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上海市位育中学2017-2018学年高二第一学期期中考试数学试卷(精编含解析)

发布时间:

上海市徐汇区位育中学 2017-2018 学年高二上学期期中考试

数学试卷

1.已知

a?

=(

x

,

3

),

? b

=(

3

,1),且

a?



? b ,则 x =_______.

【答案】 9

【解析】



a?

?

(

x,

3)



? b

?

(3,1)



a?



? b

∴ x?1 ? 3?3 ∴x?9

故答案为 9

42k

-3 5 4

-1
2.行列式

1

-2 中,第 2 行第1列得元素的代数余子式的值为10 ,则实数 k =_______.

【答案】6

【解析】

由题意得

M

21

?

??1?3

2 | 1

k |? 2? 2 ?1? k ? 10
?2

∴k ?6

故答案 为 6

? 3 m ?1?

?x ?1

3.增广矩阵为

? ?

n

1

0

? ?

的二元一次方程组的实数解是

? ?

y

?

2

,则 m

+n

=__________.

【答案】-4

【解析】

? 3 m ?1?

x ?1

∵增广矩阵

? ?

n

1

0

? ?

{ 的二元一次方程组的实数解是 y

?

2

3 ? 2m ? ?1 { ∴ n?2?0 ∴ m ? ?2, n ? ?2 ∴ m ? n ? ?4 故答案为 ?4

?1 2?

?4 2?

4.已知矩阵

A=

? ?

3

4

? ?

,矩阵

B=

? ?

3

1

? ?

,计算:AB=



?10 4 ?

【答案】

? ?

24

10

? ?

【解析】

?1 2? ? 4 2? ?10 4 ?

试题分析:AB=

? ?

3

4

? ?

? ?

3

1

? ?

=

? ?

24

10

? ?



考点:矩阵的乘法运算。

点评:直接考查矩阵的乘法运算:当 A 矩阵列数与 B 矩阵的行数相等时,二者可以进行乘法运算,否则是

错误的。

5.已知直线上两点 A (2,3), B =(-1,5),则直线 AB 的点方向式方程是____________.
x-2 = y-3 【答案】 - 3 2 【解析】

∵ A(2,3) , B(?1,5) ????
∴ AB ? ??3, 2?

∴经过两点

A(2, 3)

, B(?1,5)

的直线

AB

的点方向式方程是

x?2 ?3

?

y?3 2

x?2 ? y?3 故答案为 ?3 2

? 6.直线 l 的一个方向向量 d =(1,2),则 l 与直线 x-y ? 2 ? 0 的夹角为______________(结果用反三角函数

值表示).

3 10

arccos

【答案】

10

【解析】

∵直线 x ? y ? 2 ? 0 的方向向量是 ?1,1?

3 ? 3 10 ∴直线 l 与 x ? y ? 2 ? 0 的夹角的余弦值是 2 ? 5 10

3 10 ∴直线 l 与 x ? y ? 2 ? 0 的夹角为 arccos 10

3 10

arccos

故答案为

10

?x ? y ?1? 0 ??x ? y ? 3 ? 0 7.若实数 x , y 满足 ?? y ? 4 ,则目标函数 z ? 2x ? y 的最大值为_____________.
【答案】10 【解析】
?x ? y ?1? 0 ??x ? y ? 3 ? 0 由线性约束条件 ?? y ? 4 ,得可行域如图:

y?4 { 联立 x ? y ?1 ? 0 ,得 A(3, 4) 由图象知:当函数 z ? 2x ? y 的图象过点 A(3, 4) 时, z ? 2x ? y 取得最大值为 10
故答案为 10

点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是 “一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优 解对应点(在可行域内*移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解 坐标代入目标函数求出最值.

