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成长曲线预测模型及其参数识别

发布时间:

成长 曲 栈 预 测 模 型 及 其 参 数识 别



\ 性轰 犯 绮奋 彗 二生寻 抓 吭 峨 毓 喻 梦


二 二 凰氢 氯 氯 氯 身 氯 身 氢 凰 氯 g 琉 引 呱 占 翔 训 到 萨 r 介 鱿 成 长 曲 线 预 刚 模 型 是 一 种 分 析 经 济 寿命 的 重 要 模 型 它 的 参 数 估 计 方 法 目


生刃 鳖汽、 全哥 坠 身 全月 衬丢 汽 二 月 代尝 、 月
、 、












Z /矛



前 在 国 内 尚 未 有 总结 和 介 绍 会撰写的




此 文 是 作 者 根 据 国 内外 有 关 资料 和 个 人 的 研 究 体


现作 为一 种 预 浏 方法 介 绍 给 广大 读者


荞 、二 二 肾 、 二 二 二 氯 瓷 二 、 、 二 二 氯 二 二 二 二 二 二 二 二 二 二 。 、 、 、 二 。 凰 二 * 二 欠

一 般 产 品 的 发展



,

基 本 上都 经 历 一 个 问


发展



成 熟 直 至 衰落 的 过 程
,
,

社会 对 某 种

表示



率是
U t


y

的 微分

,

它表 示

y

的 变 化速 度



产 品 的 需 求 也是 这样
人 们 所认 识

开始 新 产 品 的 性 能 不 被


社会 需 求 量 较 低
,

随 着人 们 对 新
,

火I J J



,

品锚
目U


认 击

百 不又 〕 2又 退

, 亦 峨工 d y 陈 、于



.

,



,

万 二 阴 丈 1,
U
L

~

人 J

0

冷禅
.

!‘ 门 洛

业I 一 t r l
d 戈1. J

干,



产 品 的 了解
段 时 间后
品的 出现
,

,

社 会 需 求量 逐 渐 增 加


经 历 了一
以 用 微 分方 程

需 求又趋 向 稳定
逐 步被 淘 汰

或 随 着新一 代 产
,

,

同样
,

一项 技 术 的 开
,

发 在 初 始酝 酿 时 期 进 展 缓 慢

随着 研 究 的 深
逐渐 取
,

血 yd
描述 数






t




by

(1 )




,

人 们 对该 项 技术 有 了 充 分 的 认识
,
,

y

的 成长 过程
,



其中
,

a

,

b

是模 型 的 参
,

得 突破 性 的 发 展 术 替代 的 可 能 性

当达 到 一 定 的 水* 后
,

进一

) 方 程 ( 1 的意 义是 当
by
a

y

很 小 时 即 初始 发
,

步 的 改 进 就 愈 来 愈 困难


并 出现被 另 一种 新 技
四 冲程 发 动 机 自 1 9

展阶 段 右 边 第 二 项
一定 的 增 长 速 度 渐开始 起 作 用
,

* 似 等于 零
;

这时
,

y



例如


发展
y
,

随 着 y 的 增高
y

b y逐

世 纪 后半 叶 问世


0 0
,
.

,

189 0

年 单 位 重 量 马 力仅
, ,



的 增 高对

本 身 的 发 展起
,

2 1 5 8

,

本 世 纪 初 有 了较 大 的 突破


194 0

年达
,

了一 定 的 抑 制 作 用 使 增 长 速 度 逐 渐 下 降 它 体
; 现 了 外 部 环 境 对 y 发 展的综 合 反映

.

但是
到 9 0

.

,

进 一 步 的 改进 就 非 常 困 难 其
的4 年间 0
, , ,



194 0 0

1979


单 位 重 量 马 力仅


当y 二




增加 了
:

综上 所述


我 们 所 研 究 的 目标 都 成长




,

方 程 右 边等 于 零
为 会
“, k

,

这 时 增 长 速 度 等于 零


有 一个 共 同 的 特点

即 具 有一 定 的



称 为 饱 和 量 或 发展 极 限

对 微分



出 现 发 展 成 熟或 衰 亡 (逐 渐 被新 一 代 产


品或 技 术 所 淘 汰 ) 测 目标
, ,

对 具 有这 种演 变 趋 势 的 预

) 方 程 (1

求解
d y
=

可 以 运 用 成 长 曲线 预 测 模 型 进 行 预
a



由于 它 是 依 据 一 定 的 演 变 理论 为 前 提推 至
,

y 一 b yZ

d

t

出来 的

所 以 在某 些 场 合

,

往 往能 比 简 单时 间


序 列法 提 供 更 为 精 确 的 时 间 预 测



dy y

成 长 曲 线预 测 模 型
y

(

y 卜粤)

=

a

d

t

(2 )

将我 们 要 研 究 的 预 测 目标 用一 定 量 指标

对 ( 2 ) 进行 有 理 式 分 解

,

再 两 边积 分得

L?y



L

?

