cm(如图)? 如果 R 不变? ? 减少 30?? 问

扇形面积大约改变了多少?又如果 ? 不变? R 增加 1cm? 问扇形面积大约改变了多

少?

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解 (1)扇形面积 S ? 1?R2 ? 2

?S

?dS

?(12?R2)??

d?

?

1 2

R2??

?

将 ??60? ?? ? R?100? ?? ??30??? ? 代入上式得

3

360

?S ? 1 ?1002?(? ? )??43.63(cm2)?

2

360

(2) ?S ?dS ?(12?R2)?RdR??R?R ?

将 ??60? ? ? ? R?100? ?R?1 代入上式得
3

?S ?? ?100?1?104.72(cm2)? 3
7? 计算下列三角函数值的近似值?

(1) cos29??

(2) tan136??

解 (1)已知 f (x??x)?f (x)?f ?(x)?x? 当 f(x)?cos x 时? 有 cos(x??x)?cos

x?sin x??x ? 所以

cos29?? cos(? ? ? )?cos? ?sin ? ?(? ? )? 3 ? 1 ? ? ?0.87467? 6 180 6 6 180 2 2 180
(2)已知 f (x??x)?f (x)?f ?(x)?x? 当 f(x)?tan x 时? 有 tan(x??x)?tan x?sec2x??x? 所以

tan136?? tan(3? ? ? )?tan 3? ?sec2 3? ? ? ??1?2? ? ??0.96509?

4 180

4

4 180

180

8? 计算下列反三角函数值的近似值

(1) arcsin0.5002?

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(2) arccos 0?4995? 解 (1)已知 f (x??x)?f (x)?f ?(x)?x? 当 f(x)?arcsin x 时? 有

所以

arcsin(x??x)?arcsinx? 1 ??x ? 1? x2

arcsin0.5002?arcsin(0.5?0.0002)?arcsin0.5? 1 ?0.0002 1? 0.52
?? ? 2 ?0.0002 ?30?47??? 63
(2)已知 f (x??x)?f (x)?f ?(x)?x? 当 f(x)?arccos x 时? 有

arccos(x ? ?x)?arccosx ? 1 ??x ? 1? x2

所以

arccos0.4995?arccos(0.5?0.0005)?arccos0.5? 1 ?(?0.0005) 1? 0.52
?? ? 2 ?0.0005 ?60?2?? 33
9? 当 x 较小时? 证明下列近似公式?

(1) tan x?x (x 是角的弧度值)? (2) ln(1?x )?x ? (3) 1 ?1? x ?
1? x 并计算 tan45? 和 ln1?002 的近似值?
(1)已知当|?x|较小时? f(x0??x)?f(x0)?f ?(x0)?x? 取 f(x)?tan x? x0?0? ?x?x? 则有
tan x?tan(0?x)?tan 0?sec20?x?sec20?x?x ? (2)已知当|?x|较小时? f(x0??x)?f(x0)?f ?(x0)?x? 取 f(x)?ln x ? x0?1? ?x?x? 则有
ln(1?x)?ln1?(ln x)?|x?1?x?x ?

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(3)已知当|?x|较小时? f(x0??x)?f(x0)?f ?(x0)?x? 取 f (x)? 1 ? x0?1? ?x?x? x
则有

1 1?

x

?1?

(1x)?|x?1?x

?1?

x

?

tan45??45??0?01309?

ln(1?002)?ln(1?0?002) ?0?002? 10? 计算下列各根式的的近似值?

(1) 3 996 ?

(2) 6 65 ?

解 (1)设 f (x)?n x ? 则当|x|较小时? 有 f (1? x)? f (1)? f ?(1)x?1? 1 x ? n

3 996 ?3 1000?4 ?10?3 1? 4 ?10(1? 1?? 4 )?9.987 ?

1000

3 1000

(2)设 f (x)?n x ? 则当|x|较小时? 有 f (1? x)? f (1)? f ?(1)x?1? 1 x ? 于是 n

6 65 ?6 64?1?2?6 1? 1 ?2(1? 1 ? 1 )?2.0052?

64

6 64

11? 计算球体体积时? 要求精确度在 2%以内? 问这时测量直径 D 的相对误差不

能超过多少?

解 球的体积为V ? 1?D3 ? dV ? 1?D2 ??D ? 因为计算球体体积时? 要求精度在

6

2

2%以内? 所以其相对误差不超过 2%? 即要求

dV V

?

1?D2 ??D 2
1 ?D3

?3?

?D D

?2% ?

6

所以

?D ? 2 % ? D3

也就是测量直径的相对误差不能超过 2 % ? 3

12? 某厂生产如图所示的扇形板? 半径 R?200mm? 要求中心角 ? 为 55?? 产品检

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验时? 一般用测量弦长 l 的办法来间接测量中心角 ?? 如果测量弦长 l 时的误差

?1?0?1mm? 问此而引起的中心角测量误差 ?x 是多少?

解 由 l ?Rsin? 得? ?2arcsin l ?2arcsin l ?

2

2

2R

400

当 ??55?时? l ?2Rsin? ?400sin27?5??184?7? 2

? ???|??l|??l ? 2?

1 1?( l

?1 )2 400

??l ?

400

当 l?184?7? ? l?0?1 时?

?? ?2?

1

? 1 ?0.1?0.00056(弧度)?

1?(184.7)2 400

400

总习题二

1? 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格

内?

(1)f(x)在点 x0 可导是 f(x)在点 x0 连续的____________条件? f(x)在点 x0 连

续是 f(x)在点 x0 可导的____________条件?

(2) f(x)在点 x0 的左导数 f??(x0)及右导数 f??(x0)都存在且相等是 f(x)在点

x0 可导的_______条件?

(3) f(x)在点 x0 可导是 f(x)在点 x0 可微的____________条件?

解 (1)充分? 必要?

(2) 充分必要?

(3) 充分必要?

2? 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论?

设 f(x)在 x?a 的某个邻域内有定义? 则 f(x)在 x?a 处可导的一个充分条件是

(

)?

(A) lim h[ f (a? 1)? f (a)] 存在?

h???

h

(C) lim f (a?h)? f (a?h) 存在?

h?0

2h

(B) lim f (a?2h)? f (a?h) 存在?

h?0

h

(D) lim f (a)? f (a?h) 存在?

h?0

h

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解 正确结论是 D?

提示? lim f (a)? f (a?h) ? lim f (a?h)? f (a) ? lim f (a??x)? f (a) (?x??h).

h?0

h

h?0

?h

?x?0

?x

3? 设有一根细棒? 取棒的一端作为原点? 棒上任一点的做标 x 为? 于是分布

在区间[0? x]上细棒的质量 m 是 x 的函数 m?m(x)?应怎样确定细棒在点 x0 处的线密 度(对于均匀细棒来说?

解 ?m?m(x0??x)?m(x0)?

在区间[x0? x0??x]上的平均线密度为

? ? ?m ? m(x0 ??x)?m(x0) ?

?x

?x

于是? 在点 x0 处的线密度为

?

?

lim
?x?0

?m ?x

?

lim
?x?0

m(x0

?

?x) ?x

?

m(x0)

?

m?(x0)

?

4? 根据导数的定义? 求 f (x)? 1 的导数?
x



y?? lim
?x?0

1
x ? ?x ?x

?

1 x

? lim
?x?0

? ?x ?x(x ? ?x)x

? lim
?x?0

?1 (x ? ?x)x

??

1 x2

?

5? 求下列函数 f(x)的 f??(0)及 f??(0)?又 f ?(0)是否存在?

(1)

f

(x)

?

? sin x ??ln(1? x)

x?0 x?0

?

?x

(2)

f

(x)

?

? ?1?

e

1 x

?? 0

x?0 ?
x?0



(1)因为

f??(0)

?

lim
x?0?

f (x)? f (0) ? lim sin x?0 ?1 ?

x?0

x?0? x

f??(0)

?

lim
x?0?

f (x)? f (0) ?

lim

ln(1? x)?0 ?

lim

1
ln(1? x) x

x?0

x?0?

x

x?0?

? ln e ?1?

而且 f??(0) ? f??(0)? 所以 f ?(0)存在? 且 f ?(0)?1?

x 1 ?0

(2)因为

f??(0)

?

lim
x?0?

f (x)? f (0) ? lim 1?e x

x?0

x?0? x ?0

? lim
x?0?

1 1 ?1?

1?e x

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x 1 ?0

f

??(0)

?

lim
x?0?

f (x)? f (0) ? lim 1?e x

x?0

x?0? x ?0

? lim
x?0?

1 1 ?0 ?

1?e x

而 f??(0)? f??(0)? 所以 f ?(0)不存在?

6? 讨论函数

f

(x) ?

??xsin ?

1 x

x?0

?? 0 x?0

在 x?0 处的连续性与可导性?

解 因为 f(0)?0? lim f (x)? lim xsin 1 ?0? f (0) ? 所以 f(x)在 x?0 处连续?

x?0

x?0

x

因为极限 lim

f (x)? f (0) ? lim

x s in

1 x

?0

?

lim

sin

1

不存在?

所以 f(x)在 x?0 处

x?0

x

x?0 x

x?0 x

不可导?

7? 求下列函数的导数?

(1) y?arcsin(sin x)?

(2) y ?arctan1? x ? 1? x

(3) y ?ln tan x ?cosx?ln tan x ? 2

(4) y ?ln(ex ? 1?e2x) ?

(5) y ? x x (x>0) ?

解(1) y?? 1 ?(sin x)?? 1 ?cosx? cosx ?

1?sin2 x

1?sin2 x

|cosx|

(2)

y??1?(11?

x)2

?(11??

x)?? x 1?

1 (1?

x)2

?

(1? x)?(1? (1? x)2

x)

?1?1x2

?

1? x

1? x

(3)

y?

?

1 tan

x

?(tan

x )? ? s in 2

x?ln

tan

x

?

cos

x?

1 tan

x

?(tan

x)?

2

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1 ?sec2 x ? 1 ?sin x?ln tan x ?cos x? 1 ?sec2 x ?sin x?ln tan x ?

tan x

22

tan x

2

(4) y??

1

?(ex ? 1?e2x )??

1

?(ex ? 2e2x )? ex ?

ex ? 1? e2x

ex ? 1? e2x

2 1? e2x 1? e2x

(5) ln y? 1 ln x ? x

1 y

y??

?

1 x2

ln

x

?

1 x

?

1 x

?

y?? x

x(?

1 x2

ln

x?

1 x2

)?

xx x2

(1?ln

x)

?

8? 求下列函数的二阶导数? (1)y?cos2x ?ln x ?

(2) y ? x ? 1? x2

解 (1) y???2cosxsin x?ln x?cos2 x? 1 ??sin 2x?ln x?cos2 x? 1 ?

x

x

y??

?

?2c

os2x?ln

x

?sin

2x?

1 x

?

2cosxsin

x?

1 x

?c

os2

x?

1 x2

? ?2 c os2x ?ln

x

?

2sin x

2x

?

cos2 x2

x

?

(2) y??

1? x2 ? x? 1? x2

?x 1? x2

?(1?

x2)?

3 2

y??

?

?

3

(1?

x2)?

5 2

?(?2x)

?

3x

?

2

(1? x2)5

9? 求下列函数的 n 阶导数?
(1) y ? m1? x ?
(2) y ?1? x ? 1? x
1
解 (1) y ? m1? x ?(1? x)m ?

y??

1

(1?

1
x) m

?1 ?

y???

1

(

1

?1)(1?

1 ?2
x) m

?

y????

1

(1

?1)( 1

?

2)(1?

x)

1 m

?3

?

?

?

??

m

mm

mm m

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y(n)

?

1

(

1

?1)( 1

? 2)

???

(

1

? n ?1)(1?

1 ?n
x) m

?

mm m

m

(2) y ?1? x ??1?2(1? x)?1 ? 1? x
y??2(?1)(1?x)?2? y???2(?1)(?2)(1?x)?3? y????2(?1)(?2)(?3)(1?x)?4? ? ? ??

y(n)

?

2(?1)(?2)(?3)

?

?

?

(?n)(1?

x)?(n?1)

?

2(?1)n n! (1? x)n?1

?

10? 设函数 y?y(x)由方程 e y?xy?e 所确定? 求 y??(0)?

解 方程两边求导得

e yy??y?xy??0?

—— (1)

于是

y? ? ?

y x?ey

?

y???

(?

x

y ?ey

)? ? ?

y?(x

?

ey)? y(1?e (x ? e y )2

y

y?)

?

