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精品解析:上海市七宝中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题(解析版)

发布时间:

七宝中学高一开学考数学试卷

一.填空题

1.已知函数 f (x) 是幂函数,且 2 f (4) ? f (16) ,则 f (x) 的解析式为________
1
【答案】 x 2
【解析】

【分析】

设 f (x) ? x? ,根据条件建立方程求出? 的值即可.

【详解】设 f (x) ? x? ,

? 2 f (4) ? f (16) ,

? 2 ? 4? ? 16? ,

16? 即 4?

? 2 ,则 4?

? ? 2,

?

1 2,

1
即 f (x) ? x2 ,
1
故答案为: f (x) ? x 2

【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解,利用待定系数法建立方程是解决本题的关键.

? cos(

??)

?

3

cos(5? ? ? ) ?

2.已知 6

3 ,则 6

_________

【答案】 【解析】

? cos(

??)

?

3

试题分析:因为, 6

3,

cos( 5?

??)

?

cos[?

?

? (

?? )]

?

?

? cos(

??)

所以, 6

6

6=。

考点:本题主要考查三角函数诱导公式。

点评:简单题,注意观察角之间的关系,灵活选用公式。

1? x ? 0 3.不等式 1? x 的解集为________

【答案】 (?1,1]

【解析】

【分析】

?(1? x)(1? x) ? 0

由题得 ??x ?1 ? 0

,解不等式组即得不等式的解集.

?(1? x)(1? x) ? 0

【详解】由题得 ??x ?1 ? 0



所以 ?1 ? x ? 1.

故答案为: (?1,1]

【点睛】本题主要考查分式不等式的解法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水*.

4.若不等式 x2﹣kx+k﹣1>0 对 x∈(1,2)恒成立,则实数 k 的取值范围是



【答案】(﹣∞,2] 【解析】 试题分析:根据题意,分离参数,利用函数的单调性,即可得到实数 k 的取值范围.

解:不等式 x2﹣kx+k﹣1>0 可化为(1﹣x)k>1﹣x2 ∵x∈(1,2)

∴k<

=1+x

∴y=1+x 是一个增函数

∴k≤1+1=2

∴实数 k 取值范围是(﹣∞,2]

故答案为:(﹣∞,2] 考点:一元二次不等式的 应用.

y ? sin x ? | cos x | ? tan x ? | cot x | 5.函数 | sin x | cos x | tan x | cot x 的值域是________
【答案】{0, ?2, 4}
【解析】
【分析】
直接对 x 分象限讨论去绝对值得答案. 【详解】由题意可知 x 不在坐标轴上,
y ? sin x ? | cos x | ? tan x ? | cot x | ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? 4
当 x 为第一象限角时,函数 | sin x | cos x | tan x | cot x sin x cos x tan x cot x ;
y ? sin x ? | cos x | ? tan x ? | cot x | ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? ?2
当 x 为第二象限角时,函数 | sin x | cos x | tan x | cot x sin x cos x tan x cot x ;
y ? sin x ? | cos x | ? tan x ? | cot x | ? ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? 0
当 x 为第三象限角时,函数 | sin x | cos x | tan x | cot x sin x cos x tan x cot x ;
y ? sin x ? | cos x | ? tan x ? | cot x | ? ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? ?2
当 x 为第四象限角时,函数 | sin x | cos x | tan x | cot x sin x cos x tan x cot x . y ? sin x ? | cos x | ? tan x ? | cot x |
?函数 | sin x | cos x | tan x | cot x 的值域是数集{4 , ?2 , 0} .
故答案为:{0, ?2, 4}
【点睛】本题考查了三角函数值的符号,体现了分类讨论的数学思想方法,是基础题.

sin? ? cos? ? 1

6.若

5

(0 ? ? ? ? ) ,则 tan? ? _______

?4 【答案】 3

【解析】

【分析】

sin? ? cos? ? 1 ? 0

sin? cos? ? ? 12 ? 0

? ?? ??

先由

5 ,结合同角三角函数基本关系,得到

25 ,判断出 2



再由

???sin ? ? ???sin ?

? cos? cos? ?

? ?