( 令 )
‘一
y
=
c e
“ ’

?
a t

+

c

(3 )

也不 同

,

下 面 介 绍 几 种 比 较 有效 的 识 别成 长 曲


线 预 测模 型 参数 的 方 法
b


小 刁 交
C

(一 ) 运 用 线 性 回 归 的 方 法 求 模 型 参 数
(4 )

a



为此

,

l 首先必 须 将 微 分 方 程 ( ) 化 成差 分
,

方 程形 式

是 待 定常 数
y

,

整理 得
b
e



(

e

1 、

l 十

—一

1一

仙 竺
C e
a
L 十

二 a



by

:

(8 )

(5 )
。y


=

1



,



,



,


1
只一 乙

L 、y

:

+

,

一 y

t

少+

弋y t 一 y

!



,

少J

a 丁「
C O

_

a r

(6 )

e

气y

t +

x

一 y

t



l



△y





t =

o



,

y

=

y



并将粤


=

k

代 入 ( 6 )得



y 。 的差


,

,

y

:

表示


y



t

周 期的 值



在 实际 预 测 时

△t
=

通常 取 年

月等 单 位 周 期

,



1
_

,

则 ( 8 ) 式 可写 成



y



1
.

k

( 7 )

式 即 是成 长 曲线 方程

下所 示


1~

一 y


y
o

— —
o

o

一 二t

( 7 )



奸 y
t



by

:

(9 )
,
,

,

它 的 曲线 图 形 如

△y

:

_

,

r

,
t



_

_

_

I
t

则 ( 9 ) 式 代换成 一元 线 性 方 程


+

一 J

;



一 y

t

j 一 入

尝 )

- - - - -

- -

- - -



yt ’

=

a

b

x


yt
:

(1 0 )
t 二

设 已 知 历 史 统 计 数 据为
T

1

,

2

,



,

T

;

为 当 前 周期



运 用 一 元 线 性 回 归 计 算公 式
T 一 1
x

万 曰
_
t = Z

y 荟 荟一 对


t


(1 1 )

= 2
x

万 1 T
盆=

T 一1
X





:





(1 2 )





* 名f
a

就 可 以 求 得 模型 参数
用 它 可 以 描 述某 些 产 品
的 基 本规 律


b

的 估计 值 盒
,







,

或 某项技 术 演 变趋 势

其中 可
*均值 分 代换


,

可 是 代 换 后 的 样本 数 据 s ’ t
必 须注 意 的 是
(

,

’ t x 的

因为 v 必 须 通 过 差 ’ t
y
t 一

y





1/ 2

t (y


十 ,



1

) 得到

,

所 以它 的
a


模 型 参 数识 别
,

个数 只 有 确定 选
a


T 一2



通 过 对 预 测 目标 发 展 趋 势 的 分 析
用 成 长 曲 线 预 测模 型后
b
,

( 二 ) 运 用 待定 系 数 法 求 解 参 数

b
t





的 中 即

必 须对 模 型 参 数
,

已 知 数 据 中 选 取 三 个 时 间 周期

t ,

,

t

Z

,

:

进 行识 别
a




所 谓识 别


,

就 是 根 据 一定 的 规 则
识别 的 方 法

数据

yl ,


y:

,

y。

,

分别 代 表 曲线 的 首 段
,

确定

b

的值

预 测 目标 不 同

段 和末 段

其 中 两个 周期 之 间 的 间 隔 相 等

t

,

一 t :
,

= t

Z

一 t

,



如 果 己 知 原 始数据 的 波 动 较
,
,

1
4


,

6 0 2 (1 6 2 8



54 9 )

_

_



八 。 卜 。 。



y。

可 以分 别 取三 组 几 何 *均 值 代 替 y


y

:

,

七1

例 如 三 个 数 的 几 何 * 均 值就 是


:

y

:



因此

,

可 以 得 到一 个 简单 的预 测 我 国 人 口 增 长

t 粼y

;

?

y

:

?

t y

+

,

,

因 为 成 长 曲线 是一 种 指 数


的 模型

曲线

,

所以 要 用 几 何 * 均 消 去 随机 波 动

由方

程 ( 6 )我 们可 以 得 到
k
y


生 卫 丝鱼二 翌
y
o
.


1 628
e


5 4 9 (1 6 2 8 一 6 0 2 ) ~

U

U j O 0 )

0

0 35 63

t

=

,

,

1 +

K



V

,




y
z

e

a t 工,






t

,

‘ )

z

,

。 、

、 I Q /

若以
为 9 5

1949

年 人 口数 为 y
,



,



19了 8

年时

t 二

29

,

用 上述 模 型 计 算 得 1 9 7 8 年 人 口 的 事 后 预 测 值
8

k
。一 a

(百 万 )
.

