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2014年中考数学解析版试卷分类汇编专题10:反比例函数

反比例函数

一、选择题

1. 2014?福建泉 第 7 题 3 在同一 面直角坐标系中 函数 y=mx+m y= m≠0

的 象 能是

A

B

C

D

考点 比例函数的 象 一次函数的 象 析 先根据一次函数的性质判断出 m 取值 再根据 比例函数的性质判断出 m 的取值 二者一 的即 确答案
解答 解 A、由函数 y=mx+m 的 象 知 m 0 由函数 y= 的 象 知 m 0 故本选项
确 B、由函数 y=mx+m 的 象 知 m 0 由函数 y= 的 象 知 m 0 相矛盾 故本
选项错误 C、由函数 y=mx+m 的 象 y 随 x 的增大而减小 则 m 0 而该直线 y 轴交于 半 轴 则 m 0 相矛盾 故本选项错误 D、由函数 y=mx+m 的 象 y 随 x 的增大而增大 则 m 0 而该直线 y 轴交于负半 轴 则 m 0 相矛盾 故本选项错误 故选 A 点评 本题 要考查了 比例函数的 象性质和一次函数的 象性质 要掌握它们的性质才 能灵活解题

2. 2014?广西贺 第 10 题 3 已知二次函数 y=ax2+bx+c a b c 是常数

的 象如 所示 则一次函数 y=cx+

比例函数 y= 在同一坐标系内的大

a≠0 象是

A

B

C

D

考点 二次函数的 象 一次函数的 象 比例函数的 象

析 先根据二次函数的 象得到 a 0 b 0 c 0 再根据一次函数 象 系数的关系和

比例函数 象 系数的关系判断它们的 置

解答 解

物线开口向

a0

物线的对 轴 直线 x=﹣ 0

b0 物线 y 轴的交点在 x 轴 方
c0 一次函数 y=cx+ 的 象过第二、 、四象限

比例函数 y=

在第二、四

象限

故选 B 点评 本题考查了二次函数的 象 二次函数 y=ax2+bx+c a、b、c 常数 a≠0 的 象

物线 当 a 0 物线开口向 当 a 0 物线开口向 对 轴 直线 x=



y 轴的交点坐标 0 c 也考查了一次函数 象和 比例函数的 象

3 (2014 天津 第 9 题 3 )已知 比例函数 y= 当 1 x 2 时 y 的取值范围是

A 0 y 5B 1 y 2

C 5 y 10 D y 10

考点 析
解答

比例函数的性质

将 x=1 和 x=2

入 比例函数即 确定函数值的取值范围



比例函数 y= 中当 x=1 时 y=10 当 x=2 时 y=5

当 1 x 2 时 y 的取值范围是 5 y 10 故选 C 点评 本题考查了 比例函数的性质 1

比例函数 y= k≠0 的 象是 曲线 2

当k 0 当k 0

曲线的两支 曲线的两支

于第一、第 象限 在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 3 于第二、第四象限 在每一象限内 y 随 x 的增大而增大

4 2014?新疆 第 11 题 5 若点 A 1 y1 和点 B 2 y2 在 比例函数 y= 象

则 y1 y2 的大小关系是 y1

y2 填“ ”、“ ”或“=”

考点 比例函数 象 点的坐标特征 析 直接把点 A 1 y1 和点 B 2 y2

入 比例函数 y= 求出点 y1 y2 的值 再比

较出 大小即 解答 解 点 A 1 y1 和点 B 2 y2 在 比例函数 y= 的 象

y1= =1 y2=

1

y1 y2 故答案 点评 本题考查的是 比例函数 象 点的坐标特点 熟知 比例函数 象 各点的坐标一 定适合 函数的解析式是解答 题的关键

5 2014?温 第 10 题 4 如 矩形 ABCD 的顶点 A 在第一象限 AB∥x 轴 AD∥y 轴 对角线的交点 原点 O 重合 在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变 过程中 若矩形

ABCD 的周长始终保持 变 则经过 点 A 的 比例函数 y= k≠0 中 k 的值的变 情况 是

A 一直增大

B 一直减小

C 先增大后减小 D 先减小后增大

考点 比例函数 象 点的坐标特征 矩形的性质 析 设矩形 ABCD 中 AB=2a AD=2b 由于矩形 ABCD 的周长始终保持 变 则 a+b 定值 根据矩形对角线的交点 原点 O 重合及 比例函数比例系数 k 的 何意 知 k= AB? AD=ab 再根据 a+b 一定时 当 a=b 时 ab 最大 知在边 AB 从小于 AD 到
大于 AD 的变 过程中 k 的值先增大后减小 解答 解 设矩形 ABCD 中 AB=2a AD=2b
矩形 ABCD 的周长始终保持 变 2 2a+2b =4 a+b 定值 a+b 定值 矩形对角线的交点 原点 O 重合 k= AB? AD=ab
又 a+b 定值时 当 a=b 时 ab 最大 在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变 过程中 k 的值先增大后减小
故选 C 点评 本题考查了矩形的性质 比例函数比例系数 k 的 何意 及 等式的性质 有一定
难度 根据题意得出 k= AB? AD=ab 是解题的关键

6 2014?四 自贡 第 9 题 4 的 象大 是

关于 x 的函数 y=k x+1 和 y= k≠0 在同一坐标系中

A

B

C

D

考点 比例函数的 象 一次函数的 象 析 根据 比例函数的比例系数 得经过的象限 一次函数的比例系数和常数项 得一次 函数 象经过的象限
解答 解 若 k 0 时 比例函数 象经过一 象限 一次函数 象经过一二 象限 所 给各选项没有 种 形 若 k 0 时 比例函数经过二四象限 一次函数经过二 四象限 D 答案符合 故选 D
点评 考查 比例函数和一次函数 象的性质 若 比例函数的比例系数大于 0 象过一 象限 若小于 0 则过二四象限 若一次函数的比例系数大于 0 常数项大于 0
象过一二 象限 若一次函数的比例系数小于 0 常数项小于 0 象过二 四象限

关于 x 的函数 y=k x+1 和 y= k≠0 在同一坐标系中的 象大 是

A

B

C

D

考点 比例函数的 象 一次函数的 象 析 根据 比例函数的比例系数 得经过的象限 一次函数的比例系数和常数项 得一次 函数 象经过的象限
解答 解 若 k 0 时 比例函数 象经过一 象限 一次函数 象经过一二 象限 所 给各选项没有 种 形 若 k 0 时 比例函数经过二四象限 一次函数经过二 四象限 D 答案符合 故选 D
点评 考查 比例函数和一次函数 象的性质 若 比例函数的比例系数大于 0 象过一 象限 若小于 0 则过二四象限 若一次函数的比例系数大于 0 常数项大于 0

象过一二 象限 若一次函数的比例系数小于 0 常数项小于 0 象过二 四象限

7. 2014·云南昆明 第 8 题 3

左 是 比例函数 y = k (k 常数 k ≠ 0) 的 像 x

y y=k

y

x

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

则一次函数 y = kx ? k 的 像大 是

考点 比例函数的 象 一次函数的 象
析 根据 比例函数的 象 知 k > 0 结合一次函数的 象性质进行判断即 解答 解 根据 比例函数的 象经过一、 象限 知 k > 0 由一次函数 y = kx ? k

知 k > 0 时 象从左 右呈 升趋势 (0,?k) 是 象 y 轴的交点 ? k < 0 所 交点在 y 轴负半轴 .
故选 B 点评 本题考查了 比例函数的 象性质和一次函数函数的 象性质 要掌握它们的性质才
能灵活解题

8. 2014?湘潭 第 8 题 3 如 作垂线段 已知 S 影=1 则 S1+S2=

A、B 两点在 曲线 y=

经过 A、B 两点向轴

第1题 A3

B4

C5

D6

考点 比例函数系数 k 的 何意

析 欲求 S1+S2 只要求出过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段求出 坐标轴所形成的矩形

的面 即 而矩形面

曲线 y=的系数 k 由 即 求出 S1+S2

解答 解 点 A、B 是 曲线 y= 的点

经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段

则根据 比例函数的 象的性质得两个矩形的面 都等于|k|=4

S1+S2=4+4﹣1×2=6 故选 D

点评 本题 要考查了 比例函数的 象和性质及任一点坐标的意 有一定的难度

9. 2014?益 第 6 题 4

比例函数 y=6x 的 象 比例函数 y= 的 象的交点



A 第一象限

B 第二象限

C 第 象限

D 第一、 象限

考点 比例函数 一次函数的交点问题

析 根据 比例函数 一次函数的交点问题解方程

即 得到两函数的交点坐标

然后根据交点坐标进行判断

解答 解 解方程

得或

所 比例函数 y=6x 的 象 比例函数 y= 的 象的交点坐标 1 6 ﹣1

﹣6

故选 D

点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 比例函数 一次函数 象的交点坐

标满足两函数解析式

10. 2014?株洲 第 4 题 3 已知 比例函数 y=的 象经过点 2 3 那 列四个

点中 也在这个函数 象 的是

A ﹣6 1

B 16

C 2 ﹣3

D 3 ﹣2

考点 比例函数 象 点的坐标特征 析 先根据点 2 3 在 比例函数 y=的 象 求出 k 的值 再根据 k=xy 的特点对各选 项进行逐一判断

解答 解

比例函数 y=的 象经过点 2 3

k=2×3=6

A、 ﹣6 ×1=﹣6≠6

点 在 比例函数 象

B、 1×6=6

点在 比例函数 象

C、 2× ﹣3 =﹣6≠6

点 在 比例函数 象

D、 3× ﹣2 =﹣6≠6

点 在 比例函数 象

故选 B

点评 本题考查的是 比例函数 象 点的坐标特点 熟知 比例函数中 k=xy 的特点是解

答 题的关键

11. 2014?扬 第 3 题 3 若 比例函数 y= k≠0 的 象经过点 P ﹣2 3 则

该函数的 象

的点是

A 3 ﹣2

B 1 ﹣6

C ﹣1 6

D ﹣1 ﹣6

考点 比例函数 象 点的坐标特征

析 先把 P ﹣2 3 入 比例函数的解析式求出 k=﹣6 再把所给点的横纵坐标相乘

结果 是﹣6 的 该函数的 象就 经过 点

解答 解

比例函数 y= k≠0 的 象经过点 P ﹣2 3

k=﹣2×3=﹣6 只需把各点横纵坐标相乘 是﹣6 的 该函数的 象就 经过 点 四个选项中只有 D 符合 故选 D 点评 本题 要考查 比例函数 象 点的坐标特征 所有在 比例函数 的点的横纵坐标 的 等于比例系数

二.填空题 1. 2014?广西玉林 、 城港

第 18 题 3

如 OABC 是 行四边形 对角线 OB

在轴 半轴

于第一象限的点 A 和第二象限的点 C 在 曲线 y= 和 y= 的一支

过点 A、C 作 x 轴的垂线 垂足

M 和 N 则有 的结论

=

影部 面 是 k1+k2

当∠AOC=90°时 |k1|=|k2|

若 OABC 是菱形 则两 曲线既关于 x 轴对 也关于 y 轴对

中 确的结论是

把所有 确的结论的序号都填

考点 比例函数综合题 题 综合题 析 作 AE⊥y 轴于 E CF⊥y 轴于 F 根据 行四边形的性质得 S△AOB=S△COB 利用 角 形面 公式得到 AE=CF 则有 OM=ON 再利用 比例函数 k 的 何意 和 角形面

公式得到 S△AOM= |k1|= OM?AM S△CON= |k2|= ON?CN 所 有 =



S△AOM= |k1| S△CON= |k2| 得到 S 影部 =S△AOM+S△CON= |k1|+|k2| = k1﹣k2 当
∠AOC=90° 得到四边形 OABC 是矩形 由于 能确定 OA OC 相等 则 能判断 △AOM≌△CNO 所 能判断 AM=CN 则 能确定|k1|=|k2| 若 OABC 是菱形 根 据菱形的性质得 OA=OC 判断 Rt△AOM≌Rt△CNO 则 AM=CN 所 |k1|=|k2| 即 k1=﹣k2 根据 比例函数的性质得两 曲线既关于 x 轴对 也关于 y 轴对 解答 解 作 AE⊥y 轴于 E CF⊥y 轴于 F 如
四边形 OABC 是 行四边形 S△AOB=S△COB AE=CF OM=ON S△AOM= |k1|= OM?AM S△CON= |k2|= ON?CN

=





S△AOM= |k1| S△CON= |k2|

S 影部 =S△AOM+S△CON= |k1|+|k2|

而 k1 0 k2 0 S 影部 = k1﹣k2 所

错误

当∠AOC=90° 四边形 OABC 是矩形 能确定 OA OC 相等
而 OM=ON 能判断△AOM≌△CNO 能判断 AM=CN 能确定|k1|=|k2| 所 错误
若 OABC 是菱形 则 OA=OC 而 OM=ON
Rt△AOM≌Rt△CNO

AM=CN

|k1|=|k2|

k1=﹣k2

两 曲线既关于 x 轴对 也关于 y 轴对 所



故答案

点评 本题考查了 比例函数的综合题 熟 掌握 比例函数的 象、 比例函数 k 的 何 意 、 行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质

2 (2014 天津 第 14 题 3 )已知 比例函数 y= k 常数 k≠0 的 象 于第一、 第 象限 写出一个符合条件的 k 的值 1

考点 题 析

比例函数的性质 开放型
比例函数 y= k 常数 k≠0 的 象在第一

象限 则 k 0 符合 述条

件的 k 的一个值 是 1 数即 答案 唯一

解答 解

比例函数的 象在一、 象限

k0

只要是大于 0 的所有实数都

例如 1

故答案 1

点评

题 要考查 比例函数 象的性质 1 k 0 时

k 0 时 象是 于二、四象限

象是 于一、 象限 2

3. 2014? 汉 第 15 题 3 如 若 曲线 y= 边长 5 的等边△AOB 的边 OA AB 相交于 C D 两点 OC=3BD 则实数 k 的值

考点 析
解答

比例函数 象 点的坐标特征 等边 角形的性质 过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E 过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F 设 OC=3x 则 BD=x
表示出点 C、点 D 的坐标 入函数解析式求出 k 继而 建立方程 解出 x 的值后即 得出 k 的值 解 过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E 过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F 设 OC=3x 则 BD=x

在 Rt△OCE 中 ∠COE=60° 则 OE= x CE= x

则点 C 坐标

x

x

在 Rt△BDF 中 BD=x ∠DBF=60°

则 BF= x DF= x

则点 D 的坐标 5﹣ x x

将点 C 的坐标 入 比例函数解析式 得 k= x2

将点 D 的坐标 入 比例函数解析式 得 k= x﹣ x2

则 x2= x﹣ x2 解得 x1=1 x2=0 舍去 故 k= ×12=

故答案

点评

本题考查了 比例函数 象 点的坐标特征 解答本题关键是利用 k 的值相 同建立方程 有一定难度

4. 2014?邵 2
考点 析
解答

第 13 题 3 若 比例函数 的 象经过点 ﹣1 2 则 k 的值是 ﹣

定系数法求 比例函数解析式

因 ﹣1 2 在函数 象 k=xy 从而 确定 k 的值



象经过点 ﹣1 2

k=xy=﹣1×2=﹣2

点评

故答案 ﹣2 本题考查 定系数法求 比例函数解析式 关键知道 比例函数式 的形式 从而得解

5. 2014?孝感 第 17 题 3 如 Rt△AOB 的一条直角边 OB 在 x 轴 曲线 y= 经过斜边 OA 的中点 C 另一直角边交于点 D 若 S△OCD=9 则 S△OBD 的值 6

考点 比例函数系数 k 的 何意 析 过 曲线 任意一点 原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角 角 形面 S 是个定值 即 S= |k|
解答 解 如 过 C 点作 CE⊥x 轴 垂足 E Rt△OAB 中 ∠OAB=90° CE∥AB C Rt△OAB 斜边 OA 的中点 C CE Rt△OAB 的中 线 △OEC∽△OBA =
曲线的解析式是 y=
S△BOD=S△COE= k S△AOB=4S△COE=2k 由 S△AOB﹣S△BOD=S△OBC=2S△DOC=18 得 2k﹣ k=18 k=12 S△BOD=S△COE= k=6

故答案 6

点评 本题考查了 比函数 k 的 何意 过 象 的任意一点作 x 轴、y 轴的垂线 所得 角形的面 是 |k| 是经常考查的知识点 也体现了数形结合的思想

6 2014?浙江湖 第 15 题 4 如 已知在 Rt△OAC 中 O

坐标原点 直角顶点 C 在 x 轴的 半轴

比例函数 y= k≠0

在第一象限的 象经过 OA 的中点 B 交 AC 于点 D 连接 OD 若 △OCD∽△ACO 则直线 OA 的解析式
析 设 OC=a 根据点 D 在 比例函数 象 表示出 CD 再根据 相似 角形对 边成比例列式求出 AC 然后根据中点的定 表示出 点 B 的坐标 再根据点 B 在 比例函数 象 表示出 a、k 的关系 然后用 a 表示出点 B 的 坐标 再利用 定系数法求一次函数解析式解答

解 设 OC=a 点 D 在 y=

CD=

△OCD∽△ACO

=

AC= =

点A a

点 B 是 OA 的中点 点 B 的坐标

点 B 在 比例函数 象

= 解得 a2=2k 点 B 的坐标

a

设直线 OA 的解析式 y=mx 则 m? =a 解得 m=2 所 直线 OA 的解析式 y=2x
故答案 y=2x 点评 本题考查了相似 角形的性质 比例函数 象 点的坐标特征 用 OC 的长度表示 出点 B 的坐标是解题的关键 也是本题的难点

