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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义教学案新人教A版选修

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
预习课本 P56~57,思考并完成下列问题 (1)复数的加法、减法如何进行?复数加法、减法的几何意义如何?
(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同?
[新知初探] 1.复数的加、减法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i, z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.复数加法运算律 设 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 3.复数加、减法的几何意义 设复数 z1,z2 对应的向量为―O―Z→1 ,―O―Z→2 ,则复数 z1+z2 是以―O―Z→1 ,―O―Z→2 为邻边的平 行四边形的对角线―O―Z→ 所对应的复数,z1-z2是连接向量―O―Z→1 与―O―Z→2 的终点并指向―O―Z→1 的向量所对应的复数. [点睛] 对复数加、减法几何意义的理解 它包含两个方面:一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处 理,另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
[小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应.( )
1

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.( )

(3)因为虚数不能比较大小,所以虚数的模也不能比较大小.( )

答案:(1)× (2)× (3)×

2.已知复数 z1=3+4i,z2=3-4i,则 z1+z2 等于( )

A.8i

B.6

C.6+8i

D.6-8i

答案:B 3.已知复数 z 满足 z+i-3=3-i,则 z 等于( )

A.0

B.2i

C.6

D.6-2i

答案:D

4.在复平面内,复数 1+i 与 1+3i 分别对应向量―O―A→和―O―B→,其中 O 为坐标原点,

则|――AB→|等于( )

A. 2

B.2

C. 10

D.4

答案:B

复数代数形式的加、减运算
[典例] (1)计算:(2-3i)+(-4+2i)=________. (2)已知 z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y 为实数,若 z1-z2 =5-3i,则|z1+z2|=________. [解析] (1)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i. (2)z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)] +[(y-2x )-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i, 所以?????5-x- 3x5+y= 4y5=,-3, 解得 x=1,y=0, 所以 z1=3-2i,z2=-2+i,则 z1+z2=1-i , 所以|z1+z2|= 2. [答案] (1)-2-i (2) 2
复数代数形式的加、减法运算技巧
2

(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之 后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实 部与实部、虚部与虚部分别相加减.
(3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到 右依次进行计算.

[活学活用]

已知复数 z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若 z1+z2 是纯虚数,则实数 a=________. 解 析 : 由 条 件 知 z1 + z2 = a2 - 2a - 3 + (a2 - 1)i , 又 z1 + z2 是 纯 虚 数 , 所 以

??a2-2a-3=0, ???a2-1≠0,

解得 a=3.

答案:3

复数加减运算的几何意义

[典例] 如图所示,平行四边形 OABC 的顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i,-2+4i.求:
(1) ―A―O→表示的复数 ; (2)对角线―C―A→表示的复数; (3)对角线―O―B→表示的复数. [解] (1)因为―A―O→=―-―O→A ,所以―A―O→表示的复数为-3-2i. (2)因为――CA→=――OA→-―-―O→C ,所以对角线―C―A→表示的复数为( 3+2i)-(-2+4i)= 5-2i. (3)因为对角线―O―B→=―O―A→+―O―C→,所以对角线――OB→表示的复数为(3+2i)+(-2 +4i)=1+6i.

复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
[活学活用] 复平面内三点 A,B,C,A 点对应的复数为 2+i,向量―B―A→对应的复数为 1+2i,向 量―B―C→对应的复数为 3-i,求点 C 对应的复数.

3

解:∵―B―A→对应的复数为 1+2i,――BC→对应的复数为 3-i. ∴―A―C→=――BC→-――BA→对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又∵―O―C→=―O―A→+―A―C→, ∴C 点对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.

复数模的最值问题

[典例] (1)如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )

A.1

B.12

C.2

D. 5

(2)若复数 z 满足|z+ 3+i|≤1,求|z|的最大值和最小值.

[解析] (1)设复数-i,i,-1-i 在复平面内对应的点分别为 Z1,Z2,Z3, 因为|z+i|+|z-i|=2, |Z1Z2|=2,所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2. 问题转化为:动点 Z 在线段 Z1Z2 上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A (2)解:如图所示, |――OM→|= (- 3)2+(-1)2=2. 所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
[一题多变] 1.[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z|=1 且 z∈C,求|z-2-2i|(i 为虚 数单位)的最小值. 解:因为|z|=1 且 z∈C,作图如图: 所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点 M 到复平面上的点 P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2 2-1.
4

2.[变条件]若题(2)中条件不变,求|z- 3|2+|z-2i|2 的最大值和最小值. 解:如图所示,在圆面上任取一点 P,与复数 zA= 3,zB=2i 对应点 A,B 相连,得向 量―P―A→,――PB→,再以――PA→,――PB→为邻边作平行四边形.

P 为圆面上任一点,zP=z, 则 2|―P―A→|2+2|――PB→|2=|――AB→|2+(2|―PO―′→|)2=7+4|―PO―′→|2,(平行四边形四条边

的平方和等于对角线的平方和),

所以|z- 3|2+|z-2i|2=12???7+4???z- 23-i???2???.

而???z- 23-i???max=|O′M|+1=1+ 243,

???z- 23-i???min=|O′M|-1=

43 2 -1.

所以|z- 3|2+|z-2i|2 的最大值为 27+2 43,最小值为 27-2 43.

层级一 学业水平达标

1.已知 z=11-20i,则 1-2i-z 等于( )

A.z-1

B.z+1

C.-10+18i

D.10-18i

解析:选 C 1-2i-z=1-2i-(11-20i)=-10+18i.

2.若复数 z 满足 z+(3-4i)=1,则 z 的虚部是( )

A.-2

B.4

C.3

D.-4

解析:选 B z=1-(3-4i)=-2+4i,故选 B.