与 实际 调 查 数 9 7
%
。 。

5
,

(百 万 ) 的

主二里上
y
z

(‘

广

’1

)

(1 4 )

相 对误 差 为 人 口数 为 预 测 值为
y


1 7
,

利 用 上述 模 型



19 了 8



可 初 步 估 计得 我 国 2 0 0 0 年 人 口
5

整 理 可得
e a

12

.

亿

(,

2



,

1

)

=

-

望(些一 当 2 y k y )

l Z

( 三) 分 析 确定 模 型 的发 展 极 限 用 成 长 曲


(15)

线 模型 预 测

,

一 个 重要 的 问题是 确 定 目标 的 发
,

展极 限
e a

k



上 面 介 绍 的 是 用 估计 的方 法 求 得
,

(’ 3



’L

)

=

工 赵l二工卫
y 」 (k 一 y
」,



)

(1 6 )
,

另一 个 重 要 的 途 径是 通过 对 白然 规 律 和 社 会 经

济规 律 的逻辑 分 析
k


先期 确 定 目 标 的 发 展 极 限
它 的 发 展 极 限 是绝 对 零
, 。

因为 则有

t

:

一 t:

=

t

:

一 t



t

3

一 t



2 (t

Z



t,

)

,

例如

,

制 冷技 术


,

7 度一 2

3℃

又 比 如 热 效率 这 个 特 性 指 标
,


丝 「 业二y 贬y k 一
l

艺口
Z

(

) J

1

2



y

;

y l (k 一 y

) 迎生立 匕
3

-

我 们 可 以把 百 分之 百 作 为 发 展 极 限 同 样 在经
(1 7 )

)
,

济 预 测 中某 些 产 品 的 人 均 需 求 量 和 社 会 拥 有量 等 等 一 个需 求 极限 顶多为
1
。 。

人 均 拥有 量

,


k

y

: ,

y

Z ,

y。


的 值 代人 (1 7 ) 式
k

不难 求 出

都 可 以 通过逻 辑推 理 求 得
,

的 估计 值
:

再将

) 值 代 回 (1 5
a

或 ( 16 ) 式
的 估计 值


例 如 城 镇 人 均 自行 车 的 拥 有 量 效
1

通 过 查 自然 对 数表 就 可 以 求 得 例

所 以 在 我 们 预 测某 些 产 品 比 例
,

根 据 表 中我 国 1 9 4 9
1 9 53

,

1953

,

19 5 7



率 等指 标时
合 (一 )
,

往 往可 以 取

为极限 值
a

k



再结

年人 口 的 统 计数 据


(二 ) 的 方 法 就 可 以 求 出

的估计



1

19 49

… {
6 02

1 95 7





这 种逻 辑 推 理和 用 历 史 数 据估计 相 结 合 的
,

人 口 数 (百万 ) }

5

9 4


{
9 宁5

方法

得 到 的 预 测结 果 更 使 人 信 服




}

6 57



用 成长 预 测 模 型 分 析 更 新 换代 情 况

前 面 介 绍 了 用 成 长 曲 线 预 测 摸型 分 析 预 测
目标 的 成 长 过 程
6 5 7 (k 一 5 4 9 )
“ ”
,

但是

,

我 们 所 研 究 的 目标
,

往 往还 包 括 一个逐 渐 被 新 一 代产 品 或技 术 淘 汰
的 过程


5 d 9 (k



657 )

这 方 面的例 子是 不胜 枚 举 的
,


例如

,

整理 得
1 711 k
Z

彩 色 电视 代 替 黑 白 电 视

,

连续铸 钢技 术 代 替 钢

2 78 4852 k

=

0


锭 浇铸 技 术 等 等
,

我们 可 以通 过 用 成长 曲线 预


舍去 再将

k
k
,

=

o
t,
,

的情 况
,

解得
,

k = 1 628

t

Z ,

y,

y:

的值 代 人 (1 5 )



测 模 型 对 新 一 代技 术 或 产 品 的 分 析 来 描 述 老 一 代技 术或 产 品 的 衰亡 新 老技 术 更新 换 代 的 过





边取 对数

查 自然 对 数 表 有

7 分 析 的 方法 如4 页 图



(下 转 第 4 页 ) 7

其中k
fT

T ,

fT
k
T ,


fT

T

年 的 垃 圾 清运 系数 和 汽
的 取 值 如 前所 述 当
,

测 资 料 (年令移 算 法 ) 长率 为零


,


,

19 85

年至

199 7

年 而

车 清运 系 数

,

k

T ,

人 口 自然 增 长率 逐 渐下 降



19 97

年 自然 增
,

大于

1
3



,

取 其 等于

l



所 以 人 口 增长率 应 当逐 渐 下 降
:
.



