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2019-2020学年高考数学一轮复*《不等式证明》(二)学案.doc

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2019-2020 学年高考数学一轮复*《不等式证明》(二)学案 基础过关 例 1. 已知 f(x) =x +px+q, (1) 求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2; (2) 求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个不小于 . 证明: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2 (2)用反证法。假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 ,则|f(1)|+2|f(2)|+| f(3) |<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2,出现矛盾. ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 . 变式训 练 1:设 a、b、c ? R ? ,那么三个数 a ? A.都不大于 2 B.都不小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 解: D 例 2. (1) 已知 x +y =1,求证: ? 1 ? a 2 ? y ? ax ? 1 ? a 2 . (2) 已知 a、b∈R,且 a +b ≤1,求证: a2 ? 2ab ? b2 ? 2 . 证明:(1)设 x ? cos? , y ? sin ? ∴ y ? ax ? sin ? ? a cos? ? 1 ? a2 sin(? ? ? ) (其中 cos? ? 1 1? a 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 、b? 、c? c a b ( ) 2 2 2 2 , sin ? ? ? a 1 ? a2 ) ∵ ?1 ? sin(? ? ? ) ? 1 ∴ ? 1 ? a 2 ? y ? ax ? 1 ? a 2 (2)令 a ? k sin ? , b ? k cos? (其中 k ≤1), 则 a 2 ? 2ab ? b2 ? k 2 sin 2 ? ? 2k 2 sin ? cos? ? k 2 cos2 ? 2 ? k 2 2 sin( 2? ? ? 4 ) ≤ 2k 2 ? 2 故原不等式成立. 2 2 变式训练 2: 设实数 x,y 满足 x +(y-1) =1,当 x+y+c≥0 时,c 的取值范围是( ) ? ?) A. [ 2 ? 1,, ? ?) C. [ 2 ? 1,, B. (??,,2 ? 1] D. (??,,2 ? 1] 解:A 例 3. 若 n ? N,且n ? 2 ,求证: 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ?1 2 n ? 1 22 32 n2 证明:当 n ? 2 时 n(n ? 1) ? n 2 ? n(n ? 1) 即 ? ? 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? 2 3 3 4 2 3 n 1 1 1 1 ?( ? )? ? n n ?1 2 n ?1 2 1 n 1 1 1 1 ? ? ? n ? 1 n2 n ? 1 n 1 ? 1 2 ? ??? ? 1 2 又 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? 2 2 3 1 1 1 ?( ? ) ? 1? ? 1 n ?1 n n 22 ? 32 ? ??? ? n2 1 1 1 故原不等式成立. 综合(1)和(2)可知, ? y ? , 即 ? 1 2 x2 ? x ? 1 3 ? . x2 ? 1 2 1 2 3 2 变式训练 4:设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a、b、c ? R且a ? 0) ,若函数 y ? f ( x ) 的图象与直线 y ? x 和 y ? ?x 均无公共点. (1) 求证: 4ac ? b 2 ? 1 (2) 求证:对于一切实数 x 恒有 | ax 2 ? bx ? c |? 2 1 4|a| 2 证明:(1)由 ax +(b-1)x+c=0 无实根,得 Δ 1=(b-1) -4ac<0 2 由 ax +(b+1)x+c=0 无实根 2 得 Δ 2=(b+1) -4ac<0 2 两式相加得:4ac-b >1 (2)∵4ac-b >1>0, ∴a(x+ ∴|ax+bx+ c|=| a(x+ =|a|(x+ 归纳小结 1.凡是含有“至少”,“至多”,“唯一”,“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证 法. 2.在已知式子中,如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数,可进 行三角变换,换元法证明不等式时,要注意换元的等价性. 3 .放缩法证题中,放缩必须有目标,放缩的途径很多,如用均值不等式,增减项、放缩因 式等. 4.含有字母的不等式,如果可以化成 一边为零,另一边是关于某字母的二次三项式时,可 用判别式法证明不等式成立,但要注意根的范围和题设条件的限制. 2 b 2 4ac ? b 2 ) 与 同号, 2a 4a b 2 4ac ? b 2 )+ | 2a 4a 4 ac ? b 2 4 ac ? b 2 b 2 1 ) + ≥ > 4a 4a 2a 4a



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