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《步步高学案导学设计》20132014学年高中数学人教B版选修23第二章精要课件事件的独立性_图文

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2.2.2 事件的独立性

【学习要求】

1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念.

本 课

2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的

时 栏

实际问题.

目 开

【学法指导】



相互独立事件同时发生的概率可以和条件概率对比理解,事

件独立可以简化概率计算,学习中要结合实例理解.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.相互独立事件:事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有

本 课

影响,即 P(B|A)=P(B) .这时,我们称两个事件 A,B 相

时 栏

互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.

目 开

2.两个相互独立事件都发生的概率,等于 每个事件发生的



概率的积 .即若 A,B 相互独立,则 P(A∩B)= . 答 两个事件相互独立与互斥的区别:两个事件互斥是指两个 事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生 与否对另一个事件发生的概率没有影响.

3.相互独立的性质

如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与

B 也都相互独立.

研一研·问题探究、课堂更高效

探究点一 相互独立事件的概念

本 问题 1 3 张奖券只有 1 张能中奖,3 名同学有放回地抽取.事

课 件 A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件 B 为“第



栏 三名同学抽到中奖奖券”,事件 A 的发生是否会影响 B 发

目 开

生的概率?



A,B 相互独立,则 P(A∩B)=P(A)×P(B).

研一研·问题探究、课堂更高效

问题 2 在问题 1 中求 P(A)、P(B)及 P(AB),观察它们有何

关系? 答 P(A)=23,P(B)=13,P(AB)=23× ×13=29.

本跟踪训练 1

已知下列各对事件:

课(1)甲组 3 名男生,2 名女生;乙组 2 名男生,3 名女生.今从 甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动.“从甲组中选出一

时名男生”与“从乙组中选出一名女生”.

栏探 (2究 )一点盒二内盛相有互5独个立白事乒件乓同球时和发3生个的黄概乒率乓球. “从 8 个球中任

目例 取 取出 21 个 的 某, 仍 商是 取 场白 出 推的 球 出是 ” 二白 . 次球 开” 奖与 活“ 动从 ,剩 凡下 购的 买7一个 定球 价中 值任 的意 商取 品1可个 以, 开(3获 )一得筐一内 张有奖6券个.苹 奖果 券和 上3有个 一梨 个, 兑 “奖 从号 中码 任, 取 可1以个 分, 别 取参 出加 的两 是次 苹

关果抽 ”奖 与方 “式 取相 出同 第的 一兑 个奖 后活 放动 回. 筐 如内 果, 两再 次取 兑出 奖1活个 动是 的梨 中” 奖. 概率都

其中为相互独立事件的有

(

)

A. 是(01.)0(2 5),求两次抽奖中以下事件 B. 的(概 1)率 (3):

C. (1)(都 2) 抽到某一指定号码;

D.(2)(3)

(2)恰有一次抽到某一指定号码;

(3)至少有一次抽到某一指定号码.

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(=2)0“.0两5×次(1抽-奖0.恰05有)+一(1次-抽0.到05某)×一0.指05定=号0.0码95”. 可以用(AB)∪(A

本 课

B)表示.由于事件 A B 与 A B 互斥,根据概率的加法公式和相

时 栏

互独立事件的定义可得,所求事件的概率为

目 开 关

P(1()A由 B于 )+两P次 ( A抽B奖 )=结 P果 (A)互 P(不 B影 )+响P, ( 因 A )此 P(事 B)件 A 与 B 相互独立.于
是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为
方P(法AB二)=P1(-A)PP((B A)=B0).=051× -0(.10-5=0.00.50)022=50. .097 5.

研一研·问题探究、课堂更高效

解 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件 A,“第二次

抽奖(出3)抽,恰即到有某一A B一人+指译A出定B密号,码码分”为为两事类件:B甲,译则出“乙两译次不抽出奖;都乙抽译到出某甲一译不

本 指定号码”就是事件 AB.



时 小结 求 P(AB)时注意事件 A、B 是否相互独立,求 P(A∪B)

栏 目 开 关

跟((时A3踪 )B方同)训∪法样练(一A应2B注)“∪甲 意两(、 事A乙 次件B两 )抽表A人 奖、示独 至B.立 是少由地有否于破一互事译次斥件密抽,A码到B对的 ,某于概 A一“率 B指至和分定多别 A号”B为码两,13、”两“14可互.至求以斥少:用,” (根1型)两 据问个 概题人 率的都 的解译加法出法有密公两码式种的和概 思相率 路互; :独①立是事分件类的讨定义论可;得②,是所求求对事立件事的件概,

((率23利))两 恰 为用个 有PP人 一 (A( A都 人 B))译 译 +=不 出 P1(-出 密 APB密 码()A码 的 +)来的 概 P(运概 率A率 ; 算B); .=0.002 5+0.095=0.097 5.

(4)至多一人译出密码的概率;

(5)至少一人译出密码的概率.

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∴P(A B + A B)=P(A B )+P( A B)

=P(A)P( B )+P( A )P(B)

A

本 =13×1-14+1-13×14=152.