1 5 12 25

求出正弦与余弦,即可得出结果.

sin? ? cos? ? 1 ? 0

【详解】因为

5,

?sin? ? cos? ?2 ? 1

sin? cos? ? ? 12 ? 0

所以

25 ,故

25 ,

所以 sin?

?

0 , cos?

?

0

;因此

? 2

?

?

?

?





???sin ? ? ???sin ?

? cos? cos? ?

? ?

1 5 12 25

,解得

???sin ? ? ???cos?

? ?

4 5
?

3 5

tan? ? ? 4

所以

3.

?4 故答案为 3

【点睛】本题主要考查三角函数中给值求值的问题,熟记同角三角函数基本关系即可,属于常考题型.

y ? f ?x?

y ? f ?1 ?x?

y ? f ?x?

?2, ?2?

7.函数

的反函数为

,如果函数

的图像过点

,那么函数

y ? f ?1 ??2x??1

的图像一定过点

.

【答案】

【解析】

?2, ?2?

y ? f ?1 ?x?

试题分析:由于函数 的图像过点

,则它的反函数

图象过

,则



y ? f ?1 ??2x??1

对于函数

,令 ,则

,则

y ? f ?1 ??2x??1 的图像一定过点 .

考点:互为反函数图像关系 ;

?1

f

(x)

?

?? ?

?

x 5

8.定义在正整数集上的分段函数

??x ?1

x ?1

x是5的倍数

x是其它整数
,则满足

f{f

[

f

( x)]}

? 1 的所有

x

的值的和

等于________

【答案】320

【解析】 【分析】

?1, x ? 1

f

?x ? ?

?? x

? ?

5

,

x是5的倍数

根据已知中分段函数

??x ?1, x是其它整数 ,结合 f { f [ f (x)]} ? 1 ,求出所有 x 的值,进而可得答

案.

?1, x ? 1

f

?x ? ?

?? x

? ?

5

,

x是5的倍数

【详解】? 函数

??x ?1, x是其它整数 , f { f [ f (x)]} ? 1

? f [ f (x)] ? 1 ,或 f [ f (x)] ? 5 , f [ f (x)] ? 2 ,

? f (x) ? 1,或 f (x) ? 5 ,或 f (x) ? 2 ,或 f (x) ? 25 ,或 f (x) ? 6 ,或 f (x)=10 ,或 f (x)=3 .

? x ? 1 ,或 x ? 5 ,或 x ? 2 ,或 x ? 25 ,或 x ? 6 ,或 x ? 10 ,或 x ? 3 ,或 x ? 125 ,或 x ? 26 ,或

x ? 30 ,或 x ? 7 ,或 x ? 50 ,或 x ? 11, 或 x ? 15 ,或 x ? 4 .

由1? 5 ? 2 ? 25 ? 6 ?10 ? 3 ?125 ? 26 ? 30 ? 7+50+11?15 ? 4 ? 320 ,

故答案为:320

【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用,本题算繁不算难,细心计算即可.
9.若 2sin? ? 1? cos? ,则 tan ? ? ________

4 【答案】 3 或 0

【解析】

【分析】

根据同角三角函数*方关系求解.

【详解】因为 2sin? ? 1? cos? , sin2? ? cos2? ? 1,所以 5sin2? ? 4 sin? ? 0 ,因此 sin? ? 0 或

sin?

?

4 5

.

当 sin?

?

0 时, cos?

?

?1,; tan?

?

0

sin?


?

4 5

时,

cos?

?

3 ,tan? 4

?

4. 3

tan? ? 4

综上

3 或 0.

【点睛】本题考查同角三角函数*方关系,考查基本转化与求解能力,属基础题.

tan? ? tan ? ?
10.已知

3 3 ,求 (2 ? cos 2? )(2 ? cos 2? ) ? ________

【答案】3

【解析】

【分析】

(2 ? cos 2? )(2 ? cos 2? ) ? (2 ? 1? tan2 ? )(2 ? 1? tan2 ? )

由题得

1? tan2 ?

1? tan2 ? ,再通分把已知代进去化简即得解.

【详解】由题得

(2

?

cos

2?

)(2

?

cos

2?

)

?

(2

?

1? 1?

tan 2 tan 2

? ?

)(2

?