8.与直线 2x ? 3y ? 5 ? 0 *行,且距离等于 13 的直线方程是___________.
【答案】 2x+3y +18 = 0或2x+3y - 8 = 0 【解析】
依题意可得与直线 2x ? 3y ? 5 ? 0 *行的直线方程可设为 2x ? 3y ? b ? 0

∵两直线的距离为 13

5?b ? 13
∴ 22 ? 32 ∴ b ? ?8 或者18 ∴与直线 2x ? 3y ? 5 ? 0 *行的直线方程为 2x ? 3y ?18 ? 0 或 2x ? 3y ? 8 ? 0

故答案为 2x ? 3y ?18 ? 0 或 2x ? 3y ? 8 ? 0

点晴:本题考查的是两条*行直线间的距离的运用.根据两条*行直线

d ? C1 ? C2

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离公式为

A2 ? B2 ,即可求出直线方程.

9.若直线 l : y = kx - 3 与直线 2x+3y - 6 = 0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范围是
___________.
?? (,) 【答案】 6 2
【解析】
若直线 l : y ? kx ? 3 与直线 2x ? 3y ? 6 ? 0 的交点位于第一象限,如图所示:

则两直线的交点应在线段 AB 上(不包含 A, B 点),

当交点为

A

?0,

2

?

时,直线

l

的倾斜角为

? 2

,当交点为

? ? 0 ? ? 3

B ?3,0?

k?

时,斜率

3?0

?

3

?

3 ,直线 l 的倾斜角为 6

∴直线的倾斜角的取值范围是

? ??

? 6

,

? 2

? ??



故答案为

? ??

? 6

,

? 2

? ??

??
10.在△ ABC 中, AB =6, AC =4, D 为 BC 中点,则 AD ? BC =____________. 【答案】 ? 10
【解析】

∵ D 为 BC 中点

???? AD

?

1

???? ( AB

?

???? AC)



2

???? ???? ???? ∵ BC ? BA ? AC

???? ???? AD ? BC

?

1

???? ( AB

?

???? ???? AC) ? (BA ?

???? AC)

?

1

(

???? AC

2

?

???? AB

2
)



2

2

∵ AB =6, AC =4

???? AD

?

???? BC

?

1

?

(42

?

62

)

?

?10



2

故答案为 ? 10

11.在*面直角坐标系 xOy 中,以点 (1, 0) 为圆心且与直线 mx ? y ? 2m ?1 ? 0(m ? R) 相切的所有圆中,
半径最大的圆的标准方程为______.
?x ?1?2 ? y2 ? 2
【答案】 【解析】

试题分析:因为直线 mx ? y ? 2m ?1 ? 0 恒过定点 (2, ?1) ,所以圆心 (1, 0) 到直线 mx ? y ? 2m ?1 ? 0 的最

大距离为 d ? (2 ?1)2 ? (0 ?1)2 ? 2 ,所以半径最大时的半径

,所以半径最大的圆的标准方程

为 (x ?1)2 ? y2 ? 2 .

考点:1、圆的方程;2、直线与圆的位置关系.

【方法点睛】解决直线与圆的问题时,一方面,注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),

把它转化为代数问题,通过代数的计算,使问题得到解决;另一方面,由于直线与圆和*面几何联系得非

常紧密,因此准确地作出图形,并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得

到解决,即注意圆的几何性质的运用.

12.在如图所示的*面中,点 C 为半圆的直径 AB 延长线上的一点, AB = BC =2,过动点 P 作半圆的切线 PQ ,若 PC = 2 PQ ,则△ PAC 的面积的最大值为______________.

【答案】 4 5
【解析】
以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的垂直*分线为 y 轴,建立如图所示的*面直角坐标系:

∵ AB ? BC ? 2
C ?3,0?

P ?x, y?


∵过动点 P 作半圆的切线 PQ ,且 PC ? 2PQ

?x ? 3?2 ? y2 ? 2 ? x2 ? y2 ?1


∴ x2 ? y2 ? 6x ?11 ? 0

∴点

P

的轨迹方程是以

??3,

0? 为圆心,以

r

?

