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利用数学期望求解经济决策问题

发布时间:

第 24 卷 第 6 期 Vol.24 No.6

龙岩学院学报 Journal of Longyan University

2006年 12 月 December 2006

利用数学期望求解经济决策问题

林侗芸
( 漳州师范学院数学系 福建漳州 363000)

摘要: 由于随机变量的数学期望体现了随机变量的*均水*,它是随机变量的重要概率特征。经济学中的许多决

策变量都是随机变量, 要确定其具体分布是十分困难的, 我们可利用它的数学期望来解决经济决策问题。

关键词: 随机变量; 数学期望; 经济决策问题

中图分类号: O211.9

文献标识码: A

文章编号: 1673- 4629(2006)06- 0007- 02

由于经济决策中所遇到的变量都是随机变量, 它的分 布往往是比较复杂的。我们可通过它的数学期望来表达它 的数学特征[1,2]。因此, 可利用随机变量的数字特 征— ——数 学 期 望 来 求 解 一 些 经 济 决 策 问 题 。 [3] 1 确定生产批量问题
某企业为了确定今后 5 年内生产某种服装的批量, 以 便及早作好产前的各项准备工作。根据以往的销售统计资 料 及 市 场 调 查 预 测 , 未 来 市 场 销 路 好 、中 、差 三 种 状 况 的 概 率分别为 0.3, 0.5 和 0.2。 若 按 大 、中 、小 三 种 不 同 生 产 批 量 投产, 今后 5 年不同销售状态下的益损值如表 1:
表1

状态

销路好

销路中

销路差

概率

0.3

0.5

0.2

大批量益损值 x1

20

14

-2

中批量益损值 x2

12

17

12

小批量益损值 x3



10

10

试作出定量分析, 确定今后 5 年最佳生产批量。 分析:虽然益损值 x 的分布未知, 但由于它的数学期望
表示*均值, 在三种状态的*均值是可求的, 故可用它作为 评判的标准。下面计算三个批量的益损值的数学期望:
Ex1=0.3×20+0.5×14+0.2×(- 2)=12.6 Ex2=0.3×12+0.5×17+0.2×12=14.5 Ex3=0.3×8+0.5×10+0.2×10=9.4 由此可见, 中批量生产的益损均值最大。故应选择中批 量生产较为合适。 2 最佳进货量问题 设某一 超 市 经 销 的 某 种 商 品 , 每 周 的 需 求 量 x 在 10 至 30 范围内等可能取值, 该商品的进货量也在 10 至 30 范围 内等可能取值( 每周只在周前进一次货) 超市每销售一单位 商 品 可 获 利 500 元 , 若 供 大 于 求 , 则 削 价 处 理 , 每 处 理 一 单

位 商 品 亏 损 100 元 ; 若 供 不 应 求 , 可 从 外 单 位 调 拨 , 此 时 一

单位商品可获利 300 元。试测算进货量多少时, 超市可获得

最佳利润? 并求出最大利润的期望值。

分析: 由于该商品的需求量 ( 销售量)x 是一个随机变

量 , 它 在 区 间[10, 30]上 均 匀 分 布 , 而 销 售 该 商 品 的 利 润 值 y

也是随机变量,它是 x 的函数, 称为随机变量的函数。本问题

涉及的最佳利润只能是利润的数学期望即*均利润的最大

值。因此, 本问题的解算过程是, 先确定 y 与 x 的函数关系,

再求出 y 的期望 Ey, 最后利用极值方法求出 Ey 的极大值点

及最大值。

先假设每周的进货量为 a, 则

"500a+300( x- a) , 当 x≥a
y= 500x- 100( a- x) , 当 x<a

"200a+300x, 当 x≥a
= 600x- 100a, 当 x<a

利润 y 的数学期望为

# $ Ey= 1


(600x- 100a)dx+



30
(300x+200a)dx

20 10

20 a

=- 7.5a2+350a+5250

dEy =- 15a+350=0 da

a= 350 ≈23.33 15

Ey 的最大值 maxEy=- 7.5×( 70 )2+350×70 +5250≈9333.3





( 元)