——(2)

当 x?0 时?

由原方程得 y(0)?1?

由(1)式得 y?(0)??1 ? e

由(2)式得

y??(0) ?

1 e2

?

11?

求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 dy dx

及二阶导数

d2y dx2

?

(1)

?x ? a c os3?

? ?

y

?

a

sin3?

?

(2)

???xy??lanrc

1?t tant

2

?



(1)

dy dx

?

(asin3? )? (acos3? )?

?

3asin2? cos? 3acos2? (?sin?

)

?

?

tan?

?

d2y dx2

?

(? tan? )? (acos3? )?

?

?sec2? ?3acos2? sin?

? 1 sec4? 3a

?csc?

?

1

(2)

dy dx

? (arctant)? [ln 1?t2 ]?

?

1? t 2 t

?1 t

?

1? t 2

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d2y dx2

?

[ln

(1)? t? 1?t2 ]?

?

1 t2

t

?

?

1? t t3

2

?

1? t 2

可编辑

12?

求曲线

?x ??y

? 2et ? e?t

在 t=0 相的点处的切线方程及法线方程?



dy dx

?

(e?t )? (2et )?

?

? e?t 2et

??

1 2e2t

?

当 t?0 时? dy ?? 1 ? x?2? y?1? dx 2
所求切线的方程为 y ?1?? 1 (x?2) ? 即 x?2y?4?0? 2
所求法线的方程为 y?1?2(x?2)?

13? 甲船以 6km/h 的速率向东行驶? 乙船以 8km/h 的速率向南行驶? 在中午十

二点正? 乙船位于甲船之北 16km 处? 问下午一点正两船相离的速率为多少?

解 设从中午十二点开始? 经过 t 小时? 两船之间的距离为 S? 则有

S2?(16?8t)2?(6t)2?

2S dS ??16(16?8t)?72t ? dt

dS ? ?16(16?8t)?72t ?

dt

2S

当 t?1 时? S?10?

dS ? ?128?72 ??2.8 (km/h)? dt t?1 20

即下午一点正两船相离的速度为?2?8km/h ?

14? 利用函数的微分代替函数的增量求 3 1.02 的近似值?

解 设 f (x)?3 x ? 则有 f (1??x)? f (1)? f ?(1)?x? 1 ?x ? 或 f (1??x)?1? 1 ?x 于是

3

3

3 1.02 ?3 1?0.02 ?1? 1?0.02?1.007 ? 3

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15? 已知单摆的振动周期T ?2? l ? 其中 g?980 cm/s2? l 为摆长(单位为 cm)? g
设原摆长为 20cm? 为使周期 T 增大 0?05s? 摆长约需加长多少? 解 因为 ?T ?dT ? ? ??L ? gL

所以

0.05 gL ?L ?

?2.23 (cm)?

?

L?20

即摆长约需加长 2?23cm?

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习题 3?1

1? 验证罗尔定理对函数 y?ln sin x 在区间[? , 5? ] 上的正确性? 66

解 因 为 y?ln sin x 在 区 间 [? , 5? ] 上 连 续 ? 在 (? , 5? ) 内 可 导 ? 且

66

66

y(? )? y(5? ) , 所以由罗尔定理知? 至少存在一点??(? , 5? ) ? 使得 y?(?)?cot ??0?

66

66

由 y?(x)?cot x?0 得 ? ?(? , 5? ) ? 2 66

因此确有? ?? ?(? , 5? ) ? 使 y?(?)?cot ??0? 2 66
2? 验证拉格朗日中值定理对函数 y?4x3?5x2?x?2 在区间[0? 1]上的正确性?

解 因为 y?4x3?5x2?x?2 在区间[0? 1]上连续? 在(0? 1)内可导? 由拉格朗日中

值定理知? 至少存在一点 ??(0? 1)? 使 y?(?)? y(1)? y(0) ?0 ? 1?0

由 y?(x)?12x2?10x?1?0 得 x ? 5? 13?(0,1) ? 12

因此确有? ? 5? 13?(0,1) ? 12

使 y?(?)? y(1)? y(0) ? 1?0

3? 对函数 f(x)?sin x 及 F(x)?x?cos x 在区间[0, ? ] 上验证柯西中值定理的 2

正确性?

解 因为 f(x)?sin x 及 F(x)?x ?cos x 在区间[0, ? ] 上连续? 在 (0, ? ) 可导? 且

2

2

F?(x)?1?sin x 在 (0, ? ) 内不为 0? 所以由柯西中值定理知至少存在一点 ??(0, ? ) ?

2

2

使得

f (? 2
F(?

) )

? ?

f (0) F(0)

?

f ?(? F?(?

) )

?

2

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f ?(x) F ?( x)

?

f (? 2
F(?

) )

? ?

f (0) F (0)

?



cosx 1?sin x

??

2 ?2

?

2







s

i

nx

?

(?

?

8 2)2

?

4

?1

?





0

?

(?

?

8 2)2

?

4

?1?1

?





s

i

nx

?

(?

?

8 2)2

?

4

?1



(0, ? ) 内有解? 即确实存在??(0, ? ) , 使得

2

2

f (? 2
F(?

) )

? ?

f (0) F(0)

?

f ?(? F?(?

) )

?

2

4? 试证明对函数 y?px2?qx?r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 ? 总是位

于区间的正中间? 证明 因为函数 y?px2?qx?r 在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 由
拉格朗日中值定理? 至少存在一点 ??(a? b)? 使得 y(b)?y(a)?y?(?)(b?a)? 即 (pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)?(2p??q)(b?a)?
化间上式得 p(b?a)(b?a)?2p? (b?a)?
故? ?a?b ? 2
5? 不用求出函数 f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数,说明方程 f ?(x)?0 有 几个实根? 并指出它们所在的区间?
解 由于 f(x)在[1? 2]上连续? 在(1? 2)内可导? 且 f(1)?f(2)?0? 所以由罗尔 定理可知? 存在 ?1?(1? 2)? 使 f ?(?1)?0? 同理存在 ?2?(2? 3)? 使 f ?(?2)?0? 存在 ?3?(3? 4)? 使 f ?(?3)?0? 显然 ?1、?2、? 3都是方程 f ?(x)?0 的根? 注意到方程 f ?(x)?0 是三次方程? 它至多能有三个实根? 现已发现它的三个实根? 故它们也就是方程 f ?(x)?0 的全部根?
6? 证明恒等式? arcsinx?arccosx?? (?1?x?1)? 2
证明 设 f(x)? arcsin x?arccos x? 因为

f ?(x)? 1 ? 1 ?0 ? 1? x2 1? x2

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所以 f (x)?C? 其中 C 是一常数?

因此 f (x)? f (0)?arcsinx?arccosx?? ? 即 arcsinx?arccosx ? ? ?

2

2

7? 若方程 a0xn?a1xn?1? ? ? ? ? an?1x?0 有一个正根 x0? 证明方程

a0nxn?1?a1(n?1)xn?2 ? ? ? ? ?an?1 ?0

必有一个小于 x0 的正根?

证明 设 F(x)?a0xn?a1xn?1? ? ? ? ? an?1x? 由于 F(x)在[0? x0]上连续? 在(0? x0)

内可导? 且 F(0)?F(x0)?0? 根据罗尔定理? 至少存在一点 ??(0? x0)? 使 F ?(?)?0?

即方程

a0nxn?1?a1(n?1)xn?2 ? ? ? ? ?an?1 ?0 必有一个小于 x0 的正根?
8? 若 函 数 f(x) 在 (a? b) 内 具 有 二 阶 导 数 ? 且 f(x1)?f(x2)?f(x3)? 其 中

a?x1?x2?x3?b? 证明? 在(x1? x3)内至少有一点 ?? 使得 f ??(?)?0?

证明 由于 f(x)在[x1? x2]上连续? 在(x1? x2)内可导? 且 f(x1)?f(x2)? 根据罗 尔定理? 至少存在一点 ?1?(x1? x2)? 使 f ?(?1)?0? 同理存在一点 ?2?(x2? x3)? 使 f

?(?2)?0? 又由于 f ?(x)在[?1? ?2]上连续? 在(?1? ?2)内可导? 且 f ?(?1)?f ?(?2)?0? 根据

罗尔定理? 至少存在一点 ? ?(?1? ?2)?(x1? x3)? 使 f ??(? )?0?

9? 设 a?b?0? n?1? 证明?

nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b) ?

证明 设 f(x)?xn? 则 f(x)在[b? a]上连续? 在(b? a)内可导? 由拉格朗日中值

定理? 存在 ??(b? a)? 使

f(a)?f(b)?f ?(?)(a?b)? 即 an?bn?n? n?1(a?b)?

因为 nbn?1(a?b)?n? n?1(a?b)? nan?1(a?b)?

所以 nbn?1(a?b)?an?bn? nan?1(a?b) ?

10? 设 a?b?0? 证明?

a?b ?ln a ? a?b ? a bb
证明 设f(x)?ln x? 则f(x)在区间[b? a]上连续? 在区间(b? a)内可导? 由拉

格朗日中值定理? 存在??(b? a)? 使

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f(a)?f(b)?f

?(?)(a?b)?



ln

a

?ln

b

?

1 ?

(a

?b)

?

因为b???a? 所以

1 (a?b)?ln a?ln b? 1 (a?b) ? 即 a?b ?ln a ? a?b ?

a

b

a bb

11? 证明下列不等式?

(1)|arctan a?arctan b|?|a?b|?

(2)当 x?1 时? ex?e?x ?

证明 (1)设f(x)?arctan x? 则f(x)在[a? b]上连续? 在(a? b)内可导? 由拉格

朗日中值定理? 存在??(a? b)? 使

f(b)?f(a)?f

?(?)(b?a)?



arc

tanb

?

arctana

?1 1??

2

(b

?

a)

?

所以

|arc

tanb

?

arc

tana|? 1 1??

2

|b

?

a|?|b

?

a|

?

即|arctan

a?arctan

b|?|a?b|?

(2)设f(x)?ex? 则f(x)在区间[1? x]上连续? 在区间(1? x)内可导? 由拉格朗日

中值定理? 存在??(1? x)? 使

f(x)?f(1)?f ?(?)(x?1)? 即 ex ?e?e? (x?1)?

因为 ? ?1? 所以

ex ?e?e? (x?1)?e(x?1)? 即 ex?e?x?

12? 证明方程 x5?x?1?0 只有一个正根?

证明 设 f(x)?x5?x?1? 则 f(x)是[0? ??)内的连续函数?

因为 f(0)??1? f(1)?1? f(0)f(1)?0? 所以函数在(0? 1)内至少有一个零点? 即

x5?x?1?0 至少有一个正根?

假如方程至少有两个正根? 则由罗尔定理? f ?(x)存在零点? 但 f ?(x)?5x4?1?0?

矛盾? 这说明方程只能有一个正根?

13? 设 f(x)、g(x)在[a? b]上连续? 在(a? b)内可导? 证明在(a? b)内有一点

?? 使

f (a) g(a)

f (b) g(b)

? (b

?

a)

f (a) g(a)

f ?(?) g?(? )

?





?(x)

?

f (a) g(a)

f (x) g(x)

?



?(x)在[a?

b]上连续?

在(a?

b)内可导?

由拉格朗

日中值定理? 存在 ??(a? b)? 使
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?(b)??(a)???(?)(b?a)?



f (a) g(a)

f (b) g(b)

?

f (a) g(a)

f (a) g(a)

? (b

?

a)???[[gf ((aa))]]??

f (?) g(? )

?

f (a) g(a)

f ?(?) g?(? )

? ??

?

因此

f (a) g(a)

f (b) g(b)

? (b

?

a)

f (a) g(a)

f ?(?) g?(? )

?

14? 证明? 若函数?f(x)在(??? ??)内满足关系式 f ?(x)?f(x)? 且 f(0)?1 则

f(x)?ex ?

证明

令 ?(x) ?

f (x) ex

?

则在(???

??)内有

? ?(x) ?

f

?(x)ex ? f e2x

(x)e2

?

f

(x)ex ? f e2x

(x)e2

?0

?

所以在(??? ??)内 ?(x)为常数?

因此 ?(x)??(0)?1? 从而 f(x)?ex ?

15? 设函数 y?f(x)在 x?0 的某邻域内具有 n 阶导数? 且 f(0)?f ?(0)? ? ? ? ?f

(n?1)(0)?0? 试用柯西中值定理证明?

f (x) xn

?

f

(n)(?x) n!

(0???1)?

