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山东省潍坊市2015年中考数学真题试题(含解析)

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2015 年山东省潍坊市中考数学试卷

一、选择题(本大题共 12 小题,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的

选项选出来,每小题选对的 3 分,选错、不选或选出的答案超出一个均记 0 分.)

1.(3 分)(2015?潍坊)在|﹣2|,20,2﹣1, 这四个数中,最大的数是( )

A.|﹣2|

B. 20

C.2﹣1

D.

考点:实数大小比较;零指数幂;负整数指数幂..

分析:正实数都大于 0,负实数都小于 0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的 反而小,首先求出|﹣2|,20,2﹣1 的值是多少,然后根据实数比较大小的方法判断即

可.

解答:解:|﹣2|=2,20=1,2﹣1=0.5,









∴在|﹣2|,20,2﹣1, 这四个数中,最大的数是|﹣2|. 故选:A. 点评:(1)此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确: 正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小. (2)此题还考查了负整数指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①a﹣p= (a≠0,p 为正整数);②计算负整数指数幂时,一定要根据负整数指数幂

的意义计算;③当底数是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数. (3)此题还考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a0=1 (a≠0);②00≠1.

2.(3 分)(2015?潍坊)如图所示几何体的左视图是( )

A.

B.

C.

D.

考点:简单组合体的三视图.. 分析:找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中. 解答:解:从左面看可得矩形中间有一条横着的虚线.
故选 C. 点评:本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.

3.(3 分)(2015?潍坊)2015 年 5 月 17 日是第 25 个全国助残日,今年全国助残日的主题是“关注

孤独症儿童,走向美好未来”.第二次全国残疾人抽样调查结果显示,我国 0~6 岁精神残疾儿童

约为 11.1 万人.11.1 万用科学记数法表示为( )

A. 1.11×104

B.11.1×104

C.1.11×105

D.1.11×106

考点:科学记数法—表示较大的数.. 分析:科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,
要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解答:解:将 11.1 万用科学记数法表示为 1.11×105. 故选 C. 点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

4.(3 分)(2015?潍坊)如图汽车标志中不是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

考点:中心对称图形.. 分析:根据中心对称图形的概念求解. 解答:解:A、是中心对称图形.故错误;
B、不是中心对称图形.故正确; C、是中心对称图形.故错误; D、是中心对称图形.故错误. 故选 B. 点评:本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与 原图重合.

5.(3 分)(2015?潍坊)下列运算正确的是( )

A. + =

B.3x2y﹣x2y=3

C. =a+b

D. (a2b)3=a6b3

考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;约分;二次根式的加减法..

分析:A:根据二次根式的加减法的运算方法判断即可.

B:根据合并同类项的方法判断即可.

C:根据约分的方法判断即可.

D:根据积的乘方的运算方法判断即可.

解答:解:∵



∴选项 A 不正确;

∵3x2y﹣x2y=2x2y,

∴选项 B 不正确;





∴选项 C 不正确; ∵(a2b)3=a6b3, ∴选项 D 正确.

故选:D. 点评:(1)此题主要考查了幂的乘方和积的乘方,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①(am)n =amn(m,n 是正整数);②(ab)n=anbn(n 是正整数). (2)此题还考查了二次根式的加减法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确二次 根式的加减法的步骤:①如果有括号,根据去括号法则去掉括号.②把不是最简二次 根式的二次根式进行化简.③合并被开方数相同的二次根式. (3)此题还考查了合并同类项,以及约分的方法的应用,要熟练掌握.

