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2019-学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章3.2.1 双曲线的简单几何性质 教育精品.ppt_图文

第三章

圆锥曲线与方程

3.2

双曲线的简单性质

第1课时 双曲线的简单几何性质

1.问题导航 (1)双曲线有几条对称轴,是中心对称图形吗? (2)双曲线的顶点、焦点、实轴、虚轴、焦距、离心率是怎样 x 2 y2 定义的?双曲线 2- 2= 1(a>0, b>0)的渐近线方程是什么? a b 在双曲线的标准方程中,焦点分别在 x 轴上或在 y 轴上时,x 与 y 的取值范围是多少? e 的取值范围是什么?

2.例题导读 P42 例 3.通过本例学习,掌握建立坐标系、运用待定系数法求 双曲线的方程.

试一试:教材 P43 练习 T1、T2 你会吗?

双曲线的几何性质
x 2 y2 - = 1(a>0,b>0) a2 b2
y2 x 2 - = 1(a>0,b>0) a2 b2

类型

图像

类型

x 2 y2 2- 2= 1(a>0,b>0) a b

焦点
焦距 范围 性 质 对称性 顶点 轴 离心率 渐近线

(±c,0) _____________

y2 x 2 2- 2= 1(a>0,b>0) a b (0,±c) ____________

2c ____________ x≥a或x≤-a ________________

____________ 2c

y≥a或y≤-a _______________

以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心的对称 图形

(±a,0) _____________

(0,±a) ____________

实轴A1A2,虚轴B1B2 e>1 _____________
b y = ± x _____________ a
a y= ± x b

1.判断正误 (正确的打“√”,错误的打“×” ) (1)双曲线 x2- y2=m(m≠ 0)的离心率为 2,渐近线方程为 y =± x.( √ ) (2)平行于渐近线的直线与双曲线相交,且只有一个交 点.( √ ) (3)双曲线的弦的两个端点不一定在双曲线的同一支 上.( √ ) x 2 y2 (4)若直线与双曲线 2- 2= 1 相离, 则直线与 x 轴垂直或直线 a b 与渐近线重合. ( × )

x 2 y2 2.若双曲线 + =1 的离心率为 3,则实数 k 的值为 ( C ) 3 k 1 A.- 6 C.-6 1 B. 6 D.6

解析:由题意可知 k< 0, a= 3, b= - k, c= a2+b2= 3-k, 3-k c 所以 e= = = 3,得 k=-6. a 3

3.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于 1 - 4 ________ .
x2 解析:双曲线的标准方程可写为 y - =1, a=1, b= 1 - m
2

1 - ,故 2 m

1 1 - = 2×2,得 m=- . 4 m

x±y=0 . 4.双曲线 x2-y2=10 的渐近线方程为 ____________
解析:因为 a= 10,b= 10,所以该双曲线的渐近线方程为 b y= ± x = ± x,即 x± y= 0. a

1.对双曲线渐近线的两点说明 (1)随着 x 和 y 趋向于无穷大, 双曲线将无限地与渐近线接近, 但永远没有交点. (2)由渐近线方程可确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值,但无法确定 焦点位置.

2.离心率对双曲线开口大小的影响 x 2 y2 以双曲线 2- 2= 1(a>0,b>0)为例. a b a2+b2 c e= = = a a b2 b b 1+ 2,故当 的值越大,渐近线 y= x 的 a a a

斜率越大,双曲线的开口越大,e 也越大,所以 e 反映了双曲 线开口的大小,即双曲线的离心率越大,它的开口就越大.

x 2 y2 3.在双曲线方程 2- 2=1(a> 0,b>0)中,如果 a= b,那么 a b 方程可化为 x2- y2= a2.此时,双曲线的实轴长和虚轴长都等 于 2a,且两条渐近线互相垂直.实轴和虚轴等长的双曲线叫 做等轴双曲线.等轴双曲线的渐近线方程是 y= ± x,离心率 e = 2.