7. 2014 江苏南京 第 11 题 2 已知 比例函数 y= 的 象经过点 A ﹣2 3 则

当 x=﹣3 时 y= 考点 比例函数
析 先把点 A ﹣2 3

入 y= 求得 k 的值 然后将 x=﹣3 入 即 求出 y 的值

解答

比例函数 y= 的 象经过点 A ﹣2 3 k=﹣2×3=﹣6

比例函数解析式 y=﹣

当 x=﹣3 时 y=﹣ =2 故答案是 2

点评 本题考查了 比例函数 象 点的坐标特征 利用 定系数法求得 比例函数解 析式是解题的关键

8 2014?滨 第 17 题 4 如 菱形 OABC 的顶点 O 是原点 顶点 B 在 y 轴 菱

形的两条对角线的长 是 6 和 4 比例函数

的 象经过点 C 则 k 的值

﹣6

考点 题 析
解答
点评

比例函数 象 点的坐标特征 菱形的性质 探究型 先根据菱形的性质求出 C 点坐标 再把 C 点坐标 入 比例函数的解析式 即 得出 k 的值 解 菱形的两条对角线的长 是 6 和 4
C ﹣3 2 点 C 在 比例函数 y= 的 象

2=

解得 k=﹣6

故答案 ﹣6 本题考查的是 比例函数 象 点的坐标特点 即 比例函数 象 各点 的坐标一定适合 函数的解析式

9. 2014?菏泽 第 13 题 3 如 Rt△ABO 中 ∠AOB=90° 点 A 在第一象限、点 B 在

第四象限 AO BO=1

若点 A x0 y0 的坐标 x0 y0 满足 y0=

y 的坐标 x y 所满足的关系式 y=﹣ 2 x

则点 B x

考点 析
解答

比例函数 象 点的坐标特征 相似 角形的判定 性质

设点 B 在 比例函数 y= k 0

过点 A、B 作 AC BD 垂直

y 轴于点 C、D 由相似 角形的判定定理得出△AOC∽△OBD 再由相似

角形的性质得出△OBD 的面 进而 得出结论

解 设点 B 在 比例函数 y= k 0

过点 A、B 作 AC BD

垂直 y 轴于点 C、D

∠ACO=∠BDO=90° ∠AOC+∠BOD=90°

∠AOC+∠OAC=90°

∠OAC=∠BOD

△AOC∽△OBD

=

2=

2=

点 A x0 y0 的坐标 x0 y0 满足 y0=

S△AOC=

S△BOD=1

k=﹣2

点 B x y 的坐标 x y 所满足的关系式

故答案

y=﹣ 2 x

y=﹣ 2 x

点评

题考查了 比例函数 象 点的坐标特点 题难度适中 注意掌握

线的作法 注意掌握数形结合思想的 用

10. 2014?济宁 第 14 题 3 如 四边形 OABC 是矩形 ADEF 是 方形 点 A、D 在

x 轴的 半轴 点 C 在 y 轴的 半轴 点 F 在 AB 点 B、E 在 比例函数 y= 的

象 OA=1 OC=6 则 方形 ADEF 的边长 2

考点 比例函数 象 点的坐标特征 解一元二次方程 因式 解法 析 先确定 B 点坐标 1 6 根据 比例函数 象 点的坐标特征得到 k=6 则 比例 函数解析式 y= 设 AD=t 则 OD=1+t 所 E 点坐标 1+t t
再利用根据 比例函数 象 点的坐标特征得 1+t ?t=6 利用因式 解法 求出 t 的值 解答 解 OA=1 OB=6
B 点坐标 1 6 k=1×6=6
比例函数解析式 y=
设 AD=t 则 OD=1+t E 点坐标 1+t t 1+t ?t=6
整理 t2+t﹣6=0

解得 t1=﹣3 舍去 t2=2 方形 ADEF 的边长 2
故答案 2 点评 本题考查了 比例函数 象 点的坐标特征

比例函数 y= k 常数 k≠0 的

象是 曲线 象 的点 x y 的横纵坐标的 是定值 k 即 xy=k

.解答题

1. 2014?福建泉 第 26 题 14 如 直线 y=﹣x+3 比例函数的 象交于点 P 2 1 1 求该 比例函数的关系式 2 设 PC⊥y 轴于点 C 点 A 关于 y 轴的对 点 A′ 求△A′BC 的周长和 sin∠BA′C 的值

x y轴

对大于 1 的常数 m 求 x 轴 的点 M 的坐标 使得 sin∠BMC=

交于点 A B

考点 比例函数综合题 定系数法求 比例函数解析式 勾股定理 矩形的判定 性质 垂 定理 直线 圆的 置关系 锐角 角函数的定
题 压轴题 探究型 析 1 设 比例函数的关系式 y= 然后把点 P 的坐标 2 1 入即

2 先求出直线 y=﹣x+3 x、y 轴交点坐标 然后 用勾股定理即 求出△A′BC 的周长 过点 C 作 CD⊥AB 垂足 D 用面 法 求出 CD 长 从而求出 sin∠BA′C 的值

由于 BC=2 sin∠BMC= 因 点 M 在 BC

半 m 的⊙E 因而点

M 是⊙E x 轴的交点 然后对⊙E x 轴的 置关系进行讨论 只需 用矩形的 判定 性质、勾股定理等知识就 求出满足要求的点 M 的坐标

解答 解 1 设 比例函数的关系式 y=
点 P 2 1 在 比例函数 y= 的 象
k=2×1=2 比例函数的关系式 y=
2 过点 C 作 CD⊥AB 垂足 D 如 1 所示 当 x=0 时 y=0+3=3 则点 B 的坐标 0 3 OB=3 当 y=0 时 0=﹣x+3 解得 x=3 则点 A 的坐标 3 0 OA=3
点 A 关于 y 轴的对 点 A′ OA′=OA=3 PC⊥y 轴 点 P 2 1 OC=1 PC=2 BC=2 ∠AOB=90° OA′=OB=3 OC=1 A′B=3 A′C= △A′BC 的周长 3 + +2 S△ABC= BC?A′O= A′B?CD BC?A′O=A′B?CD 2×3=3 ×CD CD= CD⊥A′B sin∠BA′C=
=
=
△A′BC 的周长 3 + +2 sin∠BA′C 的值 当1 m 2时

作经过点 B、C 半 m 的⊙E 连接 CE 并延长 交⊙E 于点 P 连接 BP 过点 E 作 EG⊥OB 垂足 G 过点 E 作 EH⊥x 轴 垂足 H 如 2 所示
CP 是⊙E 的直 ∠PBC=90° sin∠BPC= = =
sin∠BMC=
∠BMC=∠BPC 点 M 在⊙E 点M在x轴 点 M 是⊙E x 轴的交点 EG⊥BC BG=GC=1 OG=2 ∠EHO=∠GOH=∠OGE=90° 四边形 OGEH 是矩形 EH=OG=2 EG=OH 1m2 EH EC ⊙E x 轴相离 x 轴 存在点 M 使得 sin∠BMC=
当 m=2 时 EH=EC ⊙E x 轴相
点在 x 轴的 半轴 时 如 2 所示 点 M 点 H 重合 EG⊥OG GC=1 EC=m EG=

=

OM=OH=EG=

点 M 的坐标

0

点在 x 轴的负半轴 时

同理 得 点 M 的坐标 ﹣ 0

当 m 2 时 EH EC

⊙E x 轴相交

交点在 x 轴的 半轴 时

设交点 M、M′ 连接 EM 如 2 所示

∠EHM=90° EM=m EH=2

MH=

=

= EH⊥MM′ MH=M′H M′H═ ∠EGC=90° GC=1 EC=m EG=

=

=

OH=EG=

OM=OH﹣MH=



OM′=OH+HM′=

+

M



0 、M′

+

0

交点在 x 轴的负半轴 时

同理 得 M ﹣

+

0 、M′ ﹣



0

综 所述 当 1 m 2 时 满足要求的点 M 存在

当 m=2 时 满足要求的点 M 的坐标

0和﹣

当 m 2 时 满足要求的点 M 的坐标



0 0、

+

0 、﹣

+

0 、﹣



0

点评 本题考查了用 定系数法求 比例函数的关系式、勾股定理、 角函数的定 、矩形

的判定 性质、直线 圆的 置关系、垂 定理等知识 考查了用面 法求 角形的

高 考查了通过构

圆解决问题 综合性比较强 难度系数比较大 由 BC=2

sin∠BMC= 联想到点 M 在 BC

半 m 的⊙E 是解决本题的关键

2. 2014?广东 第 23 题 9 如 已知 A ﹣4

B ﹣1 2 是一次函数 y=kx+b

比例函数 y= m≠0 m 0 象的两个交点 AC⊥x 轴于 C BD⊥y 轴于 D

1 根据 象直接回答 在第二象限内 当 x 取何值时 一次函数大于 比例函数的值 2 求一次函数解析式及 m 的值 3 P 是线段 AB 的一点 连接 PC PD 若△PCA 和△PDB 面 相等 求点 P 坐标

考点 比例函数 一次函数的交点问题

析 1 根据一次函数 象在 方的部 是 等式的解 观察 象

解答

2 根据 定系数法 得函数解析式 3 根据 角形面 相等 得答案 解 1 由 象得一次函数 象在 的部

﹣4 x ﹣1

当﹣4 x ﹣1 时 一次函数大于 比例函数的值 2 设一次函数的解析式 y=kx+b

y=kx+b 的 象过点 ﹣4

﹣1 2 则

得答案

解得
一次函数的解析式 y= x+ 比例函数 y= 象过点 ﹣1 2
m=﹣1×2=﹣2
3 连接 PC、PD 如 设 P x x+

由△PCA 和△PDB 面 相等得 x+4 = |﹣1|× 2﹣ x﹣
x=﹣ y= x+ = P 点坐标是 ﹣

点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 利用了函数 数法求解析式

等式的关系

定系

3. 2014?珠海 第 19 题 7 于 y 轴对 边在 AD 在 x 轴

如 在 面直角坐标系中 边长 2 的 方形 ABCD 关 点 B 在第四象限 直线 BD 比例函数 y= 的 象交于

点 B、E 1 求 比例函数及直线 BD 的解析式 2 求点 E 的坐标

考点 比例函数 一次函数的交点问题

析 1 根据 方形的边长 方形关于 y 轴对

得点 A、B、D 的坐标 根据 定

系数法 得函数解析式

2 根据两个函数解析式 的方程 根据解方程

得答案

解答 解 1 边长 2 的 方形 ABCD 关于 y 轴对 边在 AD 在 x 轴 点 B 在第四象

限 A 1 0 D ﹣1 0 B 1 ﹣2 比例函数 y= 的 象过点 B m=﹣2 比例函数解析式 y=﹣
设一次函数解析式 y=kx+b y=kx+b 的 象过 B、D 点 解得
直线 BD 的解析式 y=﹣x﹣1 2 直线 BD 比例函数 y= 的 象交于点 E
解得
B 1 ﹣2 E ﹣2 1 点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 利用 定系数法求解析式 利用方程 求交点坐标
4 (2014 四 资 第 20 题 8 )如 一次函数 y=kx+b k≠0 的 象过点 P ﹣ 0 比例函数 y= m≠0 的 象相交于点 A ﹣2 1 和点 B
1 求一次函数和 比例函数的解析式 2 求点 B 的坐标 并根据 象回答 当 x 在什 范围内取值时 一次函数的函数值小于 比例函数的函数值

考点

比例函数 一次函数的交点问题



1 根据 定系数法 得函数解析式

2 根据二元一次方程

得函数 象的交点 根据一次函数 象 于 比例函数 象

的 方 得答案

解答 解 1 一次函数 y=kx+b k≠0 的 象过点 P ﹣ 0 和 A ﹣2 1

解得
一次函数的解析式 y=﹣2x﹣3 比例函数 y= m≠0 的 象过点 A ﹣2 1
解得 m=﹣2 比例函数的解析式 y=﹣

2

解得



B

﹣4

由 象 知 当﹣2 x 0 或 x 时 一次函数的函数值小于 比例函数的函数值

点评 键

本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题

定系数法是求函数解析式的关

5 2014 云南省 第 17 题 6 将油箱注满 k 升油后 轿车科行驶的总路程 S 单

千米

均耗油量 a 单 升/千米 之间是 比例函数关系 S= k 是常数 k≠0 已

知某轿车油箱注满油后

均耗油量 每千米耗油 0.1 升的 度行驶 行驶 700 千米

1 求该轿车 行驶的总路程 S 均耗油量 a 之间的函数解析式 关系式

2 当 均耗油量 0.08 升/千米时 该轿车 行驶多少千米

考点

比例函数的 用



1 将 a=0.1 s=700 入到函数的关系 S= 中即 求得 k 的值 从而确定解析式

2 将 a=0.08 入求得的函数的解析式即 求得 s 的值 解答 解 1 由题意得 a=0.1 s=700
入 比例函数关系 S= 中

解得 k=sa=70 所 函数关系式 s=

2 将 a=0.08 入 s= 得 s= = =875 千米 故该轿车 行驶多 875 米 点评 本题考查了 比例函数的 用 解题的关键是从实际问题中抽象出 比例函数模 型

6 2014?舟山 第 22 题 10 实验数据显示 一般成人喝半斤 度 酒后 1.5 小时内 血液中酒精 量 y 毫克/ 毫升 时间 x 时 的关系 似地用二次函数 y=﹣200x2+400x 刻画 1.5 小时后 包括 1.5 小时 y x 似地用 比例函数 y= k 0 刻画 如 所 示
1 根据 述数学模型计算 喝酒后 时血液中的酒精 量达到最大值 最大值 多少 当 x=5 时 y=45 求 k 的值 2 按 家规定 车 驾驶人员血液中的酒精 量大于或等于 20 毫克/ 毫升时属于“酒后 驾驶” 能驾车 路 参照 述数学模型 假设某驾驶员晚 20 00 在家喝完半斤 度 酒 第二天早 7 00 能否驾车去 班 请说明理由

考点 二次函数的 用 比例函数的 用

析 1 利用 y=﹣200x2+400x=﹣200 x﹣1 2+200 确定最大值

直接利用 定系数法求 比例函数解析式即

2 求出 x=11 时 y 的值 进而得出能否驾车去 班 解答 解 1 y=﹣200x2+400x=﹣200 x﹣1 2+200

喝酒后 1 时血液中的酒精 量达到最大值 最大值 200 毫克/ 毫升

当 x=5 时 y=45 y= k 0

k=xy=45×5=225

2 能驾车 班

理由 晚 20 00 到第二天早 7 00 一 有 11 小时

将 x=11 入 y=

则 y=

20

第二天早 7 00 能驾车去 班 点评 题 要考查了 比例函数 二次函数综合 用 根据 象得出 确信息是解题关


7. 2014?襄 第 22 题 6 如 一次函数 y1=﹣x+2 的 象 比例函数 y2= 的 象 相交于 A B 两点 x 轴相交于点 C 已知 tan∠BOC= 点 B 的坐标 m n
1 求 比例函数的解析式 2 请直接写出当 x m 时 y2 的取值范围

考点 比例函数 一次函数的交点问题 题 计算题 析 1 作 BD⊥x 轴于 D 如 在 Rt△OBD 中 根据

的定 得到 tan∠BOC= =

则 = 即 m=﹣2n 再把点 B m n 入 y1=﹣x+2 得 n=﹣m+2 然后解关于 m、 n 的方程 得到 n=﹣2 m=4 即 B 点坐标 4 ﹣2 再把 B 4 ﹣2 入 y2=
计算出 k=﹣8 所 比例函数解析式 y2=﹣ 2 观察函数 象得到当 x 4 y2 的取值范围 y2 0 或 y2 ﹣2 解答 解 1 作 BD⊥x 轴于 D 如 在 Rt△OBD 中 tan∠BOC= =

= 即 m=﹣2n

把点 B m n 入 y1=﹣x+2 得 n=﹣m+2 n=2n+2 解得 n=﹣2

m=4 B 点坐标

4 ﹣2

把 B 4 ﹣2 入 y2= 得 k=4× ﹣2 =﹣8

比例函数解析式 y2=﹣ 2 当 x 4 y2 的取值范围 y2 0 或 y2 ﹣2

点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 比例函数 一次函数 象的交点坐 标满足两函数解析式 也考查了 定系数法求函数解析式 及观察函数 象的能力

8 2014?四 自贡 第 22 题 12 如 一次函数 y=kx+b 比例函数



象交于 A m 6 B 3 n 两点 1 求一次函数的解析式

2 根据 象直接写出

的 x 的取值范围

3 求△AOB 的面

考点 比例函数 一次函数的交点问题

题 计算题

析 1 先根据 比例函数 象 点的坐标特征得到 6m=6 3n=6 解得 m=1 n=2 这

样得到 A 点坐标 1 6 B 点坐标 3 2 然后利用 定系数求一次函数的解

析式

2 观察函数 象得到在第一象限内 当 0 x 1 或 x 3 时 比例函数 象都在

一次函数 象 方

3 先确定一次函数 象 坐标轴的交点坐标 然后利用 S△AOB=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD 进行计算

