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2017届高三数学一轮总复*第九章*面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时跟踪检测理

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课时跟踪检测(四十八)
?一抓基础,多练小题做到眼疾手快
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直线与圆、圆与圆的位置关系
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1.圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为________. 解析:由两圆心距离 d= ?2+2? +1 = 17, 又 R+r=2+3=5,∴d<R+r,∴两圆相交. 答案:相交 2. 若 a +b =2c (c≠0), 则直线 ax+by+c=0 被圆 x +y =1 所截得的弦长为________. 解析:因为圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离 d= |c|
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a +b



|c|

2 = ,因此根 2|c| 2

据直角三角形的关系,弦长的一半就等于 答案: 2

1-?

2 ? 2?2 ? = ,所以弦长为 2. ?2? 2

3. 直线 l 与圆 x +y +2x-4y+a=0(a<3)相交于 A, B 两点, 若弦 AB 的中点为(-2,3), 则直线 l 的方程为________. 解析:设直线的斜率为 k,又弦 AB 的中点为(-2,3),所以直线 l 的方程为 kx-y+2k +3=0, 由 x +y +2x-4y+a=0 得圆的圆心坐标为(-1,2), 所以圆心到直线的距离为 2, |-k-2+2k+3| 所以 = 2,解得 k=1,所以直线 l 的方程为 x-y+5=0. k2+1 答案:x-y+5=0 1 2 2 4. 若圆 x +y +mx- =0 与直线 y=-1 相切, 其圆心在 y 轴的左侧, 则 m=________. 4 解析:圆的标准方程为?x+ ? +y =? ? 2? ?
2 2 2

2

2

?

m?2

m2+1 ? m2+1?2 ? ,圆心到直线 y=-1 的距离 2 =|0 2 ?

-(-1)|,解得 m=± 3,因为圆心在 y 轴的左侧,所以 m= 3. 答案: 3 5.已知点 P 是圆 C:x +y +4x-6y-3=0 上的一点,直线 l:3x-4y-5=0.若点 P 到直线 l 的距离为 2,则符合题意的点 P 有________个. 解析:由题意知圆的标准方程为(x+2) +(y-3) =4 , ∴圆心到直线 l 的距离 d= 有 2 个. 答案:2 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.(2016?苏州模拟)对任意的实数 k,直线 y=kx-1 与圆 C:x +y -2x-2=0 的位
2 2 2 2 2 2 2

|-6-12-5| 23 = >4, 故直线与圆相离, 则满足题意的点 P 5 5

1

置关系是________. 解析:直线 y=kx-1 恒经过点 A(0,-1),圆 x +y -2x-2=0 的圆心为 C(1,0),半 径为 3,而|AC|= 2< 3,故直线 y=kx-1 与圆 x +y -2x-2=0 相交. 答案:相交 2. 圆 x +y +2y-3=0 被直线 x+y-k=0 分成两段圆弧, 且较短弧长与较长弧长之比 为 1∶3,则 k=________. 解析:由题意知,圆的标准方程为 x +(y+1) =4.较短弧所对圆周角是 90°,所以圆 心(0,-1)到直线 x+y-k=0 的距离为 答案:1 或-3 3.直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切,则 a 的值为________.
?y=x+4, ? 解析:法一:联立? 2 2 ??x-a? +?y-3? =8, ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 |1+k| r= 2.即 = 2,解得 k=1 或-3. 2 2

消去 y 可得,2x -(2a-2)x+a -7
2

2

2

=0,则由题意可得 Δ =[-(2a-2)] -4?2?(a -7)=0,整理可得 a +2a-15=0,解得

a=3 或-5.法二:因为(x-a)2+(y-3)2=8 的圆心为(a,3),半径为 2 2,所以由直线 y
=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切,知圆心到直线的距离等于半径,所以 =2 2,即|a+1|=4,解得 a=3 或-5. 答案:3 或-5 4.在圆 x +y +2x-4y=0 内,过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是________. 解析:由题意知,圆心为(-1,2),过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为-1,且最长弦与 π 最短弦垂直,∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为 1,即倾斜角是 . 4 π 答案: 4 5. 已知直线 l: x+ay-1=0(a∈R)是圆 C: x +y -4x-2y+1=0 的对称轴. 过点 A(- 4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=________. 解析:由于直线 x+ay-1=0 是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴,∴圆心 C(2,1) 在直线 x+ay-1=0 上, ∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1). ∴|AC| =36+4=40.又 r=2,∴|AB| =40-4=36. ∴|AB|=6. 答案:6 6.直线 y=2x+3 被圆 x +y -6x-8y=0 所截得的弦长等于________. 解析:圆的方程可化为(x-3) +(y-4) =25,故圆心为(3,4),半径 r=5.又直线方程
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