2

5 为半径的圆,

∴当点 P 在直线 x ? ?3 上时, ?PAC 的面积的最大

? ? ∴

S?PAC

? 1?4?2 max 2

5?4

5

故答案为 4 5 点睛:判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含 有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.

13.关于向量,下列结论错误的是( )

A. 0 ?a? =0

B. m ? (na?) ? (mn) ? a?(m, n ? R)

D. (m ? n) ? a? ? m ? a? ? n ? a?(m, n ? R) .

???? ???? AB ? BA
C.

【答案】A

【解析】

对于

A



0

?

a?

?

? 0

?

0

,故

A

错误;对于

B

,当

m,

n

?

R

时,

m

?

? (na)

?

mn

?

? a

?

(mn)

?

? a

,故

B

正确;对



C

,因为

???? AB,

???? BA

大小相等,方向相反,则

???? AB

?

???? BA

,故 C

正确;对于

D

,当

m,

n?

R

时,

?m ? n?? a? ? m ? a? ? n ? a? ,故 D 正确
故选 A

f ?x, y?? 0

14.如果命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程

的解”是正确的,则下列命题正确的是( )

A. 曲线 C 是方程 f ?x, y? ? 0 的曲线;

B. 方程 f ?x, y? ? 0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上;

C. 不满足方程 f ?x, y? ? 0 的点 ?x, y?不在曲线 C 上;

D. 方程 f ?x, y? ? 0 是曲线 C 的方程.

【答案】C

【解析】

由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程 f ?x, y ? ? 0 的解为坐标的点是否都在曲线 C 上,所

以方程 f ?x, y? ? 0 的曲线不一定是 C ,故曲线 C 是方程 f ?x, y? ? 0 的曲线不正确,即 A 不正确;方程

f ?x, y ? ? 0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上也不正确,即 B 不正确;因为不能推出曲线 C 是方程

f

?x,

y??

0
的轨迹,从而得到

D

不正确;不满足方程

f

?x,

y??

0 ?x, 的点

y

? 不在曲线

C

上是正确的,即

C 正确.

故选 C

15.设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点,则|PQ|的最小值为 (   )

A. 6

B. 4

C. 3

D. 2

【答案】B

【解析】

当 PQ 所在直线过圆心且垂直于直线 x=-3 时,|PQ|有最小值,且最小值为圆心(3,-1)到直线 x=-3 的

距离减去半径 2,即最小值为 4,故选 B.

16.已知直线 l1 : ax-y ?1 ? 0 , l2 : x ? ay ?1 ? 0, a ? R ,和两点 A (0,1), B (-1,0),给出如下结论:

①不论 a 为何值时, l1 与 l2 都互相垂直;

②当 a 变化时, l1 与 l2 分别经过定点 A(0,1)和 B(-1,0);

③不论 a 为何值时, l1 与 l2 都关于直线 x ? y ? 0 对称;

④如果 l1 与 l2 交于点 M ,则 MA ? MB 的最大值是 1;

其中,所有正确的结论的个数是( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4.

【答案】C

【解析】

对于①,当 a ? 0 时,两条直线分别化为: y ? 1, x ? ?1 ,此时两条直线互相垂直,当 a ? 0 时,两条直线斜率

分别为:

a,?

1 a

,满足

a

?

? ??

?

1 a

? ??

?

?1
,此时两条直线互相垂直,因此不论

a

为何值时,

l1



l2

都互相垂直,故①

正确;

对于②,当

a

变化时,代入验证可得:

l1



l2

分别经过定点

A

?0,1? 和

B

??1,

0

? ,故②正确;

对于③,由①可知:两条直线交点在以 AB 为直径的圆上,不一定在直线 x ? y ? 0 上,因此 l1 与 l2 关于直线

x ? y ? 0 不一定对称,故③不正确;

对于④,如果 l1 与 l2 交于点 M ,由③可知: MA 2 ? MB 2 ? 2 ,则 2 ? 2 MA· MB ,所以 MA· MB 的最大值
是 1,故④正确.