6.(3 分)(2015?潍坊)不等式组

的所有整数解的和是( )

A.2

B. 3

C.5

D.6

考点:一元一次不等式组的整数解.. 分析:先求出不等式组的解集,再求出不等式组的整数解,最后求出答案即可. 解答:
解:

∵解不等式①得;x>﹣ ,
解不等式②得;x≤3, ∴不等式组的解集为﹣ <x≤3,
∴不等式组的整数解为 0,1,2,3, 0+1+2+3=6, 故选 D. 点评:本题考查了解一元一次不等式组,求不等式组的整数解的应用,解此题的关键是求出 不等式组的解集,难度适中.
7.(3 分)(2015?潍坊)如图,AB 是⊙O 的弦,AO 的延长线交过点 B 的⊙O 的切线于点 C,如果 ∠ABO=20°,则∠C 的度数是( )

A.70°

B. 50°

C.45°

D.20°

考点:切线的性质.. 分析:由 BC 是⊙O 的切线,OB 是⊙O 的半径,得到∠OBC=90°,根据等腰三角形的性质得到
∠A=∠ABO=20°,由外角的性质得到∠BOC=40°,即可求得∠C=50°. 解答:解:∵BC 是⊙O 的切线,OB 是⊙O 的半径,
∴∠OBC=90°, ∵OA=OB, ∴∠A=∠ABO=20°,

∴∠BOC=40°, ∴∠C=50°. 故选 B.

点评:本题考查了本题考查了切线的性质,等腰三角形的性质,掌握定理是解题的关键.

8.(3 分)(2015?潍坊)若式子

可能是( )

A.

B.

+(k﹣1)0 有意义,则一次函数 y=(k﹣1)x+1﹣k 的图象

C.

D.

考 点:一次函数图象与系数的关系;零指数幂;二次根式有意义的条件..

分析:首先根据二次根式中的被开方数是非负数,以及 a 0=1(a≠0),判断出 k 的取值范围,

然后判断出 k﹣1、1﹣k 的正负,再根据一次函数的图象与系数的关系,判断出一次

函数 y=(k﹣1)x+1﹣k 的图象可能是哪个即可.

解答:解:∵式子

+(k﹣1)0 有意义,


解得 k>1, ∴k﹣1>0,1﹣k<0, ∴一次函数 y=(k﹣1)x+1﹣k 的图象可能是:

. 故选:A. 点评:(1)此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键 是要明确:当 b>0 时,(0,b)在 y 轴的正半轴上,直线与 y 轴交于正半轴;当 b<0 时,(0,b)在 y 轴的负半轴,直线与 y 轴交于负半轴. (2)此题还考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a0=1 (a≠0);②00≠1. (3)此题还考查了二次根式有意义的条件,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确: 二次根式中的被开方数是非负数.

9.(3 分)(2015?潍坊)如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,按如下步骤作图: 第一步,分别以点 A、D 为圆心,以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧,交于两点 M、N;
第二步,连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F; 第三步,连接 DE、DF. 若 BD=6,AF=4,CD=3,则 BE 的长是( )

A.2

B. 4

C.6

D.8

考点:平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图.. 分析:根据已知得出 MN 是线段 AD 的垂直平分线,推出 AE=DE,AF=DF,求出 DE∥AC,DF∥AE,
得出四边形 AEDF 是菱形,根据菱形的性质得出 AE=DE=DF=AF,根据平行线分线段成比
例定理得出 = ,代入求出即可.
解答:解:∵根据作法可知:MN 是线段 AD 的垂直平分线, ∴AE=DE,AF=DF, ∴∠EAD=∠EDA, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EDA=∠CAD, ∴DE∥AC, 同理 DF∥AE, ∴四边形 AEDF 是菱形, ∴AE=DE=DF=AF, ∵AF=4, ∴AE=DE=DF=AF=4, ∵DE∥AC,
∴=,
∵BD=6,AE=4,CD=3,
∴= ,
∴BE=8, 故选 D. 点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等 腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形 AEDF 是菱形是解此题的关键,注意:一 组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

10.(3 分)(2015?潍坊)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌 面上,水杯的底面如图所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是 8cm,水的最大深度是 2cm,则 杯底有水部分的面积是( )