解答 解 1

把A m 6 B 3 n 入

得 6m=6 3n=6

解得 m=1 n=2 所 A 点坐标 1 6 B 点坐标 3 2
把 A 1 6 B 3 2 入 y=kx+b 得

解得

所 一次函数解析式 y=﹣2x+8 2 当0 x 1或x 3时
3 如 当 x=0 时 y=﹣2x+8=8 则 C 点坐标 0 8 当 y=0 时 ﹣2x+8=0 解得 x=4 则 D 点坐标 4 0 所 S△AOB=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD =×4×8﹣×8×1﹣×4×2 =8

点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 比例函数 一次函数 象的交点坐 标满足两函数解析式 也考查了 定系数法求函数解析式 及观察函数 象的能力
9 2014?浙江湖 第 20 题 如 已知在 面直角坐标系 xOy 中 O 是坐标原点 点 A 2 5 在 比例函数 y= 的 象 过点 A 的直线 y=x+b 交 x
轴于点 B 1 求 k 和 b 的值 2 求△OAB 的面 析 1 根据 定系数法 得答案 2 根据 角形的面 公式 得答案

解 1 把A 2 5

入 y= 和 y=x+b 得

解得 k=10b=3

2 作 AC⊥x 轴 点 C 由 1 得直线 AB 的解析式 y=x+3 点 A 的坐标是 2 5 AC=5

点 B 的坐标 ﹣3 0 OB=3

=

5=

点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 利用了 定系数法 式

角形的面 公

10 2014?浙江宁波 第 22 题 10 如 点 A、B 在 x y 轴 点 D 在第一象限

内 DC⊥x 轴于点 C AO=CD=2 AB=DA= 中点 E
1 求证 △AOB≌△DCA 2 求 k 的值 3 △BFG 和△DCA 关于某点成中心对 例函数的 象 并说明理由

比例函数 y= k 0 的 象过 CD 的 中点 F 在 y 轴 是判断点 G 是否在 比

考点 题 析
解答

比例函数综合题 综合题
1 利用“HL”证明△AOB≌△DCA 2 先利用勾股定理计算出 AC=1 再确定 C 点坐标 然后根据点 E CD 的中点 得到点 E 的坐标 3 1 则 根据 比例函数 象 点 的坐标特征求得 k=3 3 根据中心对 的性质得△BFG≌△DCA 所 FG=CA=1 BF=DC=2 ∠BFG=∠DCA=90° 则 得到 G 点坐标 1 3 然后根据 比例函 数 象 点的坐标特征判断 G 点是否在函数 y= 的 象

1 证明 点 A、B 在 x y 轴 轴
∠AOB=∠DCA=90° 在 Rt△AOB 和 Rt△DCA 中

点 D 在第一象限内 DC⊥x

Rt△AOB≌Rt△DCA 2 解 在 Rt△ACD 中 CD=2 AD=

AC=

=1

OC=OA+AC=2+1=3 D 点坐标 3 2 点 E CD 的中点 点 E 的坐标 3 1 k=3×1=3 3 解 点 G 是否在 比例函数的 象 理由如 △BFG 和△DCA 关于某点成中心对 △BFG≌△DCA FG=CA=1 BF=DC=2 ∠BFG=∠DCA=90° 而 OB=AC=1 OF=OB+BF=1+2=3 G 点坐标 1 3 1×3=3 G 1 3 在 比例函数 y= 的 象

点评

本题考查了 比例函数的综合题 掌握 比例函数 象 点的坐标特征、 中心对 的性质和 角形全等的判定 性质 会利用勾股定理进行 何 计算

11. 2014?泰 第 26 题 14

面直角坐标系 xOy 中 点 A、B

0 y2=﹣ x 0 的 象 a、b

A、B 的横坐标

在函数 y1= x

第1题 1 若 AB∥x 轴 求△OAB 的面 2 若△OAB 是 AB 边的等腰 角形 a+b≠0 求 ab 的值 3 作边长 3 的 方形 ACDE 使 AC∥x 轴 点 D 在点 A 的左 方 那 对大于或等 于 4 的任意实数 a CD 边 函数 y1= x 0 的 象都有交点 请说明理由

考点 比例函数综合题

析 1 如 1 AB 交 y 轴于 P 由于 AB∥x 轴 根据 k 的 何意 得到 S△OAC=2 S△OBC=2 所 S△OAB=S△OAC+S△OBC=4

2 根据 函数 象 点的坐标特征得 A、B 的纵坐标

、﹣ 根据两点

间的距离公式得到 OA2=a2+

2 OB2=b2+ ﹣ 2 则利用等腰 角形的性质得

到 a2+

2=b2+ ﹣ 2 变形得到 a+b a﹣b 1﹣

=0 由于 a+b≠0

a 0 b 0 所 1﹣

=0 易得 ab=﹣4

3 由于 a≥4 AC=3 则 判断直线 CD 在 y 轴的右侧 直线 CD 函数 y1= x

0 的 象一定有交点 设直线 CD 函数 y1= x 0 的 象交点 F 由于 A

点坐标 a

方形 ACDE 的边长 3 则得到 C 点坐标 a﹣3

F点

的坐标 a﹣3

所 FC= ﹣ 然后比较 FC 3 的大小 由于 3﹣

FC=3﹣

﹣=

F 在线段 DC 解答 解 1 如 1 AB 交 y 轴于 P
AB∥x 轴 S△OAC= ×|4|=2 S△OBC= ×|﹣4|=2

S△OAB=S△OAC+S△OBC=4 2 A、B 的横坐标

a、b

A、B 的纵坐标

、﹣

OA2=a2+

2 OB2=b2+ ﹣ 2

△OAB 是 AB 边的等腰 角形

OA=OB

a2+

2=b2+ ﹣ 2

a2﹣b2+

2﹣

2=0

而 a≥4 所 3﹣FC≥0 于是 判断点

a2﹣b2+

=0

a+b a﹣b 1﹣

=0

a+b≠0 a 0 b 0

1﹣

=0

ab=﹣4 3 a≥4 而 AC=3 直线 CD 在 y 轴的右侧 直线 CD 函数 y1=

x 0 的 象一定有交点

设直线 CD 函数 y1= x 0 的 象交点 F 如 2

A 点坐标 a

方形 ACDE 的边长 3

C 点坐标 a﹣3

F 点的坐标 a﹣3

FC= ﹣

3﹣FC=3﹣

﹣=

而 a≥4 3﹣FC≥0 即 FC≤3 CD=3 点 F 在线段 DC
即对大于或等于 4 的任意实数 a CD 边 函数 y1=

x 0 的 象都有交点

点评 本题考查了 比例函数的综合题 掌握 比例函数 象 点的坐标特征、 比例函数 比例系数的 何意 、 形 坐标和 方形的性质 会利用求差法对 数式比较大小
12. 2014? 和浩特 第 23 题 8 如 已知 比例函数 y= x 0 k 是常数 的 象 经过点 A 1 4 点 B m n 中 m 1 AM⊥x 轴 垂足 M BN⊥y 轴 垂足 N AM BN 的交点 C
1 写出 比例函数解析式 2 求证 △ACB∽△NOM 3 若△ACB △NOM 的相似比 2 求出 B 点的坐标及 AB 所在直线的解析式

考点 析

比例函数综合题 1 把 A 点坐标 入 y=

得 k 的值 进而得到函数解析式

2 根据 A、B 两点坐标 得 AC=4﹣n BC=m﹣1 ON=n OM=1 则 =

再根

据 比例函数解析式 得 =m 则 =m﹣1 而 =

得 = 再由

∠ACB=∠NOM=90° 得△ACB∽△NOM 3 根据△ACB △NOM 的相似比 2 得 m﹣1=2 进而得到 m 的值 然后 得 B
点坐标 再利用 定系数法求出 AB 的解析式即 解答 解 1 y= x 0 k 是常数 的 象经过点 A 1 4

k=4 比例函数解析式 y=
2 点A 1 4 点B m n AC=4﹣n BC=m﹣1 ON=n OM=1
= = ﹣1

B m n 在 y=

=m

=m﹣1 而 =

= ∠ACB=∠NOM=90° △ACB∽△NOM

3 △ACB △NOM 的相似比 2

m﹣1=2 m=3
B3 设 AB 所在直线解析式 y=kx+b

解得
解析式 y=﹣ x+ 点评 题 要考查了 比例函数的综合 用 关键是掌握 是函数 象经过的点 必然能使
函数解析式左右相等

13 2014?德 第 21 题 10 如

曲线 y= x 0 经过△OAB 的顶点 A 和 OB 的

中点 C AB∥x 轴 点 A 的坐标 1 确定 k 的值 2 若点 D 3 m 在 曲线 3 计算△OAB 的面

23 求直线 AD 的解析式

考点 比例函数综合题 题 综合题 析 1 将 A 坐标 入 比例解析式求出 k 的值即 2 将 D 坐标 入 比例解析式求出 m 的值 确定出 D 坐标 设直线 AD 解析式 y=kx+b 将 A D 坐标 入求出 k b 的值 即 确定出直线 AD 解析式

3 过点 C 作 CN⊥y 轴 垂足 N 延长 BA 交 y 轴于点 M 得到 CN BM 行 进而确定出 角形 OCN 角形 OBM 相似 根据 C OB 的中点 得到相似比 1 2 确定出 角形 OCN 角形 OBM 面 比 1 4 利用 比例函数 k 的意 确定 出 角形 OCN 角形 AOM 面 根据相似 角形面 之比 1 4 求出 角形 AOB 面 即 解答 解 1 将点 A 2 3 入解析式 y= 得 k=6
2 将 D 3 m 入 比例解析式 y= 得 m= =2
点 D 坐标 3 2 设直线 AD 解析式 y=kx+b 将 A 2 3 D 3 2 入得
解得 k=﹣1 b=5 则直线 AD 解析式 y=﹣x+5
3 过点 C 作 CN⊥y 轴 垂足 N 延长 BA 交 y 轴于点 M AB∥x 轴 BM⊥y 轴 MB∥CN △OCN∽△OBM C OB 的中点 即 =

=

2

A C 都在 曲线 y=

S△OCN=S△AOM=3



= 得到 S△AOB=9

则△AOB 面 9

点评 题属于 比例函数综合题 涉及的知识有 定系数法确定函数解析式 坐标 形性质 相似 角形的判定 性质 及 比例函数 k 的意 熟 掌握 定系数法 是解本题的关键
14. 2014?菏泽 第 17 题 7 2 如 在 面直角坐标系 xOy 中 已知一次函数 y=kx+b 的 象经过点 A 1 0 比例函数 y= x 0 的 象相交于点 B 2 1 求 m 的值和一次函数的解析式 结合 象直接写出 当 x 0 时 等式 kx+b 的解集

考点 析
解答

比例函数 一次函数的交点问题

2 将 B 点坐标 入 求出 m 的值 将点 A 和点 B 的坐标 入求出 k 和

b 的值 继而 求得解析式

根据 象 写出解集即

解 1 设 A 饮料生产了 x 瓶 则 B 饮料生产了 100﹣x 瓶

由题意得 2x+3 100﹣x =270

解得 x=30 100﹣x=70

答 A 饮料生产了 30 瓶 则 B 饮料生产了 70 瓶

2

比例函数 y= x 0 的 象经过点 B 2 1

m=1×2=2

一次函数 y=kx+b 的 象经过点 A 1 0 点 B 2 1

点评

解得 一次函数的解析式 y=x﹣1 由象得x2
本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 解答本题的关键是读懂题 意 找出合适的等量关系 列方程 求解

15 2014 山东泰安 第 26 题 如

△OAB 中 A 0 2 B 4 0 将△AOB 向

右 移 m 个单 得到△O′A′B′

1 当 m=4 时 如

若 比例函数 y= 的 象经过点 A′ 一次函数 y=ax+b 的 象

经过 A′、B′两点 求 比例函数及一次函数的表达式 2 若 比例函数 y= 的 象经过点 A′及 A′B′的中点 M 求 m 的值

析 1 根据题意得出 A′点的坐标 4 2 B′点的坐标 8 0 进而利用 定系数法求一次函数解析式即 2 首先得出 A′B′的中点 M 的坐标 m+4﹣2 1 则 2m=m+2 求出 m 的值即 解 1 由 值 A′点的坐标 4 2 B′点的坐标 8 0 k=4×2=8 y=

把 4 2 8 0 入 y=ax+b 得

解得

经过 A′、B′两点的一次函数表达式 y=﹣ x+4 2 当△AOB 向右 移 m 个单 时 A′点的坐标 m 2 B′点的坐标 m+4 0 则 A′B′的中点 M 的坐标 m+4﹣2 1 2m=m+2 解得 m=2

当 m=2 时 比例函数 y= 的 象经过点 A′及 A′B′的中点 M 点评 题 要考查了 定系数法求一次函数解析式 及坐标的 移等知识 得出 A′ B′点坐标是解题关键

比例函数

一、选择题

1. 2014?山东潍坊 第 11 题 3 已知一次函数 y1=kx+b k<O

比例函数

y2=

m x

(m≠O)

的 象相交于 A、B 两点 横坐标 是 1 和 3 当 y1>y2 时 实数 x 的取值范围是( )

A x< l 或 O<x<3 B 一 1<x<O 或 O<x<3 C 一 1<x<O 或 x>3 D O<x<3

考点 比例函数 一次函数的交点问题

析 画出函数 象 取 比例函数 象 于一次函数 象 方时对 的 x 的取值范围即

解答 一次函数 y1=kx+b

坐标

13

比例函数

y2=

m x



象相交于 A、B 两点

A B 两点的横

故满足 y2 y1 的 x 的取值范围是 x 故选 A

1或0 x 3

点评 本题 要考查了 比例函数 一次函数的交点问题的知识点 熟 掌握 比例的 象

性质和一次函数的 象性质 要掌握它们的性质才能灵活解题

1 2014?湖南怀 第 8 题 3 已知一次函数 y=kx+b 的 象如 那 比例函数

y=kx 和 比例函数 y=在同一坐标系中的 象大 是

A

B

C

D

考点 比例函数的 象 一次函数的 象 一次函数 象 系数的关系 析 根据一次函数 象 确定 k、b 的符号 根据 k、b 的符号来判定 和 比例函数 y= 象所在的象限
解答 解 如 所示 一次函数 y=kx+b 的 象经过第一、 、四象限 比例函数 y=kx 的 象经过第一、 象限
比例函数 y=的 象经过第二、四象限 综 所述 符合条件的 象是 C 选项 故选 C

比例函数 y=kx k0b0

点评 本题 要考查了 比例函数的 象性质和一次函数的 象性质 要掌握它们的性质才 能灵活解题
2. 2014?山东聊城 第 10 题 3 如 一次函数 y1=k1x+b 的 象和 比例函数 y2= 的 象交于 A 1 2 B ﹣2 ﹣1 两点 若 y1 y2 则 x 的取值范围是

Ax1

B x ﹣2

C ﹣2 x 0 或 x 1 D x ﹣2 或 0 x 1

考点 比例函数 一次函数的交点问题 析 根据一次函数 象 于 比例函数 象的 方 得 等式的解
解答 解 一次函数 象 于 比例函数 象的 方 x ﹣2 或 0 x 1 故选 D
点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 一次函数 象 于 方是解题关键

比例函数

象的

3. 2014?浙江杭 这个函数 是 A y=

第6题 3 B y=

函数的自变量 x 满足≤x≤2 时 函数值 y 满足≤y≤1 则

C y=

D y=

考点 比例函数的性质

析 把 x= 入四个选项中的解析式 得 y 的值

得答案

解答 解 A、把 x= 入 y=

得 y=1 把 x=2

再把 x=2 入 y=

入解析式 得 y= 故

得 y 的值 选项 确

然后

B、把 x= 入 y= 得 y=4 把 x=2 入 y= 得 y=1 故 选项错误

C、把 x= 入 y= 得 y= 把 x=2 入 y= 得 y= 故 选项错误

D、把 x= 入 y= 得 y=16 把 x=2 入 y= 得 y=4 故 选项错误

故选 A

点评 题 要考查了 比例函数 象的性质 关键是 确理解题意 根据自变量的值求出

对 的函数值

4. (2014 贵 黔东南 8 4 )如

比例函数 y=x 比例函数 y=的 象相交于

A、B 两点 BC⊥x 轴于点 C 则△ABC 的面

A

1B

2C

D

考点

比例函数系数 k 的 何意 菁优网

题 计算题

析 由于 比例函数 y=x 比例函数 y=的 象相交于 A、B 两点 则点 A 点 B 关

于原点对 所 S△AOC=S△BOC 根据 比例函数比例系数 k 的 何意 得到 S△BOC= 所 △ABC 的面 1

解答 解

比例函数 y=x 比例函数 y=的 象相交于 A、B 两点

点 A 点 B 关于原点对

S△AOC=S△BOC BC⊥x 轴

△ABC 的面 =2S△BOC=2××|1|=1 故选 A

点评 本题考查了 比例函数比例系数 k 的 何意 在 比例函数 y=的 象中任取一

点 过这一个点向 x 轴和 y 轴 作垂线 坐标轴围成的矩形的面 是定值|k|

5. (2014 湖 咸宁 8 3 )如

曲线 y= 直线 y=kx+b 交于点 M、N 并 点 M 的

坐标 1 3 点 N 的纵坐标 ﹣1 根据 象信息 得关于 x 的方程=kx+b 的解

A 13

﹣3 1

B ﹣3 3

C ﹣1 1 D ﹣

考点 题

比例函数 一次函数的交点问题 菁优网
压轴题

析 首先把 M 点 入 y=中 求出 比例函数解析式 再利用 比例函数解析式求出 N

点坐标 求关于 x 的方程=kx+b 的解就是看一次函数 比例函数 象交点横坐标就是 x 的



解答 解 M 1 3 在 比例函数 象

m=1×3=3

比例函数解析式 y=

N 也在 比例函数 象 点 N 的纵坐标 ﹣1

x=﹣3

N ﹣3 ﹣1

关于 x 的方程=kx+b 的解 ﹣3 1

故选 A

点评

题 要考查了 比例函数 一次函数交点问题 关键掌握好利用 象求方程的解

时 就是看两函数 象的交点横坐标

6. 2014?江苏盐城主第 8 题 3 如

比例函数 y= x 0 的 象经过点 A ﹣1 1

过点 A 作 AB⊥y 轴 垂足 B 在 y 轴的 半轴 取一点 P 0 t 过点 P 作直线 OA 的

垂线 l 直线 l 对 轴 点 B 经轴对 变换得到的点 B′在 比例函数的 象 则

t 的值是

A

B

C

D

考点 比例函数综合题 题 综合题 析 根据 比例函数 象 点的坐标特征由 A 点坐标 ﹣1 1 得到 k=﹣1 即 比例 函数解析式 y=﹣ OB=AB=1 则 判断△OAB 等腰直角 角形 所 ∠ AOB=45° 再利用 PQ⊥OA 得到∠OPQ=45° 然后轴对 的性质得 PB=PB′ BB ′⊥PQ 所 ∠BPQ=∠B′PQ=45° 于是得到 B′P⊥y 轴 则 B 点的坐标 表示 ﹣ t 于是利用 PB=PB′得 t﹣1=|﹣|= 然后解方程 得到满足条件的 t 的值
解答 解 如 A 点坐标 ﹣1 1 k=﹣1×1=﹣1 比例函数解析式 y=﹣