证明 根据柯西中值定理

f (x) xn

?

f

(x)? f x?0

(0)

?

f ?(?1) n?1n?1

(?1 介于

0



x

之间)?

f ?(?1) n?1n?1

?

f ?(?1)? f ?(0) n?1n?1 ? n?0n?1

?

f ??(?2)

n(n

?1)?

n?2 2

(?2 介于

0



?1 之间)?

f ??(?2) n(n ?1)?2n?2

?

n(n

f ??(?2)? f ??(0) ?1)?2n?2 ?n(n?1)?0n?2

?

n(n

f ???(?3) ?1)(n ? 2)?3n?3

(?3

介于

0



?2 之

间)? 依次下去可得

之间)?

f (n?1)(?n?1) ?

f (n?1)(?n?1)? f (n?1)(0)

?

n(n?1)? ? ? 2??n?1 n(n?1)? ? ? 2??n?1?n(n?1)? ? ? 2?0

f

(n)(?n) n!

(?n

介于

0



?n?1

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所以

f (x) xn

?

f (n)(?n) ? n!

由于 ?n 可以表示为 ?n

??

x

(0???1)?

所以

f (x) xn

?

f (n)(?x) n!

(0???1)?

习题 3?2 1? 用洛必达法则求下列极限? (1) lim ln(1? x) ? x?0 x (2) lim ex ?e?x ? x?0 sin x (3) lim sin x?sin a ? x?a x?a (4) lim sin3x ? x?? tan5x

(5)

lim
x??

ln sin x (? ?2x)2

?

2

(6)

lim
x?a

xm xn

?am ?an

?

(7) lim ln tan7x ? x??0 ln tan2x

(8) lim tan x ? x?? tan3x
2

ln(1? 1)

(9) lim

x?

x??? arc cot x

(10) lim ln(1? x2) ? x?0 secx?cosx

(11) lim xcot2x ?
x?0

1
(12) lim x2e x2 ?
x?0

(13)

lim(
x?1

x22?1?

1) x?1

?

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(14) lim (1? a)x ? x?? x

(15) lim xsinx ?
x??0

(16) lim (1)tanx ? x??0 x

1

解 (1) lim ln(1? x) ? lim 1? x ? lim 1 ?1?

x?0 x

x?0 1 x?01? x

(2) lim ex ?e?x ? lim ex ?e?x ? 2? x?0 sin x x?0 cosx

(3) lim sin x?sina ? lim cosx ?cosa ?

x?a x?a

x?a 1

(4)

lim
x??

sin3x tan5x

?

lim
x??

3cos3x 5sec2 5x

?

?

3 5

?

(5)

lim
x??

ln sin x (? ?2x)2

?

lim
x??

2(?

cotx ?2x)?(?2)

??1 4

lim
x??

?csc2 ?2

x

?

?1 8

?

2

2

2

(6)

lim
x?a

xm xn

?am ?an

?

lim
x?a

mxm?1 nxn?1

?

mxm?1 nan?1

?

m n

am?n

?

(7)

lim
x ??0

ln ln

tan tan

7x 2x

?

lim
x??0

1
tan 7x 1

?s ?s

ec2 ec2

7x?7 2x?2

tan 2x

?

7 2

lim
x??0

tan tan

2x 7x

?

7 2

lim
x??0

sec2 sec2

2x?2 7x?7

?1

?

(8)

lim
x??

tan x tan3x

? lim
x??

s

sec2 x ec2 3x?3

?

1 3

lim
x??

cos2 3x cos2 x

2

2

2

? 1 lim 2cos3x(?sin3x)?3 ? ? lim cos3x

3 x?? 2cosx(?sin x)

x?? cosx

2

2

? ? lim ?3sin3x ?3? x?? ?sin x
2

(9)

lim
x???

ln(1? 1) x
arccot x

?

lim
x???

1 1? 1

?(?

1 x2

x

?

1 1? x2

)

?

lim
x???

1? x2 x? x2

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? lim 2x ? lim 2 ?1? x???1?2x x??? 2

(10)

lim
x?0

ln(1? x2) s ec x ? c osx

?

lim
x?0

cosxln(1? x2) 1?cos2 x

?

lim x?01?

x2 cos2

x

? lim

2x

? lim x ?1?

x?0 ?2cosx(?sin x) x?0 sin x

(注? cosx?ln(1?x2)~x2)

(11)

lim
x?0

x

cot2x

?

lim
x?0

x tan2x

?

lim
x?0

1 sec2 2x?2

?

1 2

?

1

1
(12) lim x2ex2
x?0

?

lim
x?0

e x2 1

? lim et t??? t

? lim et t??? 1

? ??

x2

(注?

当 x?0 时?

t

?

1 x2

?

??

?

(13)

lim?? x?1?

2 x2 ?1

?

x1?1???

?

lim
x?1

1? x x2 ?1

?

lim
x?1

?1 2x

?

?

1 2

?

(14)因为

lim

(1?

a)x

?

lim

xln(1? a)
ex

?

x?? x x??



lim
x??

x(ln(1?

a x

)

?

lim
x??

ln(1?
1 x

a x

)

?

lim
x??

1

1?

a x

?(?

?

1 x2

a x2

)

? lim ax ? lim a ? a ? x?? x?a x?? 1

所以

lim

(1?

a)x

?

lim

xln(1? a)
ex

?

ea

?

x?? x x??

?

(15)因为 lim xsinx ? lim esinxlnx ?

x??0

x??0

1



lim sin xln x ? lim ln x ? lim

x

x??0

x??0 cscx x??0 ?cscx?cot x

? ? lim sin2 x ? 0 ? x??0 xcosx

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所以 lim xsinx ? lim esinxlnx ? e0 ?1?

x??0

x??0

(16)因为 lim (1)tanx ? e?tanxlnx ? x??0 x

1



lim
x??0

tan

x

ln

x

?

lim
x??0

ln x cot x

?

lim
x??0

?

x csc2

x

所以

? ? lim sin2 x ? 0 ? x??0 x

lim (1)tanx ? lim e?tanxlnx ?e0 ?1?

x??0 x

x??0

2? 验证极限 lim x?sin x 存在? 但不能用洛必达法则得出? x?? x

解 lim x?sin x ? lim (1? sin x) ?1? 极限 lim x?sin x 是存在的?

x?? x

x??

x

x?? x



lim
x??

(x

?sin (x)?

x)?

?

lim
x??

1?

cosx 1

?

lim (1?
x??

c

osx)

不存在?

不能用洛必达法则?

x2 sin 1

3? 验证极限 lim

x 存在? 但不能用洛必达法则得出?

x?0 sin x

x2 sin 1

解 lim

x ? lim

x

?xsin 1 ?1?0 ? 0 ?

极限 lim

x2 sin 1 x

是存在的?

x?0 sin x x?0 sin x

x

x?0 sin x

(x2sin 1)?

2xsin 1 ?cos1

但 lim
x?0

x (sin x)?

? lim
x?0

x x 不存在? 不能用洛必达法则? cosx

4?

讨论函数

f

(x)

?

? ??[ ?

(1? x) e

1 x

1
]x

? ??

?1
e2

x ? 0 在点 x?0 处的连续性? x?0



?1
f (0) ? e 2 ?

lim

f (x) ? lim

e?

1 2

?

e?

1 2

?

f

(0)

?

x??0

x??0

因为

1

lim

f (x) ?

lim

[(1?

x)

x

1
]x

?

lim

e

1[1 xx

ln(1? x)?1]

?

x??0

x??0 e

x??0

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lim
x??0

1 x

[1 x

ln(1?

x)

?1]

?

lim
x??0

ln(1? x) x2

?

x

1 ?1 ? lim 1? x ? lim

?1 ? ? 1 ?

x??0 2x x??0 2(1? x) 2

所以

1

lim

f

(x) ?

lim

[(1? x) x

1
]x

?

lim

1[1 ln(1?x)?1]
ex x

x??0

x??0 e

x??0

?

e?

1 2

?

f

(0)

?

因此 f(x)在点 x?0 处连续?

习题 3?3

1? 按(x?4)的幂展开多项式 x4?5x3?x2?3x?4?

解 设 f(x)?x4?5x3?x2?3x?4? 因为

f(4)??56?

f ?(4)?(4x3?15x2?2x?3)|x?4?21? f ??(4)?(12x2?30x?2)|x?4?74? f ???(4)?(24x?30)|x?4?66? f (4)(4)?24?

所以

f (x) ? f (4)? f ?(4)(x?4)? f ??(4) (x?4)2 ? f ???(4) (x?4)3 ? f (4)(4) (x?4)4

2!

3!

4!

??56?21(x?4)?37(x?4)2?11(x?4)3?(x?4)4?

2? 应用麦克劳林公式? 按 x 幂展开函数 f(x)?(x2?3x?1)3?

解 因为

f ?(x)?3(x2?3x?1)2(2x?3)?

f ??(x)?6(x2?3x?1)(2x?3)2?6(x2?3x?1)2?30(x2?3x?1)(x2?3x?2)?

f ???(x)?30(2x?3)(x2?3x?2)?30(x2?3x?1)(2x?3)?30(2x?3)(2x2?6x?3)?

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所以

f (4)(x)?60(2x2?6x?3)?30(2x?3)(4x?6)?360(x2?3x?2)? f (5)(x)?360(2x?3)? f (6)(x)?720? f(0)?1? f ?(0)??9? f ??(0)?60? f ???(0)??270? f (4)(0)?720? f (5)(0)??1080? f (6)(0)?720?

f (x) ? f (0)? f ?(0)x? f ??(0) x2 ? f ???(0) x3 ? f (4)(0) x4 ? f (5)(0) x5 ? f (6)(0) x6

2!

3!

4!

5!

6!

?1?9x?30x3?45x3?30x4?9x5?x6?

3? 求函数 f (x)? x 按(x?4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的 3 阶泰勒公式?

解 因为

f (4)?

4 ?2 ?

f ?(4) ?

1 2

x?

1 2

x?4

?

1 4

?

f

??(4) ? ? 1 4

x?

3 2

x?4

?? 1 32

?

f

???(4)

?

3

?
x

5 2

8

x?4

?

3 8?32

?

f

(4) (x) ? ? 15

?7
x2

?

16

所以

x ? f (4)? f ?(4)(x?4)? f ??(4) (x?4)2 ? f ???(4) (x?4)3 ? f (4)(?) (x?4)4

2!

3!

4!

?2? 1 (x?4)? 1 (x?4)2 ? 1 (x?4)3 ? 1 ?

15

(x?4)4 (0???1)?

4

64

512

4! 16 [4?? (x?4)]7

4? 求函数 f(x)?ln x 按(x?2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式?

解 因为

f ?(x)?x?1? f ??(x)?(?1)x?2? f ???(x)?(?1)(?2)x?3 ? ? ? ? ?

所以

f

(n)

(x)

?

(?1)(?2)

?

?

?

( ?n

?1)x?n

?

(?1)n?1(n xn

?1)!

?

f

(k)(2)

?

(?1)k

?1(k 2k

?1)!

(k?1?

2?

?

?

??

n?1)?

ln x? f (2)? f ?(2)(x?2)? f ??(2) (x?2)2 ? f ???(2) (x?2)3 ? ? ? ? ? f (n)(2) (x?2)n ?o[(x?2)n]

2!

3!

n!

?

ln

2

?

1 2

(x

?

2)

?

1 2?22

(x

?

2)2

?

1 3?23

(x

?

2)3

?

?

?

?

?

(?1)n?1 n?2n

(x

?

2)n

?

o[(x

?

2)n]

?

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5? 求函数 f (x)? 1 按(x?1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的 n 阶泰勒公式? x

解 因为

f(x)?x?1? f ?(x)?(?1)x?2? f ??(x)?(?1)(?2)x?3 ? ? ? ? ?

f

(n)(x)

?(?1)(?2)

?

?

?

(?n)x?(n?1)

?

(?1)nn! xn?1

?

f

(k)

(?1)

?

(?1)k (?1)k

k!
?1

?

?k!

(k?1?

2?

?

?

??

n)?

所以

1 ? f (?1)? f ?(?1)(x?1)? f ??(?1) (x?1)2 ? f ???(?1) (x?1)3 ? ???

x

2!

3!

? f (n)(?1) (x?1)n ? f (n?1)(?) (x?1)n?1

n!

(n ?1)!

?

?[1?

(x

?1)

?

(x

?1)2

?

(x

?1)3

?

?

?

?

?

(x

?1)n

]?

(?1)n?1 [?1?? (x ?1)]n?2

(x

?1)n?1

(0???1)?

