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华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解

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全等三角形判定一(SAS,ASA,AAS)(基础)
【学*目标】 1.理解和掌握全等三角形判定方法 1——“边角边”,判定方法 2——“角边角”,判定方
法 3——“角角边”;能运用它们判定两个三角形全等. 2.能把证明角相等或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】 要点一、全等三角形判定 1——“边角边” 1. 全等三角形判定 1——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
要点诠释:如图,如果 AB = A' B ' ,∠A=∠ A' ,AC = A'C ',则△ABC≌△ A' B'C ' .
注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
如图,△ABC 与△ABD 中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC 与△ABD 不完全重合, 故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
要点二、全等三角形判定 2——“角边角” 全等三角形判定 2——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
要点诠释:如图,如果∠A=∠ A' ,AB= A' B ' ,∠B=∠ B ' ,则△ABC≌△ A' B'C ' .
要点三、全等三角形判定 3——“角角边” 1.全等三角形判定 3——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或 “AAS”)
要点诠释:由三角形的内角和等于 180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就 可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后 者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图,在△ABC 和△ADE 中,如果 DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A, 但△ABC 和△ADE 不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点四、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的
三角形中,可以证这两个三角形全等; 2.可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等; 3.由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等; 4.如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定 1——“边角边”
1、(2016? 泉州)如图,△ABC、△CDE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°, 点 E 在 AB 上.求证:△CDA≌△CEB.

【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出 CE=CD,BC=AC,再利用全等三角形的判定证 明即可. 【答案与解析】 证明:∵△ABC、△CDE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°, ∴CE=CD,BC=AC, ∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE, ∴∠ECB=∠DCA,

在△CDA 与△CEB 中



∴△CDA≌△CEB.
【总结升华】本题考查了全等三角形的判定,熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键, 同时注意证明角等的方法之一:利用等式的性质,等量加等量,还是等量.

2、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 (A、B、D 三点共线,AB=CB, EB=DB,∠ABC=∠EBD=90°),连接 AE、CD,试确定 AE 与 CD 的位置与数量关系,并证明 你的结论.
【答案】AE=CD,并且 AE⊥CD 证明:延长 AE 交 CD 于 F, ∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB=BC,BD=BE 在△ABE 和△CBD 中
? AB ? BC ???ABE ? ?CBD ? 90? ??BE ? BD
∴△ABE≌△CBD(SAS) ∴AE=CD,∠1=∠2 又∵∠1+∠3=90°,∠3=∠4(对顶角相等)
∴∠2+∠4=90°,即∠AFC=90° ∴AE⊥CD 【总结升华】通过观察,我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着 B 点顺时针旋转 90°得 到的.尝试着从变换的角度看待全等. 举一反三:
【变式】已知:如图,PC ? AC,PB ? AB,AP *分∠BAC,且 AB=AC,点 Q 在 PA 上,
求证:QC=QB
【答案】 证明:∵ AP *分∠BAC
∴∠BAP=∠CAP 在△ABQ 与△ACQ 中

∵ ∴△ABQ≌△ACQ(SAS) ∴ QC=QB 类型二、全等三角形的判定 2——“角边角” 【高清课堂:379110 全等三角形判定二,例 5】
3、已知:如图,E,F 在 AC 上,AD∥CB 且 AD=CB,∠D=∠B.
求证:AE=CF.

【答案与解析】

证明:∵AD∥CB ∴∠A=∠C 在△ADF 与△CBE 中

??A ? ?C

? ?

AD

?

CB

???D ? ?B

∴△ADF≌△CBE (ASA)

∴AF =CE ,AF+EF=CE+EF

故得:AE=CF

【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角 (线段)为内角(边)的两个三角形;(2)证明这两个三角形全等;(3)由全等三角形的性质得 出所要证的角(线段)相等.

举一反三:

【变式】如图,已知 AE=CF,∠AFD=∠CEB,AD∥BC,求证:△ADF≌△CBE.

【答案】 证明:∵AE=CF,

∴AE+EF=CF+EF, 即 AF=CE; ∵AD∥BC, ∴∠A=∠C; 在△ADF 与△CBE 中,

∴△ADF≌△CBE(ASA).
类型三、全等三角形的判定 3——“角角边” 【高清课堂:379110 全等三角形的判定二,例 6】
4、已知:如图,AB⊥AE,AD⊥AC,∠E=∠B,DE=CB. 求证:AD=AC.
【思路点拨】要证 AC=AD,就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD. 【答案与解析】 证明:∵AB⊥AE,AD⊥AC,
∴∠CAD=∠BAE=90° ∴∠CAD+∠DAB=∠BAE+∠DAB ,即∠BAC=∠EAD 在△BAC 和△EAD 中
??BAC ? ?EAD ???B ? ?E ?? CB=DE
∴△BAC≌△EAD(AAS) ∴AC =AD 【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三 角形全等. 举一反三: 【变式】如图,AD 是△ABC 的中线,过 C、B 分别作 AD 及 AD 的延长线的垂线 CF、BE.
求证:BE=CF.

【答案】 证明:∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD=CD ∵BE⊥AD,CF⊥AD, ∴∠BED=∠CFD=90°, 在△BED 和△CFD 中
??BED ? ?CFD ???BDE ? ?CDF(对顶角相等) ??BD ? CD
∴△BED≌△CFD(AAS) ∴BE=CF
5、已知:如图,AC 与 BD 交于 O 点,AB∥DC,AB=DC. (1)求证:AC 与 BD 互相*分; (2)若过 O 点作直线 l,分别交 AB、DC 于 E、F 两点,
求证:OE=OF.
【思路点拨】(1)证△ABO≌△CDO,得 AO=OC,BO=DO(2)证△AEO≌△CFO 或△BEO≌△ DFO 【答案与解析】 证明:∵AB∥DC
∴∠A=∠C 在△ABO 与△CDO 中
??A=?C ???AOB=?COD(对顶角相等) ??AB=CD
∴△ABO≌△CDO(AAS) ∴AO=CO ,BO=DO 在△AEO 和△CFO 中

??A=?C ??AO=CO ???AOE=?COF (对顶角相等)
∴△AEO≌△CFO(ASA) ∴OE=OF. 【总结升华】证明线段相等,就是证明它们所在的两个三角形全等.利用*行线找角等是 本题的关键. 类型四、全等三角形判定的实际应用
6、要测量河两岸相对两点 A,B 间的距离,先在过点 B 的 AB 的垂线上取两点 C、D, 使 CD=BC,再在过点 D 的 l 的垂线上取点 E,使 A、C、E 三点在一条直线上,这时 ED 的长 就是 A,B 两点间的距离.你知道为什么吗?说说你的理由.
【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等,根据全等三角形对应边相等可得 AB=DE,从而得解. 【答案与解析】 解:∵AB⊥l,CD⊥l, ∴∠ABC=∠EDC=90°, 在△ABC 和△EDC 中,

∴△ABC≌△EDC(ASA), ∴AB=DE, 即 ED 的长就是 A,B 两点间的距离. 【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用,解答本题的关键是借助两个三角形全等, 寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.




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