1 1

? ?

tan 2 tan 2

? ?

)

?

1+3tan2 ? ( 1? tan2 ?

1+3 tan 2 )( 1? tan2

? ?

)

? 1? 9(tan? tan ? )2 +3( tan2 ? ? tan2 ? ) 1? (tan? tan ? )2 ? tan2 ? ? tan2 ?

? 4+3( tan2 ? ? tan2 ? ) ? 12 ? 9(tan2 ? ? tan2 ? ) 4 ? (tan2 ? ? tan2 ? ) 4 ? 3(tan2 ? ? tan2 ? ) 3
=3

故答案为:3

【点睛】本题主要考查二倍角公式和万能公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水*.

loga x ? logx (2a ? x) ? 1

11.若关于 x 的方程 loga 2

logx 2

loga2 ?1 2 恰有一解,求 a 的取值范围________

【答案】{2}

【解析】

【分析】
?a ? 1且a ? 2 ? ?x ? 2a ? ?x ? 0且x ? 1 逐步化简得到 ??x ? a ?1或x ? 1? a ,再根据仅有一解分析得到不等式组,解不等式组即得解.

?a ? 0且a ? 1

??a2 ?1 ? 0且a2 ?1 ? 1

??x ? 0

??2a ? x ? 0

?x ? 0且x ? 1

【详解】原方程等价于

? ??log2

x

?

log2

(2a

?

x)

?

log2

(a2

?1)

?a ? 1且a ? 2

? ?2a

?

x

?

0

? ?

x

?

0且x

?

1

等价于 ??log2[x(2a ? x)] ? log2 (a2 ?1) ,

?a ? 1且a ? 2

? ?2a

?

x

?

0

? ?

x

?

0且x

?

1

等价于 ??x(2a ? x)] ? a2 ?1

?a ? 1且a ? 2

? ?

x

?

2a

?

?x ? 0且x ? 1

等价于 ??x ? a ?1或x ? 1? a

因为方程仅有一解,

?a ?1? (0, 2a) ?a ?1? (0, 2a) ?a ?1? (0, 2a) ?a ?1 ? 1

所以 ??a ?1? (0, 2a) ,或 ??a ?1=1

,或 ??a ?1? (0, 2a) ,或 ??a ?1? (0, 2a) .

解之得 a ? 2 .

故答案为:{2}

【点睛】本题主要考查对数方程的解的个数,考查对数函数,意在考查学生对这些知识的理解掌握水*和

分析推理能力.

?x

12.

f

(x)

?

? ?q ??

?1, p

x

?

q p

x是无理数 p ? N*, q ? Z,且p互, q素

(7 , 8) ,求 f (x) 在 8 9 上的最大值________

16 【答案】 17

【解析】

【分析】

x ?(7 , 8)

f (x) ? x ? 8

f (15) ? 16 ? 8

f (x)? 16

当 x 是无理数时, 8 9 时,

9 ,而 17 17 9 .只需证 x 是有理数时.

17 即可.

7 ? 7?8 ? 8
【详解】? 8 8 ? 9 9 ,

7 ? 15 ? 8 即 8 17 9 ;

f (15) ? 16 ? 8 由定义可得 17 17 9 .

只需证 x 时有理数时,

f

(x)?

16 : 17

(1)若

x?(7 8

, 8) 9

时,

x

是无理数时,

f

(x)

?

x

?

8 9

?

16 17



(2)若

x?(7 8

8 ,) 9

时,

x

是有理数时,此时设

x

?

p q

,其中 ( p, q)

? 1 ,且

0

?

p

?

q



7? p?8 由于 8 q 9 ,

?

?7q ??9 p

?8p ? 8q

,可得

7q

? 1?

9 p?

8?

8q ?1 9

即 63q ? 9? 64q ? 8 ;

?q…17 ;

f (x) ?

f ( p) ?

p ?1?

8q ? 9

1

?

1

?

16

因此

qq

q

17 ;

78

16

(,)

综上 f (x) 在 8 9 上的最大值为 17 .

16 故答案为: 17

【点睛】本题考查了分段函数的讨论和最值问题,注意分段情况,同时考查了不等式的证明,属于中档

题.

二.选择题

13.“ tan?