中 的 新 增项 垃圾 车 需 求 量预 测 值 是根


我们 一 直 采 用 同 一 增 长 率 第一 类 城市
第二 类 城市 正


1 2

%

,

据 前 述 假 定 的 指 标 和 增 长 率计 算 而 得 的 些 假 定是 不 太 符 合 未 来 的 实 际 情 况 的
,

而某
,


2 3
.

% 第三 类 城 市
,

3 1
.

%



本 文计

因此

算 市 级 城 市 人 口 发 展 数显然 偏大
3
.

,

也要 予 以 修
,

应 在 分 析 研 究 的 基 础 上对 预测 值 加 以 修正
( 四 ) 预 测 值 分析
1
.

随 着 社 会主 义建设 的 发 展
,

我国城 市
,

建 设水 * 和 生 活 水 * 不 断 提 高
5 市 斤/

尤 其市 级 城 市
人 日产
,

人 日 产 垃 圾 指 标 (按
,

2
,

.

人日

,

煤 气化 水 *和 住 宅 建 设 水 * 不 断 提 高 垃 圾 量 指标 将 逐 渐 下 降
一直 采 用
2
.

3

市 斤/ 人 日
,

3 5
.

市 斤 / 人 日)

是 从 六 个 北方
,



而 我们 推 算 垃圾 量 时
,

城市 调查 得 出 的 这 些 城市取 暖期 都 较 长 炉 渣
垃 圾较 多 较少




5
,

市 斤/ 人 日

3

市斤 / 人 日
,

3

.

5




而 我 国南方 没 有 取 暖 期
,

,

炉 渣垃 圾

斤/ 人 日 计 算 显 然 计算 所 得 的 垃 圾 量 也 偏 高 根据 垃 圾车预 测 值 和 上述 分 析
为 全国 每 年产 8 0
0 一 1000

所 以 用 此 指标 推 算 全 国市 级 城 市 产生 垃

我 们认 文

圾量较 大
2
.

故 要 予 以 修正




辆垃 圾 车 是 比 较 合

根据 上 海市

长 春市



邢 台市 人 口 预

适的



; 涵 卜 渺 : 冰完 发冰 哎汹之 霭汹哭汹 成汹猫枷;霉 公渺龙 哎渺 ;脚川 二黝龙 ; 伽 龙 二 龙 : 黝 益铆揣 呱 靴 黝; 汹书 丈渺 畏汹花 拭 湍l 脸叫 汹 公 铃洲 枷 物 衅 》 心渺 鼠》‘ 枷 灿 陋 枷 冰 黝 卿 涵 枷 枷 .
. .

( 上接 第 4 页 ) 3

或 产 品 过 了转 折 点 时

,

它 能 比 简 单 时 间 序 列法


提 供 更 为 精 确 的时 间 预 测

最后

,

采 用 成长 曲

4.t

线 预 测模型 时 也 和采 用 其 它 时 间 外 推 预 测 模型
一样
,

也要 注 意到 促 使该 项 产 品 或技 术 发 展





的社 会 因 素 和 外部 环 境 没有 重 大 变化 与 没 有 重 大 技术 突破 这 个 条件
?

?? ???

… …☆

???

???

…… ☆

??.

?? ?

…… 举

? ??

???

……



越尖

!

未来
,


,






,


主要是 根据 读


本 刊开 辟 的
者 来稿 编选 给 本刊 的

,

值 得 注意 的 是
(1 )


这里 有 两 个 假 设条 件
.

预测园地

即 一项 新 产 品 或 技 术 替 换 上 一代 的 过
,

或者 是 根据 有关 单 位 作 为稿 件 寄


程 已 经 开始

并 证 明其 经 济 上 有 生 命 力


,

这种

简报

等材 料 编 辑 的

特 此 向对 我

更新 上 一 代 的过 程 将 继 续 下 去



(2 )



更 新换

们 的 工作 大 力支 持 的读 者 和 有 关 单 位 致 以 谢

代 的 速 度 是 正 比于 上一 代 产 品 尚未 被 更 新 的 部





有 些 材 料 因为我 们 人 力有 限 来 不 及 核 对材
,

料具体 的 撰 写 人 表示
,

至 于 新 一 代 产 品 或 技 术 的 预测 模 型 建 立 方
_

就 不署名
,

,

或 用一 般 的 署 名
,

特 此说 明



如 需 署 真实 撰 稿 人 姓 名



法同 L



成长 曲 线 预 测 模 型 对 预测 工作 者 和 计 划 决
策 者 是 一个 很有 用 的工 具
,

各 单位 再 寄材 料 或 稿 件 时
???

务 必注 明



.

尤 其是 当 某 项 技 术

…… , ☆ .

.

? ??

…… ☆ … “ ……☆ “
?

? ?? ?

……




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