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2-8 Higher-order Derivatives

发布时间:

2.8

Higher-order Derivatives

1

Find Higher-order Derivatives Directly
Example

If f ( x ) ? arctan x, findf ??(0), f ???(0).
1 1 ? x2
f ??( x ) ? (

Solution f ?( x ) ?

? 2x 1 ? ) ? 2 1? x (1 ? x 2 ) 2

2( 3 x ? 1) ? 2x ? ? ? ? f ( x) ? ( ) ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x 2 ) 3
2

? 2x ? ? ? f ( 0) ? (1 ? x 2 ) 2

x?0

2( 3 x 2 ? 1) ? 0; f ???(0) ? (1 ? x 2 ) 3

x?0

? ?2.

Example

If y ? x (? ? R), find y .
?
( n)

? ?1 ? y ? ? x Solution

y?? ? (?x ? ?1 )? ? ?(? ? 1) x ? ? 2 y??? ? (?(? ? 1) x ? ? 2 )? ? ?(? ? 1)(? ? 2) x ? ? 3

??
y ( n) ? ?(? ? 1)?(? ? n ? 1) x ? ? n
If ? is a positive integer n, then

(n ? 1)

y

( n)

? ( x ) ? n! ,
n ( n)

y ( n ?1) ? ( n! )? ? 0.

If y ? sin x, find y( n) . ? Solution y ? ? cos x ? sin( x ? ) 2 ? ? ? ? y ?? ? cos( x ? ) ? sin( x ? ? ) ? sin( x ? 2 ? ) 2 2 2 2 ? y ??? ? cos( x ? 2 ? ) ? sin( x ? 3 ? ? ) 2 2 ?? ? (n) y ? sin( x ? n ? ) 2 ? (n) Similarly, (cos x ) ? cos( x ? n ? ) 2

Example

Example

If y ? e ax sin bx (a, b are constants), find y( n) .

Solution

y? ? ae ax sin bx ? be ax cos bx ? e ax (a sin bx ? b cos bx)
b ? e ? a ? b sin(bx ? ? ) (? ? arctan ) a
ax 2 2

y ?? ? a 2 ? b 2 ? [ae ax sin( bx ? ? ) ? be ax cos( bx ? ? )] ? a 2 ? b 2 ? e ax ? a 2 ? b 2 sin( bx ? 2? )

??
y
( n) 2

? (a ? b ) ? e sin(bx ? n? )
ax

n 2 2

b (? ? arctan ) a

The Rules for Higher-order Derivatives Suppose u and v are two functions which have the nth order derivatives, then
(1) (u ? v )
( n)

?u

( n)

?v

( n)

(2) (Cu)( n) ? Cu( n)

( 3) ( u ? v )

(n)

? u v ? nu
(n)

( n ?1 )

n( n ? 1) ( n? 2 ) v? ? u v ?? 2!

n( n ? 1) ? ( n ? k ? 1) ( n? k ) ( k ) (n) ? u v ? ? ? uv k! ? ?C u
k ?0 k n n ( n? k )

v

(k )

Leibniz’s Rule

Example

If y ? x 2e 2 x , find y(20) .
Let u ? e 2 x , v ? x 2 , then by Leibniz's rule

Solution

y ( 20 ) ? (e 2 x )( 20 ) ? x 2 ? 20(e 2 x )(19 ) ? ( x 2 )? 20( 20 ? 1) 2 x (18 ) ? (e ) ? ( x 2 )?? ? 0 2! 20 2 x 2 19 2 x ? 2 e ? x ? 20 ? 2 e ? 2 x 20 ? 19 18 2 x ? 2 e ?2 2! ? 220 e 2 x ( x 2 ? 20 x ? 95)

Find Higher-order Derivatives Indirectly
(1) (a )
x ( n)

? a ? ln a (a ? 0)
x n

( e x )( n ) ? e x
(sin x )
(n)

( 2) (sin kx )

(n)

n? ? k sin( kx ? ) 2
n

( 3) (cos kx )

( n)

? ? k cos(kx ? n ? ) 2
n
n ?1

n? ? sin( x ? ) 2

(4) ( x ? )( n) ? ?(? ? 1)?(? ? n ? 1) x ? ? n ( ) ( n ) ? ( ?1) n

(5) (ln x )

(n)

? ( ?1)

( n ? 1)! xn

1 x

n! x n?1

Example

If y ?