A.( π ﹣4 )cm2B.( π ﹣8 )cm2C.( π ﹣4 )cm2 D.( π ﹣2 )cm2

考点:垂径定理的应用;扇形面积的计算.. 分析:作 OD⊥AB 于 C,交 小⊙O 于 D,则 CD=2,由垂径定理可知 AC=CB,利用正弦函数求得
∠OAC=30°,进而求得∠AOC=120°,利用勾股定理即可求出 AB 的值,从而利用 S 扇形 ﹣S△AOB 求得杯底有水部分的面积. 解答:解:作 OD⊥AB 于 C,交小⊙O 于 D,则 CD=2,AC=BC, ∵OA=OD=4,CD=2, ∴OC=2,
在 RT△AOC 中,sin∠OAC= = ,

∴∠OAC=30°, ∴∠AOC=120°,

AC=

=2 ,

∴AB=4 , ∴杯底有水部分的面积=S 扇形﹣S△AOB= 故选 A.

﹣ × ×2=( π ﹣4 )cm2

点评:本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形 是解答此题的关键.
11.(3 分)(2015?潍坊)如图,有一块边长为 6cm 的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一 个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大 值是( )

A. cm2

B.

cm2

C.

cm2

D.

cm2

考点:二次函数的应用;展开图折叠成几何体;等边三角形的性质.. 分析:如图,由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°,由三个筝形全等就可以得出
AD=BE=BF=CG=CH=AK,根据折叠后是一个三棱柱就可以得出 DO=PE=PF=QG=QH=OK,四边 形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 为矩形,且全等.连结 AO 证明△AOD≌△AOK 就 可以得出∠OAD=∠OAK=30°,设 OD=x,则 AO=2x,由勾股定理就可以求出 AD= x, 由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积,由二次函数的性质就可以求出结论. 解答:解:∵△ABC 为等边三角形, ∴∠A= ∠B=∠C=60°,AB=BC=AC. ∵筝形 ADOK≌筝形 BEPF≌筝形 AGQH, ∴AD=BE=BF=CG=CH=AK. ∵折叠后是一个三棱柱, ∴DO=PE=PF=QG=QH=OK,四边形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 都为矩形. ∴∠ADO=∠AKO=90°. 连结 AO, 在 Rt△AOD 和 Rt△AOK 中,

∴Rt△AOD≌Rt△AOK(HL). ∴∠OAD=∠OAK=30°. 设 OD=x,则 AO=2x,由勾股定理就可以求出 AD= x, ∴DE=6﹣2 x, ∴纸盒侧面积=3x(6﹣2 x)=﹣6 x2+18x,
=﹣6 (x﹣ )2+ ,
∴当 x= 时,纸盒侧面积最大为 .
故选 C.

点评:本题考查了等边三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的 运用,矩形的面积公式的运用,二次函数的性质的运用,解答时表示出纸盒的侧面积 是关键.
12.(3 分)(2015?潍坊)已知二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图象如图所示,顶点为(﹣1,0),下列结 论:①abc<0;②b2﹣4ac=0;③a>2;④4a﹣2b+c>0.其中正确结论的个数是( )

A.1

B. 2

C.3

D.4

考点:二次函数图象与系数的关系.. 分析:①首先根据抛物线开口向上,可得 a>0;然后根据对称轴在 y 轴左边,可得 b>0;
最后根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方,可得 c>0,据此判断出 abc>0 即可. ②根据二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图象与 x 轴只有一个交点,可得△=0,即 b2﹣4ac=0.
③首先根据对称轴 x=﹣ =﹣1,可得 b=2a,然后根据 b2﹣4ac=0,确定出 a 的取值范
围即可. ④根据对称轴是 x=﹣1,而且 x=0 时,y>2,可得 x=﹣2 时,y>2,据此判断即可. 解答:解:∵抛物线开口向上, ∴a>0, ∵对称轴在 y 轴左边, ∴b>0, ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方, ∴c+2>2, ∴c>0, ∴abc>0, ∴结论①不正确;

∵二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图象与 x 轴只有一个交点, ∴△=0, 即 b2﹣4ac=0, ∴结论②正确;

∵对称轴 x=﹣ =﹣1,
∴b=2a, ∵b2﹣4ac=0, ∴4a2﹣4ac=0, ∴a=c, ∵c>0, ∴a>0, ∴结论③不正确;
∵对称轴是 x=﹣1,而且 x=0 时,y>2, ∴x=﹣2 时,y>2, ∴4a﹣2b+c+2>2, ∴4a﹣2b+c>0. ∴结论④正确.