所有正确结论的个数是 3.

故选 C

? mx ? 2 y ? 2 17.讨论关于 x , y 的一元二次方程组 ??3x ? (m ?1) y ? 2m ?1的解得情况. 【答案】 m ? ?2 且 m ? 3 方程组有唯一解; m ? 3 方程组无解; m ? ?2 方程组有无穷多解.
【解析】

试题分析:对 m 进行分类讨论,即可得方程组的解的情况. ?2x ? 2 y ? 2 {
试题解析:①当 m ? ?2 时,一元二次方程组为 3x ? 3y ? ?3 ,则方程组有无穷多解 3x ? 2y ? 2 {
②当 m ? 3 时,一元二次方程组为 3x ? 2 y ? 7 ,则方程组无解 ③当 m ? ?2 且 m ? 3 时,方程组有唯一解 综上, m ? ?2 且 m ? 3 方程组有唯一解; m ? 3 方程组无解; m ? ?2 方程组有无穷多解.

18.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 5 . (1)当直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 与圆 O 相交于 A 、 B 两点,且 AB = 2 2 时,求直线 l 的方程;

(2)求与圆 O 外切点(-1,2),且半径为 2 5 的圆方程.
【答案】(1) 3x+ y + 2 3 = 0或 - 3x + y - 2 3 = 0 ;(2) (x+3)2 +( y - 6)2 = 20 【解析】

试题分析:(1)求出圆心到直线的距离,利用点到直线的距离公式,即可求出直线 l 的方程;(2)两圆相切,

则切点与两圆的圆心三点共线,设出所求圆的圆心为 C(a, b) ,列方程求得 a , b ,结合圆的半径即可得圆

的方程.

试题解析:(1)∵圆 O : x2 ? y2 ? 5

∴圆心

O



?0,

0? ,半径为

5

∵直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 与圆 O 相交于 A 、 B 两点,且 AB = 2 2

∴圆心到直线的距离为 5 ? 2 ? 3 2a ?3
∴ a2 ?1

∴a?? 3

∴直线 l 的方程为 3x ? y ? 2 3 ? 0 或者 ? 3x ? y ? 2 3 ? 0

(2)设所求圆的的圆心为 C(a, b) ∵切点 (?1, 2 ) 与两圆的圆心 O 、 C 三点共线
b?0 ? b?2 ∴ a ?0 a ?1
∵所求圆的半径为 2 5 ∴ (a ?1)2 ? (b ? 2)2 ? (2 5)2 ∴ a ? ?3 , b ? 6 ∴所求圆的方程为 (x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 20
点睛:本题主要考查直线方程与圆的方程,解答第(2)问时,切点与两圆的圆心三点共线是解答此问的 关键,考查方程思想与运算能力.

a? ?
19.已知

? 2, b

?

1


a?与b?

的夹角为

45°.

(1)求 a?在b? 方向上的投影;

a?

?

? 2b

(2)求

的值;

? ? (3)若向量

2a?-?b?

与(?a?

?

? 3b

的夹角是锐角,求实数

?

的取值范围.

【答案】(1)1;(2) 10 ;(3) (1, 6) ? ( 6,6) .

【解析】

试题分析:(1)由射影定义可得

? a



? b

方向上的

投影;(2)利用公式

? a

2

?

? a

2
可求得向量的模;(3)由

(2a?

?

? ?b)



(?

a?

?

? 3b )

的夹角是锐角,可得

(2a?

?

? ?b)

?

(?

a?

?

? 3b )

?

0

,且

(2a?

?

? ?b)



(?a?

?

? 3b )

不能同向

共线,即可解出实数 ? 的取值范围.

试题解析:(1)∵

? a

?

2,

? b

?

1


a?



? b

的夹角为 45?

a? cos 45? ? 2 ? 2 ? 1



2

?? ∴ a 在 b 方向上的投影为 1

a?

?

? 2b

?

a?

?

? 2b

2

?