1? cos 2? ? a ”是“ sin 2?

?a
”的(



A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】 先考查充分性,再考虑必要性得解.

【详解】当 tan?

1? cos 2? ? a 时, sin 2?

?

2sin2 ? 2sin? cos?

?

sin? cos?

?

a

,但是当?

=0

时,

1? cos 2? sin 2?

分母为零,没

有意义.

1? cos 2? ? a

所以“ tan? ? a ”是“ sin 2?

”的非充分条件;

1? cos 2? ? a 2? ? k? (k ? Z ),? x ? k?

当 sin 2?

时,

2.

1? cos 2? ? 2sin2 ? ? sin? = tan? ? a

所以 sin 2? 2sin? cos? cos?



所以“ tan?

1? cos 2? ? a ”是“ sin 2?

?a
”的必要条件.

所以“ tan?

1? cos 2? ? a ”是“ sin 2?

?a
”的必要非充分条件.

故选:B

【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换,考查充分必要条件的判定,意在考查学生对这

些知识的理解掌握水*和分析推理能力.

???? x 2

x2 ?4x?3,x?0
? 2x ? 3, x

?

0

14.已知 f(x)= ??

,不等式 f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数 a 的取

值范围是(  )

??? , ?2?
A.

??? ,0?
B.

?0, 2?
C.

??2, 0?
D.

【答案】A

【解析】

试题分析:二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的对称轴为 x ? 2 ,则该函数在 (??, 0) 上单调递减,则

x2 ? 4x ? 3 ? 3 ,同样函数 y ? ?x2 ? 2x ? 3 在 (0, ??) 上单调递减,?-x2 ? 2x ? 3 ? 3

?

f

(x) 在 R 上单调递减;由

f

?x ? a??

f

?2a

?

x

? 得到

x

?

a

?

2a

?

x

,即

2

x

?

a ;则 2x ? a 在

[a, a ?1] 上恒成立;则 2(a ?1) ? a,?a ? ?2 ,实数 a 的取值范围是 (??, ?2) ,故选 A;

考点:1.分段函数的单调性;2.恒成立问题;

15.有下列命题:(1)终边相同的角的同名三角比的值相等;(2)终边不同的角的同名三角比的值不同;

(3)若 sin ? ? 0 ,则? 是第一或第二象限角;(4)△ ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B ;其中正确

命题的个数是( )

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

【答案】B 【解析】

【分析】

(1),根据终边相同的角的同名三角函数值相等,判断命题正确;(2),根据终边不同的角的同名三角函
数值也可能相等,判断命题错误;(3),当 sin ? ? 0 时,? 是第一或第二象限角,或为终边在 y 轴的正
半轴上,判断命题错误;(4),根据大角对大边,利用正弦定理即可判断结论正确.

【详解】对于(1),终边相同的角的同名三角函数值相等,所以比值相等,(1)正确;

? sin

? sin 5?

对于(2),终边不同的角的同名三角函数值也可能相等,如 6

6,

所以比值也可能相同,(2)错误;

对于(3),若 sin ? ? 0 ,则? 是第一或第二象限角,或终边在 y 轴的正半轴上,(3)错误;

对于(4), ?ABC 中,若 A ? B ,则 a ? b ,

a ? b ? 2R

由正弦定理得 sin A sin B



?2R sin A ? 2R sin B ,

?sin A ? sin B ,(4)正确;

综上,其中正确命题的序号为(1)和(4),共 2 个. 故选: B .

【点睛】本题主要考查了命题的真假判断,涉及三角函数的定义,角的取值和三角函数的符号,是基础

题.

16.设 f (x) 是定义域为 R 的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f (x) ? 0 在区间 (?6,6) 内解的个

数的最小值为( )

A. 15 【答案】A 【解析】

B. 13

C. 11

D. 9

【分析】
根据题意,由奇函数的性质可得 f (0) ? 0 ,结合函数的周期性可得 f (3) ? 0 , f (?3) ? 0 ,结合

f (2) ? 0 分析可得 f (2) ? f (5) ? f (?1) ? 0 ,进而可得 f (?2) ? f (?5) ? f (1) ? 0 和 f (1)

?

f

(4) ?

0,

f (?4)

?

f

(?1)

?