OB=AB=1 △OAB 等腰直角 角形 ∠AOB=45° PQ⊥OA ∠OPQ=45° 点 B 和点 B′关于直线 l 对 PB=PB′ BB′⊥PQ ∠BPQ=∠B′PQ=45° 即∠B′PB=90° B′P⊥y 轴 B 点的坐标 ﹣ t PB=PB′ t﹣1=|﹣|=

整理得 t2﹣t﹣1=0 解得 t1=

t2=

t 的值 故选 A

舍去

点评 本题考查了 比例函数的综合题 掌握 比例函数 象 点的坐标特征、等腰直角 角形的性质和轴对 的性质 会用求根公式法解一元二次方程

7 (2014? 山东东营主第 17 题 4 )如 函数 y=和 y=﹣的 象 是 l1 和 l2 设点 P 在

l1 PC⊥x 轴 垂足 C 交 l2 于点 A PD⊥y 轴 垂足 D 交 l2 于点 B 则 角形 PAB

的面

8

考点 析
的值 解答

比例函数系数 k 的 何意 菁优网
设 P 的坐标是 a 推出 A 的坐标和 B 的坐标 根据 角形的面 公式求出即
解 点 P 在 y=

求出∠APB=90°

求出 PA、PB

|xp|×|yp|=|k|=1 设 P 的坐标是 a a 数 PA⊥x 轴 A 的横坐标是 a A 在 y=﹣ A 的坐标是 a ﹣ PB⊥y 轴 B 的纵坐标是 B 在 y=﹣
入得 =﹣ 解得 x=﹣3a
B 的坐标是 ﹣3a PA=|﹣ ﹣ |= PB=|a﹣ ﹣3a |=4a PA⊥x 轴 PB⊥y 轴 x 轴⊥y 轴 PA⊥PB △PAB 的面 是 PA×PB=××4a=8 故答案 8 点评 本题考查了 比例函数和 角形面 公式的 用 关键是能根据 P 点的坐标得出 A、B 的坐标 本题 有一定的 表性 是一道比较好的题目
8 2014?四 泸 第 8 题 3 已知 物线 y=x2﹣2x+m+1 x 轴有两个 同的交
点 则函数 y=的大 象是

A

B

C

D

解答 解 物线 y=x2﹣2x+m+1 △= ﹣2 2﹣4 m+1

x 轴有两个 同的交点 0

解得 m 0

函数 y=的 象 于二、四象限

故选 A

点评 本题考查了 比例函数 象 先求出 m 的值 再判断函数 象的 置

9 2014?四 凉山 第 11 题 4 在同一坐标系中的 象 能是

函数 y=mx+n y=

中 m≠0 n≠0 那 它们

A

B

C

D

考点 析
解答

比例函数的 象 一次函数的 象 根据 象中一次函数 象的 置确定 m、n 的值 然后根据 m、n 的值来确定 比例函数所在的象限 解 A、 函数 y=mx+n 经过第一、 、四象限
m0n0 0
函数的 y= 象经过第二、四象限

示象符 故本选项错误 B、 函数 y=mx+n 经过第一、
m0n0 0

、四象限

函数的 y= 象经过第二、四象限

示 象一 故本选项 确 C、 函数 y=mx+n 经过第一、二、四象限
m0n0 0
函数的 y= 象经过第二、四象限

示象符 故本选项错误 D、 函数 y=mx+n 经过第二、
m0n0 0

、四象限

函数的 y= 象经过第一、 象限

示象符

故本选项错误

故选 B

点评

本题 要考查了 比例函数的 象性质和一次函数的 象性质

要掌握它们的性质才能灵活解题

10 2014?福建福 主第 10 题 4 如 已知直线 y = ?x + 2

x 轴 y 轴交于 A B

两点

曲线 y = k 交于 E F 两点. 若 AB=2EF 则 k 的值是 x

A ?1

B1

1 C
2

3 D
4

考点 1. 比例函数 一次函数交点问题 2.曲线 点的坐标 方程的关系 3.相似 角形 的判定和性质 4.轴对 的性质.

11 2014?甘肃
的取值 是 A0

主第 么 题 4 B1

若 比例函数 C2

的 象 于第二、四象限 则 k

D

都是

考点 比例函数的性质

题 计算题

析 比例函数

的 象 于第二、四象限 比例系数 k﹣1 0 即 k 1 根据 k

的取值范围进行选择

解答 解

比例函数

的 象 于第二、四象限

k﹣1 0 即k 1 故选 A 点评 本题考查了

比例函数的性质

对于

比例函数

k≠0 1 k 0

象在一、 象限 2 k 0 比例函数 象在第二、四象限内

比例函数

二、填空题

1. 2014? 海 第 14 题 4

已知 比例函数 y= k k 是常数 k≠0 在 x

象所在的

每一个象限内 y 的值随着 x 的值的增大而增大 那 这个 比例函数的解析式是



需写一个

考点 比例函数的性质

题 开放型

析 首先根据 比例函数的性质 得 k 0 再写一个符合条件的数即

解答 解

比例函数 y= k k 是常数 k≠0 在 x

着 x 的值的增大而增大

象所在的每一个象限内 y 的值随

k0

y=﹣ 1 x

故答案

y=﹣ 1 x

点评 题 要考查了 比例函数的性质 关键是掌握对于 比例函数 y= 当 k 0 时 在

每一个象限内 函数值 y 随自变量 x 的增大而减小 当 k 0 时 在每一个象限内

函数值 y 随自变量 x 增大而增大

2 2014?湖南怀 第 14 题 3 已知点 A ﹣2 4 在 比例函数 y= k≠0 的 象

则 k 的值 ﹣8

考点 比例函数 象 点的坐标特征 析 直接把点 A ﹣2 4 入 比例函数 y= k≠0 求出 k 的值即
解答 解 点 A ﹣2 4 在 比例函数 y= k≠0 的 象

4=

解得 k=﹣8

故答案 ﹣8 点评 本题考查的是 比例函数 象 点的坐标特点 熟知 比例函数 象 各点的坐标一
定适合 函数的解析式是解答 题的关键

3. 2014 山东济南 第 21 题 3 如 ?OAC 和 ?BAD 都是等腰直角 角形

∠ACO = ∠ADB = 么0ο , 比 例 函 数 y = k 在 第 一 象 限 的 象 经 过 点 B 若 x
OA2 ? AB 2 = 12 则 k 的值 ________.

y

A

D

B



C

x

第 21 题

解析 设点 B 的坐标 B(x0, y0 ) 则 x0 = OC + DB, y0 = AC ? AD = OC ? DB ,

于是 k

=

x0

?

y0

=

(OC

+

DB) ? (OC

?

DB)

=

OC 2

?

DB 2

=

1 2

OA2

?

1 2

AB 2

=

6



填6

4. 2014?山东聊城 第 17 题 3 如 在 x 轴的 半轴 依次间隔相等的距离取点
A1 A2 A3 A4 … An 过这些点做 x 轴的垂线 比例函数 y=的 象相交于点 P1 P2 P3 P4 …Pn 作 P2B1⊥A1P1 P3B2⊥A2P2 P4B3⊥A3P3 … PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1 垂足
B1 B2 B3 B4 … Bn﹣1 连接 P1P2 P2P3 P3P4 … Pn﹣1Pn 得到一 Rt△P1B1P2 Rt△P2B2P3 Rt△P3B3P4 … Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn 则 Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn 的面

考点 比例函数系数 k 的 题 规律型 析 根据 比例函数 象

何意 点的坐标特征和

角形面

公式得到 Rt△P1B1P2 的面

=×a×



Rt△P2B2P3 的面 =×a× ﹣

Rt△P3B3P4 的面 =×a× ﹣

由 得出△Pn﹣1Bn﹣1Pn 的面 =×a×[
解答 解 设 OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣2An﹣1=a x=a 时 y= P1 的坐标 a x=2a 时 y=2× P2 的坐标 2a Rt△P1B1P2 的面 =×a× ﹣
Rt△P2B2P3 的面 =×a× ﹣ Rt△P3B3P4 的面 =×a× ﹣ …

﹣ ] 简即

△Pn﹣1Bn﹣1Pn 的面 =×a×[

﹣ ]=×1×

﹣=

故答案

点评 本题考查了 比例函数 象 点的坐标特征和 角形面 公式 有一定难度

5. 2014?遵 18 4



比例函数 y= k 0 的 象 矩形 ABCO 的两边相

交于 E F 两点 若 E 是 AB 的中点 S△BEF=2 则 k 的值 8

考点 比例函数系数 k 的 何意

析 设 E a 则 B 纵坐标也

入 比例函数的 y= 即 求得 F 的横坐标 则根据

角形的面 公式即 求得 k 的值

解答 解 设 E a 则 B 纵坐标也

E 是 AB 中点 所 F 点横坐标 2a 入解析式得到纵坐标

BF=﹣ = 所 F 也 中点

S△BEF=2= k=8 故答案是 8 点评 本题考查了 比例函数的性质

确表示出 BF 的长度是关键

6. 2014?山东淄博主第 16 题 4 关于 x 的 比例函数 y= 的 象如 A、P 该
象 的点 关于原点成中心对 △PAB 中 PB∥y 轴 AB∥x 轴 PB AB 相交于点 B 若△PAB 的面 大于 12 则关于 x 的方程 a﹣1 x2﹣x+=0 的根的情况是 没有实数 根

考点 析

根的判 式

比例函数的性质 菁优网

由比例函数 y= 的 象 于一、 象限得出 a+4 0 A、P

该 象 的点

关于原点成中心对 得出 2xy 12 进一 得出 a+4 6 由 确定 a 的取值范围 进一 利用根的判 式判定方程根的情况即

解答 解

比例函数 y= 的 象 于一、 象限

a+4 0 a ﹣4

A、P 关于原点成中心对 PB∥y 轴 AB∥x 轴 △PAB 的面 大于 12

2xy 12

即 a+4 6 a 2

a2 △= ﹣1 2﹣4 a﹣1 ×=2﹣a 0 关于 x 的方程 a﹣1 x2﹣x+=0 没有实数根

故答案 没有实数根

点评

题综合考查了 比例函数的 形 性质 一元二次方程根的判 式 注意 确判

定 a 的取值范围是解决问题的关键

7. 2014?山东临沂主第 18 题 3

3

2014?临沂 如

比例函数 y=的 象经过

直角 角形 OAB 的顶点 A D 斜边 OA 的中点 则过点 D 的 比例函数的解析式 y=

考点 比例函数系数 k 的 何意 析 根据题意设点 A 坐标 x 由 D 点 D 的 比例函数的解析式

斜边 OA 的中点

得出 D x

从而得出过

解答 解 设点 A 坐标 x 比例函数 y=的 象经过直角 角形 OAB 的顶点 A D 斜边 OA 的中点
Dx 过点 D 的 比例函数的解析式 y= 故答案 y= 点评 本题考查了 比例函数系数 k 的 何意 本知识点是中考的重要考点 同学们 高 度关注

8 2014?四 泸 第 16 题 3

矩形 AOBC 的顶点坐标

A03 O0

0 B 4 0 C 4 3 点 F 在边 BC

B、C 重合 过点 F 的 比例函数

的 象 边 AC 交于点 E 直线 EF 若 k=4 则△OEF 的面

y 轴和 x 轴相交于点 D 和 G 给出 列 题



则点 C 关于直线 EF 的对 点在 x 轴

满足题设的 k 的取值范围是 0 k≤12 若 DE?EG= 则 k=1

中 确的 题的序号是

写出所有 确 题的序号

考点 析

比例函数综合题 1 若 k=4 则计算 S△OEF= ≠ 故 题 错误

2 如答 所示 若

证明直线 EF 是线段 CN 的垂直 线 故 题

确 3 因 点 F 经过点 C 4 3 所 k≠12 故 题 错误 4 求出直线 EF 的解析式 得到点 D、G 的坐标 然后求出线段 DE、EG 的长度
利用算式 DE?EG= 求出 k=1 故 题 确

解答 解 题 错误 理由如 k=4

E 3 F41 CE=4﹣= CF=3﹣1=2 S△OEF=S 矩形 AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF =S 矩形 AOBC﹣OA?AE﹣OB?BF﹣CE?CF =4×3﹣×3×﹣×4×1﹣××2=12﹣2﹣2﹣= S△OEF≠ 故 题 错误 题 确 理由如 k=
E 3 F4
CE=4﹣= CF=3﹣ = 如答 过点 E 作 EM⊥x 轴于点 M 则 EM=3 OM= 在线段 BM 取一点 N 使得 EN=CE= 连接 NF

在 Rt△EMN 中 由勾股定理得 MN=

=

=

BN=OB﹣OM﹣MN=4﹣﹣=

在 Rt△BFN 中 由勾股定理得 NF=

=

=

NF=CF 又 EN=CE
直线 EF 线段 CN 的垂直 故题 确

线 即点 N 点 C 关于直线 EF 对

题 错误 理由如 由题意 点 F 点 C 4 3 重合 所 k≠4×3=12 故 题 错误
题 确 理由如 简 计算 妨设 k=12m 则 E 4m 3 F 4 3m 设直线 EF 的解析式 y=ax+b 则有
解得
y= x+3m+3 x=0 得 y=3m+3 D 0 3m+3 y=0 得 x=4m+4 G 4m+4 0 如答 过点 E 作 EM⊥x 轴于点 M 则 OM=AE=4m EM=3 在 Rt△ADE 中 AD=AD=OD﹣OA=3m AE=4m 由勾股定理得 DE=5m 在 Rt△MEG 中 MG=OG﹣OM= 4m+4 ﹣4m=4 EM=3 由勾股定理得 EG=5 DE?EG=5m×5=25m= 解得 m= k=12m=1 故 题 确 综 所述 确的 题是 故答案 点评 本题综合考查了函数的 象 性质、 比例函数 象 点的坐标特征、比例系数 k 的 何意 、 定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点 有一定的难度 本题计算量 较大 解题过程中注意认真计算
、解答题

1. 2014?四 巴中 第 30 题 10

如 在 面直角坐标系 xOy 中 已知四边形 DOBC

是矩形 D 0 4 B 6 0 若 比例函数 y= x 0 的 象经过线段 OC 的中点

A 交 DC 于点 E 交 BC 于点 F 设直线 EF 的解析式 y=k2x+b 1 求 比例函数和直线 EF 的解析式 2 求△OEF 的面

3 请结合 象直接写出 等式 k2x+b﹣ 0 的解集

考点 比例函数和一次函数

析 1 先利用矩形的性质确定 C 点坐标 6 4 再确定 A 点坐标 3 2 则

根据 比例函数 象 点的坐标特征得到 k1=6 即 比例函数解析式 y= 然后利用

比例函数解析式确定 F 点的坐标 6 1 E 点坐标

4 再利用 定系数法

求直线 EF 的解析式

2 利用△OEF 的面 =S 矩形 BCDO﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF 进行计算 3 观察函数 象得到当 x 6 时 一次函数 象都在 比例函数 象 方 即 k2x+b

解答 1 四边形 DOBC 是矩形 D 0 4 B 6 0

C 点坐标 6 4 点 A 线段 OC 的中点

A 点坐标 3 2

k1=3×2=6

比例函数解析式 y=

把 x=6 入 y=得 x=1 则 F 点的坐标 6 1 把 y=4 入 y=得 x= 则 E 点坐标

4

把 F 6 1 、E 4 入 y=k2x+b 得

解得

直线 EF 的解析式 y=﹣x+5

2 △OEF 的面 =S 矩形 BCDO﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF =4×6﹣×6﹣×6﹣× 6﹣ × 4﹣1 =
3 等式 k2x+b﹣ 0 的解集 x 6 点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 求 比例函数 一次函数的交点 坐标 把两个函数关系式联立成方程 求解 若方程 有解则两者有交点 方程 无解 则 两者无交点 也考查了 定系数法确定函数解析式