综上,可得 正确结论的个数是 2 个:②④. 故选:B. 点评:此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明 确:①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小:当 a>0 时,抛物线向上开口; 当 a<0 时,抛物线向下开口;②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位 置:当 a 与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0), 对称轴在 y 轴右.(简称:左同右异)③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点. 抛物线与 y 轴交于 (0,c).

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分,只要求填写最后结果.) 13.(3 分)(2015?潍坊)“植树节”时,九年级一班 6 个小组的植树棵数分别是:5,7,3,x,6, 4.已知这组数据的众数是 5,则该组数据的平均数是 5 .

考点:算术平均数;众数.. 分析:首先根据众数为 5 得出 x=5,然后根据平均数的概念求解. 解答:解:∵这组数据的众数是 5,
∴x=5,

则平均数为:

=5.

故答案为:5. 点评:本题考查了众数和平均数的知识,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;平均数
是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

14.(3 分)(2015?潍坊)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=50,AB=20,∠B=60°,则 AD= 30 .

考点:等腰梯形的性质.. 分析:首先作辅助线:过点 A 作 AE∥CD 交 BC 于点 E,根据等腰梯形的性质,易得四边形 AECD
是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,即可得 AE=CD=AB=20,AD=EC,易得△ABE 是等边三角形,即可求得 AD 的长. 解答:解:过点 A 作 AE∥CD 交 BC 于点 E,
∵AD∥BC, ∴四边形 AECD 是平行四边形, ∴AE=CD=AB=20,AD=EC, ∵∠B=60°, ∴BE=AB=AE=20,

∴AD=BC﹣CE=50﹣20=30. 故答案为:30 点评:此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质.解题 的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线.
15.(3 分)(2015?潍坊)因式分解:ax2﹣7ax+6a= a(x﹣1)(x﹣6) .
考点:因式分解-十字相乘法等;因式分解-提公因式法.. 专题:计算题. 分析:原式提取 a,再利用十字相乘法分解即可. 解答:解:原式=a(x2﹣7x+6)=a(x﹣1)(x﹣6),
故答案为:a(x﹣1)(x﹣6) 点评:此题考查了因式分解﹣十字相乘法,以及提取公因式法,熟练掌握因式分解的方法是
解本题的关键.
16.(3 分)(2015?潍坊)观光塔是潍坊市区的标志性建筑,为测量其高度,如图,一人先在附近 一楼房的底端 A 点处观测观光塔顶端 C 处的仰角是 60°,然后爬到该楼房顶端 B 点处观测观光塔 底部 D 处的俯角是 30°.已知楼房高 AB 约是 45m,根据以上观测数据可求观光塔的高 CD 是 135 m.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.. 分析:根据“爬到该楼房顶端 B 点处观测观光塔底部 D 处的俯角是 30°”可以求出 AD 的长,
然后根据“在一楼房的底端 A 点处观测观光塔顶端 C 处的仰角是 60°”可以求出 CD 的长. 解答:解:∵爬到该楼房顶端 B 点处观测观光塔底部 D 处的俯角是 30°, ∴∠ADB=30°, 在 Rt△ABD 中, tan30°= ,
解得, = , ∴AD=45 , ∵在一楼房的底端 A 点处观测观光塔顶端 C 处的仰角是 60°, ∴在 Rt△ACD 中, CD=AD?tan60°=45 × =135 米. 故答案为 135 米.

点评:本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、俯角问题,要求学生能借助仰角、俯角构 造直角三角形并解直角三角形.

