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江苏省张家港市塘桥高级中学2009-2010学年高一第二学期期中考试(数学)1

塘桥高级中学 2009-2010 学年第二学期

高 一 年级期中考试 数学

试卷

命题:

校对:

一、填空题

1.等比数列 {an } 的公比为

1 2

,前

5

项和为

31,则数列 {an } 的首项为__________。

2.在⊿ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 21 : 4 : 5 ,则角 A =

3.不等式

ax2

?

bx

?

2

?

0

?? ?
的解集为 ?

1 2

,

1 3

?? ?

,则

a

?

b

等于__________

4.等差数列 {an} 共有 2m 项,其中奇数项之和为 90,偶数项之和为 72,且

a2m ? a1 ? ?33 , 则该数列的公差为

.

5.等比数列 ?an ?中, a5a14 ? 5 ,则 a8a9a10a11=__ __ __

?x ? y ? 2, 6.已知实数 x,y 满足 ??x ? y ? 2,则 z ? 2x ? y 的最小值是
??0 ? y ? 3,
7.在△ABC 中,若 a ? 7,b ? 8, cosC ? 13 ,则最大角的余弦是__________ 14
8.若数列?an? 的前 n 项和 Sn=n2-10n(n=1,2,3 …),则数列?nan?中数值最小的项是



项.

9.已知 a ? 0,b ? 0, a ? b ? 1,则 a ? 1 ? b ? 1 的范围是____________

2

2

10.在△ABC 中,a,b, c 分别是角 A,B,C 的对边,如果 a,b, c 成等差数列,B= 300 , △ABC 的面积为 3 ,那么 b= 2
11.在等差数列{an}中,若 S9 =18, an?4 =30, Sn =240,则 n 的值为

12.若在△ABC 中, ?A ? 600,b ?1, S?ABC ?

3, 则

a?b?c

=_______.

sin A ? sin B ? sin C

13.若 0 ? y ? x ? ? , 且 tan x ? 3tan y, 则 x ? y 的最大值为________ 2

14.数列{an}的前 n 项和是 Sn ,若数列{an}的各项按如下规则排列:

1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 ,… 233 4 4 45555 6

若存在整数 k ,使 Sk ? 10 , Sk?1 ? 10 ,则 ak ?



二、解答题 15.解关于 x 的不等式 : a ? 2 ? 1,其中a ? R
x?2

16.在等比数列 ?a n ?中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, Sn ? 400, 求 n 的范围.

17.如图,已知 ?A ? 60?,P、Q 分别是 ?A 两边上的动点。

(1)当 AP ?1, AQ ? 3时,求 PQ 的长;

(2)AP、AQ 长度之和为定值 4,求线段 PQ 最小值。

P

A

Q

18.本公司计划 2010 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用
不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、
乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万 元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益 是多少万元?
19.在△ABC 中, a,b, c 分别是角 A,B,C 的对边, cos A ? 5 , tan B ? 3 . 5
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 ,求△ABC 面积.

20.已知等差数列?an? 的首项为 a ,公差为 b ,等比数列?bn? 的首项为 b ,公比为 a (其中
a, b 均为正整数).
(Ⅰ) 若 a1 ? b1, a2 ? b2 ,求数列?an? 、?bn? 的通项公式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 a1, a3, an1 , an2 …, ank … (3<n1<n2<…< nk<…)成等比数列,求数列
?nk? 的通项公式; (Ⅲ) 若 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ,且至少存在三个不同的 b 值使得等式 am ? t ? bn ?t ? N ? 成
立,试求 a 、 b 的值.

参考答案及评分标准

一.填空题(每题 5 分计 70 分) 1.16,2. 600 ,3.-14,4.-3,5.25,6.1,7. ? 1 7,

8.3,9.

? ?

?

2? 2

6

,

? 2?

,10.

1+

?

3 ,11.15,12.

2 39 ,13. 3

? ,14. 6

5 7

二.解答题

15.(14 分)

解:不等式 a ? 2 ? 1可化为 a ? 2 ?1 ? 0 ,、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2 分

x?2

x?2

即 x ? a ? 0 ,、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、4 分 x?2

上面的不等式等价于(x-a)(x-2)<0,、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5 分(可略)

? ? ?当 a>-2 时,原不等式的解集为 x | ?2 ? x ? a 、、、、、8 分

? ? 当 a<-2 时,原不等式的解集为 x | a ? x ? ?2 、、、、、、11 分

当 a=-2 时,原不等式的解集为 ? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、14 分

16.(14 分) 解: a1a3 ? a22 ? 36, a2 (1? q2 ) ? 60, a2 ? 0, a2 ? 6,1? q2 ? 10, q ? ?3, 、、、、、、、、、4 分



q

?

3 时, a1

?

2, Sn

?

