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江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上学期期末考试数学试题

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绝密★启用前 苏北四市 2015-2016 学年度高三年级第一次模拟考试 数学 I 参考答案及评分标准 一、填空题 1. 2; 7. 2. 2i ; 8. 3.75; 9.26; 13.4; 4.9; 10. 4; 14. 5. ? ; 3 6. 2 ; 3 3 ; 5 24 ; 5 11. [ 6 - 1, 6+1] ; 12. ?2 ? , +? ; 二、解答题 ? ? 1 2? . 2 15. (1)在锐角三角形 ABC 中,由 sin A ? 所以 tan A ? 3 4 ,得 cos A ? 1 ? sin 2 A ? , …………2 分 5 5 sin A 3 ? .……………………………………………………………4 分 cos A 4 tan A ? tan B 1 由 tan( A ? B) ? ………………7 分 ? ? ,得 tan B ? 2 . 1 ? tan A ? tan B 2 2 5 5 (2)在锐角三角形 ABC 中,由 tan B ? 2 ,得 sin B ? , cos B ? ,……9 分 5 5 11 5 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ,…………………11 分 25 b sin C 11 b c 由正弦定理 ,得 c ? ………………14 分 ? . ? sin B 2 sin B sin C 16.(1) 连接 BD 与 AC 相交于点 O,连结 OE.………2 分 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 中点. 因为 E 为棱 PD 中点,所以 PB∥OE.………4 分 因为 PB ? *面 EAC,OE? *面 EAC, 所以直线 PB∥*面 EAC.……………………6 分 (2) 因为 PA⊥*面 PDC,CD? *面 PDC,所以 PA⊥CD. …………………8 分 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AD⊥CD.…………………………………10 分 因为 PA∩AD=A,PA,AD? *面 PAD,所以 CD⊥*面 PAD.…………12 分 因为 CD? *面 ABCD,所以 *面 PAD⊥*面 ABCD. 17. (1)在如图所示的直角坐标系中, 因为曲线 C 的方程为 y =x + 所以点 P 坐标为 ? x, x ? …………………14 分 A P E D C O B 4 2 ?1 ≤ x ≤ 9 ? ,PM ? x x2 ? ? ? 4 2? ?, x2 ? ? 直线 OB 的方程为 x ? y ? 0 , ……………………………………………………2 分 ? 4 2? 4 2 x ??x ? 2 ? x x2 4 ? ? 则点 P 到直线 x ? y ? 0 的距离为 ? ? 2 ,………………4 分 x 2 2 又 PM 的造价为 5 万元/百米,PN 的造价为 40 万元/百米. 则两条道路总造价为 f ( x) ? 5 x ? 40 ? 4 32 ? ? ? 5 ? x ? 2 ? ?1 ≤ x ≤ 9 ? . …………8 分 2 x x ? ? (2) 因为 f ( x) ? 5 x ? 40 ? 4 32 ? ? ? 5? x ? 2 ? , 2 x x ? ? ………………………10 分 3 ? 64 ? 5( x ? 64) 所以 f ?( x)=5 ?1 ? 3 ? ? , x ? x3 ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 4 ,列表如下: x f ?( x) f ( x) ( 1, 4 ) 4 0 ( 4,9 ) ? 单调递减 ? 单调递增 极小值 32 ? ? 所以当 x ? 4 时,函数 f ( x) 有最小值,最小值为 f ? 4 ? ? 5 ? 4 ? 2 ? ? 30 .……13 4 ? ? 分 32 ? ? 答: (1)两条道路 PM ,PN 总造价 f ( x) 为 f ( x) ? 5 ? x ? 2 ? ?1≤ x ≤ 9? ; x ? ? (2)当 x ? 4 时,总造价最低,最低造价为 30 万元. 分 ……………………14 32 ? ? ? x x 32 ? (注:利用三次均值不等式 f ( x) ? 5 ? x ? 2 ? ? 5 ? ? ? 2 ? ≥ 5 ? 3 3 8 ? 30 , x ? ? ?2 2 x ? x x 32 ) ? ? ,即 x ? 4 时等号成立,照样给分. 2 2 x2 2 18.(1)令 n ? 1 ,得 a2 ? . 1+ ? 当且仅当 令 n ? 2 ,得 a2 S3 ? a3 S2 + a2 ? a3 ? ? a2 a3,所以 a3 ? 2? + 4 .………… 2 ? ? + 1?? 2? + 1? 分 2? + 4 ? 2 ? 2 由 a2 ,因为 ? ? 0 ,所以 ? ? 1 .………4 分 ? a1a3 ,得 ? ? ? ? 1 + ? ? ? ? + 1?? 2? + 1? (2)当 ? ? 所以 2 1 1 时, an Sn?1 ? an?1Sn + an ? an?1 ? an an?1 , 2 2 Sn ?1 Sn S + 1 Sn + 1 1 1 1 1 ? + ? ? ,即 n ?1 ? ? ,………………………6 分 an ?1 an ?1 an ?1 an 2 an ?1 an 2 ? S + 1? 1 所以数列 ? n ? 是以 2 为首项,公差为 的等差数列, 2 ? an ? 所以 Sn + 1 1 ? 2 + ? n ? 1? ? , ……………………………………………………8 分 an 2 ?n 3? 即 S n + 1 ? ? + ? an ,① ? 2 2? ?n 3? 当 n ≥ 2 时, Sn ?1 + 1 ? ? + ?



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