17.(3 分)(2015?潍坊)如图,正△ABC 的边长为 2,以 BC 边上的高 AB1 为边作正△AB1C1,△ABC 与△AB1C1 公共部分的面积记为 S1;再以正△AB1C1 边 B1C1 上的高 AB2 为边作正△AB2C2,△AB1C1 与△AB2C2

公共部分的面积记为 S2;…,以此类推,则 Sn=

( )n .(用含 n 的式子表示)

考点:等边三角形的性质.. 专题:规律型. 分析:由 AB1 为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高,利用三线合一得到 B1 为 BC 的中点,求出
BB1 的长,利用勾股定理求出 AB1 的长,进而求出 S1,同理求出 S2,依此类推,得到 Sn. 解答:解:∵等边三角形 ABC 的边长为 2,AB1⊥BC,
∴BB1=1,AB=2, 根据勾股定理得:AB1= ,
∴S1= × ×( )2= ( )1;

∵等边三角形 AB1C1 的边长为 ∴B1B2= ,AB1= ,

,AB2⊥B1C1,

根据勾股定理得:AB2= ,

∴S2= × ×( )2= ( )2;

依此类推,Sn= ( )n.

故答案为: ( )n.
点评:此题考查了等边三角形的性质,属于规律型试题,熟练掌握等边三角形的性质是解本 题的关键.

18.(3 分)(2015?潍坊)正比例函数 y1=mx(m>0)的图象与反比例函数 y2= (k≠0)的图象交于
点 A(n,4)和点 B,AM⊥y 轴,垂足为 M.若△AMB 的面积为 8,则满足 y1>y2 的实数 x 的取值范 围是 ﹣2<x<0 或 x>2 .
考点:反比例函数与一次函数的交点问题.. 分析:由反比例函数图象的对称性可得:点 A 和点 B 关于原点对称,再根据△AMB 的面积为

8 列出方程 ×4n×2=8,解方程求出 n 的值,然后利用图象可知满足 y1>y2 的实数 x
的取值范围. 解答:解:∵正比例函数 y1=mx(m>0)的图象与反比例函数 y2= (k≠0)的图象交于点 A
(n,4)和点 B , ∴B(﹣n,﹣4). ∵△AMB 的面积为 8, ∴ ×4n×2=8,
解得 n=2, ∴A(2,4),B(﹣2,﹣4). 由图形可知,当﹣2<x<0 或 x>2 时,正比例函数 y1=mx(m>0)的图象在反比例函 数 y2= (k≠0)图象的上方,即 y1>y2.
故答案为﹣2<x<0 或 x>2.

点评:本题考查了一次函 数和反比例函数的交点问题,三角形的面积,反比例函数的对称性, 体现了数形结合的思想.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 66 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.(9 分)(2015?潍坊)为提高饮水质量,越来越多的居民选购家用净水器.一商场抓住商机, 从厂家购进了 A、B 两种型号家用净水器共 160 台,A 型号家用净水器进价是 150 元/台,B 型号家 用净水器进价是 350 元/台,购进两种型号的家用净水器共用去 36000 元. (1)求 A、B 两种型号家用净水器各购进了多少台; (2)为使每台 B 型号家用净水器的毛利润是 A 型号的 2 倍,且保证售完这 160 台家用净水器的毛 利润不低于 11000 元,求每台 A 型号家用净水器的售价至少是多少元.(注:毛利润=售价﹣进价)

考点:一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.. 分析:(1)设 A 种型号家用净水器购进了 x 台,B 种型号家用净水器购进了 y 台,根据“购
进了 A、B 两种型号家用净水器共 160 台,购进两种型号的家用净水器共用去 36000 元.”列出方程组解答即可; (2)设每台 A 型号家用净水器的毛利润是 a 元,则每台 B 型号家用净水器的毛利润 是 2a 元,根据保证售完这 160 台家用净水器的毛利润不低于 11000 元,列出不等式 解答即可. 解答:解:(1)设 A 种型号家用净水器购进了 x 台,B 种型号家用净水器购进了 y 台,