2. 2014?山东威海 第 22 题 9 已知 比例函数 y=

m 常数 的 象在一、

象限

1 求 m 的取值范围

2 如 若该 比例函数的 象经过?ABOD 的顶点 D 点 A、B 的坐标

03

﹣2 0

求出函数解析式

设点 P 是该 比例函数 象 的一点 若 OD=OP 则 P 点的坐标 ﹣2 ﹣3

3

2

﹣3 ﹣2 若 D、O、P 顶点的 角形是等腰 角形 则满足条件的点 P 的

个数 4 个

考点 题 析
解答

比例函数综合题

综合题

1 根据 比例函数的性质得 1﹣2m 0 然后解 等式得到 m 的取值范围

2 根据 行四边形的性质得 AD∥OB AD=OB=2 易得 D 点坐标 2

3 然后根据 比例函数 象 点的坐标特征得 1﹣2m=6 则 比例函数解

析式 y=

根据 比例函数的 象关于原点中心对 得点 D 关于原点的对 点 P 满

足 OP=OD 则 时 P 点坐标 ﹣2 ﹣3 再根据 比例函数 y=的 象关

于直线 y=x 对

得点 D 2 3 关于直线 y=x 对 点 P 满足 OP=OD

时 P 点坐标 3 2 易得点 3 2 关于原点的对 点 P 也满足 OP=OD

时 P 点坐标 ﹣3 ﹣2 由于 D、O、P 顶点的 角形是等腰 角

形 所 D 点 顶点 画出点 P1 P2 解 1 根据题意得 1﹣2m 0

O 点顶点 画出点 P3 P4 如

解得 m

2

四边形 ABOC 行四边形

AD∥OB AD=OB=2

而 A 点坐标 0 3

D 点坐标 2 3

1﹣2m=2×3=6

比例函数解析式 y=

比例函数 y=的 象关于原点中心对

当点 P 点 D 关于原点对 则 OD=OP 时 P 点坐标 ﹣2 ﹣3

比例函数 y=的 象关于直线 y=x 对

点 P 点 D 2 3 关于直线 y=x 对 时满足 OP=OD 时 P 点坐标 3

2

点 3 2 关于原点的对 点也满足 OP=OD 时 P 点坐标 ﹣3 ﹣2

综 所述 P 点的坐标 ﹣2 ﹣3

32

﹣3 ﹣2

由于 D、O、P 顶点的 角形是等腰 角形 则 D 点 圆心 DO 半

画 交 比例函数 象于点 P1 P2 则点 P1 P2 满足条件 O 点 圆心 OD 半 画 交 比例函数 象于点 P3 P4 则点 P3 P4 也满足条件 如

点评

本题考查了 比例函数的综合题 掌握 比例函数 象的性质和 象 点的

坐标特征、 行四边形的性质和等腰 角形的性质 会 用 类讨论的思想解

决数学问题

3. 2014?山东烟 第 22 题 8 如 点 A m 6 B n 1 在 比例函数 象

AD⊥x 轴于点 D BC⊥x 轴于点 C DC=5

1 求 m n 的值并写出 比例函数的表达式

2 连接 AB 在线段 DC 是否存在一点 E 使△ABE 的面 等于 5 若存在 求出

点 E 的坐标 若 存在 请说明理由

考点 比例函数综合题



1 根据题意列出关于 m n 的方程 求出方程 的解得到 m n 的值

确定出 A B 坐标 设出 比例函数解析式 将 A 坐标 入即 确定出解析式

2 存在 设 E x 0 表示出 DE CE 连接 AE BE 角形 ABE 面 =四边形

ABCD 面 ﹣ 角形 ADE 面 ﹣ 角形 BCE 面 求出即

解答 1 由题意得

解得

A16 B61

设 比例函数解析式 y= 将 A 1 6 入得 k=6 则 比例解析式 y= 2 存在 设 E x 0 则 DE=x﹣1 CE=6﹣x AD⊥x 轴 BC⊥x 轴 ∠ADE=∠BCE=90°
连接 AE BE 则 S△ABE=S 四边形 ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE= BC+AD ?DC﹣DE?AD﹣CE?BC=× 1+6 ×5﹣
x﹣1 ×6﹣ 6﹣x ×1= ﹣x=5 解得 x=5 则 E 5 0

点评

题考查了 定系数法求 比例函数解析式 比例函数 象 点的坐标特

征 熟 掌握 定系数法是解本题的关键

02

4. 2014?江西

第 18 题 7

如 在 面直角坐标系中 过点 M , 的直线

与 x 轴平行,且直线分

与反比例函数 y =

6

x 0 和y= k

0 x<

的图象交于点 P 、

x

x

点Q

求点 P 的坐标 若△ POQ 的面积为 8 ,求 k 的值

解析 1

∥ x 轴, 6

6

点纵坐标为
2

2,

当 y = 时, = ,

3

x

∴ x = ,1 3,2 1

2

2 ? , ∴ 2 ?2 8,

8, - ,2

3,

,

, 代入 y = k

10 得: k = ?

x

5. 2014 山东济南 第 26 题 9 分 本小题满分 9 分 如图 1

比例函数 y = k (x > 0) x

的图象经过点 A 2 3 1

线 AB 比例函数图象交 另一点 B 1 a

线 AC

y 轴交于点 C ∠BAC = 75ο, AD ⊥ y 轴 垂足 D

1 求 k 的值

2 求 tan ∠DAC 的值及直线 AC 的解析式

3 如图 2 M 是线段 AC 方 比例函数图象 一动点 过 M 作直线 l ⊥ x 轴

交于 N 连接 CM 求 ?CMN 面 的最大值

y

y

l

B

B

AC 相

D O
C

A x
第 26 题图 1

D O
C

M A
N x
第 26 题图 2

解析 1 由 比例函数 y = k (x > 0) 的 x
图象经过点 A 2 3 1 得 k = 2 3 ×1 = 2 3

2 由 比例函数 y = 2 3 (x > 0) 得 x

点 B 的坐标 1 2 3 于是有

∠BAD = 45ο,∴∠DAC = 30ο tan ∠DAC = 3 3

AD= 2 3 则由 tan ∠DAC = 3 可得 CD=2 C 点纵坐标是-1 直线 AC 的 距是-1 而 3

过点 A 2 3 1 则直线解析式 y = 3 x ?1 3

3 设点 M 的坐标 ( 2 3 , m)(m > 1) m

则点 N 的坐标 ( 2 3 , 2 ?1) 于是 ?CMN 面 mm

S ?CMN

=

1×2 3 2m

× (m ?

2 m

+ 1)

=

3 ×(?

2 m2

+

1 m

+ 1)

=

3[9 ? ( 2 ? 2 )2 ] 8m4

所 当 m = 4 时 ?CMN 面 取得最大值 9 3 8

6. 2014? 23 8 分 如图 点 B 3 3 在 曲线 y= x 0

点 D 在 曲线 y=

﹣x0

点 A 和点 C 分 在 x 轴 y 轴的 半轴

点 A B C D 构成的四边

形 方形

1 求 k 的值

2 求点 A 的坐标

考点 方形的性质 比例函数图象 点的坐标特征 全等 角形的判定 性质 分析 1 把 B 的坐标 入求出即可
2 设 MD=a OM=b 求出 ab=4 过 D 作 DM⊥x 轴于 M 过 B 作 BN⊥x 轴于 N 证△ADM≌△BAN 推出 BN=AM=3 MD=AN=a 求出 a=b 求出 a 的值即可 解答 解 1 点 B 3 3 在 曲线 y=
k=3×3=9
2 B33 BN=ON=3 设 MD=a OM=b D 在 曲线 y=﹣ x 0 ﹣ab=﹣4 即 ab=4 过 D 作 DM⊥x 轴于 M 过 B 作 BN⊥x 轴于 N 则∠DMA=∠ANB=90° 四边形 ABCD 是 方形 ∠DAB=90° AD=AB ∠MDA+∠DAM=90° ∠DAM+∠BAN=90° ∠ADM=∠BAN 在△ADM 和△BAN 中
△ADM≌△BAN AAS BN=AM=3 MD=AN=a 0A=3﹣a 即 AM=b+3﹣a=3

a=b ab=4 a=b=2 OA=3﹣2=1
即点 A 的坐标是 1 0 点评 本题考查了 方形的性质 比例函数图象 点的坐标特征 全等 角形的性质和判
定的 用 要考查学生运用性质进行推理和计算的能力 题目比较好 难度适中 7. 2014? 16 3 分 如图 M 比例函数 y=的图象 的一点 MA 垂直 y 轴 垂 足 A △MAO 的面 2 则 k 的值 4

考点 比例函数系数 k 的几何意 题 计算题
分析 根据 比例函数比例系数 k 的几何意 得到|k|=2 然后去 对值得到满足条件的 k 的 值
解答 解 MA 垂直 y 轴
S△AOM=|k| |k|=2 即|k|=4 而k 0
k=4 故答案 4 点评 本题考查了 比例函数比例系数 k 的几何意 在 比例函数 y=的图象中任取一点 过这一个点向 x 轴和 y 轴分 作垂线 坐标轴围成的矩形的面 是定值|k|

8. ( 2014 年河南) 20.9 分 如图 在直角 形 OABC 中 BC//AO ∠AOC=900 点 A、B

的坐标分 (5,0)、(2,6) 点 D AB 一点

BD=2AD. 曲线 y= k x 0 经过点 D, x

交 BC 于点 E.

1 求 曲线的解析式

2 求四边形 ODBE 的面

解 1 过点 B、D 作 x 轴的的垂线 垂足分 点 M、N.

A (5.0)、B 2 6 OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3

DN∥BM, △AND∽△ABM.
DN = AN = AD = 1 BM AM AB 3
DN =2,AN=1, ON=4

y C EB

D

O

M NA x

点 D 的坐标 (4,2) …………………………3 分



曲线 y= k (x 0)经过点 D

x

k=2×4=8

曲线的解析式

8
y=

………………………5 分

x

2 点 E 在 BC

点 E 的纵坐标 6.

又 点 E 在 曲线 y= 8 x

点 E 的坐标

4
( ,6),

CE= 4 ………………………7 分

3

3

S 四边形 ODBE=S 形 OABC S△OCE S△AOD

1

1

1

= ×(BC+OA)×OC ×OC×CE ×OA×DN

2

2

2

1

1 41

= ×(2+5)×6 ×6×

×5×2

2

2 32

=12

四边形 ODBE 的面 12. ………………………………9 分
9. 2014?江苏苏 主第 26 题 8 分 如图 已知函数 y= x 0 的图象经过点 A、B 点 A 的坐标 1 2 过点 A 作 AC∥y 轴 AC=1 点 C 位于点 A 的 方 过点 C 作 CD∥x 轴 函数的图象交于点 D 过点 B 作 BE⊥CD 垂足 E 在线段 CD 连接 OC、OD
1 求△OCD 的面 2 当 BE=AC 时 求 CE 的长

考点 比例函数系数 k 的几何意

比例函数图象 点的坐标特征

分析 1 根据待定系数法 可得函数解析式 根据图象 的点满足函数解析式 可得 D

点坐标 根据 角形的面 公式 可得答案

2 根据 BE 的长 可得 B 点的纵坐标 根据点在函数图象 根据两点间的距离公式 可得答案

可得 B 点横坐标

解答 解 1 y= x 0 的图象经过点 A 1 2

k=2

AC∥y 轴 AC=1

点 C 的坐标 1 1 CD∥x 轴 点 D 在函数图象 点 D 的坐标 2 1

2 BE=

BE⊥CD 点 B 的横坐标是 纵坐标是
CE=
点评 本题考查了 比例函数 k 的几何意 数解析式

利用待定系数法求解析式 图象 的点满足函

10. 2014?江苏 主第 27 题 10 分 如图 将 明 角形 四象限 顶点 A、B 分 在 比例函数 y=图象的两支 D AB 分 x 轴 y 轴相交于点 E、F 已知 B 1 3
1 k= 3 2 说明 AE=BF

3 当四边形 ABCD 的面

时 求点 P 的坐标

PAB 的直角顶点 P 在第 PB⊥x 于点 C PA⊥y 于点

考点 题

比例函数综合题 菁优网
综合题

分析

1 根据 比例函数图象 点的坐标特征易得 k=3

2 设 A 点坐标 a 易得 D 点坐标 0 P 点坐标 1 C 点坐标

根据图形 坐标的关系得到 PB=3﹣ PC=﹣ PA=1﹣a PD=1 则可计算出 =

10 =

∠CPD=∠BPA 根据相似的判定得到△PCD∽△PBA 则∠PCD=∠PBA 于是判断 CD∥BA 根据 行四边形的判定方法易得四边形 BCDE、ADCF 都是 行四边形 所 BE=CD AF=CD 则 BE=AF 于是有 AE=BF

3 利用四边形 ABCD 的面 =S△PAB﹣S△PCD 和 角形面 公式得到? 3﹣ ? 1﹣a ﹣?1? ﹣ = 整理得 2a2+3a=0 然后解方程求出 a 的值 再写出 P 点坐标

解答 解 1 把 B 1 3 故答案 3

入 y=得 k=1×3=3

2 比例函数解析式 y= 设 A 点坐标 a
PB⊥x 于点 C PA⊥y 于点 D D 点坐标 0 P 点坐标 1 PB=3﹣ PC=﹣ PA=1﹣a PD=1

C 点坐标

10

==

=

=

而∠CPD=∠BPA △PCD∽△PBA ∠PCD=∠PBA CD∥BA
而 BC∥DE AD∥FC 四边形 BCDE、ADCF 都是 BE=CD AF=CD BE=AF AF+EF=BE+EF
即 AE=BF

行四边形

3 四边形 ABCD 的面 =S△PAB﹣S△PCD ? 3﹣ ? 1﹣a ﹣?1? ﹣ =
整理得 2a2+3a=0 解得 a1=0 舍去 a2=﹣ P 点坐标 1 ﹣2
点评 本题考查了 比例函数的综合题 掌握 比例函数图象 点的坐标特征、图形 坐 标和 行四边形的判定 性质 会利用 角形相似的知识证明角相等 从而证明直线 行 11. 2014?四 宁 第 23 题 10 分 已知 如图 比例函数 y=的图象 一次函数 y=x+b
的图象交于点 A 1 4 、点 B ﹣4 n
1 求一次函数和 比例函数的解析式
2 求△OAB 的面
3 直接写出一次函数值大于 比例函数值的自变量 x 的取值范围

考点 比例函数 一次函数的交点问题 分析 1 把 A 的坐标 入 比例函数解析式求出 A 的坐标 把 A 的坐标 入一次函数解
析式求出即可 2 求出直线 AB y 轴的交点 C 的坐标 求出△ACO 和△BOC 的面 相 即可 3 根据 A、B 的坐标结合图象即可得出答案
解答 解 1 把 A 点 1 4 分 入 比例函数 y= 一次函数 y=x+b 得 k=1×4 1+b═4 解得 k=4 b=3 比例函数的解析式是 y= 一次函数解析式是 y=x+3

2 如图 当 x=﹣4 时 y=﹣1 B ﹣4 ﹣1 当 y=0 时 x+3=0 x=﹣3 C ﹣3 0

S△AOB=S△AOC+S△BOC=

=

3 B ﹣4 ﹣1 A 1 4 根据图象可知 当 x 1 或﹣4 x 0 时 一次函数值大于 比例函数值 点评 本题考查了一次函数和 比例函数的交点问题 用待定系数法求出一次函数的解析 式 角形的面 一次函数的图象等知识点 题目 有一定的 表性 是一道比较 好的题目 用了数形结合思想

12 2014?四 内江 第 21 题 9 分 如图 一次函数 y=kx+b 的图象 比例函数 y= x

0 的图象交于点 P n 2

x 轴交于点 A ﹣4 0

y 轴交于点 C PB⊥x 轴于

点 B AC=BC

1 求一次函数、 比例函数的解析式

2 比例函数图象 是否存在点 D 使四边形 BCPD 菱形 如果存在 求出点 D 的坐 标 如果 存在 说明理由

考点 比例函数综合题

题 综合题

分析 1 由 AC=BC OC 垂直于 AB 利用 线合一得到 O AB 中点 求出 OB 的

长 确定出 B 坐标 将 P B 坐标 入一次函数解析式求出 k b 的值 确定出一

次函数解析式 将 P 坐标 入 比例解析式求出 m 的值 即可确定出 比例解析式

2 假设存在这样的 D 点 使四边形 BCPD 菱形 如图所示 由一次函数解析式

求出 C 坐标 得出直线 BC 斜 求出过 P BC 行的直线 PD 解析式



例解析式联立求出 D 坐标 验得到四边形 BCPD 菱形 符合题意

解答 解 1 AC=BC CO⊥AB A ﹣4 0

O AB 的中点 即 OA=OB=4

P42 B40

将 A ﹣4 0 P 4 2 入 y=kx+b 得

解得 k= b=1 一次函数解析式 y=x+1
将 P 4 2 入 比例解析式得 m=8 即 比例解析式 y= 2 假设存在这样的 D 点 使四边形 BCPD 菱形 如图所示
对于一次函数 y=x+1 x=0 得到 y=1 即 C 0 1