课 时 栏 目

(1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=13×14=112.



跟踪训练 3 (1)如图(1)添加第四个开关 JD 与其他三个开关串



联,在某段时间内此开关能够闭合的概率也是 0.7,计算在这

段时间内线路正常工作的概率.

(2)如图(2)两个开关串联再与第三个开关并联,在某段时间内

每个开关能够闭合的概率都是 0.7,计算在这段时间内线路正

常工作的概率.

(1)

(2)

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(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码,
本 课 时 栏 目 开 关

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小结 (1)解答此类题目时,先分析给的元件间是串联、并联还

本 是串并联混合关系,在此基础上结合事件的相互独立性及互斥





栏 目

事件、对立事件的有关知识依据“串联通易求,并联断易求”





的原则,给予解答.

B

(2)有的事件正面情况较繁,可以从其对立事件入手解决.

研一研·问题探究、课堂更高效

No

本 课 时

Image









No Image

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No

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课 时

No



目 开

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No

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No

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课 时 栏

No Image

目 开

No



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研一研·问题探究、课堂更高效

No

本 课

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开 关

No

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No (2)两个人都译不I出密m 码的概率为a P( A g B )=P(e A )P( B )
=[1-P(A)][1-P(B)]=1-131-14=12.

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No



Im Naoge



时 栏

Image



开 关

N No o

I Im mN a ao g ge e

Image No

Image

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No

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栏 目

No





IN m o age

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P( A ·B ·C )=P( A )P( B )P( C )=[1-P(A)][1-P(B)]·[1-P(C)] =(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027.

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于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合,从而使线路能够正 常工作的概率是 1-P( A ·B ·C )=1-0.027=0.973.



课 时

No

栏 目 开

Im Naoge



Image

研一研·问题探究、课堂更高效

No





时 栏 目 开

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解 (1)[1-P( A B C )]·P(D)=0.973×0.7=0.681 1.

研一研·问题探究、课堂更高效

(2)方法一 P(A B C)+P( A BC)+P( A B C)+P(ABC)+

P(AB C )=P(A)P( B )P(C)+P( A )P(B)P(C)+P( A )·P( B )P(C)

+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P( C )=0.847.

本 方法二 分析要使这段时间内线路正常工作只要排除 JC 开且

课 时

JA 与 JB 至少有 1 个开的情况.则 1-P( C )[1-P(AB)]=1-

栏 目

0.3×(1-0.72)=0.847.





练一练·当堂检测、目标达成落实处
解 记事件 A 为“甲独立地译出密码”,事件 B 为“乙独立地译 出密码”.

1.坛子中放有 3 个白球,2 个黑球,从中进行不放回地取球 2

次,每次取一球,用 A1 表示第一次取得白球,A2 表示第二

本 课

次取得白球,则 A1 和 A2 是

(D)

时 栏

A.互斥的事件

B.相互独立的事件

目 开 关

C.对立的事件

D.不相互独立的事件

解析 ∵P(A1)=35.若 A1 发生了,P(A2)=24=12;若 A1 不发生,

P(A2)=34,即 A1 发生的结果对 A2 发生的结果有影响,

∴A1 与 A2 不是相互独立事件.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率

是 p1,乙解决这个问题的概率是 p2,那么恰好有 1 人解决

这个问题的概率是

( B)

A.p1p2

B.p1(1-p2)+p2(1-p1)

本 课

C.1-p1p2

D.1-(1-p1)(1-p2)

时 栏

解析 恰好有 1 人解决可分为:

目 开

甲解决乙没解决、甲没解决乙解决.这两个事件显然是互

关 斥的.

所以恰好有 1 人解决这个问题的概率为:p1(1-p2)+p2(1 -p1).故选 B.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码,分别译出的概率为15,

13,14,则此密码能译出的概率是

( C)

1

2

3

59

本 课

A.60

B.5

C.5

D.60

解析 用 A、B、C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码,

时 栏 目 开 关

则 P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14, 且 P( A ·B ·C )=P( A )·P( B )·P( C )=45×23×34=25.

∴此密码被译出的概率为 1-25=35.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

4.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是12,乙能

解决的概率是13,2 人试图独立地在半小时内解决它,则两人

探究点三 综合应用——系统可靠性问题

本 课

例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其
都未解决的概率为__中 1_个开关能_够闭合,_线路就能正_常工作.,假定在某段时间 问题得到解决的概率为_______. 内每个开关能够闭合的概率都是 0.7,计算在这段时间内线



路正常工作的概率.

栏 目 开

解析

都未解决的概率为1-121-13=12×23=13.

关 问题得到解决就是至少有 1 人能解决问题,

∴P=1-13=23.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

No Image

一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件不

可能同时发生,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前

本 课

提.相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的

时 栏

积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的.(列表比较)



互斥事件

相互独立事件





定义 不可能同时发生的两个 事件 A 是否发生对事件 B

事件

发生的概率没有影响

概率 公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)

P(A∩B)=P(A)×P(B)



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