由题意得



解得



答:A 种型号家用净水器购进了 100 台,B 种型号家用净水器购进了 60 台. (2)设每台 A 型号家用净水器的毛利润是 a 元,则每台 B 型号家用净水器的毛利润 是 2a 元, 由题意得 100a+60×2a≥11000, 解得 a≥50, 150+50=200(元). 答:每台 A 型号家用净水器的售价至少是 200 元. 点评:此题考查一元一次不等式组的实际运用,二元一次方程组的实际运用,找出题目蕴含 的数量关系与不等关系是解决问题的关键.

20.(10 分)(2015?潍坊)某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况,随机抽取了该

年级的部分学生,调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数.设每名学生的阅读本数为 n,并按以

下规定分为四档:当 n<3 时,为“偏少”;当 3≤n<5 时,为“一般”;当 5≤n<8 时,为“良

好”;当 n≥8 时,为“优秀”.将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表:

阅读本数 n(本) 1 2 3 4

5

6

78

9

人数(名)

126 7

12 x

7y

1

请根据以上信息回答下列问题:

(1)分别求出统计表中的 x、y 的值;

(2)估计该校九年级 400 名学生中为“优秀”档次的人数;

(3)从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取 2 名学生介绍读书体会,请用列表或画树状图的

方法求抽取的 2 名学生中有 1 名阅读本数为 9 的概率.

考点:列表法与树状图法;用样本估计总体;扇形统计图.. 分析:(1)首先求得总分数,然后即可求得 x 和 y 的值;
(2)首先求得样本中的优秀率,然后用样本估计总体即可; (3)列表将所有等可能的结果列举出来,然后利用概率公式求解即可. 解答:解:(1)由表可知被调查学生中“一般”档次的有 13 人,所占比例是 26%,所以共调 查的学生数是 13÷26%=50, 则调查学生中“良好”档次的人数为 50×60%=30, ∴x=30﹣(12+7)=11, y=50﹣(1+2+6+7+12+11+7+1)=3.
(2)由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为 =8%,
∴,估计九年级 400 名学生中为优秀档次的人数为 400×8%=32; (3)用 A、B、C 表示阅读本数是 8 的学生,用 D 表示阅读 9 本的学生,列表得到:
ABCD A ABACAD BBA BCBD CCACB CD

DDADBDC 由列表可知,共 12 种等可能的结果,其中所抽取的 2 名学生中有 1 名阅读本数为 9 的有 6 种, 所以抽取的 2 名学生中有 1 名阅读本数为 9 的概率为 = ; 点评:考查了列表与树状图法求概率、用样本估计总体及扇形统计图的知识,解题的关键是 能够通过列表将所有等可能的结果列举出来,难度不大.
21.(10 分)(2015?潍坊)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,过点 D 作 DF⊥AB,垂足为 F,连接 DE. (1)求证:直线 DF 与⊙O 相切; (2)若 AE=7,BC=6,求 AC 的长.
考点:切线的判定;相似三角形的判定与性质.. 分析:(1)连接 OD,利用 AB=AC,OD=OC,证得 OD∥AD,易证 DF⊥OD,故 DF 为⊙O 的切线;
(2)证得△BED∽△BCA,求得 BE,利用 AC=AB=AE+BE 求得答案即可. 解答:(1)证明:如图,
连接 OD. ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵OD=OC, ∴∠ODC=∠C, ∴∠ODC=∠B, ∴OD∥AB, ∵DF⊥AB, ∴OD⊥DF, ∵点 D 在⊙O 上, ∴直线 DF 与⊙O 相切; (2)解:∵四边形 ACDE 是⊙O 的内接四边形, ∴∠AED+∠ACD=180°, ∵∠AED+∠BED=180°, ∴∠BED=∠ACD,