3.已知 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 对应的点位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析:选 B z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零,虚部大于零,故位

于第二象限.

4.若 z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且 z1+z2 所对应的点在实轴上,则 a 的值为( )

5

A.3

B.2

C.1

D.-1

解析:选 D z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a )i.∵z1+z2 所对应的

点在实轴上,∴1+a=0,∴a=-1.

5.设向量―O―P→,―P―Q→,―O―Q→对应的复数分别为 z1,z2,z3,那么( )

A.z1+z2+z3=0

B.z1-z2-z3=0

C.z1-z2+z3=0

D.z1+z2-z3=0

解析:选 D ∵―O―P→+―P―Q→=―O―Q→,∴z1+z2=z3,即 z1+z2-z3=0.

6.已知 x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则 x=__________,y

=________ __. 解析:x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i

∴?????xx+ +4y= =y3- x-1, 1, 解得?????xy= =61, 1.

答案:6 11

7.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=________.

解析:|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|= 32+42

=5.

答案:5

8.已知 z1= 23a+(a+1)i,z2=-3 3b+(b+2)i(a,b∈R),若 z1-z2=4 3,则 a

+b=________.

解析:∵z1-z2= 23a+(a+1)i-[-3 3b+(b+2)i]=??? 23a+3 3b???+(a-b-1)i=

4 3,

?? 由复数相等的条件知?

23a+3

3b=4

3,

??a-b-1=0,

解得?????ab= =21, . ∴a+b=3. 答案:3 9.计算下列各式. (1)(3-2i)-(10-5i)+(2+17i); (2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2 015-2 016i).

6

解:(1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+20i.

(2)原式=(1-2+3-4+…+2 013-2 014+2 015)+(-2+3-4+5-…-2 014+2

015-2 016)i=1 008-1 009i. 10.设 z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且 z1+z2=5-6i,求 z1-z2. 解:∵z1=x+2i,z2=3-yi, ∴z1+z2=x+3+(2-y)i=5-6i,

∴?????x2+-3y==5-,6, 解得?????xy==28,, ∴z1=2+2i,z2=3-8i, ∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1 +10i.
层级二 应试能力达标 1.设 z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为( )

A.0

B.1

C.

2 2

D.12

解析:选 C 由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数 z 对应的点的轨迹是以(-1,0) 和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线 y=-x,而|z+i|表示直线 y=-x 上的点到

点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线

y=- x

的距离即为

2 2.

2.复平面内两点 Z1 和 Z2 分别对应于复数 3+4i 和 5-2i,那么向量―Z―1Z→2 对应的复数为 ()

A.3+4i

B.5-2i

C .-2+6i

D.2-6i

解析:选 D ―Z―1Z→2 =―O―Z→2 -―O―Z→1 ,即终点的复数减去起点的复数,∴(5-2i)-(3+

4i)=2-6i.

3.△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1,z2,z3,复数 z 满足|z-z1|=|z-z2|=

|z-z3|,则 z 对应的点是△ABC 的( )

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

解析:选 A 由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数 z 的对应点 P 到

△ABC 的顶点 A,B,C 距离相等,∴P 为△ABC 的外心.

4.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若向量――OA→,――OB→对应的复

数分别是 3+i,-1+3i,则―C―D→对应的复数是( )

7

A.2+4i

B.-2+4i

C.-4+2i

D.4-2i

解析:选 D 依题意有――CD→=――BA→=――OA→-――OB→.而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,

故―C―D→对应的复数为 4-2i,故选 D.

5.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,则 z=________.

解析:设 z=x+yi(x,y∈R),则|z|= x2+y2.

∴x+yi+ x2+y2=2+i.

∴??x+ x2+y2=2, ?y=1,

解得???x=34, ??y=1.

∴z=34+i.

3 答案:4+i 6.在复平面内,O 是原点,―O―A→,―O―C→,―A―B→对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+ 5i,那么―B―C→对应的复数为________. 解析:―B―C→=――OC→-――OB→=――OC→-(――OA→+――AB→)=3+2i-(-2+i+1+5i)=(3 +2-1)+(2-1-5)i=4-4i. 答案:4-4i 7.在复平面内,A,B,C 三点对应的复数分别为 1,2+i,-1+2i. (1)求向量―A―B→,―A―C→,―B―C→对应的复数; (2)判断△ABC 的形状. (3)求△ABC 的面积. 解:(1)――AB→对应的复数为 2+i-1=1+i, ―B―C→对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i, ―A―C→对应的复数为-1+2i-1=-2+2i. (2)∵|―A―B→|= 2,|――BC→|= 10,|―A―C→|= 8=2 2, ∴|――AB→|2+|―A―C→|2=|――BC→|2,∴△ ABC 为直角三角形. (3)S△ABC=12× 2×2 2=2.

8.设 z=a+bi(a,b∈R),且 4(a+bi)+2(a-bi)=3 3+i,又 ω =sin θ -icos θ ,
8

求 z 的值和|z-ω |的取值范围. 解:∵4(a+bi)+2(a-bi)=3 3+i,∴6a+2bi=3 3+i,

∴???26ba==13,3,

??a= 23, ∴???b=21.

∴z=

31 2 +2i,

∴z-ω =??? 23+12i???-(sin θ -icos θ ) =??? 23-sin θ ???+???12+cos θ ???i

∴|z-ω |=

???

3 2 -sin

θ

???2+???21+cos

θ

???2

= 2- 3sin θ +cos θ



2-2??? 23sin θ -12cos θ ???=

2-2sin???θ -π6 ???,

∵-1≤sin???θ -π6 ???≤1,

∴0≤2-2sin???θ -π6 ???≤4,∴0≤|z-ω |≤2,

故所求得 z= 23+12i,|z-ω |的取值范围是[0,2].

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