由几何性质求双曲线的标准方程
求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的 双曲线方程: (1)离心率 e= 2,且过点(-5, 3); (2)过点 P(2,-1),渐近线方程是 y=± 3x. (链接教材 P42 例 3)

c [解 ] (1)因为 e= = 2,所以 c= 2a,b2= c2- a2=a2. a x 2 y2 当焦点在 x 轴上时, 设双曲线的标准方程为 2- 2= 1, 把点 (- a a 2 2 x y 5,3)代入,得 a2=16,所以所求双曲线的标准方程为 - 16 16 = 1; y2 x 2 当焦点在 y 轴上时, 设双曲线的标准方程为 2- 2= 1, 把点 (- a a 5,3)代入,得 a2=- 16,不合题意. x 2 y2 综上可知,所求双曲线的标准方程为 - = 1. 16 16

(2)由渐近线方程是 3x± y=0, x2 2 可设所求双曲线方程为 - y = λ(λ≠0), (*) 1 9 将点 P(2,-1)的坐标代入 (*),得 λ= 35, x 2 y2 所以所求双曲线方程为 - =1. 35 35 9

[方法归纳] (1)若已知双曲线的渐近线方程为 mx± ny=0,求双曲线方程, 渐近线相同的双曲线有无数多条,焦点可能在 x 轴上,也可 能在 y 轴上,要分情况进行讨论.现依据渐近线方程,设出 双曲线方程为 m2x2- n2y2= γ(γ≠ 0),求出γ 即可. x 2 y2 x2 (2)与 2- 2= 1(a> 0, b> 0)共渐近线的双曲线方程可设为 2 a b a y2 - 2= γ(γ≠0). b x 2 y2 (3)与双曲线 2- 2= 1(a> 0, b>0)有相同焦点的双曲线方程 a b x2 y2 可设为 2 - 2 = 1(- b2< γ< a2). a -γ b +γ

x 2 y2 1.(1)已知双曲线 2- 2= 1(a> 0,b> 0)的实轴长为 4 3,顶 a b 点到渐近线的距离为 x 2 y2 - =1 12 4 ________________ . 3,则此双曲线的方程为

x 2 y2 (2)与双曲线 - = 1 共渐近线且过 A(2 3,-3)点的双曲线 16 9

y2 x 2 - =1 9 4 4 方程为____________________ .

解析:(1)因为实轴长为 4 3,所以 a= 2 3,其渐近线方程为 b y= ± x , (2 3, 0)为其一顶点, bx- 2 3y= 0 为其一条渐近线, a |2 3b| 则 (2 3,0)到 bx- 2 3y=0 的距离为 2 = 3,得 b2= b +12 x 2 y2 4.故此双曲线的方程为 - =1. 12 4 x 2 y2 x 2 y2 (2)设与双曲线 - = 1 共渐近线的双曲线方程为 - = 16 9 16 9 λ(λ≠0). 12 9 1 因为点 A(2 3,- 3)在双曲线上, 所以 λ= - =- . 16 9 4 x 2 y2 1 y2 x 2 所以所求双曲线方程为 - =- ,即 - = 1. 16 9 4 9 4 4

双曲线的离心率
x 2 y2 (1)已知 F 是双曲线 2- 2= 1(a> 0, b> 0)的左焦点, E a b 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线 交于 A、 B 两点,若△ ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离 心率 e 的取值范围为 ( B ) A. (1,+∞ ) C. (1,1+ 2) B.(1, 2) D. (2,1+ 2)

x 2 y2 (2)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2= 1(a>0,b> 0)的两个焦点, a b P 是 C 上一点,若 |PF1|+ |PF2|= 6a,且△ PF1F2 的最小内角 3 为 30° ,则 C 的离心率为 ________ .

[解析 ]

(1)由题意可得 |AF|< |FE|,把点 A 的横坐标- c 代入

4 2 b b 双曲线方程得: y2= 2,所以 |AF|= ,因为 |EF|= a+ c, a a

b2 所以 <a+ c,即 e2- e-2<0,得 e∈ (- 1, 2). a 又因为 e> 1,所以 e∈ (1,2). (2)不妨设 |PF1|> |PF2|,则 |PF1|- |PF2|= 2a,又 |PF1|+ |PF2| = 6a,得 |PF1|=4a,|PF2|= 2a,|F1F2|= 2c,则在△ PF1F2 中, ∠ PF1F2=30° ,由余弦定理得 (2a)2= (4a)2+(2c)2- 2(4a)(2c)cos 30° ,整理得 (e- 3)2=0,所以 e= 3.