∵∠B=∠B, ∴△BED∽△BCA,
∴=,
∵OD∥AB,AO=CO,
∴BD=CD= BC=3,
又∵AE=7,
∴ =,
∴BE=2, ∴AC=AB=AE+BE=7+2=9. 点评:此题考查切线的判定,三角形相似的判定与性质,要证某线是圆的切线,已知此线过 圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.
22.(11 分)(2015?潍坊)“低碳生活,绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受,越来越多的人选 择骑自行车上下班.王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度 v(米/分钟)随时 间 t(分 钟)变化的函数图象大致如图所示,图象由三条线段 OA、AB 和 BC 组成.设线段 OC 上有 一动点 T(t,0),直线 l 左侧部分的面积即为 t 分钟内王叔叔行进的路程 s(米). (1)①当 t=2 分钟时,速度 v= 200 米/分钟,路程 s= 200 米; ②当 t=15 分钟时,速度 v= 300 米/分钟,路程 s= 4050 米. (2)当 0≤t≤3 和 3<t≤15 时,分别求出路程 s(米)关于时间 t(分钟)的函数解析式; (3)求王叔叔该天上班从家出发行进了 750 米时所用的时间 t.

考点:一次函数的应用.. 分析:(1)①根据图象得出直线 OA 的解析式,代入 t=2 解答即可;
②根据图象得出 t=15 时的速度,并计算其路程即可; (2)利用待定系数法得出 0≤t≤3 和 3<t≤15 时的解析式即可; (3)根据当 3<t≤15 时的解析式,将 y=750 代入解答即可. 解答:解:(1)①直线 OA 的解析式为:y= t=100t,

把 t=2 代入可得:y=200;

路程 S=

=200,

故答案为:200;200;

②当 t=15 时,速度为定值=300,路程=



故答案为:300;4050;

(2)①当 0≤t≤3,设直线 OA 的解析式为:y=kt,由图象可知点 A(3,300), ∴300=3k, 解得:k=100, 则解析式为:y=100t; 设 l 与 OA 的交点为 P,则 P(t,100t),

∴s=



②当 3<t≤15 时,设 l 与 AB 的交点为 Q,则 Q(t,300),

∴S=



(3)∵当 0≤t≤3,S 最大=50×9=450, ∵750>50, ∴当 3<t≤15 时,450<S≤4050, 则令 750=300t﹣450, 解得:t=4. 故王叔叔该天上班从家出发行进了 750 米时所用的时间 4 分钟. 点评:此题考查一次函数的应用,关键是根据图象进行分析,同时利用待定系数法得出解析 式.

23.(12 分)(2015?潍坊)如图 1,点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点,分别延长 OD 到点 G,OC 到点 E,使 OG=2OD,OE=2OC,然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG,连接 AG,DE. (1)求证:DE⊥AG; (2)正方形 ABCD 固定,将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 α 角(0°<α <360°)得到正方形 OE′F′G′,如图 2. ①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求 α 的度数; ②若正方形 ABCD 的边长为 1,在旋转过程中,求 AF′长的最大值和此时 α 的度数,直接写出结果 不必说明理由.

考点:几何变换综合题.. 分析:(1)延长 ED 交交 AG 于点 H,易证△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后运用等量
代换证明∠AHE=90°即可; (2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:α 由 0°增大到 90°过程中, 当∠OAG′=90°时,α =30°,α 由 90°增大到 180°过程中,当∠OAG′=90°时, α =150°;
②当旋转到 A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,AF′=AO+OF′= +2,此时
α =315°. 解答:解:(1)如图 1,延长 ED 交 AG 于点 H,

∵点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点, ∴OA=OD,OA⊥OD, ∵OG=OE, 在△AOG 和△DOE 中,