0 ;结合奇偶性与周期性可得

f

(?

3 )

2

?

f

3 () 2

?

0 ,进而可得

f (? 9) ? f (9) ? 0

2

2 ,综合可得答案.

【详解】根据题意, f (x) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (0) ? 0 ,

又由 f (x) 是周期为 3 的周期函数,则 f (3) ? 0 , f (?3) ? 0 ,

又由 f (2) ? 0 ,则 f (2) ? f (5) ? f (?1) ? 0 ,

又由函数为奇函数,则 f (?2) ? f (?5) ? f (1) ? 0 ,

则有 f (1) ? f (4) ? 0 , f (?4) ? f (?1) ? 0 ,

又由函数

f

(x)

是以

3

为周期的奇函数,故有

f

(?

3 )
2

?

?

f

3 () 2



f

(?

3 )
2

?

f

3 () 2



f (? 3) ? f (3) ? 0

则有 2

2,

f

(? 9)

?

f

9 ()

?0

则有 2

2,

综合可得:方程 f (x) ? 0 在区间 (?6,6) 内解至少有: ?5 , ?4 , ?3 , ?2 , ?1,0,1,2,3,4,5,

?9 ?3 3 9 2 , 2 , 2 , 2 ,共 15 个;

故选: A .

f (? 3) ? f (3) ? 0

【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用,注意分析 2

2 ,属于基础题.

三.解答题

17.

已知函数 f (x) ? a x?b (a ? 0, a ? 1, b ? R) .

(1)若 f (x) 为偶函数,求 b 的值;

(2)若

f

(x)

?2,
在区间

???
上是增函数,试求

a



b

应满足的条件.

【答案】 b ? 0 (2) a ? 1且 b ? ?2

【解析】

【详解】试题分析:(1)若函数是偶函数则

;(2)对于含有绝对值号的函数的单调性的有

关题目,先去绝对值号(注意一定要明确自变量的取值范围,选择与之对应的对应关系),写成分段函数,

然后再逐段进行讨论。

试题解析:(1)? f (x) 为偶函数,∴对任意的 x ? R ,都有 f (?x) ? f (x) ,即 a x?b ? a ?x?b

x ?b ? ?x ?b

得b ? 0.

x ? b x ? ?b

h(x) ? x ? b ? {

(2)记

?x ? b x ? ?b ,

①当 a ? 1时, f (x) 在区间?2, ???上是增函数,即 h(x) 在区间?2, ???上是增函数,

∴ ?b ? 2 , b ? ?2

②当 0 ? a ? 1时, f (x) 在区间?2, ???上是增函数,即 h(x) 在区间?2, ???上是减函数但 h(x) 在区间

??b, ??? 上是增函数,故不可能



f

(x)

?2, ???

在区间

上是增函数时,

a



b

应满足的条件为

a

?1且

b

?

?2

考点:函数的单调性及奇偶性.

18.某影院共有 1000 个座位,票价不分等次,根据该影院的经营经验,当每张票价不超过 10 元时,票可全

部售出,当每张票价高于 10 元时,每提高 1 元,将有 30 张票不能售出,为了获得更好的收益,需给影院

一个合适的票价,符合的基本条件是:

①为了方便找零和算账,票价定为 1 元的整数倍;

②影院放映一场电影的成本费为 5750 元,票房收入必须高于成本支出.

(1)设定价为 x ( x ? N* )元,净收入为 y 元,求 y 关于 x 的表达式;

(2)每张票价定为多少元时,放映一场的净收入最多?此时放映一场的净收入为多少元?

【答案】(1)

y

?

? 1000x ? 5750 ???30x2 ?1300x ? 5750

x ?[6,10] ? N x ?[11, 38] ? N ;(2)每张票价定为 22 元时净收入最多,

最大值为 8330 元.

【解析】

【分析】
(1)根据 x 的范围,分别求出函数表达式;(2)分别求出两个函数的最大值,从而综合得到答案.