(2)∵

a?

?

? 2b

?

10



a? 2 ? 4

a?

? b

cos 45? ?

?2 2b

?

2 ? 4 ? 4 ? 10

(3)∵

? (2a

?

? ?b)



(?

? a

?

? 3b )



夹角是锐角



? (2a

?

? ?b)

?

(?a?

?

? 3b )

?

0

,且

? (2a

?

? ?b)



(?

? a

?

? 3b )

不能同向共线



?2

?

7?

?

6

?

0



2a?

?

? ?b

?

k (? a?

?

? 3b )



k

?

0

∴1? ? ? 6 或 6 ? ? ? 6

20.如图,在*面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1, AB , AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正 半轴上, A 点与坐标原点重合,将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上,设此点为 A' .
(1)若折痕的斜率为-1,求折痕所在的直线的方程;
(2)若折痕所在直线的斜率为 k ,( k 为常数),试用 k 表示点 A' 的坐标,并求折痕所在的直线的方程;
(3)当 - 2+ 3 ≤ k ≤ 0 时,求折痕长的最大值.

【答案】(1)

y

?

-x

? 1 ;(2)

y

?

kx

?

k2 2

?

1 2

;(3) 2(

6?

2) .

【解析】

试题分析:(1)若折痕的斜率为 ?1时,由于 A 点落在线段 DC 上,可得折痕必过点 D(0,1) ,即可得出;(2)

y?1 当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程 2 ,当 k ? 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段
DC 上的点记为 G ?a,1?,可知 A 与 G 关于折痕所在的直线对称,有 kOG ? k ? ?1,故 G 点坐标为 G ??k,1?,从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标即线段 OG 的中点为 M ,即可得出;(3)当 k ? 0 时,折

痕为 2,当 ?2 ?

3

?

k

?

0 时,折痕所在直线交

BC

于点

? E ? 2, 2k
?

?

k2 2

?

1 2

? ? ? ,交

y

轴于

F

? ? 0, ?

k2 ?1?

2

? ?

,利

用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出.

试题解析:(1)∵折痕的斜率为 ?1时, A 点落在线段 DC 上

∴折痕必过点 D(0,1)

∴直线方程为 y ? ?x ? 1

y?1 (2)①当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程 2 .

②当 k ? 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 DC 上的点记为 G ?a,1?, ?0<a ? 2?

则 A 与 G 关于折痕所在的直线对称,有 kOG ? k ? ?1 ,即 a ? ?k .
∴ G 点坐标为 G ??k,1?,??2 ? k<0?

从而折痕所在的直线与

OG

的交点坐标即线段

OG

的中点为

M

? ??

?

k 2

,

1 2

? ??

,折痕所在的直线方程

y

?

1 2

?

k

? ??

x

?

k 2

? ??

,即

y

?

kx

?

k2 2

?

1 2

??2

?

k

?

0?


y ? kx ? k 2 ? 1 ??2 ? k ? 0?

综上所述,由①②得折痕所在的直线方程为:

22



(3)当 k ? 0 时,折痕长为 2.

当 ?2 ?

3

?

k

?

0 时,折痕所在直线交

BC

于点

? E ? 2, 2k
?

?

k2 2

?

1 2

? ? ? ,交

y

轴于

F

? ? 0, ?

k2 ?1?

2

? ?



? ? y ?


EF

2

?

22

?

? ? ?

k

2 ?1 2

?

? ? ?

2k

?

k2 2

?

1 2

??2 ?? ??

? 4 ? 4k 2

? 4?4

7?4

3

? 32 ?16

3


? ? 32 ?16 3 ? 2 8 ? 2 12 ? 2 6 ? 2 ? 2

∴折痕长的最大值为

.

?2 6 ? 2 ?
∴综上所述,折痕长度的最大值为

点睛:本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题,考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线

斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性,考查了推理能力和计算能力,属于难题

【答案】

21.定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比 ? .