∴△AOG≌△DOE, ∴∠AGO=∠DEO, ∵∠AGO+∠GAO=90°, ∴∠AGO+∠DEO =90°, ∴∠AHE=90°, 即 DE⊥AG; (2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况: (Ⅰ)α 由 0°增大到 90°过程中,当∠OAG′=90°时,
∵OA=OD= OG= OG′,
∴在 Rt△OAG′中,sin∠AG′O= = ,
∴∠AG′O=30°, ∵OA⊥OD,OA⊥AG′, ∴OD∥AG′, ∴∠DOG′=∠AG′O=30°, 即 α =30°; (Ⅱ)α 由 90°增大到 180°过程中,当∠OAG′=90°时, 同理可求∠BOG′=30°, ∴α =180°﹣30°=150°. 综上所述,当∠OAG′=90°时,α =30°或 150°. ②如图 3,当旋转到 A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大, ∵正方形 ABCD 的边长为 1,
∴OA=OD=OC=OB= ,
∵OG=2OD, ∴OG′=OG= , ∴OF′=2,
∴AF′=AO+OF′= +2,
∵∠COE′=45°, ∴此时 α =315°.

点评:本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换 的性质的综合运用,有一定的综合性,分类讨论当∠OAG′是直角时,求 α 的度数是 本题的难点.
24.(14 分)(2015?潍坊)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=mx2﹣8mx+4m+2(m>2)与 y 轴 的交点为 A,与 x 轴的交点分别为 B(x1,0),C(x2,0),且 x2﹣x1=4,直线 AD∥x 轴,在 x 轴上 有一动点 E(t,0)过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线、直线 AD 的交点分别为 P、Q. (1)求抛物线的解析式; (2)当 0<t≤8 时,求△AP C 面积的最大值; (3)当 t>2 时,是否存在点 P,使以 A、P、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似?若存在,求出此时 t 的值; 若不存在,请说明理由.
考点:二次函数综合题.. 分析:(1)认真审题,直接根据题意列出方程组,求出 B,C 两点的坐标,进而可求出抛物
线的解析式; (2)分 0<t<6 时和 6≤t≤8 时两种情况进行讨论,据此即可求出三角形的最大值; (3)分 2<t≤ 6 时和 t>6 时两种情况进行讨论,再根据三角形相似的条件,即可得 解. 解答:解:(1)由题意知 x1、x2 是方程 mx2﹣8mx+4m+2=0 的两根, ∴x1+x2=8,



解得:

∴B(2,0)、C(6,0) 则 4m﹣16m+4m+2=0,
解得:m= ,

∴该抛物线解析式为:y=



(2)可求得 A(0,3) 设直线 AC 的解析式为:y=kx+b,




∴直线 AC 的解析式为:y=﹣ x+3, 要构成△APC,显然 t≠6,分两种情况讨论: ①当 0<t<6 时,设直线 l 与 AC 交点为 F,则:F(t,﹣ ),

∵P(t,

),∴PF=



∴S△APC=S△APF+S△CPF =

=

=



此时最大值为: ,

②当 6≤t≤8 时,设直线 l 与 AC 交点为 M,则:M(t,﹣

),

∵P(t,

),∴PM=



∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=

=

=



当 t=8 时,取最大值,最大值为:12,

综上可知,当 0<t≤8 时,△APC 面积的最大值为 12; (3)如图,连接 AB,则△AOB 中,∠AOB=90°,AO=3,BO=2,

Q(t,3),P(t,

),

①当 2<t≤6 时,AQ=t,PQ=



若:△AOB∽△AQP,则:



即:



∴t=0(舍),或 t= ,

若△AOB∽△PQA,则:



即:



∴t=0(舍)或 t=2(舍),

②当 t>6 时,AQ′=t,PQ′=



若:△AOB∽△AQP,则:



即:



∴t=0(舍),或 t= ,

若△AOB∽△PQA,则:



即:



∴t=0(舍)或 t=14, ∴t= 或 t= 或 t=14.

点评:本题主要考查了抛物线解析式的求法,以及利用配方法等知识点求最值的问题,还考

查了三角形相似的问题,是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目,要注意认真总 结.




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