【详解】(1)电影院共有 1000 个座位,电影院放一场电影的成本费用支出为 5750 元,票房的收入

必须高于成本支出,
? x ? 5.75 ,?票价最低为 6 元,

票价不超过 10 元时: y ? 1000x ? 5750 , (6? x? 10 的整数), 票价高于 10 元时: y ? x[1000 ? 30(x ?10)] ? 5750

? ?30x2 ? 1300x ? 5750 ,

?1000 ? 30(x ?10) ? 0 ? ???30x2 ?1300x ? 5750 ? 0 ,

5 ? x ? 38 1

解得:

3,

? y ? ?30x2 ? 1300x ? 5750 , (10 ? x? 38 的整数);

所以

y

?

? ???30

1000x ? 5750 x2 ?1300x ? 5750

x ?[6,10] ? N x ?[11,38] ? N

(2)对于 y ? 1000x ? 5750 , (6? x? 10 的整数),

x ? 10 时: y 最大为 4250 元,

对于 y ? ?30x2 ? 1300x ? 5750 , (10 ? x? 38 的整数);



x

?

?

b 2a

?

21.6

时,

y

最大,

?票价定为 22 元时:净收人最多为 8830 元.

【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质及应用,根据 x 的范围得到函数的解析式是解题的关
键.

19.(1)已知

? tan(
4

?

?

)

?

?

1 2

,求

2

cos? (sin? ? 1? tan?

cos?

)

的值;

tan?
(2)已知

?

sin? sin?

? cos? ? cos?

(?

、?

sin? ? cos? 都是锐角),求 sin?

的值.

2 【答案】(1) 5 ;(2) 2 .

【解析】

【分析】

(1)由题意利用两角和的正切公式求得 tan ? 的值,再利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子,可

? ?? ??

得结果.(2)先由题意求得

4 ,再把它代入要求式子,利用两角差的正弦公式求出结果.

? tan( 【详解】(1)已知 4

??)

? 1 ? tan? 1 ? tan?

??1 2

,? tan?

?

?3 ,

2 cos? (sin? ? cos? ) ? 2 cos2 ? A(sin? ? cos? ) ? 2 cos2 ? Atan? ?1

?

1 ? tan?

cos? ? sin?

sin2 ? ? cos2 ? 1 ? tan?

?

2 tan2 ?

A2 ?1

?

2 5



(2)? 已知

tan ?

?

sin ? sin ?

? ?

cos? cos?

?

tan ? tan ?

?1 ?1

?

tan(?

?

? )(? 4

,?

都是锐角),

?? ? ? ? ? 4.

sin? ? cos? sin?

?

sin? ? cos? sin(? ? ? )

?

?

4

sin? ? cos? ?

2 Asin? ? 2 cos?

2

2

2 .

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的三角公式的应用,属于基础题.

20.(1)已知关于 x 的方程 mx2 ? (2m ? 3)x ? (m ? 2) ? 0 ( m ? 0 )的两根为 tan ? 、 tan ? . (1)求 m 的取值范围; (2)求 tan(? ? ? ) 的最小值;

(3)求 msin2 (? ? ? ) ? (2m ? 3)sin(? ? ? )cos(? ? ? ) ? (m ? 2)cos2 (? ? ? ) 的值.

【答案】(1)

m

?

(??,

0)

?

(0,

9 4

]

;(2)

?

3 4

;(3)

m

?

2

.

【解析】 【分析】
(1)利用判别式△… 0 进行求解即可;(2)利用根与系数之间的关系,求出 tan ? tan ? 与 tan ? ? tan ? ,
利用两角和差的正切公式进行求解;(3)利用 1 的代换,结合弦化切进行求解即可.
【详解】(1)?方程的两根为 tan ? , tan ? ,

?判别式△ ? (2m ? 3)2 ? 4m(m ? 2) ? ?4m ? 9… 0 ,

m? 得

9
4 且m?0.

m?
即实数 m 的取值范围是

9
4 且m?0.

(2)由根与系数之间的关系得

???tan ? ???tan

? ?

? tan tan ?

? ?

? ? 2m ? m
m?2
m

3



tan(?

? ? ) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

? 2m ? 3

?

1

?

m m?

2

?

3 ? 2m … 2

?

3 4



m



即求

tan(?

?

?

)

的最小值是

?