直线 BC 的斜

=﹣

设过点 P

BC 行的直线解析式 y﹣2=﹣ x﹣4 即 y=

比例解析式联立得

去y得

=

整理得 x2﹣12x+32=0 即 解得 x=4 舍去 或 x=8 当 x=8 时 y=1
D81

x﹣4

x﹣8 =0

时 PD=

=

BC=

=

即 PD=BC PD∥BC 四边形 BCPD
PC=

行四边形 =

即 PC=BC

四边形 BCPD 菱形 满足题意 则 比例函数图象 存在点 D 使四边形 BCPD 菱形 时 D 坐标 8 1

点评 题属于 比例函数综合题 涉及的知识有 待定系数法确定函数解析式 一次函数 比例函数的交点问题 坐标 图形性质 等腰 角形的性质 两点间的距离公式
两直线 行时斜 满足的关系 熟 掌握待定系数法是解本题的关键 13 2014?四 南 第 21 题 8 分 如图 一次函数 y1=kx+b 的图象 比例函数 y2= 的图象相交于点 A 2 5 和点 B y 轴相交于点 C 0 7
1 求这两个函数的解析式 2 当 x 取何值时 y1 y2 分析 1 将点 C、点 A 的坐标 入一次函数解析 式可得 k、b 的值 将点 A 的坐标 入 比例函数解 析式可得 m 的值 继而可得两函数解析式 2 找满足使一次函数图象在 比例函数图象 面的 x 的取值范围 解 1 将点 2 5 、 0 7 入一次函数解析

式可得

解得

一次函数解析式 y=﹣x+7 将点 2 5 入 比例函数解析式 5=
m=10 比例函数解析式 y=

2 由题意 得

解得



点 D 的坐标 5 2

当 0 x 2 或 x 5 时 y1 y2 点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 解答本题的关键是联立解析式 求

出交点坐标

14 2014?四

第 22 题 10 分 如图 一次函数 y=﹣x+2 的图象 比例函数 y=

﹣的图象交于 A、B 两点 x 轴交于 D 点 C、D 两点关于 y 轴对

1 求 A、B 两点的坐标

2 求△ABC 的面

考点 题
分析
解答

比例函数 一次函数的交点问题 计算题

1 根据 比例函数 一次函数的交点问题得到方程



后解方程 即可得到 A、B 两点的坐标 2 先利用 x 轴 点的坐标特征确定 D 点坐标 再利用关于 y 轴对 的
点的坐标特征得到 C 点坐标 然后利用 S△ABC=S△ACD+S△BCD 进行计算

解 1 根据题意得

解方程 得



所 A 点坐标 ﹣1 3 B 点坐标 3 ﹣1

点评

2 把 y=0 入 y=﹣x+2 得﹣x+2=0 解得 x=2 所 D 点坐标 2 0 因 C、D 两点关于 y 轴对 所 C 点坐标 ﹣2 0 所 S△ABC=S△ACD+S△BCD =× 2+2 ×3+× 2+2 ×1 =8 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 求 比例函数 一次函 数的交点坐标 把两个函数关系式联立成方程 求解 若方程 有解则 两者有交点 方程 无解 则两者无交点

15 2014?甘肃白 、临 主第 23 题 10 分 如图 在直角坐标系 xOy 中 直线 y=mx 曲线 相交于 A ﹣1 a 、B 两点 BC⊥x 轴 垂足 C △AOC 的面 是 1
1 求 m、n 的值 2 求直线 AC 的解析式

考点 比例函数 一次函数的交点问题 题 计算题
分析 1 由题意 根据对 性得到 B 的横坐标 1 确定出 C 的坐标 根据 角形 AOC 的面 求出 A 的纵坐标 确定出 A 坐标 将 A 坐标 入一次函数 比例函数解析 式 即可求出 m n 的值 2 设直线 AC 解析式 y=kx+b 将 A C 坐标 入求出 k b 的值 即可确定出 直线 AC 的解析式
解答 解 1 直 y=mx 曲线 y=相交于 A ﹣1 a 、B 两点

B 点横坐标 1 即 C 1 0 △AOC 的面 1 A ﹣1 2 将 A ﹣1 2 入 y=mx y=可得 m=﹣2 n=﹣2 2 设直线 AC 的解析式 y=kx+b y=kx+b 经过点 A ﹣1 2 、C 1 0
解得 k=﹣1 b=1 直线 AC 的解析式 y=﹣x+1

点评 题考查了一次函数 比例函数的交点问题 涉及的知识有 比例函数的图象

性质 待定系数法确定函数解析式 熟 掌握待定系数法是解本题的关键

16 2014?甘肃 主第 2 题 么 分 如图 直线 y=mx 的坐标 1 2
1 求 比例函数的表达式 2 根据图象直接写出当 mx 时 x 的取值范围 3 计算线段 AB 的长

曲线 y=相交于 A、B 两点 A 点

考点 比例函数 一次函数的交点问题 分析 1 把 A 的坐标 入 比例函数的解析式即可求出答案
2 求出直线的解析式 解 成的方程 求出 B 的坐标 根据 A、B 的坐标结合图 象即可得出答案

3 根据 A、B 的坐标 利用勾股定理分 求出 OA、OB 即可得出答案 解答 解 1 把 A 1 2 入 y=得 k=2
即 比例函数的表达式是 y=
2 把 A 1 2 入 y=mx 得 m=2 即直线的解析式是 y=2x 解方程 得出 B 点的坐标是 ﹣1 ﹣2
当 mx 时 x 的取值范围是﹣1 x 0 或 x 1
3 过 A 作 AC⊥x 轴于 C A12 AC=2 OC=1 由勾股定理得 AO== 同理求出 OB= AB=2  点评 本题考查了一次函数和 比例函数的交点问题 用待定系数法求函数的解析式的 用 要考查学生的理解能力和观察图象的能力 题目比较 型 难度 大 17 2014?广 主第 21 题 12 分 已知一次函数的图像 比例函数的图像交于两点 点的横坐标 2 1 求的值和点的坐标
2 判断点的象限 并说明理由
考点 1 一次函数 2 比例函数 3 函数图象求交点坐标
分析 第 1 问根据点是两个图象的交点 将 入联立之后的方程可求出 再将点
的横坐标 入函数表达式求出纵坐标 第 2 问根据一次函数 比例函数的解
析式分析两图像经过的象限 得出两图像交点所在象限. 题 要考查 比例函数
一次函数的性质
答案 解 1 将 联立得
 1
点是两个函数图象交点 将 入 1 式得
解得
故一次函数解析式  比例函数解析式 
将 入得 
的坐标 
2 点在第四象限 理由如
一次函数经过第一、 、四象限 比例函数经过第二、四象限

因 它们的交点都是在第四象限.
18 2014?广东 主第 1 题 7 分 已知 比例函数 y=的图象经过点 M 2 1 1 求该函数的表达式 2 当 2 x 4 时 求 y 的取值范围 直接写出结果

考点 待定系数法求 比例函数解析式 比例函数的性质

分析 1 利用待定系数法把 2 1 入 比例函数 y=中可得 k 的值 进而得到解析式

2 根据 y=可得 x= 再根据条件 2 x 4 可得 2 4 再解 等式即可

解答 解 1

比例函数 y=的图象经过点 M 2 1

k=2×1=2

该函数的表达式 y=

2 y= x= 2x4 24 解得 y 1 点评 题 要考查了待定系数法求 确确定函数解析式

比例函数解析式

及 比例函数的性质 关键是

一、选择题

比例函数

1. 2014?海南主第 14 题 3 分 已知 k1 0 k2 则函数 y=k1x 和 y=

角坐标系中大致是

A

B

C

的图象在同一 面直 D

考点 比例函数的图象 题 数形结合

比例函数的图象 .

分析 根据 比例函数 y= k≠0 当 k 0 时 图象分布在第二、四象限和一次函数图象

系数的关系进行判断

解答 解 k1 0 k2

函数 y=k1x 的结果第一、 象限 比例 y= 的图象分布在第二、四象限

故选 C 点评 本题考查了 比例函数的图象

比例函数 y= k≠0

曲线 当 k 0 时 图象

分布在第一、 象限 当 k 0 时 图象分布在第二、四象限 也考查了一次函数图



2. 2014? 江 主第 16 题 3 分 如图 过点 O 作直线 曲线 y= k≠0 交于 A、B

两点 过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C 作 BD⊥y 轴于点 D 在 x 轴 分 取点 E、F 使点 A、

E、F 在同一条直线

AE=AF 设图中矩形 ODBC 的面 S1 △EOF 的面 S2

则 S1、S2 的数量关系是

A S1=S2

B 2S1=S2

C 3S1=S2

D 4S1=S2

考点 比例函数系数 k 的几何意

分析 根据题意 易得 AB 两点关 原点对 可设 A 点坐标 m n 则 B 的坐标 ﹣

m ﹣n 在 Rt△EOF 中 由 AE=AF 可得 A OCBD 中 易得 S1 比较可得答案 解答 解 设 A 点坐标 m n

EF 中点 分析计算可得 S2 矩形

过点 O 的直线 曲线 y=交于 A、B 两点 则 A、B 两点关 原点对 则 B 的坐

标 ﹣m ﹣n

矩形 OCBD 中 易得 OD=﹣n OC=m 则 S1=﹣mn 在 Rt△EOF 中 AE=AF 故 A EF 中点

由中位线的性质可得 OF=﹣2n OE=2m

则 S2=OF×OE=﹣4mn 故 2S1=S2 故选 B

点评 本题考查 比例函数系数 k 的几何意 过 曲线 的任意一点分 向两条坐标轴作

垂线 坐标轴围成的矩形面 就等于|k| 本知识点是中考的重要考点 同学们 高

度关注

3. 2014? 第 14 题 3 分 定 新运算 a b=

例如 4 5= 4 ﹣5

= 则函数 y=2 x x≠0 的图象大致是

A

B

C

D

考点 比例函数的图象 题 新定
分析
根据题意可得 y=2 x=

再根据 比例函数的性质可得函数图象所

在象限和形 解答

进而得到答案

解 由题意得 y=2 x=

当 x 0 时 比例函数 y=在第一象限

当 x 0 时 比例函数 y=﹣在第二象限

又因 比例函数图象是 曲线 因 D 选项符合

故选 D

点评 题 要考查了 比例函数的性质 关键是掌握 比例函数的图象是 曲线

4、 2014?随 第 8 题 3 分 关于 比例函数 y=的图象 列说法 确的是

A 图象经过点 1 1

B 两个分支分布在第二、四象限

C 两个分支关于 x 轴成轴对

D 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小

考点 比例函数的性质

分析 根据 比例函数的性质 k=2 0 函数位于一、 象限 在每一象限 y 随 x 的增大而

减小

解答 解 A、把点 1 1 入 比例函数 y=得 2≠1 成立 故选项错误

B、 k=2 0 它的图象在第一、 象限 故选项错误

C、图象的两个分支关于 y=﹣x 对 故错误

D、当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 故选项 确

故选 D

点评 本题考查了 比例函数 y= k≠0 的性质

当 k 0 时 图象分 位于第一、 象限 当 k 0 时 图象分 位于第二、四象限

当 k 0 时 在同一个象限内 y 随 x 的增大而减小 当 k 0 时 在同一个象限 y

随 x 的增大而增大

5、 2014 宁 第 5 题 3 分 已知两点 P1 x1 y1 、P2 x2 y2 在函数 y=的图象 当 x1 x2 0 时 列结论 确的是

A 0 y1 y2

B 0 y2 y1

C y1 y2 0

D y2 y1 0

考点 比例函数图象 点的坐标特征

题 计算题

分析 根据 比例函数图象 点的坐标特征得 y1=

y2=

y2 的大小 解答 解 把点 P1 x1 y1 、P2 x2 y2

入 y=得 y1=

然后利用求差法比较 y1 y2=

则 y1﹣y2= ﹣ =

x1 x2 0

y1﹣y2=

0

即 y1 y2 故选 A 点评 本题考查了 比例函数图象 点的坐标特征 比例函数 y= k 常数 k≠0 的图 象是 曲线 图象 的点 x y 的横纵坐标的 是定值 k 即 xy=k 6 2014?四 广安主第 8 题 3 分 如图 一次函数 y1=k1x+b k1、b 常数 k1≠0 的图
象 比例函数 y2= k2 常数 k2≠0 的图象都经过点 A 2 3 则当 x 2 时
y1 y2 的大小关系

A y1 y2

B y1=y2

C y1 y2

D

说法都 对

考点 比例函数 一次函数的交点问题 分析 根据两函数的交点坐标 结合图象得出答案即可 解答 解 两图象都经过点 A 2 3
根据图象当 x 2 时 y1 y2 故选 A 点评 本题考查了一次函数和 比例函数的交点问题的 用 要考查学生的理解能力和观 察图象的能力 题目比较 型 难度 大 7 2014?重 A主第 12 题 4 分 如图 比例函数 y=﹣在第二象限的图象 有两点 A、B 它们的横坐标分 ﹣1 ﹣3 直线 AB x 轴交于点 C 则△AOC 的面

A

8B

10 C

12 D 24

考点

比例函数系数 k 的几何意

分析 根据已知点横坐标得出 纵坐标 进而求出直线 AB 的解析式 求出直线 AB x

轴横坐标交点 即可得出△AOC 的面

解答 解

比例函数 y=﹣在第二象限的图象 有两点 A、B 它们的横坐标分 ﹣

1 ﹣3

x=﹣1 y=6 x=﹣3 y=2

A ﹣1 6 B ﹣3 2

设直线 AB 的解析式 y=kx+b 则

解得

解得 y=2x+8 y=0 时 x=﹣4

CO=4

△AOC 的面

×6×4=12

故选 C

点评

题 要考查了 比例函数系数 k 的几何意

得出直线 AB 的解析式是解题关键

及待定系数法求一次函数解析式

8 4 分 2014?贵 黔西南 , 第 9 题 4 分 已知如图 一次函数 y=ax+b 和 比例函数

y=的图象相交于 A、B 两点 等式 ax+b 的解集

第 1 题图

A x ﹣3

B ﹣3 x 0 或 x 1 C x ﹣3 或 x 1 D ﹣3 x 1

考点

比例函数 一次函数的交点问题

题 数形结合

分析 观察函数图象得到当﹣3 x 0 或 x 1 时 一次函数图象都在 比例函数图象 方

即有 ax+b

解答 解 等式 ax+b 的解集 ﹣3 x 0 或 x 1

故选 B

点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 比例函数 一次函数图象的交点坐

标满足两函数解析式 也考查了观察函数图象的能力

9. (2014? 江 图象大致是

江, 第 9 题 3 分)在同一直角坐标系中 函数 y=kx+1 y=﹣ k≠0 的

A

B

C

D

考点

比例函数的图象 一次函数的图象

题 数形结合

分析 先根据一次函数图象 系数的关系得到 k 的范围 然后根据 k 的范围判断 比例函 数图象的位置

解答 解 A、对于 y=kx+1 经过第一、 象限 则 k 0 所 比例函数图象 该分布

在第二、四象限 所 A 选项错误

B、一次函数 y=kx+1 y 轴的交点在 x 轴 方 所 B 选项错误

C、对于 y=kx+1 经过第二、四象限 则 k 0 所 比例函数图象 该分布在第一、 象

限 所 C 选项错误

D、对于 y=kx+1 经过第二、四象限 则 k 0 所 比例函数图象 该分布在第一、 象

限 所 D 选项 确

故选 D

点评 本题考查了 比例函数图象 比例函数 y= k≠0

曲线 当 k 0 时 图象

分布在第一、 象限 当 k 0 时 图象分布在第二、四象限 也考查了一次函数图象

10 2014?