2(1? 3n ) 1?3

?

400, 3n

?

401, n

?

6, n ?

N

;、、、、、、、、、9



当q

?

?3 时, a1

?

?2, Sn

?

?2[1? (?3)n ] 1? (?3)

?

400, (?3)n

?

801, n

?

8, n

为偶数;

∴ n ? 8,且n为偶数 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、14 分

17.(15 分) 解:(1)由余弦定理得 PQ2 ? AP2 ? AQ2 ? 2AP AQ cos A ? 7 :、、、、、、、、、4 分

? PQ ? 7 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5 分 (2)设 AP=x,AQ=y,则 x+y=4、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、6 分 PQ2 ? AP2 ? AQ2 ? 2AP AQ cos A ? x2 ? y2 ? xy ? (x ? y)2 ? 3xy ? 16 ? 3xy 、、、9 分
xy ? x ? y ? 2(x ? 0, y ? 0)? xy ? 4 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、12 分 2
? PQ2 ? 16 ? 3xy ? 16 ? 3? 4 ? 4 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、13 分
当且仅当 x=y 时即 AP=BP=2 时,PQ 取到最小值,(14 分)最小值是 2、、、15 分

18.(15 分)
解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,
总收益为 z 元,、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、1 分 ?x ? y ≤ 300,
由题意得 ??500x ? 200 y ≤ 90000,、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5 分 ??x ≥ 0,y ≥ 0.
?x ? y ≤ 300, 二元一次不等式组等价于 ??5x ? 2 y ≤ 900,
??x ≥ 0,y ≥ 0. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域即可行域如图(略)、、(正确作图 4 分)
目标函数为 z ? 3000x ? 2000y .、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 10 分

作直线 l : 3000x ? 2000y ? 0 ,即 3x ? 2y ? 0 .

平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.

联立

?x ? y ? 300, ??5x ? 2y ? 900.

解得

x

?

100,y

?

200

.、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、13



?点 M 的坐标为 (100,200) .? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)、、14 分
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收 益最大,最大收益是 70 万元.、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、15 分

19.(16 分)

解:(Ⅰ)由 cos A ? 5 得 sin A ? 2 5 ,?tan A ? 2 ,、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3 分

5

5

tan C ? ? tan(A ? B) ? ? tan A ? tan B ? 1,、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 6 分 1? tan A tan B

又 0 ? C ? ? ,∴ C ? ? 。、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、8 分 4

(Ⅱ)由 a ? c 可得,c ? sin C ? a ? 10 ,、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、11 分

sin A sin C

sin A

由 tan B ? 3得,sin B ? 3 , 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、14 分 10

所以△ABC 面积是 1 ac sin B ? 6 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 16 分 2

20.(16 分)

解:(Ⅰ)由

a1

?

b1, a2

?

b2

得:

?a ??a

?b ?b ?

ab



解得: a ? b ? 0 或 a ? b ? 2 ,

a,b ? N ? , ?a ? b ? 2,从而 an ? 2n, bn ? 2n 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a1 ? 2, a3 ? 6 ,? a1, a3, an1 , an2, ,ank, 构成以 2 为首项,3 为公比的

等比数列,即: ank ? 2?3k?1 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 6 分 又 ank ? 2nk ,故 2nk ? 2 ? 3k?1 ,? nk ? 3k?1 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 9 分

(Ⅲ) 由 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 得: a ? b ? a ? b ? ab ? a ? 2b ,

由 a ? b ? ab 得: a?b ?1? ? b ;由 ab ? a ? 2b 得: a?b ?1? ? 2b ,

而 a,b ? N*, a ? b , 即 : b ? a ?1 , 从 而 得 : 1 ? 1? 1 ? b ? a ? 2b ? 2 ? 2 ? 4 ,
b ?1 b ?1 b ?1 b ?1 ?a ? 2,3,当 a ? 3时, b ? 2 不合题意,故舍去, 所以满足条件的 a ? 2 . 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、12 分
又 am ? 2 ? b(m ?1) , bn ? b ? 2n?1 ,故 2 ? b?m ?1? ? t ? b? 2n?1 ,
? ? 即: 2n?1 ? m ?1 b ? 2 ? t 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、13 分

①若 2n?1 ? m ?1 ? 0 ,则 t ? ?2? N ,不合题意; 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 14 分

②若

2n?1

?

m

?1

?

0,则

b

?

2?k 2n?1 ? m

?1

,由于

2n?1

?

m

?1可取到一切整数值,且

b ? 3 ,故要至少存在三个 b 使得 am ? t ? bn ?t ? N ? 成立,必须整数 2 ? t 至少有三

个大于或等于 3 的不等的因数,故满足条件的最小整数为 12,所以 t 的最小值为

10 ,此时 b ? 3 或 4 或 12。

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、16 分



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