本 课 时 栏 目 开 关
本 课 时 栏 目 开 关
题型一 分类讨论思想的应用
本 例 1 实数 k 为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)
课 时
满足下列条件？
栏 目
(1)是实数；
开 关
(2)是虚数；
(3)是纯虚数．
解 (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当 k2－5k－6＝0，即 k＝6 或 k＝－1 时，该复数为实数．
(2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，该复数为虚数．
本 课 时 栏
(3)当kk22－－53kk－－64≠＝00，， 即 k＝4 时，该复数为纯虚数．
目
开 小结 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念
关
进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当
x＋yi 没有说明 x，y∈R 时，也要分情况讨论．
跟踪训练 1 (1)若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是
纯虚数，则
(C )
A．a＝－1
B．a≠－1 且 a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
本
解析 若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是
课 时
一个实数．当 a2－a－2≠0 时，已知的复数一定不是纯虚
栏 目
数，解得 a≠－1 且 a≠2；当 a2－a－2＝0 且|a－1|－1＝0
开 关
时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得 a＝2.综上所述，
当 a≠－1 时，已知的复数不是一个纯虚数．
(2)实数 x 取什么值时，复数 z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．
解 ①当 x2－2x－15＝0，即 x＝－3 或 x＝5 时，复数 z
本
为实数；
课 时
②当 x2－2x－15≠0，即 x≠－3 且 x≠5 时，复数 z 为虚数；
栏
目 ③当 x2＋x－6＝0 且 x2－2x－15≠0，即 x＝2 时，复数 z
开 关
是纯虚数；
④当 x2＋x－6＝0 且 x2－2x－15＝0，即 x＝－3 时，复数 z 为零．
题型二 数形结合思想的应用 例 2 已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、B 在复平面上对应的复数
分别为 1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点 C 所对应的复数 z.
本 解 设 z＝x＋yi，x，y∈R，如图．
课
时 ∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
栏
目 开
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
关
即 21＝yx－ ＋62，
x2＋y2＝ 32＋42，
解得xy11＝＝0－5 或xy22＝＝4－3 .
∵|OA|≠|BC|，
本 ∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，
课
时 故 z＝－5.
栏
目 小结 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用
开
关 的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以 及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们 得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点 的位置、复数运算及模的最值问题等．
跟踪训练 2 已知复数 z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解 (1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2 2.
本
课
(2)如图所示，由|z|＝1 可知，z 在复平面
时
栏
内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为
目
开
O(0,0)的圆，而 z1 对应着坐标系中的点
关
Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看
成是点 Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知
|z－z1|max＝|z1|＋r(r 为圆半径)＝2 2＋1.
题型三 转化与化归思想的应用 例 3 已知 z 是复数，z＋2i，2－z i均为实数，且(z＋ai)2
的对应点在第一象限，求实数 a 的取值范围．
本
解 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
课
时
则 z＋2i＝x＋(y＋2)i 为实数，∴y＝－2.
栏
目 开 关
又2－z i＝x2－－2ii＝15(x－2i)(2＋i)
＝15(2x＋2)＋15(x－4)i 为实数，
∴x＝4.∴z＝4－2i，
又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2) ＋8(a－2)i 在
第一象限．
∴182a＋－42a－>0a2>0 ，解得 2<a<6.
∴实数 a 的取值范围是(2,6)．
本
课 时
小结 在求复数时，常设复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，把复
栏 目
数 z 满足的条件转化为实数 x，y 满足的条件，即复数问
开 关
题实数化的基本思想在本章中非常重要．
跟踪训练 3 已知 x，y 为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4
－6i，求 x，y. 解 设 x＝a＋bi(a，b∈R)，则 y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，
本
∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
课 时 栏
∴4aa2＋2＝b42＝，2，
目 开 关
∴ab＝ ＝11， 或ab＝ ＝1－，1 或ab＝ ＝－ 1 1， 或ab＝ ＝－ －11， .
∴xy＝＝11＋－ii， 或xy＝＝11－＋ii， 或xy＝＝－－11＋－ii， 或xy＝＝－－11－＋ii，.
题型四 类比思想的应用
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加
减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，
除法类比根式的分子分母有理化，只要注意 i2＝－1.
本
课
在运算的过程中常用来降幂的公式有
时
栏
(1)i 的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)；
目
开
(2)(1±i)2＝±2i；
关
(3)设 ω＝－12± 23i，则 ω3＝1，ω2＝ ω ，1＋ω＋ω2＝0，
ω1 ＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(ω∈N*)等；
1 (4)(2±
23i)3＝－1；
本 课
(5)作复数除法运算时，有如下技巧：
时 栏 目
ab＋－baii＝ab＋－baiiii＝aa＋＋bbiii＝i，利用此结论可使一些特殊的计算
开 关
过程简化．
例 4 计算：
(1)(1－i)(－12＋ 23i)(1＋i)； (2)－1＋2 23＋3ii＋(1－2i)2 006.
本 课
解 (1)方法一 (1－i)(－12＋ 23i)(1＋i)
时 栏 目
＝(－12＋ 23i＋12i－ 23i2)(1＋i)
开
关
＝( 32－1＋ 32＋1i)(1＋i)
＝ 32－1＋ 32＋1i＋ 32－1i＋ 32＋1i2
＝－1＋ 3i.
方法二
原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋
3 2 i)
＝(1－i2)(－12＋ 23i)＝2(－12＋ 23i)＝－1＋ 3i.
本 课
(2)－1＋2 23＋3ii＋(1－2i)2 006＝－1＋2 23＋3iiii＋－221i0013003
时
栏 目 开
＝－i－2 23＋3ii－i11003＝i－－1 i＝i－i＝0.
关
小结 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作
多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式
的乘法．
跟踪训练 4 计算：2＋1i－12－i i2＋1－i－i51＋i2－1－1－i2 i011.
本
解 2＋1i－12－i i2＋1－i－i51＋i2－1－1－i2 i011
课 时 栏
＝2＋1i－·2－i 2i＋1－ii－2i－11＋ －ii
目
开 关
＝21－ －42ii＋1－i 3i－1＋2 i2
＝2－(i＋3)－i ＝－1－2i.