第 8 题 3 分 函数 y= y=﹣kx2+k k≠0 在同一直角坐标系中的图象可

能是

A

B

C

D

考点 二次函数的图象 比例函数的图象 .
分析 本题可先由 比例函数的图象得到 系数的 负 再 二次函数的图象相比较看是 否一致
解答 解 由解析式 y=﹣kx2+k 可得 抛物线对 轴 x=0 A、由 曲线的两支分 位于二、四象限 可得 k 0 则﹣k 0 抛物线开口方向向 、抛物线 y 轴的交点 y 轴的负半轴 本图象 k 的取值相矛盾 错误 B、由 曲线的两支分 位于一、 象限 可得 k 0 则﹣k 0 物线开口方向向 、 抛物线 y 轴的交点在 y 轴的 半轴 本图象符合题意 确 C、由 曲线的两支分 位于一、 象限 可得 k 0 则﹣k 0 物线开口方向向 、 抛物线 y 轴的交点在 y 轴的 半轴 本图象 k 的取值相矛盾 错误 D、由 曲线的两支分 位于一、 象限 可得 k 0 则﹣k 0 物线开口方向向 、 抛物线 y 轴的交点在 y 轴的 半轴 本图象 k 的取值相矛盾 错误 故选 B

点评 本题 要考查了二次函数及 比例函数和图象 解决 类问题 一般 据图象的特点判断 k 取值是否矛盾 2 根据二次函数图象判断抛物线 是否符合要求

1 先根 y 轴的交点

11. 2014? 山 第 8 题 3 分 的图象可能是

比例函数 y= 一次函数 y=kx﹣k+2 在同一直角坐标系中

A

B

C

D

考点 比例函数的图象 一次函数的图象 . 分析 根据 比例函数所在的象限判定 k 的符号 然后根据 k 的符号判定一次函数图象所经
过的象限 解答 解 A、如图所示 比例函数图象经过第一、 象限 则 k 0 所 一次函数图象
经过的一、 象限 图示 符 故本选项错误 B、如图所示 比例函数图象经过第二、四象限 则 k 0 ﹣k+2 0 所 一次函 数图象经过的一、二、四象限 图示 符 故本选项错误 C、如图所示 比例函数图象经过第二、四象限 则 k 0 ﹣k+2 0 所 一次函 数图象经过的一、二、四象限 图示 符 故本选项错误 D、如图所示 比例函数图象经过第二、四象限 则 k 0 ﹣k+2 0 所 一次函 数图象经过的一、二、四象限 图示一致 故本选项 确 故选 D 点评 本题 要考查了 比例函数的图象性质和一次函数的图象性质 要掌握它们的性质才 能灵活解题 12. 2014? 山 第 10 题 3 分 如图 点 P ﹣1 1 在 曲线 过点 P 的直线 l1 坐 标轴分 交于 A、B 两点 tan∠BAO=1 点 M 是该 曲线在第四象限 的一点 过点 M 的直线 l2 曲线只有一个公 点 并 坐标轴分 交于点 C、点 D 则四边形 ABCD 的 面 最小值

A 10

B8

C6

D 确定

考点 比例函数综合题 根的判 式 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求 比 例函数解析式 比例函数 一次函数的交点问题 .
题 综合题 待定系数法 方法 判 式法 分析 根据条件可 求出直线 l1 的解析式 从而求出点 A、点 B 的坐标 根据条件可 求

出 比例函数的解析式 y=﹣ 从而可 设点 M 的坐标 a ﹣ 设直线 l2 的解

析式 y=bx+c 根据条件“过点 M 的直线 l2

曲线只有一个公 点”可 得到

b= c=﹣ 进而得到 D 的坐标 0 ﹣ 、点 C 的坐标 2a 0 由 AC⊥BD 得到 S 四边形 ABCD=AC?BD 通过 简、 方即可得到 S 四边形 ABCD=8+2 ﹣

2 从而可 求出 S 四边形 ABCD 的最小值 8 解答 解 设 比例函数的解析式 y=

点 P ﹣1 1 在 比例函数 y=的图象 k=xy=﹣1

比例函数的解析式 y=﹣ 设直线 l1 的解析式 y=mx+n

当 x=0 时 y=n 则点 B 的坐标 0 n OB=n 当 y=0 时 x=﹣ 则点 A 的坐标 ﹣ 0 OA=

tan∠BAO=1 ∠AOB=90°

OB=OA

n=

m=1 点 P ﹣1 1 在一次函数 y=mx+n 的图象

﹣m+n=1

n=2

点 A 的坐标 ﹣2 0 点 B 的坐标 0 2 点 M 在第四象限 在 比例函数 y=﹣的图象

可设点 M 的坐标 a ﹣ 设直线 l2 的解析式 y=bx+c

中a 0

则 ab+c=﹣

c=﹣﹣ab y=bx﹣﹣ab

直线 y=bx﹣﹣ab 曲线 y=﹣只有一个交点 方程 bx﹣﹣ab=﹣即 bx2﹣ +ab x+1=0 有两个相等的实根

[﹣ +ab ]2﹣4b= +ab 2﹣4b= ﹣ab 2=0

=ab

b= c=﹣

直线 l2 的解析式 y= x﹣
当 x=0 时 y=﹣ 则点 D 的坐标 0 ﹣ 当 y=0 时 x=2a 则点 C 的坐标 2a 0
AC=2a﹣ ﹣2 =2a+2 BD=2﹣ ﹣ =2+ AC⊥BD

S 四边形 ABCD=AC?BD = 2a+2 2+ =4+2 a+

=4+2[ ﹣ 2+2]

=8+2 ﹣ 2

2 ﹣ 2≥0 S 四边形 ABCD≥8

当 当 ﹣ =0 即 a=1 时 S 四边形 ABCD 取到最小值 8

故选 B

点评 本题考查了用待定系数法求 比例函数及一次函数的解析式、根的判 式、 曲线

直线的交点等知识 考查了用 方法求 数式的最值 出了对能力的考查 是一道

好题

13 (2014 广西南宁 第 12 题 3 分 已知点 A 在 曲线 y=﹣ 点 B 在直线 y=x﹣4

A B 两点关于 y 轴对 设点 A 的坐标 m n 则+的值是

A

﹣10

B ﹣8

C 6D 4

考点

比例函数图象 点的坐标特征 一次函数图象 点的坐标特征 关于 x 轴、y 轴

对 的点的坐标 .

分析 先根据 A、B 两点关于 y 轴对 用 m、n 表示出点 B 的坐标 再根据点 A 在 曲

线 y=﹣ 点 B 在直线 y=x﹣4 得出 mn m+n 的值 入 数式进行计算即可

解答 解 点 A 的坐标 m n A、B 两点关于 y 轴对

B ﹣m n

点 A 在 曲线 y=﹣ 点 B 在直线 y=x﹣4

n=﹣ ﹣m﹣4=n 即 mn=﹣2 m+n=﹣4

原式=

= =﹣10

故选 A

点评 本题考查的是 比例函数图象 点的坐标特点 熟知 比例函数图象 各点的坐标

一定适合 函数的解析式是解答 题的关键

14 (2014 广西

第 11 题 3 分)如图 比例函数 y=x 比例函数 y=的图象交于 A

2 2 、B ﹣2 ﹣2 两点 当 y=x 的函数值大于 y=的函数值时 x 的取值范围是

A

x2

B x ﹣2

C ﹣2 x 0 或 0 x

2D

﹣2 x 0 或 x 2

考点 题

比例函数 一次函数的交点问题 \
数形结合

分析 观察函数图象得到当﹣2 x 0 或 x 2 时 比例函数图象都在 比例函数图象

方 即有 y=x 的函数值大于 y=的函数值

解答 解 当﹣2 x 0 或 x 2 时 y=x 的函数值大于 y=的函数值

故选 D

点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 比例函数 一次函数图象的交点

坐标满足两函数解析式 也考查了待定系数法求函数解析式 及观察函数图象的能力

15 (2014 贵 安 第 7 题 3 分)如果点 A ﹣2 y1 B ﹣1 y2 C 2 y3 都

在 比例函数

的图象 那 y1 y2 y3 的大小关系是

A D y3 y2 y1

y1 y3 y2

B y2 y1 y3

C y1 y2 y3

考点 分析 解答

比例函数图象 点的坐标特征 .
分 把 x=﹣2 x=﹣1 x=2 入解析式求出 y1、y2、y3 根据 k 解 分 把 x=﹣2 x=﹣1 x=2 入解析式得

y1=﹣ y2=﹣k y3= k0

y2 y1 y3 故选 B

点评 本题 要考查对 比例函数图象 点的坐标特征的理解和掌握

y1、y2、y3 的大小是解 题的关键 16

0 判断即可 能根据 k 0 确定

二、填空题

1. 2014?湖南 阳主第 18 题 3 分 若点 P1 ﹣1 m

0 的图象 则 m=

n 填“ ”“ ”或“=”号

P2 ﹣2 n 在 比例函数 y= k

考点 题

比例函数图象 点的坐标特征 .
计算题

分析

根据 比例函数图象 点的坐标特征得到﹣1?m=k ﹣2?n=k 解得 m=﹣k

n=﹣ 然后利用 k 0 比较 m、n 的大小

解答

解 P1 ﹣1 m P2 ﹣2 n 在 比例函数 y= k 0 的图象

﹣1?m=k ﹣2?n=k

m=﹣k n=﹣

而k 0

mn

故答案

点评

本题考查了 比例函数图象 点的坐标特征 比例函数 y= k 常数 k≠0

的图象是 曲线 图象 的点 x y 的横纵坐标的 是定值 k 即 xy=k

2. 2014?湖南 主第 13 题 3 分 已知点 A 1 y1 B ﹣2 y2 在 比例函数 y= k

0 的图象 则 y1

y2 填“ ”“ ”或“=”

考点 比例函数图象 点的坐标特征 .

分析 先根据 比例函数的性质判断出函数图象所在的象限 再判断出在每一象限内的增减

性 根据点 A 1 y1 B ﹣2 y2 即可得出结论

解答 解

比例函数 y=中 k 0

函数的图象在一 象限

A 1 y1 B ﹣2 y2

点 A 在第一象限 点 B 在第 象限

y1 0 y2 0

y1 y2

故答案

点评 本题考查的是 比例函数图象 点的坐标特点 熟知 比例函数图象 点的坐标一定

适合 函数的解析式是解答 题的关键

3.

2014

阳 第 18 题 3 分 若点 P1 (?1 m) 和点 P2 (?2 n) 都在

比例函数 y = k (k > 0)
x

的图象 则 m

n 填 >、< 或 = 号

考点 比例函数图像的性质

解析

0 时 图像在一 象限 在每一象限 随 增大而减小

又0 1 2

答案

点评 比例函数图像的性质 用是 题 就考查一个知识点 0 比例函数

随 的增大而减小

性质 注意数形结合

4、 2014?无 第 14 题 2 分 已知 曲线 y= 经过点 ﹣2 1 则 k 的值等于 ﹣1

考点 比例函数图象 点的坐标特征 分析 直接把点 ﹣2 1 入 曲线 y=

解答 解

曲线 y= 经过点 ﹣2 1

求出 k 的值即可

1=
解得 k=﹣1 故答案 ﹣1 点评 本题考查的是 比例函数图象 点的坐标特点 即 比例函数图象 各点的坐标一定 适合 函数的解析式 5、 2014 宁 第 24 题 8 分 在 面直角坐标系中 已知 比例函数 y=的图象经过点 A 1 1 确定 比例函数的解析式

2 点 O 是坐标原点 将线段 OA O 点 时 比例函数的图象 并说明理由

30°得到线段 OB 判断点 B 是否在

考点 比例函数图象 点的坐标特征 待定系数法求 比例函数解析式 勾股定理 坐标 图形变 -
分析 1 根据 比例函数图象 点的坐标特征计算 k 的值 2 过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C 过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D 在 Rt
△AOC 中 根据勾股定理计算出 OA=2 利用 30 度的直角 角形 边的关系得到 ∠OAC=30° 则∠AOC=60° 再根据 的性质得∠AOB=30° OB=OA=2 所 ∠ BOD=30° 在 Rt△BOD 中 计算出 BD=OB=1 OD= BD= 于是得到 B 点坐标
1 然后根据 比例函数图象 点的坐标特征判断 B 点在 比例函数图象

解答 解 1 把 A 1 得 k=1× =

入 y=

比例函数的解析式 y=

2 点 B 在 比例函数的图象 理由如 过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C 过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D 如图

在 Rt△AOC 中 OC=1 AC= OA=

=2

∠OAC=30°

∠AOC=60°

线段 OA O 点 时

∠AOB=30° OB=OA=2

∠BOD=30°

在 Rt△BOD 中 BD=OB=1

B 点坐标

1

30°得到线段 OB OD= BD=

当 x= 时 y= =1

点B

1 在 比例函数

的图象

点评 本题考查了 比例函数图象 点的坐标特征 比例函数 y= k 常数 k≠0 的图 象是 曲线 图象 的点 x y 的横纵坐标的 是定值 k 即 xy=k 也考查了 的性质和勾股定理

6 (2014? 西主第 16 题 3 分)已知 P1 x1 y1 P2 x2 y2 是同一个 比例函数图象 的

两点 若 x2=x1+2

= + 则这个 比例函数的表达式 y=

考点 分析

比例函数图象 点的坐标特征 菁优网
设这个 比例函数的表达式 y= 将 P1 x1 y1 P2 x2 y2

入得 x1?y1=x2?y2=k

所=

=

由 = + 得 x2﹣x1 =

将 x2=x1+2 入 求出 k=4 得出这个 比例函数的表达式 y= 解答 解 设这个 比例函数的表达式 y=
P1 x1 y1 P2 x2 y2 是同一个 比例函数图象 的两点 x1?y1=x2?y2=k

=

=

=+

=+

x2﹣x1 = x2=x1+2 ×2= k=4 这个 比例函数的表达式 y= 故答案 y= 点评 本题考查了 比例函数图象 的 等于比例系数 同时考查了式

点的坐标特征 所有在 的变形

比例函数

的点的横纵坐标

7 2014?浙江 主第 1 题 分 如图 边长 n 的 方形 OABC 的边 OA OC 在坐标 轴 点 A1 A2…An﹣1 OA 的 n 等分点 点 B1 B2…Bn﹣1 CB 的 n 等分点 连结 A1B1

A2B2 …An﹣1Bn﹣1 分 交曲线 y=

x 0 于点 C1 C2 … Cn﹣1 若 C15B15=16C15A15

则 n 的值 17 n 整数

考点 比例函数图象 点的坐标特征

题 规律型

分析 先根据 方形 OABC 的边长 n 点 A1 A2…An﹣1 OA 的 n 等分点 点 B1 B2…Bn ﹣1 CB 的 n 等分点可知 OA15=15 OB15=15 再根据 C15B15=16C15A15 表示出 C15 的坐标 入 比例函数的解析式求出 n 的值即可

解答 解

方形 OABC 的边长 n 点 A1 A2…An﹣1 OA 的 n 等分点 点 B1 B2…Bn

﹣1 CB 的 n 等分点 OA15=15 OB15=15

C15B15=16C15A15

C15 15

点 C15 在曲线 y=

x0

15× =n﹣2 解得 n=17

故答案 17 点评 本题考查的是 比例函数图象 点的坐标特点 熟知 比例函数图象
是解答 题的关键

k=xy

定值

8 2014?四 成都主第 2 题 4 分 如图 在 面直角坐标系 xOy 中 直线 y=x 曲线 y= 相交于 A B 两点 C 是第一象限内 曲线 一点 连接 CA 并延长交 y 轴于点 P 连接 BP
BC 若△PBC 的面 是 20 则点 C 的坐标

考点 比例函数 一次函数的交点问题

题 计算题 分析 BC 交 y 轴于 D 设 C 点坐标 a 根据 比例函数 一次函数的交点问题解方程

可得到 A 点坐标 2 3 B 点坐标 ﹣2 ﹣3 再利用待定系数法

确定直线 BC 的解析式 y=x+﹣3 直线 AC 的解析式 y=﹣x++3 于是利用 y 轴 点的坐标特征得到 D 点坐标 0 ﹣3 P 点坐标 0 +3 然后利用 S△PBC=S△PBD+S△CPD 得到关于 a 的方程 求出 a 的值即可得到 C 点坐标 解答 解 BC 交 y 轴于 D 如图 设 C 点坐标 a

解方程

得或

A 点坐标 2 3 B 点坐标 设直线 BC 的解析式 y=kx+b

﹣2 ﹣3

把 B ﹣2 ﹣3 、C a 入得

解得

直线 BC 的解析式 y=x+﹣3 当 x=0 时 y=x+﹣3=﹣3
D 点坐标 0 ﹣3 设直线 AC 的解析式 y=mx+n

把 A 2 3 、C a 入得

解得

直线 AC 的解析式 y=﹣x++3 当 x=0 时 y=x++3=+3
P 点坐标 0 +3 S△PBC=S△PBD+S△CPD ×2×6+×a×6=20 解得 a=
C 点坐标
故答案

点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 求 比例函数 一次函数的交点坐

标 把两个函数关系式联立成方程 求解 若方程 有解则两者有交点 方程 无解

则两者无交 也考查了待定系数法求一次函数的解析式

9 2014?湖

,第 17 题 3 分 如图 已知点 A 是 曲线 y=在第一象限的分支 的一个

动点 连结 AO 并延长交另一分支于点 B AB 边作等边△ABC 点 C 在第四象限 随

着点 A 的运动 点 C 的位置也 断变

点 C 始终在 曲线 y= k 0 运动 则 k 的

值是 ﹣6

考点

第 2 题图 比例函数图象 点的坐标特征 等边 角形的性质 相似 角形的判定 性质

特 角的 角函数值

题 动点型

分析 连接 OC 易证 AO⊥OC OC= OA 由∠AOC=90°想到构造 K 型相似 过点 A

作 AE⊥y 轴 垂足 E 过点 C 作 CF⊥y 轴 垂足 F 可证△AEO∽△OFC 从而得到 OF= AE FC= EO..设点 A 坐标 a b 则 ab=2 可得 FC?OF=6 设点 C 坐标 x

y 从而有 FC?OF=﹣xy=﹣6 即 k=xy=﹣6

解答 解

曲线 y=关于原点对

点 A 点 B 关于原点对

OA=OB

连接 OC 如图所示 △ABC 是等边 角形 OA=OB

OC⊥AB ∠BAC=60°

tan∠OAC= =

OC= OA 过点 A 作 AE⊥y 轴 垂足 E 过点 C 作 CF⊥y 轴 垂足 F
AE⊥OE CF⊥OF OC⊥OA

∠AEO=∠FOC ∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF △AEO∽△OFC
==
OC= OA OF= AE FC= EO 设点 A 坐标 a b 点 A 在第一象限 AE=a OE=b OF= AE= a FC= EO= b 点 A 在 曲线 y= ab=2 FC?OF= b? a=3ab=6 设点 C 坐标 x y 点 C 在第四象限 FC=x OF=﹣y FC?OF=x? ﹣y =﹣xy =6 xy=﹣6 点 C 在 曲线 y= k=xy=﹣6 故答案 ﹣6

点评 本题考查了等边 角形的性质、 比例函数的性质、相似 角形的判定 性质、点 坐标之间的关系、特 角的 角函数值等知识 有一定的难度 由∠AOC=90°联想到构
造 K 型相似是解答本题的关键

10 2014?