(1)设圆 C0 : x2 + y2 =1, 求过 P (2,0)的直线关于圆 C0 的距离比 ? ? 3 的直线方程; (2)若圆 C 与 y 轴相切于点 A (0,3)且直线 y = x 关于圆 C 的距离比 ? ? 2 ,求此圆的 C 的方程;
(3)是否存在点 P ,使过 P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆

C1 : (x+1)2 + y2 =1与C2 : (x - 3)2 +( y - 3)2 = 4 的距离比始终相等?若存在,求出相应的点 P 点坐标;若不存在,

请说明理由.

y ? ? 3 ?x ? 2?

?x ? 3?2 ? ?y ? 3?2 ? 9 ?x ?1?2 ? ?y ? 3?2 ? 1

【答案】(1)

;(2)



;(3)存在

?1,

?1?,

? ??

?

7 5

,

11 5

? ??

.

【解析】

P ?2,0?

y ? k ?x ? 2?

试题分析:(1)设过

的直线方程为

,求得已知圆的圆心和半径,由新定义,可得方程,

求得 k

,即可得到所求直线方程;(2)设圆 C

?x
的方程为

?

a ?2

?

?y

? b?2

?

r2

,由题意可得

a2 ? ?3 ? b?2 ? r2, a ? r, a ? b ? 2r

2

,解方程可得 a , b , r ,进而得到所求圆的方程;(3)假设存在点

P

?m,

n

?

,设过

P

的两直线为

y

?

n

?

k

?x

?

m

? 和

y

?

n

?

?

1 k

?x

?

m

?
,求得两圆的圆心和半径,由新定义

k ?2m ? n ?1?? ?m ? 2n ? 3?? 0 k ?2m ? n ? 5?? ?3 ? m ? 2n?? 0

可得方程,化简整理可得



,再由恒成

立思想可得 m , n 的方程,解方程可得 P 的坐标.

P ?2,0?

y ? k ?x ? 2?

试题解析:(1)设过

的直线方程为

∵圆 C0 : x2 ? y2 ? 1的圆心为 ?0, 0?,半径为1

2k ?3
∴根据题意可得 1? k 2

∴k ??

3 ,即所求直线为 y ? ?

3 ?x ? 2? ;

(2)设圆 C

?x
的方程为

?

a ?2

? ?y

? b?2

?

r2

a2 ? ?3 ? b?2 ? r2, a ? r, a ? b ? 2r

根据题意可得

2

∴解方程可得 a ? ?3,b ? 3, c ? 3 或 a ? 1,b ? 3, r ? 1 ,则有圆 C 的方程为 ?x ? 3?2 ? ?y ? 3?2 ? 9 或

?x ?1?2 ? ?y ? 3?2 ? 1

(3)假设存在点

P

?m,

n?

,设过

P

的两直线为

y

?

n

?

k

?x

?

m

? 和

y

?

n

?

?

1 k

?x

?

m

?

又∵ C1 : ?x ?1?2 ? y2 ? 1的圆心为 ??1, 0?,半径为1, C2 : ?x ? 3?2 ? ?y ? 3?2 ? 4 的圆心为 ?3,3?,半径为 2

k ? km ? n

?

3 ?3? m ?n kk

∴根据题意可得

1? k2

2

1?

1 k2

k ?2m ? n ?1?? ?m ? 2n ? 3?? 0

,即



k ?2m ? n ? 5?? ?3 ? m ? 2n?? 0

2m ? n ? 1 2m ? n ? ?5

{

{

∴ m ? 2n ? 3 或 m ? 2n ? 3 ,

m??7



m ?1 { n ? ?1

{
n


?

5 11 5

,则存在这样的点

P

?1,

?1? 和

? ??

?

7 5

,

11 5

? ??

,使得使过

P

的任意两条互相垂直的直线分

别关于相应两圆的距离比始终相等. 点睛:本题考查新定义的理解和运用,考查直线和圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,考查恒成立 问题的解法,属于中档题.




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