由 计 算 结 果 可 知 , 周 最 佳 进 货 量 为 23.33( 单 位 ) , 最 大

利润的期望值为 9333.3( 元) 。

3 求职决策问题

有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会, 按面试的

时间顺序, 这三家公司分别记为 A, B, C。每家公司都可提供

极 好 、好 和 一 般 三 种 职 位 。每 家 公 司 根 据 面 试 情 况 决 定 给 求

收稿日期: 2006—06—28 作者简介: 林桐芸( 1967— ) , 男, 福建漳州人, 副研究员, 主要研究方向: 高等数学教学。


职者何种职位或拒绝提供职位。按规定, 双方在面试后要立 即作出决定提供、接受或拒绝某 种 职 位 , 且 不 许 毁 约 。 咨 询 专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后, 认为甲获 得极好、好和一般的可能性依次为 0.2, 0.3 和 0.4。三家公司 的工资承诺如表 2:
表2

公司

极好



一般



3500

3000

2200



3900

2950

2500



4000

3000

2500

如果甲把工资作为首选条件, 那么甲在各公司面试时, 对该 公司提供的各种职位应作何种选择?
分析: 由于面试从 A 公司开始, 甲在选择 A 公司三种职 位时必须考虑后面 B, C 公司提供的工资待遇, 同样在 B 公 司面试后, 也必须考虑 C 公司的待遇。因此我们先从 C 公司 开始讨论。由于 C 公司的工资 x3 期望值为
Ex3=4000×0.2+3000×0.3+2500×0.4=2700( 元) 再 考 虑 B 公 司 , 由 于 B 公 司 一 般 职 位 工 资 只 有 2500, 低于 C 公司的*均工资, 因此甲在面对 B 公司时, 只接受极 好和好两位职位, 否则去 C 公司。如此决策时甲工资 x2 的期

望值为: Ex2=3900×0.2+2950×0.3+2700×0.5=3015( 元) 最后考虑 A 公司, A 公司只有极好职位工资超过 3015,
因此甲只接受 A 公司的极好职位。否则去 B 公司。 甲的整体决策应该如此: 先去 A 公司应聘, 若 A 公司提
供极好职位就接受之。否则去 B 公司, 若 B 公司提供极好或 好的职位就接受之, 否则去 C 公司应聘任一种职位。在这一 决策下, 甲工资 x1 的期望值为
Ex1=3500×0.2+3015×0.8=3112( 元) 从前述几个例子可看出, 经济决策中其决策变量都是 随机变量, 探寻其具体分布是十分困难的。我们转用它的数 学期望值来作决策依据, 该问题求解过程大为简化。
参考文献: [1]魏 宗 舒. 概 率 论 与 数 理 统 计[M]. 北 京:高 等 教 育 出 版 社, 1982. [2]王梓坤. 概率论基础及其应用[M]. 北京:科学出版社, 1980. [3]任 * . 经 济 数 学 基 础 [M]. 广 州 : 暨 南 大 学 出 版 社 , 1998.

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( 上接第 4 页)

得 am=-

1 2

( m2+3m- 164) ,

同 理 可 得 : bm=- 3m2+21m+38, 令

am=bm,



m=

45±!265 2×5

, 进 而 得 到 Q 供=Q 需≈73.58 吨 时 是

一个*衡点, 价格大约在 6.30 元/千克。

同 理 , 取 四 组 数 据 进 行 预 估 时 可 以 得 到 Q 供 =Q 需 ≈

74.04 吨时是一个*衡 点 , 价 格 大 约 在 6.4 元/千 克 。 数 据 表

明, 在一定误差范围内检验比模型是合乎实际的, 而且随着

数据的增加, 预测也更加准确。 这类问题中虽然都给出了一些数据, 但是用传统的建
立方程模型的思路是不容易解决的, 定理提供了一种对所 给的数据建立模型, 并预测数据的未来变化趋势的方法。
参考文献: [1] 北 京 大 学 数 学 力 学 系 几 何 与 代 数 教 研 室 代 数 小 组. 高等代数[M]. 北京: 人民教育出版社, 1979. [2]陈 昭 木 , 陈 清 华 , 王 华 雄 , 等. 高 等 代 数[M]. 福 州 : 福 建教育出版社, 1991.






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