6? 求函数 f(x)?tan x 的带有拉格朗日型余项的 3 阶麦克劳林公式?

解 因为

f ?(x)?sec2x?

f ??(x)?2sec x?sec x?tan x?2sec2x?tan x?

f ???(x)?4sec x?sec x?tan2x?2sec4x?4sec2x?tan2x?2sec4x?

f (4)(x)?8sec2x?tan3x?8sec4x?tan

x?8sec4x?tan

x

?

8sin

x(sin2 x cos5 x

?

2)

?

f(0)?0? f ?(0)?1? f ??(0)?0? f ???(0)?2?

所以

tan

x

?

x

?

1 3

x3

?

s

in(?x)[sin 2(?x) 3cos5(?x)

?

2]

x4

(0???1)?

7? 求函数 f(x)?xex 的带有佩亚诺型余项的 n 阶麦克劳林公式? 解 因为
f ?(x)?ex?xex? f ??(x)?ex?ex?xex?2ex?xex? f ???(x)?2ex?ex?xex?3ex?xex? ? ? ?? f (n)(x)?nex?xex;

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f (k)(0)?k (k?1? 2? ? ? ?? n)?

所以

xex ? f (0)? f ?(0)x? f ??(0) x2 ? f ???(0) x3 ?? ? ? ? ? f (n)(0) xn ?o(xn)

2!

3!

n!

? x? x2 ? 1 x3 ? ? ? ? 1 xn ?o(xn) ?

2!

(n?1)!

8? 验证当 0? x? 1 时? 按公式 ex ?1? x? x2 ? x3 计算 ex 的近似值时? 所产生的误

2

26

差小于 0?01? 并求 e 的近似值? 使误差小于 0?01?

解 因为公式 ex ?1? x? x2 ? x3 右端为 ex 的三阶麦克劳林公式? 其余项为 26

R3(x)

?

e? 4!

x4

?

所以当 0? x? 1 时,按公式 ex ?1? x? x2 ? x3 计算 ex 的误差

2

26

1

|

R3(x)|?|

e? 4!

x4

|?

32 4!

(1)4 2

?

0.0045?

0.01?

e

?

1
e2

?1?

1

?

1

?(1

)2

?

1

?(1)3

?1.645

?

2 22 62

9? 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值? 并估计误差?

(1) 3 30 ? (2)sin18?? 解 (1)设 f (x)?3 x ? 则 f(x)在 x0?27 点展开成三阶泰勒公式为

f

(x) ? 3

x ?3

27

?

1

?
?27

2 3

(x

?

27)

?

1

?(?

2

?
?27

5 3

)(x

?

27)2

3

2! 9

?

1

?(10

?8
?27 3)(x

? 27)3

?

1

?(?

80?

?11
3 )(x

? 27)4

(?介于

27



x

之间)?

3! 27

4! 81

于是

3

30

?3

27

?

1

?
?27

2 3

?3?

1

?(?

2

?
?27

5 3

)?32

?

1

?(10

?
?27

8 3

)?33

3

2! 9

3! 27

?3(1?

1 33

?

1 36

?

5 310

)

?3.10724?

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其误差为

|

R3(30)|?|

1 ?(? 4!

80? 81

?131)?34

|?

1? 4!

80 ?27?131 81

?34

?

80 4!?311

?1.88?10?5

?

(2) 已知
sin x? x? 1 x3 ? sin? x4(?介于 0 与 x 之间)? 3! 4!
所以 sin 18? ?sin ? ? ? ? 1 ( ? )3 ?0.3090? 10 10 3! 10
其误差为

|

R3(1?0

)|?|

sin? 4!

( ? )4|? 10

sin ? 6
4!

( ? )4 10

? 2.03?10 ?4

?

10? 利用泰勒公式求下列极限?

(1) lim (3 x3 ?3x2 ?4 x4 ?2x3 ) ?
x???

? x2

(2)

lim
x?0

cos x ?e 2 x2[x ?ln(1? x)]

?

1? 1 x2 ? 1? x2

(3)

lim
x?0

2 (cosx?ex2 )sin

x2

?



(1) lim (3
x???

3 1? 3 ?4 1? 2

x3 ?3x2 ? 4 x4 ?2x3 )? lim
x???

x 1

x

? lim 3 1?3t ?4 1?2t

t ??0

t

?

x

因为 3 1?3t ?1?t ?o(t) ? 4 1?2t ?1? 1 t ?o(t) ? 所以 2

lim

(3

x3 ?3x2

?4

x4 ?2x3 )?

lim

[1?t ?o(t)]?[1? 1 t ?o(t)]

2

?

lim [3 ? o(t)]? 3

?

x???

t ??0

t

t??0 2 t 2

(2)

lim
x?0

? x2
cosx?e 2 x2[x?ln(1? x)]

?

lim
x?0

[1?

1 2!

x2

?

1 4!

x4

?

o(x4)]?[1? 1 x2 ? 2
1
x3[1?ln(1? x) x ]

1? 2!

1 4

x4

?

o(x4

)]

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?

lim
x?0

?1 12

x

?

o(x4)
x3
1

?

0 1? e?1

?

0

?

1?ln(1? x) x

1? 1 x2 ? 1? x2

1? 1 x2 ?[1? 1 x2 ? 3 x4 ?o(x4)]

(3)

lim
x?0

2 (cosx ?ex2

)sin

x2

?

lim x?0 [(1?

1

x2

?

2 1 x4

2! 4! ?o(x4))?(1? x2

?

1

x4

? o(x4))]x2

2! 4!

2!

?

lim
x?0

?

3 2

x4

3 x4 4! ? 11
24

? o(x4) x6 ? x2 ?o(x4)

?

lim
x?0

?

3 2

3? 4! ? 11 24

o(x4)

x4

x2

?

o(x4) x2

?

3
4! ?3
2

?

?1 12

?

习题 3?4

1? 判定函数 f(x)?arctan x?x 单调性?

解 因为 f ?(x)?1?1x2 ?1??1?1x2 ?0? 且仅当 x?0 时等号成立? 所以 f(x)在(??? ??)内单调减少?

2? 判定函数 f(x)?x?cos x (0?x?2?)的单调性?

解 因为 f ?(x)?1?sin x?0? 所以 f(x)?x?cos x 在[0? 2?]上单调增加?

3? 确定下列函数的单调区间?

(1) y?2x3?6x2?18x?7?

(2) y?2x? 8 (x?0)? x

(3)

y

?

4x3

10 ?9x2

?

6x

?

(4) y?ln(x? 1? x2 )?

(5) y?(x?1)(x?1)3?

(6) y ?3 (2x?a)(a?x)2(a ?0) ?

(7) y?xne?x (n?0? x?0)? (8)y?x?|sin 2x|? 解 (1) y??6x2?12x?18?6(x?3)(x?1)?0? 令 y??0 得驻点 x1??1? x2?3?

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列表得

x

(??? ?1)

?1

(?1? 3)

3

(3? ??)

y

?

0 ?0?

可见函数在 ? y↗



↗ (??? ?1] 和 [3? ??)

内单调增加? 在

[?1? 3]内单调减少?

(2)

y?

?

2

?

8 x2

?

2(x

?

2)(x x2

?

2)

?

0

?令

y??0

得驻点

x1?2?

x2??2(舍去)?

因为当 x?2 时? y?0? 当 0?x?2 时? y??0? 所以函数在(0? 2]内单调减少? 在[2?

??)内单调增加?

(3)

y??

? 60(2x ?1)( x ?1) (4x3 ?9x2 ?6x)2

?



y??0

得驻点

x1

?

1 2

?

x2?1?

不可导点为 x?0?

列表得

x (???

0

0)

(0? 1) 2

1 2

(1 ? 21

(1?

1)

??)

y

不存在 ? 0 ? 0 ?

?

?

y↘

↘ 0↗



可见函数在(??? 0)? (0, 1] ? [1? ??)内单调减少? 在[1 ,1]上单调增加?

2

2

(4)因为 y?? 1 (1? 2x )? 1 ?0 ? 所以函数在(??? ??)内单调增 x? 1? x2 2 1? x2 1? x2

加?

(5) y??(x?1)3?3(x?1)(x?1)2 ?4(x? 1)(x?1)2 ? 因为当 x? 1 时? y??0? 当 x ? 1 时?

2

2

2

y??0? 所以函数在 (??, 1]内单调减少? 在[1 , ??) 内单调增加?

2

2

?(x? 2a)

(6) y??

3?

33 (2x ?a)2(a ? x)

驻点为

x1

?

2a 3

?

不可导点为

x2

?

a 2

?

x3?a

?

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列表得

x (??, a) a (a , 2a) 2a (2a , a) a

(a?

2

2

23 3 3

??)

y

+ 不存在 +

0

? 不存在 ?

?

y↗







可见函数在 (??, a) ? (a , 2a] ? (a? ??)内单调增加? 在[2a , a) 内单调减少?

2 23

3

(7)y??e?xxn?1(n?x)? 驻点为 x?n? 因为当 0?x?n 时? y??0? 当 x?n 时? y??0? 所

以函数在[0? n]上单调增加? 在[n? ??)内单调减少?

(8) y ????x?sin 2x ??x?sin 2x

k? ? x?k? ? ?

2 k? ? ? ? x?k? ??

(k?0?

?1?

?2?

?

?

?)?

2

y??

??1? ?

2cos2x

?1? 2 c os2x ?

k? ? x?k? ? ?

k?

?

?

?

x

?

2 k?

??

(k?0?

?1?

?2?

?

?

?)?

2

y?是以 ?

为周期的函数?

在[0?

?]内令 y??0?

得驻点

x1

?

? 2

?

x2

?

5? 6

?

不可导点为

x3

?? 2

?

列表得

? x (0, ? ) 3 (? , ? )

?

(? , 5? ) 26

5?

(5? ,?)

3

32

2

66

y

+ 0 ? 不存在 ?

0

?

?

y↗







根据函数在[0? ?]上的单调性及 y?在(??? ??)的周期性可知函数在[k? , k? ?? ] 上 223
单调增加? 在[k? ?? , k? ?? ]上单调减少(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 2 32 2
4? 证明下列不等式?

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(1)当 x?0 时? 1? 1 x? 1? x ? 2

(2)当 x?0 时? 1? xln(x? 1? x2)? 1? x2 ?

(3)当 0? x?? 时? sin x?tan x?2x? 2

(4)当 0? x?? 时? tan x? x? 1 x3 ?

2

3

(5)当 x?4 时? 2x?x2?

证明 (1)设 f (x)?1? 1 x? 1? x ? 则 f (x)在[0? ??)内是连续的? 因为 2

f ?(x)? 1 ? 1 ? 1? x ?1?0 ? 2 2 1? x 2 1? x
所以 f (x)在(0? ??)内是单调增加的? 从而当 x?0 时 f (x)?f (0)?0? 即 1? 1 x? 1? x ?0 ? 2
也就是 1? 1 x? 1? x ? 2
(2)设 f (x)?1? xln(x? 1? x2)? 1? x2 ? 则 f (x)在[0? ??)内是连续的? 因为

f ?(x)?ln(x? 1? x2 )? x? 1 ?(1? x )? x ?ln(x? 1? x2 )?0 ?

x? 1? x2

1? x2 1? x2

所以 f (x)在(0? ??)内是单调增加的? 从而当 x?0 时 f(x)?f(0)?0? 即

1? xln(x? 1? x2)? 1? x2 ?0 ?

也就是 1? xln(x? 1? x2)? 1? x2 ?

(3)设 f(x)?sin x?tan x?2x? 则 f(x)在[0, ? ) 内连续? 2

f

?(x)?cos

x?sec2x?2

?

(c

osx

?1)[(cos2 cos2

x x

?1)

?

c

osx]

?

因为在 (0, ? ) 内 cos x?1?0? cos2x?1?0? ?cos x?0? 所以 f ?(x)?0? 从而 f(x) 2

在 (0, ? ) 内单调增加? 因此当 0? x?? 时? f(x)?f(0)?0? 即

2

2

sin x?tan x?2x?0?

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也就是 sin x?tan x?2x?

(4)设 f (x)?tan x? x? 1 x3 ? 则 f(x)在[0, ? ) 内连续?

3

2

f ?(x)?sec2 x?1? x2 ?tan2 x ? x2 ?(tan x ? x)(tan x ? x) ?

