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2015(秋)九年级数学上册(人教版)课件专题训练(七)圆中常见辅助线归类_图文

专题训练(七) 圆中常见辅助线归类

类型之一 遇弦加弦心距或半径
1.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 P,若 CD=8, OP=3,则⊙O 的半径为( ) C A.10 B.8 C.5 D.3 2.如图所示,⊙O 的半径是 3,点 P 是弦 AB 延长线上的一点,连 接 OP,若 OP=4,∠APO=30°,则弦 AB 的长是( A ) A.2 5 B. 5 C.2 13 D. 13

第1题图

第2题图

类型之一 遇弦加弦心距或半径
3.如图所示,在半径为 5 的⊙O 中,AB,CD 是互相垂直的两条弦, 垂足为 P,且 AB=CD=8,则 OP 的长为( C ) A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 4.如图所示,AB 是⊙O 的弦,OH⊥AB 于点 H,点 P 是优弧上一 60° . 点,若 AB=2 3,OH=1,则∠APB 的度数是______

第3题图

第4题图

类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
5.如图所示,已知: AB是⊙O的直径 ,点C,D在⊙O上,∠ABC=

50°,则∠D为(

C ) A.50° B.45° C.40° D.30° 6 .如图所示 , 点 A , B , C , D 分别是⊙ O 上四点 , ∠ ABD = 20° ,

BD是直径,则∠ACB=______ 70° .

第5题图

第6题图

第7题图

7.如图所示 ,△ABC中,BC=3 ,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若 D是AC的中点,∠ABC=120°.

(1)求∠ACB的大小;

(2)求点A到直线BC的距离.

类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
解:(1)连接BD,∵以BC为直径的⊙O交AC于点D, ∴∠BDC=90°.∵D是AC的中点,∴BD是AC的垂直平分线. ∴AB=BC,∴∠A=∠C.∵∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°, 即∠ACB=30°

(2)过点 A 作 AE⊥BC 交 CB 的延长线于点 E,∵BC=3, 3 ∠ACB=30°,∠BDC=90°,∴BD= .在 Rt△BCD 中, 2 3 3 由勾股定理可得 CD= BC -BD = .∵AD=CD,∴AC=3 3. 2
2 2

1 1 3 3 ∵在 Rt△AEC 中,∠ACE=30°,∴AE= AC= ×3 3= , 2 2 2 3 3 即点 A 到直线 BC 的距离为 2

类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
8.如图所示,在△ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O分别交 BC,AC于点D,E,且点D为BC的中点. (1)求证:△ABC为等边三角形; (2)求DE的长; 请求出PB的长;若不存在,请说明理由.

(3)在线段AB的延长线上是否存在一点 P,使△PBD≌△AED?若存在,

解:(1)证明:连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°. ∵点D是BC的中点,∴AD是线段BC的垂直平分线,∴AB=AC. ∵AB=BC,∴AB=BC=AC.∴△ABC为等边三角形

类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
(2)连接 BE.∵AB 是直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC. ∵△ABC 是等边三角形,∴AE=EC,即 E 为 AC 的中点. ∵D 是 BC 的中点, 1 1 故 DE 为△ABC 的中位线,∴DE= AB= ×2=1 2 2

(3)存在点P使△PBD≌△AED.由(1)(2)知,BD=ED, ∵ ∠ BAC = 60° , DE∥AB , ∴ ∠ AED = 120°.∵∠ABC = 60° , ∴∠PBD=120°,∴∠PBD=∠AED.要使△PBD≌△AED, 只需PB=AE=1

类型之三 遇切线添加过切点的半径

9.如图所示,已知 MN 是⊙O 的直径,直线 PQ 与⊙O 相切于 P 点, NP 平分∠MNQ. (1)求证:NQ⊥PQ; (2)若⊙O 的半径 R=3,NP=3 3,求 NQ 的长. 解:(1)证明:连接OP.∵直线PQ与⊙O相切于P点,MN

是 ⊙ O 的 直 径 , ∴ OP⊥PQ. 又 ∵ NP 平 分 ∠ MNQ ,
∴∠ MNP =∠ QNP , 又 ∠ OPN =∠ MNP =∠ QNP , ∴OP∥NQ,∴NQ⊥PQ
(2)连接 MP,在 Rt△MNP 中,∵MN=2R=6,NP=3 3, ∴MP= MN2-PN2=3,则∠MNP=30°,∴∠QNP=30°. 3 3 9 2 2 ∴PQ= .故 NQ= PN -PQ = 2 2

类型之三 遇切线添加过切点的半径
10.已知直线l与⊙O相切,AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D.

(1)如图①, 当直线l与⊙ O相切于点C时,若∠DAC =30°,求∠BAC
的大小; (2) 如图② , 当直线 l 与⊙ O 相交于点 E , F 时 , 若∠ DAE = 18° , 求

∠BAF的大小.

类型之三 遇切线添加过切点的半径
解:(1)连接OC,∵直线l与⊙O相切于点C时,∴OC⊥l,

得∠OCD=90°.由AD ⊥l,得∠ADC=90°.∴AD∥OC,
∴ ∠ ACO = ∠ DAC. 在 ⊙ O 中 , 由 OA = OC , 得 ∠ BAC = ∠ ACO , ∴∠BAC=∠DAC=30° (2)连接BF.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角,∠DAE=18°,∴∠AEF

=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°.在⊙O中,
四边形ABFE是圆内接四边形,有∠AEF+∠B=180°, ∴∠B=180°-108°=72°.由AB是⊙O的直径,

得∠AFB=90°.∴∠BAF=90°-∠B=18°

类型之四 添加辅助线计算阴影面积
11.如图所示,以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两个 2π ︵ 端点, 交直角边 AC 于点 E, B, E 是半圆弧的三等分点, BE的长为 , 3 则图中阴影部分的面积为( D ) 3π 3 3 3π 3 3 2π A. B. C. - D. - 9 9 2 2 2 3 12.如图所示,AB 是⊙O 的直径,弦 AC=2,∠ABC=30°,则图 4π-3 3 中阴影部分的面积是_____________. 3

π

第11题图

第12题图

类型之四 添加辅助线计算阴影面积
13.如图所示,点 B,C,D 都在⊙O 上,过点 C 作 AC∥BD 交 OB 延长线于点 A,连接 CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=6 3cm. (1)求证:AC 是⊙O 的切线; ︵ 所围成的阴影部分的面积(结果保留π). (2)求由弦 CD,BD 与BC
解:(1)证明:连接CO,交DB于E,

∴∠O=2∠D=60°.又∵∠OBE=30°,
∴∠BEO=180°-60°-30°=90°. ∵AC∥BD,∴∠ACO=∠BEO=90°,

∴AC是⊙O的切线

类型之四 添加辅助线计算阴影面积
1 (2)∵OE⊥DB,∴EB= DB=3 3.在 Rt△EOB 中,∵EB=3 3, 2 由勾股定理可得 OB=6.又∵∠D=∠DBO, DE=BE, ∠CED=∠OEB, ∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE=S△OBE. 60 ∴S 阴影=S 扇形 OCB= π·62=6π(cm2) 360




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