[方法归纳] (1)求双曲线离心率的常见方法:一是依据条件求出 a, c,再 c 计算 e= ;二是依据条件建立参数 a, b, c 的关系式.一种 a 方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解,另一种方法是消 b b 去 c 转化成含 的方程,求出 后利用 e= a a b2 1+ 2求离心率. a

(2)若求离心率 e 的取值范围,则应由题意寻求 a, b, c 的不 等关系,由此得出关于 e 的不等式,再进行求解.

x 2 y2 2.(1)已知 F1,F2 是双曲线 2- 2= 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点, a b 以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若边 MF1 的中点 P 在双曲 线上,则双曲线的离心率是 ( C ) A. 3 C. 3+ 1 B.2 D. 3

x 2 y2 (2)设双曲线 C: 2- 2= 1(a>0, b> 0)的一条渐近线与抛物 a b 1 线 y =x 的一个交点的横坐标为 x0,若 x0> ,则双曲线 C 的 2
2

离心率的取值范围是 ( B ) 6 A. (1, ) 2 C. ( 3,+∞ ) B.(1, 3) 6 D. ( ,+∞ ) 2

解析: (1)因为△ F1F2M 为正三角形, |PM|= |F1P|,所以 F2P ⊥ PF1,所以 |F1F2|= 2c= 2|PF1|,即 |PF1|= c, |PF2|= 3c, c 2 由双曲线定义:|PF2|- |PF1|= ( 3-1)c= 2a, 故 e= = a 3- 1 = 3+ 1. b (2)该双曲线的一条渐近线为 y= x,代入 y2= x 得 x=0 或 x a a2 1 a2 1 a2 1 c2 2 = 2,因为 x0> ,即 2> ,所以 2 2> 即 2= e < 3, 2 b b 2 c -a 2 a 得 e∈ (- 3, 3),又因为 e> 1,所以 e∈ (1, 3).

双曲线的渐近线及其应用
x 2 y2 (1)设双曲线 2- 2= 1(a> 0, b> 0)的虚轴为 2,焦距为 a b 2 3,则双曲线的渐近线方程为 ( C ) A. y= ± 2x B. y= ± 2x 2 1 C. y = ± x D. y = ± x 2 2 x 2 y2 5 (2)若双曲线 - = 1 的渐近线方程 l 为 y= ± x,则双曲线焦 9 m 3 点 F 到渐近线 l 的距离为 ( D ) A. 2 B. 14 C. 2 5 D. 5

[解析 ] (1)由题意得 b= 1, c= 3,所以 a= c2- b2= 2, b 2 故双曲线的渐近线方程为 y= ± x= ± x. 2 a m 5 (2)该双曲线的渐近线方程为 y= ± x= ± x,故 m=5. 3 3 所以 c= a2+b2= 14. 5 | × 14| 3 所以 F 到 l 的距离为 = 5. 5 +1 9

[方法归纳] 求渐近线方程的两种方法 b (1)当已知标准方程的焦点所在坐标轴时, 用公式法 y= ± x(焦 a a 点在 x 轴 )或 y= ± x(焦点在 y 轴)求解. b (2)把双曲线标准方程右端的“1”换为“0”即得渐近线方程.

x 2 y2 3.(1)若双曲线 2- 2= 1(a>0,b> 0)的离心率为 3,则其渐近 a b 线方程为 ( D ) 2 A. y= ± 2x B. y= ± x 2 1 C. y = ± x D. y = ± 2 x 2 x 2 y2 (2)设双曲线 2- 2= 1 的一条渐近线与抛物线 y= x2+1 只有一 a b 个公共点,则双曲线的离心率为 ( D ) 5 A. B .5 4 5 C. D. 5 2

2 2 2 a + b c b2 2 解析: (1)因为 e= 3,所以 e = 2= 2 = 1+ ( ) =3, a a a

b 所以 = 2,又焦点在 x 轴,所以渐近线方程为 y=± 2x. a b b (2)双曲线的渐近线方程为 y= ± x,不妨考虑 y= x,将其代 a a
2 b b 入 y= x2+1 整理得:x2- x+ 1=0,Δ = 2- 4= 0,得 b2= a a

4a2= c2- a2,故 e= 5.