因为当 0? x?? 时? tan x?x? tan x?x?0? 所以 f ?(x)在 (0, ? ) 内单调增加? 因

2

2

此当 0? x?? 时? f(x)?f(0)?0? 即 2

tan x? x? 1 x3 ?0 ? 3

也就是 tan x? x? 1 x2 ? 3
(5)设 f(x)?x ln2?2ln x? 则 f (x)在[4? ??)内连续? 因为

f ?(x)?ln 2? 2 ? ln 4 ? 2 ? ln e ? 2 ?0 ? x 2 x24
所以当 x?4 时? f ?(x)?0? 即 f(x)内单调增加?

因此当 x?4 时? f(x)?f(4)?0? 即 x ln2?2ln x?0? 也就是 2x?x2?

5? 讨论方程 ln x?ax (其中 a?0)有几个实根?

解 设 f(x)?ln x?ax? 则 f(x)在(0? ??)内连续? f ?(x)? 1 ?a?1?ax ? 驻点为

x

x

x?1 ? a

因为当 0? x? 1 时? f ?(x)?0? 所以 f(x)在 (0, 1) 内单调增加? 当 x ? 1 时?

a

a

a

f ?(x)?0? 所以 f(x)在 (1 , ??) 内单调减少? 又因为当 x?0 及 x???时? f(x)???? a

所以如果 f (1)?ln 1 ?1?0 ? 即 a? 1 ? 则方程有且仅有两个实根? 如果

aa

e

f (1)?ln 1 ?1?0 ? 即 a?1 ? 则方程没有实根? 如果 f (1)?ln 1 ?1?0 ? 即 a?1 ? 则方

aa

e

aa

e

程仅有一个实根?

6? 单调函数的导函数是否必为单调函数?研究下面这个例子?

f(x)?x?sin x ?

解 单调函数的导函数不一定为单调函数?

例如 f(x)?x?sin x 在(?????)内是单调增加的? 但其导数不是单调函数? 事

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实上? f ?(x)?1?cos x?0?
这就明 f(x)在(??? ??)内是单调增加的? f ??(x)??sin x 在(??? ??)内不保持确 定的符号? 故 f ?(x)在(??? ??)内不是单调的?

7? 判定下列曲线的凹凸性?

(1) y?4x?x2 ?

(2) y?sh x?

(3) y?1? 1 (x?0)? x
(4) y?x arctan x ?

解 (1)y??4?2x? y????2?

因为 y???0? 所以曲线在(??? ??)内是凸的?

(2)y??ch x? y???sh x? 令 y???0? 得 x?0?

因为当 x?0 时? y???sh x?0? 当 x?0 时? y???sh x?0? 所以曲线在(??? 0]内是

凸的? 在[0? ??)内是凹的?

(3)

y? ? ?

1 x2

?

y??

?

2 x3

?

因为当 x?0 时? y???0? 所以曲线在(0? ??)内是凹的?

(4)

y? ? arc tanx ? 1?xx2

?

y?? ?

2 (1? x2)2

?

因为在(??? ??)内? y???0? 所以曲线 y?xarctg x 在(??? ??)内是凹的?

8? 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间?

(1)?y?x3?5x2?3x?5 ?

(2) y?xe?x ?

(3) y?(x?1)4?ex ?

(4) y?ln(x2?1)?

(5) y e? ? arctan x

(6) y?x4(12ln x?7)?

解 (1)y??3x2?10x?3? y???6x?10? 令 y???0? 得 x? 5 ? 3

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因为当 x? 5 时? y???0? 当 x? 5 时? y???0? 所以曲线在 (??, 5] 内是凸的? 在

3

3

3

[5, ??) 内是凹的? 拐点为 (5, 20) ?

3

3 27

(2)y??e?x?xe?x? y????e?x?e?x?xe?x?e?x(x?2)? 令 y???0? 得 x?2?

因为当 x?2 时? y???0? 当 x?2 时? y???0? 所以曲线在(??? 2]内是凸的? 在[2? ??)

内是凹的? 拐点为(2? 2e?2)?

(3)y??4(x?1)3?ex? y???12(x?1)2?ex ?

因为在(??? ??)内? y???0? 所以曲线 y?(x?1)4?ex 的在(??? ??)内是凹的? 无

拐点?

(4)

y?

?

2x x2 ?1

?

y???

2(x2 ?1)?2x?2x (x2 ?1)2

?

?

2(x ?1)( x ?1) (x2 ?1)2

?

令 y???0?

得 x1??1?

x2?1?

列表得

x (??? ?1)

?1

(?1? 1)

1

(1? ??)

y? ?
?

0

?

0

?

ln2

ln2

可见曲线 y

?

拐点 ? 拐点 ?

??) 内是凸的?

的? 拐点为(?1? ln2)和(1? ln2)?

在(??? ?1]和[1? 在[?1? 1]内是凹

(5)

y? ? earctan x

?1?1x2

?

y???

earctan x 1? x2

(1?

2x)

?

令 y???0 得?

x?1 ? 2

因为当 x? 1 时? y???0? 当 x ? 1 时? y??<0? 所以曲线 y e? arctg x 在 (??, 1]内是凹的?

2

2

2

在[1 , ??) 内是凸的?

拐点是

(1

,

earctan

1 2

)

?

2

2

(6) y??4x3(12ln x?7)?12x3? y???144x2?ln x? 令 y???0? 得 x?1?

因为当 0?x?1 时? y???0? 当 x?1 时? y???0? 所以曲线在(0? 1]内是凸的? 在[1?

??)内是凹的? 拐点为(1? ?7)?

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9? 利用函数图形的凹凸性? 证明下列不等式?

(1) 1 (xn ? yn)?( x? y)n (x?0? y?0? x?y? n?1)?

2

2

(2)

ex

?

e

y

?e

x

? 2

y

(x

?

y)

?

2

(3) xln x? yln y ?(x? y)ln x? y (x?0? y?0? x?y)? 2
证明 (1)设 f(t)?tn? 则 f ?(t)?ntn?1? f ??(t)?n(n?1)t n?2? 因为当 t?0 时?

f ??(t)?0? 所以曲线 f(t)?t n 在区间(0? ??)内是凹的? 由定义? 对任意的 x?0? y?0?

x?y 有

1[ f (x)? f (y)]? f ( x? y) ?

2

2



1 (xn ? yn)?( x? y)n ?

2

2

(2)设 f(t)?et? 则 f ?(t)?et? f ??(t)?et ? 因为 f ??(t)?0? 所以曲线 f(t)?et

在(??? ??)内是凹的? 由定义? 对任意的 x? y?(??? ??)? x?y 有

1[ f (x)? f (y)]? f ( x? y) ?

2

2



ex

?

e

y

?e

x

? 2

y

(x

?

y)

?

2

(3)设 f(t)?t ln t ? 则 f ?(t)?ln t?1? f ??(t)?1 ? t
因为当 t?0 时? f ??(t)?0? 所以函数 f(t)?t ln t 的图形在(0? ??)内是凹的?

由定义? 对任意的 x?0? y?0? x?y 有

1[ f (x)? f (y)]? f ( x? y) ?

2

2



xln x? yln y ?(x? y)ln x? y ?

2

10? 试证明曲线 y? x?1 有三个拐点位于同一直线上?
x2 ?1

证明

y??

?

x2 ? 2x ?1 (x2 ?1)2

?

y??

?

2x3

?6x2 ?6x (x2 ?1)3

?

2

?

2(x

?1)[

x

?

(2 ? (x2

3)][ ?1)3

x

?

(2

?

3)] ?

令 y???0? 得 x1??1? x2 ? 2? 3 ? x3 ?2? 3 ?

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例表得

x

(??? ?1)

?1 (?1, 2? 3)

y

?

0

?

?

2? 3 0

(2? 3, 2? 3) ?

2? 3 0

(2? 3, ??) ?

y ? ?1

?

1? 3

?

1? 3

?

4(2? 3)

4(2? 3)

可见拐点为(?1? ?1)? (2? 3, 1? 3 ) ? (2? 3, 1? 3 ) ? 因为

4(2? 3)

4(2? 3)

1? 3 ?(?1)

1? 3 ?(?1)

4(2? 3)

? 1 ? 4(2? 3)

?1 ?

2? 3 ?(?1) 4 2? 3 ?(?1) 4

所以这三个拐点在一条直线上?

11? 问 a、b 为何值时? 点(1? 3)为曲线 y?ax3?bx2 的拐点?

解 y??3ax2?2bx? y???6ax?2b? 要使(1? 3)成为曲线 y?ax3?bx2 的拐点? 必须

y(1)?3 且 y??(1)?0? 即 a?b?3 且 6a ?2b?0? 解此方程组得 a?? 3 ? b? 9 ? 22
12? 试决定曲线 y?ax3?bx2?cx?d 中的 a、b、c、d? 使得 x??2 处曲线有水平

切线? (1? ?10)为拐点? 且点(?2? 44)在曲线上?

解 y??3ax2?2bx?c? y???6ax?2b ? 依条件有

?y(?2)?44 ??8a ? 4b?2c ? d ?44

? y(1) ? ?10 ??? yy???((?1)2?) ?00

?



?a ?b?c ? d ??12a ?4b?c

? ?10 ?0

?6a ? 2b?0

?

解之得 a?1? b??3? c??24? d?16?

13? 试决定 y?k(x2?3)2 中 k 的值? 使曲线的拐点处的法线通过原点?

解 y??4kx3?12kx? y???12k(x?1)(x?1)? 令 y???0? 得 x1??1? x2?1? 因为在 x1??1 的两侧 y??是异号的? 又当 x??1 时 y?4k? 所以点(?1? 4k)是拐点?

因为 y?(?1)?8k? 所以过拐点(?1? 4k)的法线方程为 y?4k ?? 1 (x?1) ? 要使法 8k

线过原点? 则(0? 0)应满足法线方程? 即 ?4k ?? 1 ? k ?? 2 ?

8k

8

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同理? 因为在 x1?1 的两侧 y??是异号的? 又当 x?1 时 y?4k? 所以点(1? 4k)也是 拐点?

因为 y?(1)??8k? 所以过拐点(?1? 4k)的法线方程为 y?4k ? 1 (x?1) ? 要使法线 8k

过原点? 则(0? 0)应满足法线方程? 即 ?4k ?? 1 ? k ?? 2 ?

8k

8

因此当 k ?? 2 时? 该曲线的拐点处的法线通过原点? 8
14? 设 y?f(x)在 x?x0 的某邻域内具有三阶连续导数? 如果 f ??(x 0)?0? 而 f ???(x0)?0? 试问 (x0? f(x0))是否为拐点?为什么?
解 不妨设 f ???(x0)?0? 由 f ???(x)的连续性? 存在 x0 的某一邻域(x0??? x0??)? 在此邻域内有 f ???(x)?0? 由拉格朗日中值定理? 有

f ??(x)?f ??(x0)?f ???(?)(x?x0) (? 介于 x0 与 x 之间)?



f ??(x)?f ???(?)(x?x0)?

因为当 x0???x?x0 时? f ??(x)?0? 当 x0?x?x0?? 时? f ??(x)?0? 所以(x0? f(x0))

是拐点?

习题 3?5
1? 求函数的极值? (1) y?2x3?6x2?18x?7? (2) y?x?ln(1?x) ? (3) y??x4?2x2 ?
(4) y ? x ? 1? x ?
(5) y ? 1?3x ? 4?5x2
(6) y ? 3x2 ?4x?4 ? x2 ? x?1
(7) y?ex cos x ?
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1
(8) y ? x x ?

1
(9) y ? 3?2(x?1) 3 ?

(10) y?x?tan x ? 解 (1)函数的定义为(??? ??)? x1??1? x2?3? 列表

y??6x2?12x?18?6(x2?2x?3)?6(x?3)(x?1)? 驻点为

x (??? ?1)

?1

(?1? 3)

3

(3? ??)

y

?

0

?

0

?

?

y ↗ 17 极大值 ↘ ?47 极小值 ↗

可见函数在 x??1 处取得极大值 17? 在 x?3 处取得极小值?47?

(2)函数的定义为(?1? ??)? y??1? 1 ? x ? 驻点为 x?0? 因为当?1?x?0 时? y??0? 当 1? x 1? x
x?0 时? y??0? 所以函数在 x?0 处取得极小值? 极小值为 y(0)?0? (3)函数的定义为(??? ??)? y???4x3?4x??4x(x2?1)? y????12x2?4? 令 y??0? 得 x1?0? x2??1? x3?1? 因为 y??(0)?4?0? y??(?1)??8?0? y??(1)??8?0? 所以 y(0)?0 是函数的极小值? y(?1)?1 和
y(1)?1 是函数的极大值? (4)函数的定义域为(??? 1]?

y??1? 1 ? 2 1? x ?1 ?