|a-3+4| 1 +?-1?
2 2

|2?3-4+3| 2 2 为 2x-y+3=0,所以圆心到直线的距离为 d= = 5,所以弦长为 2 r -d = 4+1 2? 25-5=2 20=4 5. 答案:4 5 7.过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C:(x-3) +(y-4) =25 交于 A,B 两点,C 为圆心,当 ∠ACB 最小时,直线 l 的方程是____________. 解析:依题意得知,当∠ACB 最小时,圆心 C 到直线 l 的距离达到最大,此时直线 l 与 直线 CM 垂直,又直线 CM 的斜率为 1,因此所求的直线 l 的方程是 y-2=-(x-1),即 x+
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y-3=0.
答案:x+y-3=0 8.(2016?南京名校联考)已知圆 O:x +y =1,直线 x-2y+5=0 上动点 P,过点 P 作圆 O 的一条切线,切点为 A,则|PA|的最小值为________. 解析:过 O 作 OP 垂直于直线 x-2y+5=0,过 P 作圆 O 的切线 PA,连结 OA,易知此时 |1?0-2?0+5| |PA|的值最小.由点到直线的距离公式,得|OP|= = 5.又|OA|=1,所以 2 1+2 |PA|= |OP| -|OA| =2. 答案:2 9.已知圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x +y -8y+12=0 配方得标准方程为 x +(y-4) =4,则此圆的圆 心为(0,4),半径为 2. |4+2a| 3 (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 2 =2,解得 a=- . 4 a +1 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,
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? ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? ?|DA|=2|AB|= 2,
|4+2a| |CD|= , a2+1
2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 10.如图,已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7 =0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是

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MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P.
(1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程. 解:(1)设圆 A 的半径为 R. 由于圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切, |-1+4+7| ∴R= =2 5. 5 ∴圆 A 的方程为(x+1) +(y-2) =20. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+ 2). 即 kx-y+2k=0. 连结 AQ,则 AQ⊥MN. ∵|MN|=2 19,∴|AQ|= 20-19=1, 则由|AQ|= |k-2|
2 2 2

3 =1,得 k= , 4 k +1

∴直线 l:3x-4y+6=0. 故直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0. ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.(2016?苏州调研)已知圆 C1:x +y +4ax+4a -4=0 和圆 C2:x +y -2by+b -1 1 1 =0 只有一条公切线,若 a,b∈R 且 ab≠0,则 2+ 2的最小值为________.
2 2 2 2 2 2

a

b

解析:圆 C1 的标准方程为(x+2a) +y =4,其圆心为(-2a,0),半径为 2;圆 C2 的标 准方程为 x +(y-b) =1,其圆心为(0,b),半径为 1.因为圆 C1 和圆 C2 只有一条公切线, 1 2 2 2 2 所以圆 C1 与圆 C2 相内切,所以 ?-2a-0? +?0-b? =2-1,得 4a +b =1,所以 2+
2 2

2

2

a

1

b

2

b2 4a2 ?1 1? 2 2 =? 2+ 2?(4a +b )=5+ 2+ 2 ≥5+2

?a

b?

a

b

b2 4 a2 b2 4a2 2 2 2? 2 =9,当且仅当 2= 2 ,且 4a +b =1, a b a b

1 1 1 1 2 2 即 a = ,b = 时等号成立.所以 2+ 2的最小值为 9. 6 3 a b 答案:9 2.(2016?江阴一中检测)若圆 O:x +y =5 与圆 O1:(x-m) +y =20(m∈R)相交于 A,
2 2 2 2

B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长为________.
解析:连结 OO1,记 AB 与 OO1 的交点为 C,如图所示,在 Rt△OO1A 中,OA= 5,O1A=2 5,∴OO1=5,

4

∴AC= 答案:4

5?2 5 =2,∴AB=4. 5

3.已知圆心为 C 的圆,满足下列条件:圆心 C 位于 x 轴正半轴上,与直线 3x-4y+7 =0 相切,且被 y 轴截得的弦长为 2 3,圆 C 的面积小于 13. (1)求圆 C 的标准方程; (2)设过点 M(0,3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A,B,以 OA,OB 为邻边作*行四边 形 OADB.是否存在这样的直线 l,使得直线 OD 与 MC 恰好*行?如果存在,求出 l 的方程; 如果不存在,请说明理由. 解:(1)设圆 C:(x-a) +y =r (a>0),
2 2 2

?|3a+7|=r, ? 2 2 由题意知? 3 +4 ? ? a2+3=r,
2

13 解得 a=1 或 a= , 8

又 S=π r <13,∴a=1,r=2, ∴圆 C 的标准方程为(x-1) +y =4. (2)当斜率不存在时,直线 l 为 x=0,不满足题意. 当斜率存在时,设直线 l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 又 l 与圆 C 相交于不同的两点,联立得? 消去 y 得(1+k )x +(6k-2)x+6=0, ∴Δ =(6k-2) -24(1+k )=12k -24k-20>0, 2 6 2 6 解得 k<1- 或 k>1+ . 3 3
2 2 2 2 2 2 2

? ?y=kx+3, ??x-1? +y =4, ?
2 2

x1+x2=-

6k-2 2k+6 2 ,y1+y2=k(x1+x2)+6= 2, 1+k 1+ k

???? ??? ? ??? ? ???? ? OD = OA + OB =(x1+x2,y1+y2), MC =(1,-3), ???? ???? ? 假设 OD ∥ MC ,则-3(x1+x2)=y1+y2,
6k-2 2k+6 ∴3? 2= 2, 1+k 1+k 3 ? 2 6? ? 2 6 ? 解得 k= ??-∞,1- ?∪?1+ ,+∞?,假设不成立, 4 ? 3 ? ? 3 ? ∴不存在这样的直线 l.

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