第 16 题 4 分 已知一次函数 y=ax+b 比例函数 的图象相交于 A

4 2 、B ﹣2 m 两点 则一次函数的表达式 y=x﹣2

考点 比例函数 一次函数的交点问题 . 题 计算题
分析 先把 A 点坐标 入 中求出 k 得到

比例函数解析式

y= 再利用 比例函数

解析式确定 B 定坐标 然后利用待定系数法求一次函数解析式 解答 解 把 A 4 2 入 得 k=4×2=8

所 比例函数解析式 y= 把 B ﹣2 m 入 y=得﹣2m=8 解得 m=﹣4
把 A 4 2 、B ﹣2 ﹣4 入 y=ax+b 得

解得

所 一次函数解析式 y=x﹣2

故答案 y=x﹣2

点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 比例函数 一次函数图象的交点坐

标满足两函数解析式 也考查了待定系数法求函数解析式

11. 2014?山西 第 13 题 3 分 如图 已知一次函数 y=kx﹣4 的图象 x 轴、y 轴分 交

于 A、B 两点

比例函数 y=在第一象限内的图象交于点 C A BC 的中点 则 k=

4

考点 题

比例函数 一次函数的交点问题 .
计算题

分析

先确定 B 点坐标 根据 A BC 的中点 则点 C 和点 B 关于点 A 中心对

所 C 点的纵坐标 4 再利用 比例函数图象 点的坐标特征可确定 C 点坐标 然后把 C

点坐标 入 y=kx﹣4 即可得到 k 的值

解答

解 把 y=0 入 y=kx﹣4 得 y=﹣4 则 B 点坐标 0 ﹣4

A BC 的中点

C 点的纵坐标 4

把 y=4 入 y=得 x=2

C 点坐标 2 4

把 C 2 4 入 y=kx﹣4 得 2k﹣4=4 解得 k=4

故答案 4

点评

本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 比例函数 一次函数图象

的交点坐标满足两函数解析式

12 2014?

第 16 题 4 分 如图 点 E F 在函数 y= x 0 的图象 直线 EF

分 x 轴、y 轴交于点 A B BE BF=1 m 过点 E 作 EP⊥y 轴于 P 已知△OEP

的面 1 则 k 值是 2 △OEF 的面 是

用 m 的式 表示

考点 比例函数综合题 .
题 综合题 分析 作 EC⊥x 轴于 C FD⊥x 轴于 D FH⊥y 轴于 H 根据 比例函数的比例系数的几何
意 由△OEP 的面 1 易得 k=2 则 比例函数解析式 y= 再证明 △BPE∽△BHF 利用相似比可得 HF=mPE 根据 比例函数图象 点的坐标特征

设 E 点坐标 t 则 F 点的坐标 tm

由于 S△OEF+S△OFD=S△OEC+S 形

ECDF S△OFD=S△OEC=1 所 S△OEF=S 形 ECDF 然后根据 形面 解答 解 作 EC⊥x 轴于 C FD⊥x 轴于 D FH⊥y 轴于 H 如图
△OEP 的面 1
|k|=1 而k 0
k=2 比例函数解析式 y=
EP⊥y 轴 FH⊥y 轴 EP∥FH △BPE∽△BHF

公式计算

= = 即 HF=mPE

设 E 点坐标 t 则 F 点的坐标 tm

S△OEF+S△OFD=S△OEC+S 形 ECDF 而 S△OFD=S△OEC=1

S△OEF=S 形 ECDF=

+ tm﹣t

= +1 m﹣1

=

故答案 2

点评 本题考查了 比例函数的综合题 掌握 比例函数图象 点的坐标特征、 比例函数 的比例系数的几何意 会利用相似比确定线段之间的关系

13 2014?黔南

第 16 题 5 分 如图 比例函数 y1=k1x 比例函数 y2= 的图象交
于 A、B 两点 根据图象可直接写出当 y1 y2 时 x 的取值 范围是 ﹣1 x 0 或 x 1

考点 比例函数 一次函数的交点问题

题 计算题

分析 先根据 比例函数图象和 比例函数图象的性质得到点 A 点 B 关于原点对 则 B

点坐标 ﹣1 ﹣2 然后观察函数图象 当﹣1 x 0 或 x 1 时 比例函数图

象都在 比例函数图象 方 即有 y1 y2

解答 解

比例函数 y1=k1x 比例函数 y2=

的图象交于 A、B 两点

点 A 点 B 关于原点对 B 点坐标 ﹣1 ﹣2 当﹣1 x 0 或 x 1 时 y1 y2 故答案 ﹣1 x 0 或 x 1 点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题

比例函数 一次函数图象的交点坐

标满足两函数解析式 也考查了待定系数法求函数解析式 及观察函数图象的能力

14

、解答题 1. 2014?湖

主第 1么 题 7 分 表中 y 是 x 的一次函数

x

﹣2

1

2

y

6

﹣3

﹣6

1 求该函数的表达式 并 全表

4 ﹣12

5 ﹣15

2 已知该函数图象 一点 M 1 ﹣3 也在 比例函数 y=图象 另一交点 N 的坐标

求这两个函数图象的

考点 分析

比例函数 一次函数的交点问题 待定系数法求一次函数解析式

21



1 设 y=kx+b 将点 ﹣2 6 、 5 ﹣15 入可得函数解析式 也可 全表

2 将点 M 的坐标 入 可得 m 的值 联立一次函数及 比例函数解析式可得另一

交点坐标

解答 解 1 设该一次函数 y=kx+b k≠0

当 x=﹣2 时 y=6 当 x=1 时 y=﹣3

解得
一次函数的表达式 y=﹣3x 当 x=2 时 y=﹣6 当 y=﹣12 时 x=4
全表 如题中所示
2 点 M 1 ﹣3 在 比例函数 y= m≠0 ﹣3= m=﹣3
比例函数解析式 y=﹣
联立可得

解得



另一交点坐标 ﹣1 3 点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 解答本题的关键是熟 待定系数法的
运用 难度一般 2. 2014?四 成都主第 1么 题 10 分 如图 一次函数 y=kx+5 k 常数 k≠0 的图象
比例函数 y=﹣的函数交于 A ﹣2 b B 两点 1 求一次函数的表达式 2 若将直线 AB 向 移 m m 0 个单位长度后 比例函数的图象有 只有一个公 点 求 m 的值

考点 题
分析

比例函数 一次函数的交点问题 一次函数图象 几何变换 计算题
1 先利用 比例函数解析式 y=﹣求出 b=4 得到 A 点坐标 ﹣2 点坐标 入 y=kx+5 中求出 k 从而得到一次函数解析式 y=x+5
2 由于将直线 AB 向 移 m m 0 个单位长度得直线解析式

4 然后把 A y=x+5﹣m

则直线 y=x+5﹣m 比例函数有 只有一个公 点 即方程

只有一

解 然后 去 y 得到关于 x 的一元二次函数 再根据判 后解方程求出 m 的值 解答 解 1 把 A ﹣2 b 入 y=﹣得 b=﹣ =4

式的意

得到关于 m 的方程 最

所 A 点坐标 ﹣2 4 把 A ﹣2 4 入 y=kx+5 得﹣2k+5=4 解得 k= 所 一次函数解析式 y=x+5

2 将直线 AB 向 移 m m 0 个单位长度得直线解析式 y=x+5﹣m

根据题意方程

只有一 解

去 y 得﹣=x+5﹣m 整理得 x2﹣ m﹣5 x+8=0 △= m﹣5 2﹣4××8=0 解得 m=9 或 m=1 即 m 的值 1 或 9 点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题 求 比例函数 一次函数的交点坐 标 把两个函数关系式联立成方程 求解 若方程 有解则两者有交点 方程 无解 则两者无交点 也考查了一次函数 几何变换
3 2014?四 广安主第 20 题 6 分 如图 比例函数 y= k 常数 k≠0 经过点 A 1 3
1 求 比例函数的解析式 2 在 x 轴 半轴 有一点 B 若△AOB 的面 6 求直线 AB 的解析式

考点 待定系数法求 比例函数解析式 待定系数法求一次函数解析式

分析 1 利用待定系数法把 A 1 3 入 比例函数 y=可得 k 的值 进而得到解析式

2 根据△AOB 的面 6 求出 B 点坐标 再设直线 AB 的解析式 y=kx+b 把 A、 B 两点 入可得 k、b 的值 进而得到答案

解答 解 1

比例函数 y= k 常数 k≠0 经过点 A 1 3

3= 解得 k=3

比例函数解析式 y=

2 设 B a 0 则 BO=a △AOB 的面 6 ?a?3=6 解得 a=4 B40 设直线 AB 的解析式 y=kx+b 经过 A 1 3 B 4 0

解得
直线 AB 的解析式 y=﹣x+4 点评 题 要考查了待定系数法求一次函数解析式和 比例函数解析式 关键是 确确定
出 B 点坐标
4 2014?四 阳主第 22 题 12 分 如图 已知 比例函数 y= k 0 的图象经过点 A 1 m 过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B △AOB 的面 1
1 求 m k 的值 2 若一次函数 y=nx+2 n≠0 的图象 比例函数 y=的图象有两个 同的公 点 求实 数 n 的取值范围

考点 比例函数 一次函数的交点问题 分析 1 根据 角形的面 公式即可求得 m 的值
2 若一次函数 y=nx+2 n≠0 的图象 比例函数 y=的图象有两个 同的公 点 则方程=nx+2 有两个 同的解 利用根的判 式即可求解 解答 解 1 由已知得 S△AOB=×1×m=1 解得 m=2

把 A 1 2 入 比例函数解析式得 k=2

点评

2 由 1 知 比例函数解析式是 y= 则=nx+2 有两个 同的解 方程去分 得 nx2+2x﹣2=0 则△=4+8n 0 解得 n ﹣ n≠0 本题综合考查 比例函数 方程 的相关知识点 先由点的坐标求函数解析式 解由解析式 成的方程 求出交点的坐标 体现了数形结合的思想

然后

5 2014?湖

,第 22 题 9 分 如图 已知 曲线 y=﹣ 两直线 y=﹣x y=﹣kx k 0

k≠ 分 相交于 A、B、C、D 四点

1 当点 C 的坐标 ﹣1 1 时 A、B、D 点坐标分 是 A ﹣2

B2

﹣ D1

﹣1

2 证明 点 A、D、B、C 顶点的四边形是 行四边形

3 当 k 何值时 ?ADBC 是矩形

第 1 题图 考 比例函数综合题 点
综合题 题 分 1 由 C 坐标 利用 比例函数的中心对 性确定出 D 坐标 联立 曲线 y=﹣ 直线 析 y=﹣x 求出 A B 坐标即可
2 由 比例函数 中心对 图形 利用中心对 性质得到 OA=OB OC=OD 利用对 角线 相 分的四边形 行四边形即可得证
3 由 A B 坐标 利用两点间的距离公式求出 AB 的长 联立 曲线 y=﹣ 直线 y= ﹣kx 表示出 CD 的长 根据对角线相等的 行四边形 矩形 得到 AB=CD 即可求出

时 k 的值 解 解 1 C ﹣1 1 C D 答 中心对 图形
D 1 ﹣1

曲线 y=﹣ 直线 y=﹣kx 的两个交点

曲线 y=﹣

联立得

去 y 得 ﹣x=﹣ 即 x2=4

解得 x=2 或 x=﹣2

当 x=2 时 y=﹣ 当 x=﹣2 时 y=

A ﹣2 B 2 ﹣

故答案 ﹣2 2 ﹣ 1 ﹣1

2

曲线 y=﹣ 中心对 图形

曲线 y=﹣ 两直线 y=﹣x y=﹣kx k 0

k≠ 分 相交于 A、B、C、D 四点

OA=OB OC=OD

则 点 A、D、B、C 顶点的四边形是 行四边形

3 若?ADBC 是矩形 可得 AB=CD

联立得

去 y 得 ﹣=﹣kx 即 x2= 解得 x= 或 x=﹣

当 x= 时 y=﹣ 当 x=﹣ 时 y=

C﹣

D



CD=

=AB=

=

整理得 4k﹣1 k﹣4 =0 解得 k= 合题意 舍去 或 k=4 则当 k=4 时 ?ADBC 是矩形

点 题属于 比例函数综合题 涉及的知识有 坐标 图形性质 一次函数 比例函数的

评 交点 行四边形 矩形的判定 两点间的距离公式 及中心图形性质 熟 掌握性质

是解本题的关键

6 2014? 山 第 25 题 10 分 如图 一次函数 y=kx+b 的图象 l 坐标轴分 交于点 E、

F 曲线 y=﹣ x 0 交于点 P ﹣1 n

F 是 PE 的中点

1 求直线 l 的解析式

2 若直线 x=a l 交于点 A

曲线交于点 B 同于 A 问 a 何值时 PA=PB

考点 比例函数 一次函数的交点问题 . 分析 1 先由 y=﹣ 求出点 P 的坐标 再根据 F PE 中点 求出 F 的坐标 把 P F
的坐标 入求出直线 l 的解析式 2 过 P 作 PD⊥AB 垂足 点 D 由 A 点的纵坐标 ﹣2a+2 B 点的纵坐标 ﹣
D 点的纵坐标 4 列出方程求解即可 解答 解 由 P ﹣1 n 在 y=﹣ 得 n=4
P ﹣1 4 F PE 中点
OF=n=2
F02 又 P F 在 y=kx+b

解得 直线 l 的解析式

y=﹣2x+2

2 如图 过 P 作 PD⊥AB 垂足 点 D

PA=PB

点 D AB 的中点

又由题意知 A 点的纵坐标 ﹣2a+2 B 点的纵坐标 ﹣ D 点的纵坐标 4

得方程﹣2a+2﹣=4×2

解得 a1=﹣2 a2=﹣1 舍去

当 a=﹣2 时 PA=PB

点评 本题 要考查了 比例函数 一次函数的交点 解题的重点是求出直线 l 的解析式

7. 2014?

第 19 题 6 分 如图 在 形 OABC 中 OC∥AB OA=CB 点 O 坐

标原点 A 2 ﹣3 C 0 2

1 求过点 B 的 曲线的解析式

2 若将等腰 形 OABC 向右 移 5 个单位 问 移后的点 C 是否 在 1 中的 曲线

并简述理由

考点 等腰 形的性质 比例函数图象 点的坐标特征 待定系数法求 比例函数解析式 坐标 图形变 - 移
分析 1 过点 C 作 CD⊥AB 于 D 根据等腰 形的性质和点 A 的坐标求出 CD、BD 然 后求出点 B 的坐标 设 曲线的解析式 y= k≠0 然后利用待定系数法求 比例 函数解析式解答 2 根据向右 移横坐标 求出 移后的点 C 的坐标 再根据 比例函数图象 点 的坐标特征判断
解答 解 1 如图 过点 C 作 CD⊥AB 于 D 形 OABC 中 OC∥AB OA=CB A 2 ﹣3
CD=2 BD=3 C02 点 B 的坐标 2 5 设 曲线的解析式 y= k≠0

则=5 解得 k=10

曲线的解析式 y=

2 移后的点 C 在 1 中的 曲线 理由如 点 C 0 2 向右 移 5 个单位后的坐标

52

当 x=5 时 y= =2 移后的点 C 在 1 中的 曲线

点评 本题考查了等腰 形的性质 待定系数法求 比例函数解析式 比例函数图象 点

的坐标特征 坐标 图形变 ﹣ 移 熟 掌握等腰 形的性质并求出点 B 的坐标是

解题的关键

8 2014?广西来 ﹣4 m

第 22 题 8 分 一次函数 y1=﹣x﹣1

比例函数 y2=的图象交于点 A

1 观察图象 在 y 轴的左侧 当 y1 y2 时 请直接写出 x 的取值范围 2 求出 比例函数的解析式

考点 比例函数 一次函数的交点问题 题 计算题
分析 1 先观察函数图象得到在 y 轴的左侧 当 x ﹣4 时 一次函数图象都在 比例函 数图象 方 即有 y1 y2 2 先根据一次函数解析式确定 A 点坐标 然后把 A 点坐标 入 y2=可计算出 k 的 值 从而得到 比例函数解析式
解答 解 1 在 y 轴的左侧 当 y1 y2 时 x ﹣4

2 把点 A ﹣4 m 入 y1=﹣x﹣1 得 m=﹣× ﹣4 ﹣1=1 则 A 点坐标 ﹣4 1

把 A ﹣4 1 入 y2=得 k=﹣4×1=﹣4 所 比例函数的解析式 y2=﹣ 点评 本题考查了 比例函数 一次函数的交点问题

比例函数 一次函数图象的交点坐

标满足两函数解析式 也考查了待定系数法求函数解析式 及观察函数图象的能力

9 (2014 贵 安 第 22 题 10 分)如图 点 A m m+1 B m+3 m﹣1 是 比例

函数

x 0 一次函数 y=ax+b 的交点 求

1 比例函数 一次函数的解析式 2 根据图象直接写出当 比例函数的函数值大于一次函数的函数值时 x 的取值范围

考点 题

比例函数 一次函数的交点问题 .
待定系数法

分析

1 根据 比例函数的特点 k=xy 定值 列出方程 求出 m 的值 可求出

比例函数的解析式 根据 m 的值求出 A、B 两点的坐标 用待定实数法 可求出一次函数

的解析式

2 根据函数图象可直接解答

解答 解 1 由题意可知 m m+1 = m+3 m﹣1

解 得 m=3 2 分

A34 B62

k=4×3=12

3分

A 点坐标 3 4 B 点坐标 6 2

y=﹣x+6 5 分

2 根据图象得 x 的取值范围 0 x 3 或 x 6 7 分

点评

题考查的是 比例函数图象 点的坐标特点及用待定系数法求一次函数及 比

例函数的解析式 比较简单




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