1 , find y(5) . x ?1
2

1 (n) n n! ( ) ? ( ?1) n ? 1 x x

1 1 1 1 ? ( ? ) Solution ? y ? 2 x ?1 2 x ?1 x ?1
?y
(5)

1 ? 5! ? 5! ? [ ? ] 6 6 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 1 1 ? 60[ ? ] 6 6 ( x ? 1) ( x ? 1)

1 y? 2 , find y( n ) . x ? 3x ? 2
1 1 1 y? 2 ? ? x ? 3x ? 2 x ? 2 x ?1

1 (n) n n! ( ) ? ( ?1) n ? 1 x x

y

( n)

n! n! n ? ( ?1) n?1 ? ( ?1) ( x ? 2) ( x ? 1)n?1
n

? ? 1 1 ? (?1) n! ? ? n?1 n?1 ? ( x ? 2 ) ( x ? 1 ) ? ?
n

How to find the 6 6 ( n) nth-order derivative y ? sin x ? cos x, find y . Example 2 3 sin 2 x cos x? of 2 3 2 3 Solution y ? (sin x ) ? (cos x )
? (sin x ? cos x )(sin x ? sin x cos x ? cos x )
2 2 4 2 2 4

? (sin2 x ? cos2 x )2 ? 3 sin2 x cos2 x
3 2 3 1 ? cos 4 x ? 1 ? sin 2 x? 1 ? ? 4 4 2 5 3 ? ? cos 4 x 8 8 3 n ? ( n) ? y ? ? 4 ? cos(4 x ? n ? ). 8 2

Example
Solution

y ? ( x ? 2)(2 x ? 3)2 (3 x ? 4)3 , find y(6) .

Since y is a 6 degree polynomial, let

y ? x( 2 x ) ( 3 x ) ? p5 ( x )
2 3

? 108 x 6 ? p5 ( x )

Here p5 ( x) is a n-degree polynomial
y( 6) ? 108 ? 6!.

dx 1 Example: Show the following formulas using ? dy y ? d2x y ?? d 3 x 3( y??)2 ? y?y??? 1、 2 ? ? ;2、 3 ? . 5 3 dy ( y? ) dy ( y ?)
dx 1 Tip:Notice is in terms of x , ? dy y ? 2
And is the derivative of respect to y ,
d x dy 2
dx dy

with

Using Chain Rule d 1 dx d2x d 1 ( )? ? ( ) ? 2 dx y? dy dy dy y?

d2x d 1 ? ( ) 2 dy dy y?
1 ? (? )? 2 ( y? )

dx d 1 ? ( ) ? dx y? dy

1 y?? y?? ? ?? y? ( y ? )3

y?? d (? ) ?? 3 dx d y 3 ? d x (y ) ? (? ) ? ? 3 dy dx ( y? ) dy 3 dy

y??? ? ( y?)3 ? y?? ? 3( y?)2 ? y?? 1 3( y?? ) 2 ? y?y??? ? ? ?? 6 ( y? )5 y? ( y? )

Exercise
If g?( x ) is continuous, and f ( x ) ? ( x ? a) 2 g( x ), find f ??( a).

练 * 题
一、填空题: sin t 1 、设 y ? t 则y ?? =_________. e 2 、设 y ? tan x ,则y ?? =_________. y ?? =________. 3 、设 y ? (1 ? x 2 ) arctan x ,则 x2 4 、设 y ? xe ,则y ?? =_________. 2 y ?? =_________. 5 、设 y ? f ( x ) , f ??( x ) 存在,则 6 6 、设 f ( x ) ? ( x ? 10) ,则 f ???( 2) =_________. n n ?1 n? 2 7 、设 x ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n ?1 x ? a n (n) (a 1 , a 2 , ? , a n 都是常数),则y =___________. f ( x ) ? x ( x ? 1)( x ? 2 ) ? ( x ? n ) 8、设 , ( n?1) ( x ) =____________. 则f

二、求下列函数的二阶导数: 2x3 ? x ? 4 1、 y ? ; x 2 2、 y ? cos x ln x ; 3、 y ? ln( x ? 1 ? x 2 ) . dx 1 三、试从 ? ,导出: dy y ? d2x y ?? 1、 2 ? ? 3 ; ? dy (y ) d 3 x 3( y?? ) 2 ? y?y??? 2、 3 ? . 5 dy ( y? )
c1 四、验证函数 y ? c1 e ?x ? c 2 e ? ?x ? ( , 满足关系式 y ?? ? ? 2 y ? 0 .

,c 2 是常数)

五、下列函数的 n 阶导数: 1 、 y ? e x cos x ; 1? x 2、 y ? ; 1? x x3 3、 y ? 2 ; x ? 3x ? 2 4、 y ? sin x sin 2 x sin 3 x .

练*题答案
一、1、? 2e ? t cos t ; 2、2 sec 2 x tan x ;
2x x2 2 2 xe ( 3 ? 2 x ); 3、2 arctan x ? ; 4 、 2 1? x 5、2 f ?( x 2 ) ? 4 x 2 f ??( x 2 ) ; 6、207360; 7、n ! ; 8、( n ? 1)! . 5 3 ?2 ?3 4 ? x ? 8 x 二、1、 ; 4 2 sin 2 x cos 2 x ? 2、 ? 2 cos 2 x ? ln x ? ; 2 x x x 3、 3 . (1 ? x 2 ) 2

五、1 、 ( 2 ) e cos( x ? n ) ; 4 2 ? n! n 2 、 ( ?1) ; n?1 (1 ? x ) 8 1 n ? ], ( n ? 2) ; 3 、 ( ?1) n![ n?1 n?1 ( x ? 2) ( x ? 1) 1 n n? ) 4 、 [2 sin( 2 x ? 4 2 n? n? n n ) ? 6 sin( 6 x ? )] . + 4 sin( 4 x ? 2 2
n x

?




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