3 4



(3) msin2 (a ? ? ) ? (2m ? 3)sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? (m ? 2) cos2 (? ? ? ) ? msin2 (? ? ? ) ? (2m ? 3)sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? (m ? 2)cos2 (? ? ? )
sin2 (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) ? mtan2 (? ? ? ) ? (2m ? 3) tan(? ? ? ) ? (m ? 2)
1 ? tan2 (? ? ? )

m(3 ? 2m)2 ? (2m ? 3) ? 3 ? 2m ? (m ? 2)

?

2

2 1? (3 ? 2m)2

?m?2

2



【点睛】本题主要考查三角函数值的化简和求解,结合根与系数之间的关系以及两角和差的正切公式,是

解决本题的关键,考查学生的计算能力.

21.我们知道一次函数、二次函数的图像都是连续不断的曲线,事实上,多项式函数的图像都是如此.

(1)设? , ? , x, y ? R ,且? , ? ? 0 ,若还有? x ? ? y ? 0 ,求证: xy ? 0 ;

(2)设一个多项式函数有奇次项 x2k?1 ( k ? N ),求证:总能通过只调整 x2k?1 的系数,使得调整后的多

项式一定有零点;

(3)现有未知数为 x 的多项式方程 x10 +a9 x9 ? ??? ? a1x ?1 ? 0 (其中实数 a1, a2 ,???, a9 待定),甲、乙两人 进行一个游戏:由甲开始交替确定 a1,???, a9 中的一个数(每次只能去确定剩余还未定的数),当甲确定最后

一个数后,若方程由实数解,则乙胜,反之甲胜,问:乙有必胜的策略吗?若有,请给出策略并证明,若

无,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)乙有必胜的策略,证明见解析 【解析】

【分析】

(1)对 x 分两种情况 x ? 0 和 x ? 0 讨论证明;(2)记此多项式函数为 p(x) , q(x) ? p(x) ? x2k?1 , a 为

x2k?1 项系数,分析得到 p(1) ? 0, p(?1) ? 0 ,再利用零点存在性定理证明可得;(3)乙有必胜的策略. 乙

前 4 次尽量去定偶次项系数,就能保证甲第 5 次只能去定一个奇数项的系数.再证明得解.

y ? 0 ? 0,? xy ? 0 ? 0

【详解】(1)若 x ? 0 ,则 ?



y ? ? ? ? 0,? xy ? 0

若 x ? 0 ,则 x ?

.

综合得 xy ? 0 得证.

(2)记此多项式函数为 p(x) , q(x) ? p(x) ? x2k?1 , a 为 x2k?1 项系数, a ? max{| q(1) |,| q(?1)|}时, p(1) ? a ? q(1) ? a? | q(1) |? 0 , 同理: p(?1) ? ?a ? q(?1) ? ?a? | q(?1) |? ?(a? | q(?1) |) ? 0 ,

故由零点存在定理可知调整后的多项式函数一定在(-1,1)上存在零点. (3)乙有必胜的策略.

因待定系数的项共有 5 个奇数项,而在乙最后一次定数前,甲只定了 4 个系数,故乙前 4 次尽量去定偶次

项系数,就能保证甲第 5 次只能去定一个奇数项的系数.

设甲第 5 次确定了奇数项为 x2l?1(l ? N ) 的系数为 b, 设乙第 4 次确定 x(m m ? N ) 项的系数为 a ,并设此时

多项式函数为 f (x)=axm ? bx2l?1 ? h(x) ,则有

a ? b ? h(1) ? f (1) (1)

(?2)m a ? (?2)2l?1b ? h(?2) ? f (?2) (2)

由(1)式乘 22l?1 再加(2)式可得[22l?1 ? (?2)m ]a ? 22l?1h(1) ? h(?2) ? 22l?1 f (1) ? f (?2) ,

a
故当乙在第四轮确定的系数

?

?

22l?1h(1) ? h(?2) 22l?1 ? (?2)m

时,有 22l?1

f

(1) ?

f

(?2)=0 ,结合第(1)小题结论即

知 f (1) f (?2) ? 0 ,故由零点存在性定理即得乙的上述策略是必胜的.

【点睛】本题主要考查不等式的证明和零点存在性定理,考查推理和证明,意在考查学生对这些知识的理

解掌握水*和分析推理能力.




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