易错警示

忽视双曲线焦点位置致误

x 2 y2 4 已知双曲线 - =1 的一条渐近线方程为 y= x, 3 m n 5 5 或 3 4 则该双曲线的离心率 e 为______________ .

[解析 ]

当双曲线的焦点在 x 轴上时, 4 b 4 因为一条渐近线方程为 y= x,所以 = , 3 a 3 c 所以离心率 e= = a b 2 1+( ) = a 4 2 5 1+( ) = . 3 3

当双曲线的焦点在 y 轴上时, 4 因为一条渐近线方程为 y= x, 3 a 4 b 3 所以 = ,这时 = . b 3 a 4 c 所以离心率 e= = a b 2 1+( ) = a 5 5 故双曲线的离心率为 或 . 3 4 3 2 5 1+( ) = . 4 4

[错因与防范 ]

(1)本例易主观认为焦点在 x 轴上, 忽略考虑焦

点在 y 轴上的情况而漏解. (2)一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件, 要注意焦点位置的讨论,如本例中分焦点在 x 轴上或在 y 轴 上两种情况讨论.

x2 2 4.已知实数 1, m, 9 成等比数列,则圆锥曲线 + y = 1 的 m 离心率为 ( C ) 6 A. 3 6 C. 或 2 3 B.2 2 D. 或 3 2

解析:因为 1,m,9 成等比数列,所以 m2=9,即 m= ± 3, x2 2 当 m= 3 时, + y =1,a= 3, b= 1, c= a2-b2= 2, e 3 c 6 = = . a 3 2 x 当 m=- 3 时,y2- = 1,a= 1,b= 3,c= a2+b2=2,e 3 c = = 2. a

x 2 y2 1.双曲线 - =-5 的一条渐近线方程是 ( B ) 4 9 A.2x-3y=0 B.3x+2y=0 C.9x-4y=0 D 2 . 4x 2 -9y=0 y x 解析:法一:因为该双曲线的标准方程为 - = 1, 45 20
a 所以该双曲线的焦点在 y 轴上, 故该双曲线的渐近线为 y= ± b 3 x= ± x,即 3x± 2y= 0. 2 x 2 y2 3 法二:把- 5 换为 0,得 - =0,解得 y=± x, 4 9 2 3 故该双曲线的渐近线为 y= ± x,即 3x± 2y=0. 2

x 2 y2 2.已知双曲线 2- 2=1(a> 0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3 a b x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 ( A ) x 2 y2 x 2 y2 A. - =1 B. - = 1 9 27 36 108 x 2 y2 x 2 y2 C. - =1 D. - =1 108 36 27 9 b b 解析:该双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 = 3, c= a a
a2+b2= 2a,可知此双曲线的左焦点 (- 2a,0)在 y2=24x 的 准线 x=- 6 上,即- 2a=- 6 得 a=3, b=3 3. x 2 y2 故双曲线方程为 - =1. 9 27

4 3.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是 ________ .
x 2 y2 解析:该双曲线的标准方程为 - =1, a=2, 4 8 故实轴长为 2a=4.

x 2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线 y2= a b 4x 的焦点 F 重合,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴,
2+ 1 则该双曲线的离心率为_____________ .

解析:设双曲线的左焦点为 F1,A 在 x 轴上方, 由题意得: F 的坐标为 (1,0),F1(-1, 0),A(1,2), 由|AF1|- |AF|= 2 2-2=2a 得 a= 2-1, c 1 故双曲线的离心率 e= = = 2+1. a 2- 1



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