3?4x

?

2 1? x 2 1? x 2 1? x (2 1? x ?1)

令 y??0? 得驻点 x? 3 ? 4

因为当 x? 3 时? y?>0? 当 3 ? x?1 时? y?<0? 所以 y(1)? 5 为函数的极大值?

4

4

4

(5)函数的定义为(??? ??)?

? 5( x ? 12 )

y??

5

? 驻点为 x ?12 ?

(4?5x2 )3

5

因为当 x?12 时? y??0? 当 x ?12 时? y??0? 所以函数在 x ?12 处取得极大值? 极大值为

5

5

5

y(12)? 205 ? 5 10

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(6)函数的定义为(??? ??)? y?? ?x(x?2) ? 驻点为 x1?0? x2??2? (x 2 ? x ?1)2

列表

x (??? ?2)

?2

(?2? 0)

0

(0? ??)

y ?
?

0

?

0

?

y



8 极小值 ↗



3



可见函数在 x??2 处取得极小值 8 ? 在 x?0 处取得极大值 4? 3

(7)函数的定义域为(??? ??)?

y??e x(cos x?sin x )? y????e xsin x?

令 y??0? 得驻点 x?? ?2k? ? x?? ?2(k ?1)? ? (k?0? ?1? ?2? ? ? ?)?

4

4

因为 y??(? ?2k? ) ? 0 ?

所以 y(?

? ?2k?
? 2k? )?e 4 ?

2 是函数的极大值?

4

4

2

因为 y??[? ?2(k ?1)? ]? 0 ?

所以

? y[

? ?2(k ?1)?

? 2(k ?1)? ]??e 4

?

2 是函数的极小值?

4

4

2

1
(8)函数 y ? x x 的定义域为(0? ??)?

1
y??x x

?

1

(1?ln x) ?

x2

令 y??0? 得驻点 x?e ?
1
因为当 x<e 时? y?>0? 当 x>e 时? y?<0? 所以 y(e)?e e 为函数 f(x)的极大值?

(9)函数的定义域为(??? ??)? y??? 2 1 ? 因为 y??0? 所以函数在(??? ??)是单调 3 (x ?1)2/3
减少的? 无极值? (10)函数 y?x?tg x 的定义域为 x? ? ?k? (k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 2
因为 y??1?sec 2x >0? 所以函数 f(x)无极值?

2? 试证明? 如果函数 y?ax3?bx2?cx ?d 满足条件 b2 ?3ac<0? 那么这函数没有极值 ?

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证明 y??3a x2?2b x?c? 由 b2 ?3ac<0? 知 a?0? 于是配方得到

y??3a x2?2b x?c ?3a(x2 ? 2b x? c )?3a(x2 ? b )2 ? 3ac?b2 ?

3a 3a

3a

3a

因 3ac?b2?0? 所以当 a?0 时? y??0? 当 a?0 时? y??0? 因此 y?ax3?bx2?cx ?d 是单调函数? 没

有极值?

3? 试问 a 为何值时? 函数 f (x)?asin x? 1 sin3x 在 x?? 处取得极值?它是极大值还是极小

3

3

值?并求此极值?

解 f ?(x)?acos x?cos 3x? f ??(x)??asin x?3 sin x?

要使函数 f(x)在 x?? 处取得极值? 必有 f ?(? )?0 ? 即 a? 1 ?1?0 ? a?2 ?

3

3

2

当 a?2 时? f ??(? )??2? 3 ?0 ? 因此? 当 a?2 时? 函数 f (x)在 x?? 处取得极值? 而且取得

3

2

3

极大值? 极大值为 f ( 3 )? 3 ? 2
4? 求下列函数的最大值、最小值? (1) y=2x3?3x2 ? ?1?x?4? (2) y?x4?8x2?2 ?1?x?3 ?

(3) y ? x ? 1? x ? ?5?x?1?

解 (1)y??6x2?6x?6x(x?1)? 令 y??0? 得 x1?0? x2?1? 计算函数值得 y(?1)??5? y(0)?0? y(1)??1? y(4)?80?
经比较得出函数的最小值为 y(?1)??5? 最大值为 y(4)?80? (2)y??4x3?16x?4x(x2?4)? 令 y??0? 得 x1?0? x2??2(舍去)? x 3?2? 计算函数值得 y(?1)??5? y(0)?2? y(2)??14? y(3)?11?
经比较得出函数的最小值为 y(2)??14? 最大值为 y(3)?11?

(3) y??1? 1 ? 令 y??0? 得 x? 3 ? 计算函数值得

2 1? x

4

y(?5)??5? 6 ? y( 3)? 5 ? y(1)? 44

经比较得出函数的最小值为 y(?5)??5? 6 ? 最大值为 y( 3)? 5 ? 44
5? 问函数 y?2x3?6x2?18x?7(1?x?4)在何处取得最大值?并求出它的最大值? 解 y??6x2?12x?18?6(x?3)(x?1)? 函数 f(x)在 1?x?4 内的驻点为 x?3? 比较函数值?
f(1)??29? f(3)??61? f(4)??47? 函数 f(x)在 x?1 处取得最大值? 最大值为 f (1)??29?

6? 问函数 y? x2 ? 54 (x?0)在何处取得最小值? x

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解 y??2x? 54 ? 在(??? 0)的驻点为 x??3? 因为 x2

y???2?108 ? y??(?3)?2?108 ?0 ?

x3

27

所以函数在 x??3 处取得极小值? 又因为驻点只有一个? 所以这个极小值也就是最小值? 即函

数在 x??3 处取得最小值? 最小值为 y(?3)?27 ?

7? 问函数 y ? x (x?0)在何处取得最大值? x2 ?1

解 y?? 1? x 2 ? 函数在(0? ??)内的驻点为 x?1? (x 2 ?1) 2

因为当 0<x<1 时? y?>0? 当 x>1 时 y?<0? 所以函数在 x?1 处取得极大值? 又因为函数在 (0? ??)内只有一个驻点? 所以此极大值也是函数的最大值? 即函数在 x?1 处取得最大值? 最

大值为 f (1)? 1 ? 2
8? 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋? 现有存砖只够砌 20cm 长的墙壁? 问应围成怎样的 长方形才能使这间小屋的面积最大?

解 设宽为 x 长为 y? 则 2x?y?20? y?20?2x? 于是面积为 S? xy?x(20?2x)?20x?2x2? S ??20?4x?4(10?x)? S ????4?
令 S ??0? 得唯一驻点 x?10? 因为 S ??(10)?4?0? 所以 x?10 为极大值点? 从而也是最大值点? 当宽为 5 米? 长为 10 米时这间小屋面积最大? 9? 要造一圆柱形油罐? 体积为 V? 问底半径 r 和高 h 等于多少时? 才能使表面积最小?这 时底直径与高的比是多少? 解 由 V? r2h? 得 h?V ?1r?2? 于是油罐表面积为

S?2

r2?2

rh ?2?r 2 ? 2V (0?x???)?

r

S ??4?r ? 2V ? r2

令 S ??0? 得驻点 r ?3 V ? 2?

因为 S ???4? ? 4V ?0 ? 所以 S 在驻点 r ?3 V 处取得极小值? 也就是最小值? 这时相应的

r3

2?

高为 h? V ?2r ? 底直径与高的比为 2r ? h?1 ? 1? ? r02

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10? 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图)? 截面的面积 为 5m2? 问底宽 x 为多少时才能使截面的周长最小? 从而使建造时所用 的材料最省?

解 设矩形高为 h ? 截面的周长 S? 则 xh? 1 ?( x)2? ?5 ? h? 5 ?? x ?

22

x8

于是

S ? x?2h? x? ? x?? x?10 ( 0? x? 40 )?

2 4x

?

S ??1? ? ? 10 ? 4 x2

令 S ??0? 得唯一驻点 x ? 40 ? 4??

因为 S ??? 20 ?0 ? 所以 x ? 40 为极小值点? 同时也是最小值点?

x3

4??

因此底宽为 x ? 40 时所用的材料最省? 4??

11? 设有重量为 5kg 的物体? 置于水平面上? 受力 F 的作用 而开始移动(如图)? 设摩擦系数 ?0?25? 问力 F 与水平线的交角
为多少时? 才可使力 F 的大小为最小? 解 由 F cos ? ?(m?Fsin ?)? 得

F?

?m

( 0?? ? ? )?

cos? ??sin?

2

F ? ? ?m(sin? ?? cos?) ? (cos? ?? sin?)2

驻点为 ? ? arctan ??

因为 F 的最小值一定在 (0, ? ) 内取得? 而 F 在 (0, ? ) 内只有一个驻点? ? arctan ??

2

2

所以??arctan ?一定也是 F 的最小值点? 从而当??arctan0?25?14?时? 力 F 最小?

12? 有一杠杆? 支点在它的一端? 在距支点 0?1m 处挂 一重量为 49kg 的物体? 加力于杠杆的另一端使杠杆保持

水平(如图)? 如果杠杆的线密度为 5kg/m? 求最省力的杆 长?

解 设杆长为 x (m)? 加于杠杆一端的力为 F? 则有

xF ? 1 x?5x?49?0.1 ? 即 F ? 5 x? 4.9 (x ?0) ?

2

2x

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F ? ? 5 ? 4.9 ? 2 x2
驻点为 x?1?4? 由问题的实际意义知? F 的最小值一定在(0? ??)内取得? 而 F 在(0? ??)内只有 一个驻点 x?1?4? 所以 F 一定在 x?1?4m 处取得最小值? 即最省力的杆长为 1?4m?
13? 从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图)?
问留下的扇形的中心角 取多大时? 做成的漏斗的容积最大? 解 漏斗的底周长 l、底半径 r、高 h 分别为

l?R? 漏斗的容积为

r ? R? ? h? R2 ?r 2 ? R 4? 2 ?? 2 ?

2?

2?

V ? 1 hr 2? ? R3? 2 4? 2 ?? 2 (0< <2?)?

3

24? 2

V ?? R3 ??(8? 2 ?3? 2 ) ,驻点为? ? 2 6 ? ?

24? 2 4? 2 ?? 2

3

由问题的实际意义? V 一定在(0? 2?)内取得最大值? 而 V 在(0? 2?)内只有一个驻点? 所以该

驻点一定也是最大值点? 因此当

? 2 6 ? 时? 漏斗的容积最大? 3

14? 某吊车的车身高为 1 5m? 吊臂长 15m? 现在要把一个 6m 宽、2m 高的屋架? 水平地吊到 6m 高的柱子上去(如图)? 问能 否吊得上去?

解 设吊臂对地面的倾角为 时? 屋架能够吊到的最大高度为 h? 在直角三角形?EDG 中 15sin ?(h?1? 5)?2?3tan ?



h?15sin? ?3tan? ? 1 ?

2

h??15cos? ? 3 ? cos 2 ?

令 h??0 得唯一驻点? ?arccos 1 ?54 ?? 35
因为 h????15sin? ? 6sin? ?0 ? 所以 ?54?为极大值点? 同时这也是最大值点? cos 3 ?

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当 ?54?时? h?15sin? ?3tan? ? 1 ?7.5 m? 2
所以把此屋最高能水平地吊至 7? 5m 高? 现只要求水平地吊到 6m 处? 当然能吊上去? 15? 一房地产公司有 50 套公寓要出租? 当月租金定为 1000 元时? 公寓会全部租出去? 当 月租金每增加 50 元时? 就会多一套公寓租不出去? 而租出去的公寓每月需花费 100 元的维修 费? 试问房租定为多少可获最大收入? 解 房租定为 x 元? 纯收入为 R 元? 当 x?1000 时? R?50x?50?100?50x?5000? 且当 x?1000 时? 得最大纯收入 45000 元? 当 x?1000 时?

R?[50? 1 (x?1000)]?x?[50? 1 (x?1000)]?100?? 1 x2 ?72x?7000

5

5

50

R??? 1 x?72 ? 25

令 R??0 得(1000? ??)内唯一驻点 x?1800? 因为 R???? 1 ?0 ? 所以 1800 为极大值点? 同时 25
也是最大值点? 最大值为 R?57800? 因此? 房租定为 1800 元可获最大收入?

习题 3-6 描绘下列函数的图形?

1? y ? 1(x4 ?6x2 ?8x?7) ? 5

解 (1)定义域为(??? ??)?

