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高中数学 第三章 三角恒等变换 课时作业25 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 新人教A版必修4

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课时作业(二十五) 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.已知 a、b、c 是三个非零向量,则下列命题中假命题是( ) A.|a·b|=|a|·|b|?a∥b C.a⊥b?|a+b|=|a-b| 答案 D B.a、b 反向?a·b=-|a|·|b| D.|a|=|b|?|a·c|=|b·c| 解析 需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一是向量数量积的定义;二是向量加法与 减法的*行四边形法则.A 中∵a·b=|a|·|b|·cos θ ,∴由|a·b|=|a|·|b|及 a、b 为非零向量可得|cos θ |=1,∴θ =0 或π ,∴a∥b 且以上各步均可逆,故命题 A 是真命 题.B 中若 a、b 反向,则 a、b 的夹角为π ,∴a·b=|a|·|b|cos π =-|a|·|b|且以上 各步均可逆,故命题 B 是真命题.C 中当 a⊥b 时,将向量 a、b 的起点确定在同一点,则以 向量 a、b 为邻边作*行四边形,则该*行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等.即 有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以 a、b 为邻边的四边形为矩形,所以有 a⊥b,因此命题 C 是真命题.D 中当|a|=|b|但 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时,就有 |a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题 D 是假命题. 2.已知|a|=3,|b|=5,且〈a,b〉=45°,则向量 a 在向量 b 上的投影为( ) 32 A. 2 B.3 C.4 D.5 答案 A 解析 向量 a 在向量 b 上的投影为|a|·cosθ =3× 22=3 2 2. 3.(2015·山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则→BD·→CD=( ) A.-32a2 B.-34a2 C.34a2 D.32a2 答案 D 解析 因为B→D·C→D=B→D·B→A=(→BA+→BC)·→BA=(B→A)2+→BC·→BA=a2+a2cos60°=32a2,故选 D 项. 4.在△OAB 中,→OA=a,O→B=b,OD 是 AB 边上的高,若A→D=λ →AB,则实数 λ 等于( ) a·(b-a) A. |a-b|2 a·(a-b) B. |a-b|2 a·(b-a) C. |a-b| a·(a-b) D. |a-b| 答案 B 5.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则 a 与 b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 C 解析 (2a+b)·b=2a·b+b2=2|a|2cos〈a,b〉+a2=0? cos〈a,b〉=-12,所以 a,b 的夹角为 120°,故选 C. 6.已知 a·b=0,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)·(ka-b)=0,则实数 k 的值为( ) A.32 B.-23 3 C.±2 D.1 答案 A 7.如图,在△ABC 中,AD⊥AB,→BC= 3B→D,|A→D|=1,则→AC·→AD=( ) A.2 3 B.3 2 C.3 3 D. 3 答案 D 解析 ∵→AB·→AD=0,∴A→C·A→D=(A→B+B→C)·→AD=(→AB+ 3B→D)·A→D=A→B·A→D+ 3→BD·→AD= 3·|→BD||→AD|·cos∠ADB= 3|A→D|2= 3. 8.设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 答案 B 解析 设|a|=m(m>0),则由 a+b=c 得(a+b)2=c2,2m2+2m2cos〈a,b〉=m2,cos〈a,b〉 1 =-2.又 0°≤〈a,b〉≤180°,因此〈a,b〉=120°,选 B. 9.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为π3 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1·b2= ________. 答案 -6 解析 由题设知|e1|=|e2|=1,且 e1·e2=12,所以 b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3e12- 2e1·e2-8e22=3-2×12-8=-6. 10.已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为________. 答案 π 3 解析 由|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,得 a·b=2,cos〈a,b〉=|aa·||bb|=2×2 2 =12,所以〈a,b〉=π3 . 11.已知 e1,e2 是夹角为23π 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若 a·b=0,则实数 k 的值为________. 答案 5 4 解析 由题意知:a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)=0,即 ke12+e1·e2-2ke1·e2-2e22=0,即 k+cos2π3 -2kcos23π -2=0,化简可求得 k=54. 12.已知向量 a、b 的夹角 45°,且|a|=4,(12a+b)·(2a-3b)=12,则|b|=______;b 在 a 方向上的投影等于______. 答案 2;1 解析 a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉=4|b|cos45°=2 2|b|, 又(12a+b)·(2a-3b)=|a|2+12a·b-3|b|2=16+ 2|b|-3|b|2=12, 解得|b|= 2或|b|=-23 2(舍去). b 在 a 上的投影为|b|cos〈a,b〉= 2cos45°=1. 13.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|=3,求|3a+b|. 解析 ∵|a|=|b|=1,∴|a|2=|b|2=1. 又∵|3a-2b



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