当前位置: 首页 > >

《步步高学案导学设计》20132014学年高中数学人教B版选修22课件第三章数系的扩充与复数章末复习课

发布时间:

本 课 时 栏 目 开 关

本 课 时 栏 目 开 关

题型一 分类讨论思想的应用

本 例 1 实数 k 为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)

课 时

满足下列条件?

栏 目

(1)是实数;

开 关

(2)是虚数;

(3)是纯虚数.

解 (1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.

(1)当 k2-5k-6=0,即 k=6 或 k=-1 时,该复数为实数.

(2)当 k2-5k-6≠0,即 k≠6 且 k≠-1 时,该复数为虚数.

本 课 时 栏

(3)当kk22--53kk--64≠=00,, 即 k=4 时,该复数为纯虚数.



开 小结 当复数的实部与虚部含有字母时,利用复数的有关概念



进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当

x+yi 没有说明 x,y∈R 时,也要分情况讨论.

跟踪训练 1 (1)若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是

纯虚数,则

(C )

A.a=-1

B.a≠-1 且 a≠2

C.a≠-1

D.a≠2



解析 若一个复数不是纯虚数,则该复数是一个虚数或是

课 时

一个实数.当 a2-a-2≠0 时,已知的复数一定不是纯虚

栏 目

数,解得 a≠-1 且 a≠2;当 a2-a-2=0 且|a-1|-1=0

开 关

时,已知的复数也不是一个纯虚数,解得 a=2.综上所述,

当 a≠-1 时,已知的复数不是一个纯虚数.

(2)实数 x 取什么值时,复数 z=(x2+x-6)+(x2-2x-15)i 是:①实数;②虚数;③纯虚数;④零.

解 ①当 x2-2x-15=0,即 x=-3 或 x=5 时,复数 z



为实数;

课 时

②当 x2-2x-15≠0,即 x≠-3 且 x≠5 时,复数 z 为虚数;



目 ③当 x2+x-6=0 且 x2-2x-15≠0,即 x=2 时,复数 z

开 关

是纯虚数;

④当 x2+x-6=0 且 x2-2x-15=0,即 x=-3 时,复数 z 为零.

题型二 数形结合思想的应用 例 2 已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、B 在复平面上对应的复数
分别为 1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点 C 所对应的复数 z.

本 解 设 z=x+yi,x,y∈R,如图.



时 ∵OA∥BC,|OC|=|BA|,


目 开

∴kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|,



即 21=yx- +62,

x2+y2= 32+42,

解得xy11==0-5 或xy22==4-3 .
∵|OA|≠|BC|,
本 ∴x2=-3,y2=4(舍去),

时 故 z=-5.

目 小结 数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用

关 的数学方法.本章中,复数本身的几何意义、复数的模以 及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们 得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点 的位置、复数运算及模的最值问题等.

跟踪训练 2 已知复数 z1=i(1-i)3. (1)求|z1|; (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.

解 (1)|z1|=|i(1-i)3|=|i|·|1-i|3=2 2.





(2)如图所示,由|z|=1 可知,z 在复平面





内对应的点的轨迹是半径为 1,圆心为





O(0,0)的圆,而 z1 对应着坐标系中的点



Z1(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看

成是点 Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知

|z-z1|max=|z1|+r(r 为圆半径)=2 2+1.

题型三 转化与化归思想的应用 例 3 已知 z 是复数,z+2i,2-z i均为实数,且(z+ai)2
的对应点在第一象限,求实数 a 的取值范围.



解 设 z=x+yi(x,y∈R),





则 z+2i=x+(y+2)i 为实数,∴y=-2.



目 开 关

又2-z i=x2--2ii=15(x-2i)(2+i)

=15(2x+2)+15(x-4)i 为实数,

∴x=4.∴z=4-2i,
又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2) +8(a-2)i 在
第一象限.

∴182a+-42a->0a2>0 ,解得 2<a<6.

∴实数 a 的取值范围是(2,6).



课 时

小结 在求复数时,常设复数 z=x+yi(x,y∈R),把复

栏 目

数 z 满足的条件转化为实数 x,y 满足的条件,即复数问

开 关

题实数化的基本思想在本章中非常重要.

跟踪训练 3 已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4
-6i,求 x,y. 解 设 x=a+bi(a,b∈R),则 y=a-bi.
又(x+y)2-3xyi=4-6i,



∴4a2-3(a2+b2)i=4-6i,

课 时 栏

∴4aa2+2=b42=,2,

目 开 关

∴ab= =11, 或ab= =1-,1 或ab= =- 1 1, 或ab= =- -11, .

∴xy==11+-ii, 或xy==11-+ii, 或xy==--11+-ii, 或xy==--11-+ii,.

题型四 类比思想的应用

复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除,加

减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,

除法类比根式的分子分母有理化,只要注意 i2=-1.





在运算的过程中常用来降幂的公式有





(1)i 的乘方:i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(k∈Z);





(2)(1±i)2=±2i;



(3)设 ω=-12± 23i,则 ω3=1,ω2= ω ,1+ω+ω2=0,

ω1 =ω2,ω3n=1,ω3n+1=ω(ω∈N*)等;

1 (4)(2±

23i)3=-1;

本 课

(5)作复数除法运算时,有如下技巧:

时 栏 目

ab+-baii=ab+-baiiii=aa++bbiii=i,利用此结论可使一些特殊的计算

开 关

过程简化.

例 4 计算:

(1)(1-i)(-12+ 23i)(1+i); (2)-1+2 23+3ii+(1-2i)2 006.

本 课

解 (1)方法一 (1-i)(-12+ 23i)(1+i)

时 栏 目

=(-12+ 23i+12i- 23i2)(1+i)





=( 32-1+ 32+1i)(1+i)

= 32-1+ 32+1i+ 32-1i+ 32+1i2

=-1+ 3i.

方法二

原式=(1-i)(1+i)(-12+

3 2 i)

=(1-i2)(-12+ 23i)=2(-12+ 23i)=-1+ 3i.

本 课

(2)-1+2 23+3ii+(1-2i)2 006=-1+2 23+3iiii+-221i0013003



栏 目 开

=-i-2 23+3ii-i11003=i--1 i=i-i=0.



小结 复数的运算可以看作多项式的化简,加减看作

多项式加减,合并同类项,乘法和除法可看作多项式

的乘法.

跟踪训练 4 计算:2+1i-12-i i2+1-i-i51+i2-1-1-i2 i011.



解 2+1i-12-i i2+1-i-i51+i2-1-1-i2 i011

课 时 栏

=2+1i-·2-i 2i+1-ii-2i-11+ -ii



开 关

=21- -42ii+1-i 3i-1+2 i2

=2-(i+3)-i =-1-2i.



相关推荐


友情链接: 时尚网 总结汇报 幼儿教育 小学教育 初中学习资料网