(2) y?? 1(4x3 ?12x?8)? 4(x? 2)(x?1)2 ?

5

5

y??? 4(3x2 ?3)?12(x?1)(x?1) ?

5

5

令 y??0? 得 x??2? x?1? 令 y???0? 得 x??1? x?1?

(3)列表

x

(??? ?2)

?2

(?2? ?1) ?1 (?1? 1) 1 (1? ??)

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y?

?

y??

?

y?f(x) ↘?

(4)作图?

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0

?

?

?

0

?

?

?

0

?

0

?

? 17

?6

2

5

↗?

5

↗? 拐点

↗?

极小值

拐点

2? y? x ?
1? x2
解 (1)定义域为(??? ??)? (2)奇函数? 图形关于原点对称? 故可选讨论 x?0 时 函数的图形?

(3) y?? ?(x?1)(x ?1) ? y??? 2x(x ? 3)(x ? 3) ?

(1? x 2 ) 2

(1? x 2 )3

当 x?0 时? 令 y??0? 得 x?1? 令 y???0? 得 x?0? x? 3 ?

(4)列表

x

0

(0? 1)

1

(1? 3 )

y?

?

?

0

?

y??

0

?

?

?

y?f(x)

0 拐点

↗?

1 极大值
2

↘?

(5)有水平渐近线 y?0? (6)作图?

3
? 0
3 4
拐点

( 3 ? ??) ? ?
↘?

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3? y ?e?(x?1)2 ? 解 (1)定义域为(??? ??)?

(2) y???2(x ?1)e?(x?1)2 y???4e?(x?1)2 [x?(1? 2 )][x ?(1? 2 )] ?

2

2

令 y??0? 得 x?1? 令 y???0? 得 x?1? 2 ? x?1? 2 ?

2

2

(3)列表

x

(??,1? 2 ) 1? 2

2

2

y?

?

?

y??

?

0

y?f(x )

↗?

?1
e2
拐点

(4)有水平渐近线 y?0? (5)作图?

(1? 2 ,1) 2
? ?
↗?

1
0
? 1 极大 值

(1,1? 2 ) 2
? ?

1? 2 2
? 0

↘?

?1
e2
拐点

(1? 2 , ??) 2
? ?
↘?

4? y ? x2 ? 1 ?
x
解 (1)定义域为(??? 0)?(0? ??)?

(2) y??2x ? 1 ? 2x3 ?1 ?
x2 x2

y???2? 2 ? 2(x3 ?1) ?

x3

x3

令 y??0? 得 x? 1 ? 令 y???0? 得 x??1?
32

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(3)列表

x (??? ?1) ?1 (?1? 0) 0

y?

?

?

?



y??

?

0

?



y?f(x) ↘?

0 拐点 ↘? 无

(4)有铅直渐近线 x?0? (5)作图?

(0, 1 ) 32
? ?
↘?

1 32
0
?
33 2 2
极小值

( 1 , ??) 32
? ?
↗?

5? y ? cos x ?
cos 2 x

解 (1)定义域为 x? n? ?? (n?0? ?1? ?2? ? ? ?)
24
(2)是偶函数? 周期为 2 ? 可先作[0? ]上的图形? 再根据对称性作出[? ? 0)内的图形? 最后根据周期性作出[? ?

(3) y?? sin x(3?2sin 2 x) ? y??? cos x?(3?12sin 2 x?4sin 4 x) ?

cos 2 2x

cos3 2x

在[0? ]上? 令 y??0? 得 x?0? x? (4)列表

? 令 y???0? 得 x?? ?
2

]以外的图形?

x

0

(0, ? ) ? (? , ? )

?

(? , 3? ) 3? (3? , ? )

4 4 42

2

24

4

4

y?

0

?无 ?

?

?



?

0

y??

?

?无 ?

0

?



?

?

y?f(x 1 ) 极小值

↗?



0 ↗? 拐点

↗?



↗?

?1 极大值

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(5)有铅直渐近线 x?? 及 x? 3? ?

4

4

(6)作图?

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习题 3?7

1? 求椭圆 4x2+y2=4 在点(0? 2)处的曲率? 解 两边对 x 求导数得

8x?2yy??0? y??? 4x ? y???? 4 y ?4xy? ?

y

y2

y?|(0? 2)?0? y??|(0? 2)??2? 所求曲率为

K ? | y??| ? |?2| ?2 ? (1? y?2 )3/2 (1?02 )3/2

2? 求曲线 y=lnsec x 在点(x? y)处的曲率及曲率半径?

解 y?? 1 ?sec x?tan x?tan x ? y???sec2 x ? sec x
所求曲率为

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K ? | y??| ? |sec2 x| ?|cos x| ? (1? y?2 )3/2 (1? tan 2 x)3/2
曲率半径为 ? ? 1 ? 1 ?|sec x| ? K |cos x|

3? 求抛物线 y=x2?4x+3 在其顶点处的曲率及曲率半径? 解 y??2x?4? y???2? 令 y??0? 得顶点的横坐标为 x?2?
y?|x?2?0? y??|x?2?2? 所求曲率为
K ? | y??| ? |2| ?2 ? (1? y?2 )3/2 (1?02 )3/2
曲率半径为
?? 1 ?1 ? K2
4? 求曲线 x?a cos3t? y?a sin 3t 在 t?t0 处的曲率?

解 y?? (asin 3 t)? ?? tant ? y??? (?tan x)? ?

1

?

(a cos 3 x)?

(acos3 x)? 3asint?cos 4 t

所求曲率为

K?

| y??|

|

1

|

? 3asint?cos 4 t ?|

1

|? 2 ?

(1? y?2 )3/2 (1? tan2 t)3/2 3asint cos3 t 3|asin 2t|

2

K?

?

t?t0 3|asin 2t0 |

5? 对数曲线 y?ln x 上哪一点处的曲率半径最小?求出该点处的曲率半径?

解 y?? 1 ? y???? 1 ?

x

x2

K?

| y??|

|? 1 |

?

x2 ?

x

?

(1? y?2 )3/2 (1? 1 )3/2 (1? x 2 )3/2

x2

3
? ? (1? x 2 ) 2 ? x

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3

(1?

x

2

)

1 2

?2

x

?

x

?

(1?

x

2

)

3 2

??? 2

?

1? x 2 (2x 2 ?1) ?

x2

x2

令 ??0? 得 x? 2 2

因为当 0? x? 2 2

?0? 当 x? 2 时? ?0? 所以 x? 2 是

2

2

最小值点? 当 x? 2 2

y ?ln 2 2

( 2 , ln 2 ) 22

小曲率半径为 ? ? 3 3 ? 2
6? 证明曲线 y ?ach x 在点(x a

y)处的曲率半径为 y 2 ? a

解 y??sh x ? y??? 1 ch x ?

a

aa

在点(x y)处的曲率半径为

的极小值点? 同时也

? ? (1? y?2 )3/2

(1?sh 2 ?

x )3/2 a

(ch 2 ?

x )3/2 a

?ach 2

x? y2

?

| y??|

| 1 ch x |

| 1 ch x |

aa

aa

aa

7? 一飞机沿抛物线路径 y ? x 2 (y

m)

10000

点 O 处飞机的速度为 v?200m/s 飞行员体重 G?70Kg

椅对飞行员的反力?



y?? 2x ? x ? 10000 5000

y??? 1 ? y?|x?0?0? 5000

y

??|

x?0

?

1 5000

?

? | x?0

?

(1? y?2 )3/2 | y??|

?

(1? 0 2 1

) 3/ 2

?5000 ?

5000

O 处时座

向心力 F ? mV 2 ? 70?2002 ?560 (牛顿)? ? 5000

飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79?9?8?560?1246(牛顿)?
8? 汽车连同载重共 5t? 在抛物线拱桥上行驶? 速度为 21?6km/h? 桥的跨度为 10m? 拱的矢 高为 0?25m ? 求汽车越过桥顶时对桥的压力?
解 如图取直角坐标系? 设抛物线拱桥方程为 y?ax2? 由于抛物线过点(5? 0?25)? 代入方程 得

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a? 0.25 ?0.01? 25
于是抛物线方程为 y?0? 01x2? y??0?02x? y???0?02?

? | x?0

?

(1? y?2 )3/2 | y??|

? (1?02 )3/2 0.02

?50

?

向心力为

F

?

mV

2

?

5?103 ( 21.6?103 3600

)2

?3600 (牛顿)?

?

50

因为汽车重为 5 吨? 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为

5?103?9?8?3600?45400(牛顿)?

*9

y?ln x 在与 x 轴交点处的曲率圆方程?

*10? 求曲线 y?tan x 在点 (? ,1) 4
*11? 求抛物线 y2?2px 的渐屈线方程?

总习题三

1. 填空:

设常数 k?0, 函数 f (x)?ln x? x ?k 在(0, ??)内零点的个数为________. e
解 应填写 2.

提示: f ?(x)? 1 ? 1 , f ??(x)?? 1 .

xe

x2

在(0, ??)内, 令 f ?(x) 0, 得唯一驻点 x e .

因为 f ??(x)?0, 所以曲线 f (x)?ln x? x ?k 在(0, ??)内是凸的, 且驻点 x e
大值点, 最大值为 f(e) k?0.

e 一定是最

又因为 lim f (x)??? , lim f (x)??? , 所以曲线经过 x 轴两次, 即零点的个数为 2.

x??0

x???

2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:

设在[0, 1]上 f ??(x)?0, 则 f ?(0), f ?(1), f(1) f(0)或 f(0) f(1)几个数的大小

顺序为(

).

(A)f ?(1)?f ?(0)?f(1) f(0); (B)f ?(1)?f(1) f(0)?f ?(0);

(C)f(1) f(0)?f ?(1)?f ?(0); (D)f ?(1)?f(0) f(1)?f ?(0).

解 选择 B .

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提示: 因为 f ??(x)?0, 所以 f ?(x)在[0, 1]上单调增加, 从而 f ?(1)?f ?(x)?f ?(0).

又由拉格朗日中值定理, 有 f(1) f(0) f ?( ), ?[0, 1], 所以

f ?(1)? f(1) f(0)?f ?(0).

3. 列举一个函数 f(x)满足: f(x)在?a b?

(a b)内除某一点外处处可

(a b)内不存在点 ?

f(b) f(a) f ?(?)(b a).

解 取 f(x) |x|, x?[ 1, 1].

易知 f(x)在[ 1, 1]上连续, 且当 x?0 时 f ?(x) 1; 当 x?0 时, f ?(x) 1; f ?(0)

不存在, 即 f(x)在[ 1, 1]上除 x 0 外处处可导.

注意 f(1) f( 1) 0, 所以要使 f(1) f( 1) f ?( )(1 ( 1))成立, 即 f ?( )

0, 是不可能的.

因此在( 1, 1)内不存在点 ?

f(1) f( 1) f ?( )(1 ( 1)).

4. 设 lim f ?(x)?k , 求 lim[ f (x?a)? f (x)] .

x??

x??

解 根据拉格朗日中值公式, f(x?a)?f (x)?f ?( )?a, 当 x?? 时, ? ?, 于是

介于 x?a 与 x 之间.

lim[ f (x?a)? f (x)]? lim f ?(? )?a?a lim f ?(? )?ak .

x??

x??

? ??

5. 证明多项式 f (x) x3 3x a 在[0, 1]上不可能有两个零点. 证明 f ?(x)?3x2?3?3(x2?1), 因为当 x?(0, 1)时, f ?(x)<0, 所以 f (x)在[0, 1]上单 调减少. 因此, f(x) 在[0, 1]上至多有一个零点.

6.



a0

?

a1 2

?

?

?

?

?

an n ?1

一个零点.

0, 证明多项式 f(x) a0

a1x?? ? ??anxn 在(0,1)内至少有

证明



F

(x)

?

a0

x

?

a1 2

x 2 ??? an x n?1 , n ?1

则 F(x)在[0,

1]上连续,

在(0,

1)内可导,



F(0)?F(1)?0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点 , 使 F( )?0. 而 F ?(x)?f(x), 所

以 f(x)在(0, 1)内至少有一个零点.

7. 设 f(x)在[0, a]上连续, 在(0, a)内可导, 且 f(a) 0, 证明存在一点 ?(0, a),

使

f( ) f ?( ) 0.

证明 设 F(x)?xf(x), 则 F(x)在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且 F(0)?F(a)?0. 由

罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点 , 使 F( )?0. 而 F(x)?f(x)?x f ?(x), 所以 f( )

f ?( ) 0.

8. 设 0<a<b, 函数 f(x)在?a b?

