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含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题

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学*必备 欢迎下载 含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ; 例 1 解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2?2 ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2?2 ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 解得方程 ax2 ? ?a ? 2?x ?1 ? 0 两根 x1 ? ? a ? 2? 2a a2 ? 4 , x2 ? ?a ?2? 2a a2 ? 4 ∴当 a ? 0 时,解集为 ???x ?? | x ? ? a ? 2 ? 2a a2 ? 4 或x ? ? a ? 2? 2a a2 ? 4 ?? ? ?? 当a ? 0 时,不等式为 2x ?1? 0 ,解集为 ??x ? | x ? 1? 2 ? ? 当a ? 0时, 解集为 ?? ? x | ?? ?a?2? 2a a2 ?4 ? x ? ?a?2? 2a a2 ? 4 ?? ? ?? 例 2 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0? 分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ? a(x2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0 ?当 a ? 0 时,解集为?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0时,解集为?x | 2 ? x ? 3? 变式:解关于 x 的不等式 1、 (x ? 2)(ax ? 2) ? 0; (1)当a ? 0时,{x | 2 ? x ? 2} a (2)当a ? 0时,{x | x ? 2} (3)当0 ? a ? 1时,{x | x ? 2, 或x ? 2} a (4)当a ? 1时,{x | x ? 2} (5)当a ? 1时,{x | x ? 2 , 或x ? 2} a 3、ax2-(a+1)x+1<0(a∈R) (1)当a ? 0时,{x | x ? 1 ,或x ? 1} a (2)当a ? 0时,{x | x ? 1} (3)当0 ? a ? 1时,{x | 1 ? x ? 1} a (4)当a ? 1时,? (5)当a ? 1时,{x | 1 ? x ? 1} a 二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x2 ? ax ? 4 ? 0 学*必备 欢迎下载 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。 解:∵ ? ? a2 ?16 ∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ; 当a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ??x ? x ? R且x ? a? 2 ?? ; 当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ? ? a ? a2 2 ? 16 , x2 ? ? a ? a2 2 ? 16 ,显然 x1 ? x2 , ∴不等式的解集为 ???x x ? ? a ? ?? a2 ?16 或x〈 ? a ? 2 a2 ?16 ?? 2 ? ?? ? ? 例 4 解不等式 m2 ? 1 x2 ? 4x ? 1 ? 0?m ? R? ? ? ? ? 解 因 m2 ? 1 ? 0, ? ? (?4)2 ? 4 m2 ? 1 ? 4 3 ? m2 所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? ? x ? | x ? 1? 2 ? ? ; 当? 3?m? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ???x ?? x ? 2 ? 3? m2 m2 ?1 或x〈 2 ? 3? m2 m2 ?1 ?? ? ; ?? 当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。 变式:解关于 x 的不等式: ax2 ? x ?1 ? 0 (1)当a ? 0时,{x | x ? ?1? 1? 4a , 或x ? ?1? 1? 4a } 2a 2a (2)当a ? 0时,{x | x ? ?1} (3)当0 ? a ? 1 时,{x | ?1? 1? 4a ? x ? ?1? 1? 4a } 4 2a 2a (4)当a ? 1 时,? 4 三、按方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ; 例 5 解不等式 x2 ? (a ? 1 )x ?1 ? 0 (a ? 0) a 分析:此不等式可以分解为: ?x ? a?(x ? 1 ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 学*必备 欢迎下载 解:原不等式可化为: ?x ? a?(x ? 1 ) ? 0 ,令 a ? 1 ,可得: a ? ?1 a a ∴当 a ? ?1或 0 ? a ? 1时, a ? 1 a ,故原不等式的解集为 ??x ? | a ? x ? 1 a ? ? ? ; 当 a ? 1 或 a ? ?1时, a ? 1 ,可得其解集为? ; a 当 ?1 ? a ? 0 或 a ? 1时, a ? 1 a ,解集为 ? ? x ? | 1 a ? x ? a?? 。 ? 例 6 解不等式 x2 ? 5ax ? 6a2 ? 0 , a ? 0 分析 此不等式 ? ? ?? 5a?2 ? 24a 2



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