(a b)

??(a

b)使 f (a)? f (b)??f ?(? )ln b . a

证明 对于 f(x)和 ln x 在[a, b]上用柯西中值定理, 有

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f (b)? f (a) ? f ?(? ) , lnb?ln a 1
?

?(a, b),



f (a)? f (b)??f ?(? )ln b , ?(a, b).

a

9. 设 f(x)、g(x)都是可导函数, 且|f ?(x)|<g?(x), 证明: 当 x>a 时, |f(x)

g(a).

f(a)|<g(x)

证明 由条件|f ?(x)|<g?(x)得知, f ?(? ) ?1, 且有 g?(x)>0, g(x)是单调增加的, 当 x>a g ?(? )

时, g(x)>g(a).
因为 f (x)、g (x)都是可导函数, 所以 f (x)、g (x) 在[a, x]上连续, 在(a, x)内可 导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点 ?(a, x), 使 f (x)? f (a) ? f ?(? ) .
g(x)? g(a) g?(? )

因此, | f (x)? f (a)| ? f ?(? ) ?1, |f (x) f (a)|<g (x) g (a). g(x)? g(a) g ?(? )

10. 求下列极限:

(1) lim x?xx ; x?11? x?ln x
(2) lim[ 1 ? 1 ] ; x?0 ln(1? x) x

(3) lim ( 2 arctan x) x . x??? ?

11

1

(4)

xli?m?[(a1x

? a2x

?

???

?

a

x n

) / n]nx

(其中

a1

a2 ? ? ?, an>0)

解 (1) (xx)??(ex l n x )??e x l n x (ln x?1)?xx (ln x?1).

x?xx

(x?xx )?

1? x x (ln x?1)

x? x x?1 (ln x?1)

lim

?lim

?lim

?lim

x?11? x ?ln x x?1 (1? x?ln x)? x?1 ?1? 1

x?1

1? x

x

1? x x?1 (ln x ?1? 1 )(ln x ?1)? x x

? lim

x

?2.

x?1

?1

(2) lim[

1

? 1 ]? lim x?ln(1? x) ? lim [x?ln(1? x)]? ? lim

1? 1 1? x

x?0 ln(1? x) x x?0 xln(1? x) x?0 [xln(1? x)]? x?0 ln(1? x)? x

1? x

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? lim

x

? lim

1

?1

x?0 (1? x)ln(1? x)? x x?0 ln(1? x)?1?1 2

(3)

lim

( 2 arctan x) x ?

lim

e

x(lnarctanx?ln

2 ?

)

,

x??? ?

x???

因为

所以

lim

x(lnarctan x?ln 2 ) ? lim

(ln arctan x ?ln 2 )? ? ? lim

1 ?1 arctan x 1? x 2

?? 2

,

x???

? x???

( 1 )?

x???

?1

?

x

x2

lim

(2

arctan x) x

?

lim

x(lnarctanx?ln 2 )

e

?

?2
?e ?

.

x??? ?

x???

11

1

11

1

(4)令

y

?[(a1x

?

a

x 2

?

?

?

?

?

a

x n

)

/

n]nx

.

则 ln y ?nx[ln(a1x

?

a

x 2

?

???

? anx

) ? ln

n]

,

因为

11

1

lim

ln

y?

lim

n[ln(a1x

? a2x

?

?

?

?

?

a

x n

)?ln n]

x??

x??

1

x

n?

1

11

1

1
?(a1x

1

ln

a1

?

a

x 2

ln a2

1
? ? ? ? ? anx

ln

a

n

)?(

1 x

)?

? lim

a1x

?

a

x 2

?

?

?

?

?

a

x n

x ??

( 1 )?

x

ln a1?ln a2?? ? ??ln an ln(a1?a2? ? ? an).

即 lim ln y
x??

11

1

ln(a1?a2?

?

?

an),

从而

xli?m?[(a1x

?

a

x 2

?

???

? anx

) / n]nx

? lim
x??

y ?a1 ?a2

???

an

11.

(1)当

0?

x1

?

x2

?

? 2

tan x2 ? x2 ; tan x1 x1

(2) x>0 时, ln(1? x)? arctan x . 1? x

证明 (1)令 f (x)? tan x , x?(0, ? ) .

x

2

因为 f ?(x)? xsec2 x?tan x ? x?tan x ?0 ,

x2

x2

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所以在 (0, ? ) 内 f(x)为单调增加的. 2

因此当

0?

x1

?

x

2

?

? 2

时有]

tan x1 ? tan x2 , 即 tan x2 ? x2 .

x1

x2

tan x1 x1

(2)要证(1?x)ln(1?x)>arctan x , 即证(1?x)ln(1?x)? arctan x >0.

设 f(x)?(1?x)ln(1?x)? arctan x , 则 f(x)在[0, ??)上连续, f ?(x)?ln(1? x)? 1 . 1? x 2

因为当 x>0 时, ln(1?x)>0, 1? 1 ?0 , 所以 f ?(x)>0, f(x)在[0, ??)上单调增加. 1? x 2
因此, 当 x>0 时, f(x)>f(0), 而 f(0)?0, 从而 f(x)>0, 即(1?x)ln(1?x)?arctan x>0 .

12.



?x 2x f (x)??

x?0 , 求 f(x)的极值.

? x?2 x?0

解 x?0 是函数的间断点. 当 x<0 时, f ?(x)?1; 当 x>0 时, f ?(x)?2x 2x (ln x ?1).

令 f ?(x) 0, 得函数的驻点 x? 1 . e

列表:

x ( ?,

0

0)

f

?(x)

?

不存在

f(x ↗ 2 极大值
)

(0, 1) e


1 e
0

?2
ee

极小值

(1 , ??) e
? ↗

函数的极大值为 f

(0)?2,

极小值为

f

(

1

)

?

e

?

2 e

.

e

13. 求椭圆 x2 xy y2 3 上纵坐标最大和最小的点.

解 2x?y?xy??2yy??0, y?? 2x? y . 当 x? 1 y 时, y??0.

x?2y

2

将 x? 1 y 代入椭圆方程, 得 1 y 2 ? 1 y 2 ? y 2 ?3 , y ??2 .

2

42

于是得驻点 x??1, x?1. 因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在, 且在驻点处取得, 又

当 x??1 时, y ??2, 当 x?1 时, y?2, 所以纵坐标最大和最小的点分别为(1, 2)和(?1, ?2).

14. 求数列{n n} 的最大项.

1
解 令 f (x)? x x ? x x (x?0), 则

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ln f (x)? 1 ln x , x

1 ? f ?(x)? 1 ? 1 ln x? 1 (1?ln x) ,

f (x)

x2 x2

x2

f

?( x) ?

x

1 x

?2

(1? ln

x)

.

令 f ?(x) 0, 得唯一驻点 x e . 因为当 0?x?e 时, f ?(x)?0; 当 x?e 时, f ?(x)?0, 所以唯一驻点 x

e 为最大值点.

因此所求最大项为 max{ 2, 3 3}?3 3 .

15. 曲线弧 y sin x (0<x< )上哪一点处的曲率半径最小?求出该点处的曲率半径. 解 y? cos x, y?? sin x,

? ? (1? y?2 )3/2

(1?cos 2 ?

x) 3/ 2

(0<x<

),

| y??|

sin x

3

(1?

cos

2

x)

1 2

(?2cos

xsin

x)?sin

x ? (1?

cos

2

x)

3 2

cos

x

??? 2

sin 2 x

1
? ?(1?cos 2 x) 2 cos x(3sin 2 x ?cos 2 x ?1) . sin 2 x

在(0, )内, 令 ? 因为当 0? x?? 时,
2

0, 得驻点 x?? . 2
??0; 当 ? ? x?? 时, 2

??0, 所以 x?? 是 的极小值点, 同时也 2

(1? cos 2 ? )3/2

是 的最小值点, 最小值为 ?

2 ?1 .

?

sin

2

16. 证明方程 x3 5x 2 0 只有一个正根.

末 10 3

解 设 f (x)?x3 5x 2, 则 f ?(x)?3x2?5, f ??(x) 6x .

当 x?0 时, f ??(x)?0, 所以在(0, ??)内曲线是凹的, 又 f(0)
所以在(0, ??)内方程 x3 5x 2 0 只能有一个根. (求根的近似值略)

2, lim (x3 ? x?2)??? , x???

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17.

设f

??(x0)存在,

证明 lim h?0

f

(x0

? h)

?

f

(x0 h2

? h) ?

2

f

(x0

)

?

f

??(x0

)

.

证明 lim f (x0 ?h)? f (x0 ?h)?2 f (x0 ) ?lim f ?(x0 ?h)? f ?(x0 ?h)

h?0

h2

h?0

2h

? 1 lim f ?(x0 ?h)? f ?(x0 ?h)

2 h?0

h

? 1 lim [ f ?(x0 ?h)? f ?(x0 )]?[ f (x0 )? f ?(x0 ?h)]

2 h?0

h

? 1 lim[ 2 h?0

f

?(x0

? h) ? h

f

?(x0 ) ?

f

(x0 )?

f ?(x0 h

?h)]? 1[ f 2

??(x0 )?

f

??(x0 )]?

f

??(x0 )

.

18. 设 f (n)(x0)存在, 且 f (x0) f ?(x0) ? ? ? f (n)(x0) 0, 证明 f(x) o[(x

x0)n] (x?x0).

证明 因为

f (x)

f ?(x)

lim

? lim

x?x0 (x ? x0 ) n x?x0 n(x ? x0 ) n?1

f ??(x) ? lim
x?x0 n(n ?1)(x ? x0 ) n?2

f (n?1) (x) ? ? ? ? lim
x?x0 n!(x ? x0 )

1 ? lim
n! x?x0

f

(n?1) (x) ? f (n?1) (x0 ) ? 1 f

x? x0

n!

(n) (x0 )?0 ,

所以 f(x) o[(x x0)n] (x?x0).

19 设 f(x)在(a b)内二阶可导, 且 f ??(x)?0. 证明对于(a b)内任意两点 x1, x2

及 0?t?1, 有 f[(1 t)x1 tx2]?(1 t)f(x1) tf(x2).

证明 设(1 t)x1?tx2 x0. 在 x x0 点的一阶泰勒公式为

f

( x) ?

f

(x0 )?

f

?(x0 )(x? x0 )?

f

??(? 2!

)

(

x

?

x0

)

2

(其中

介于 x 与 x0 之间).

因为 f ??(x)?0, 所以

f(x)?f(x0)?f ?(x0)(x x0).

因此

f(x1)? f(x0)?f ?(x0)(x1 x0), f(x2)?f(x0)?f ?(x0)(x2 x0).

于是有

(1 t)f(x1) tf(x2)?(1 t)[ f(x0)?f ?(x0)(x1 x0)]?t[f(x0)?f ?(x0)(x2 x0)]

(1 t)f(x0)?t f(x0)?f ?(x0)[(1 t)x1?t x2] f ?(x0)[(1 t)x0?t x0]

f(x0)?f ?(x0)x0 f ?(x0)x0

f(x0),



f(x0)?(1 t)f(x1) tf(x2),

所以 f[(1 t)x1 tx2]?(1 t)f(x1) tf(x2) (0?t?1).

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20. 试确定常数 a 和 b, 使 f(x) x (a?b cos x)sin x 为当 x?0 时关于 x 的 5 阶无 穷小.

解 f(x)是有任意阶导数的, 它的 5 阶麦克劳公式为

f (x)? f (0)? f ?(0)x? f ??(0) x2 ? f ???(0) x3 ? f (4) (0) x4 ? f (5) (0) x5 ?o(x5 )

2!

3!

4!

5!

?(1?a?b)x? a?4b x3 ? ?a?16b x5 ?o(x5 ) .

3!

5!

要使 f(x) x (a?b cos x)sin x 为当 x?0 时关于 x 的 5 阶无穷小, 就是要使极限

lim f (x) ?lim[1?a?b ? a?4b ? ?a?16b ? o(x5 )]

x?0 x 5 x?0 x 4

3!x 2

5!

x5

存在且不为 0. 为此令

?1? a ?b ?0 ??a ? 4b ?0

,

解之得 a? 4 , b?? 1 .

3

3

因为当 a? 4 , b?? 1 时,

3

3

lim f (x) ? ?a?16b ? 1 ?0 ,

x?0 x5

5! 30

所以当 a? 4 , b?? 1 时, f(x) x (a?b cos x)sin x 为当 x?0 时关于 x 的 5 阶无穷小.

3

3

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