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2019年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 课时达标检测(三十五)直线、平面平行的判定与性质 文

2019 年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 课时达标检测(三十五)直

线、平面平行的判定与性质 文

1.(xx·河北保定模拟)有下列命题:

①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则直线 l∥α ;

②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α ;

③若直线 a∥b,b∥α ,则 a∥α ;

④若直线 a∥b,b∥α ,则 a 平行于平面 α 内的无数条直线.

其中真命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:选 A 命题①l 可以在平面 α 内,是假命题;命题②直线 a 与平面 α 可以是相

交关系,是假命题;命题③a 可以在平面 α 内,是假命题;命题④是真命题.

2.(xx·湖南湘中名校联考)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的

平面,下列命题中正确的是( )

A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n

B.若 m∥α ,m? β ,则 α ∥β

C.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β

D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n

解析:选 D A 中,两直线可能平行,相交或异面;B 中,两平面可能平行或相交;C

中,两平面可能平行或相交;D 中,由线面垂直的性质定理可知结论正确,故选 D.

3.设 m,n 是不同的直线,α ,β 是不同的平面,且 m,n? α ,则“α ∥β ”是“m

∥β 且 n∥β ”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 若 m,n? α ,α ∥β ,则 m∥β 且 n∥β ;反之若 m,n? α ,m∥β 且 n

∥β ,则 α 与 β 相交或平行,即“α ∥β ”是“m∥β 且 n∥β ”的充分不必要条件.

4.(xx·襄阳模拟)如图,在正方体 ABCD ?A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1, CD1 的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直

C.MN 与 BD 平行

D.MN 与 A1B1 平行 解析:选 D 如图所示,连接 AC,C1D,BD,则 MN∥BD,而 C1C⊥BD, 故 C1C⊥MN,故 A、C 正确,D 错误,又因为 AC⊥BD,所以 MN⊥AC,B 正确.

5.(xx·湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,过 A1B1 的平面与平面 ABC

交于 DE,则 DE 与 AB 的位置关系是( )

A.异面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能

解析:选 B 在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,AB∥A1B1,

∵AB? 平面 ABC,A1B1?平面 ABC,

∴A1B1∥平面 ABC, ∵过 A1B1 的平面与平面 ABC 交于 DE.

∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.

6.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是________(只填序号).

①AD1∥BC1;②平面 AB1D1∥平面 BDC1;

③AD1∥DC1;④AD1∥平面 BDC1. 解析:连接 AD1,BC1,AB1,B1D1,C1D1,BD,因为 AB 綊 C1D1,所以四 边形 AD1C1B 为平行四边形,故 AD1∥BC1,从而①正确;易证 BD∥B1D1,AB1

∥DC1,又 AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,故平面 AB1D1∥平面 BDC1,从而②

正确;由图易知 AD1 与 DC1 异面,故③错误;因 AD1∥BC1,AD1?平面 BDC1,

BC1? 平面 BDC1,故 AD1∥平面 BDC1,故④正确.

答案:①②④

7.如图所示,在四面体 ABCD 中,M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心,

则四面体的四个面所在平面中与 MN 平行的是________________.

解析:连接 AM 并延长,交 CD 于点 E,连接 BN,并延长交 CD 于点 F, 由重心性质可知,E,F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,连接 MN,由 MEAM=NEBN=12,得 MN∥AB.因此,MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD.
答案:平面 ABC、平面 ABD 8.如图所示,三棱柱 ABC ?A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,设 D 是 A1C1 上的点且 A1B∥平面 B1CD,则 A1D∶DC1 的值为________. 解析:设 BC1∩B1C=O,连接 OD. ∵A1B∥平面 B1CD 且平面 A1BC1∩平面 B1CD=OD, ∴A1B∥OD, ∵四边形 BCC1B1 是菱形, ∴O 为 BC1 的中点,

∴D 为 A1C1 的中点,则 A1D∶DC1=1. 答案:1
1.如图,ABCD 与 ADEF 均为平行四边形,M,N,G 分别是 AB, AD,EF 的中点.求证:
(1)BE∥平面 DMF; (2)平面 BDE∥平面 MNG. 证明:(1)连接 AE,则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O, 连接 MO,则 MO 为△ABE 的中位线,所以 BE∥MO, 又 BE?平面 DMF,MO? 平面 DMF,所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N,G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD,EF 的中点, 所以 DE∥GN, 又 DE?平面 MNG,GN? 平面 MNG, 所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 的中点, 所以 MN 为△ABD 的中位线, 所以 BD∥MN, 又 MN? 平面 MNG,BD?平面 MNG, 所以 BD∥平面 MNG, 又 DE,BD? 平面 BDE,DE∩BD=D, 所以平面 BDE∥平面 MNG. 2.(xx·湖南长沙四校模拟)如图,在四棱锥 P ?ABCD 中,E 是 棱 PC 上一点,且 2―A→E =―A→C +―A→P ,底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形,△PAD 为正三角形,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F,平面 PCD 与平 面 PAB 交于直线 l,且平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证:l∥EF; (2)求三棱锥 P ?AEF 的体积. 解:(1)证明:∵底面 ABCD 是正方形,∴AB∥CD, 又 AB?平面 PCD,CD? 平面 PCD,∴AB∥平面 PCD. 又 A,B,E,F 四点共面,且平面 ABEF∩平面 PCD=EF, ∴AB∥EF. 又平面 PAB 与平面 PCD 交于直线 l,∴AB∥l. ∴l∥EF.

(2)∵2―A→E =―A→C +―A→P ,∴E 为棱 PC 的中点. 由(1)知 CD∥EF,∴F 为 PD 的中点,∴AF⊥PD. 又 CD⊥AD,平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴CD⊥平面 PAD,又 AF? 平面 PAD,∴CD⊥AF, 又 PD,CD? 平面 PCD,PD∩CD=D,∴AF⊥平面 PCD,∴AF 是三棱锥 A ?PEF 的高. ∵ABCD 是边长为 2 的正方形,且△PAD 为正三角形,

易得 PF⊥EF,PF=EF=1,AF= 3,

∴VP

V = ?AEF

A

?PEF=13S△PEF×AF=13×12×1×1×

3= 63,∴三棱锥 P ?AEF 的体积为 63.

3.如图所示,在正方体 ABCD ?A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是 BC, CC1,C1D1,A1A 的中点.求证:
(1)BF∥HD1; (2)EG∥平面 BB1D1D; (3)平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明:(1)如图所示,取 BB1 的中点 M,连接 MH,MC1,易证四边形 HMC1D1 是平行四边形, ∴HD1∥MC1. 又∵MC1∥BF,∴BF∥HD1. (2)取 BD 的中点 O,连接 EO,D1O,则 OE 綊12DC,

又 D1G 綊12DC,∴OE 綊 D1G,

∴四边形 OEGD1 是平行四边形,∴GE∥D1O. 又 GE?平面 BB1D1D,D1O? 平面 BB1D1D, ∴EG∥平面 BB1D1D. (3)由(1)知 BF∥HD1, 又 BD∥B1D1,B1D1,HD1? 平面 B1D1H,BF,BD? 平面 BDF,且 B1D1∩HD1=D1,DB∩BF=B, ∴平面 BDF∥平面 B1D1H. 4.如图,四棱锥 P ?ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,E 为 PB 的中点. (1)求证:CE∥平面 PAD. (2)在线段 AB 上是否存在一点 F,使得平面 PAD∥平面 CEF?若存在,

证明你的结论,若不存在,请说明理由. 解:(1)证明:取 PA 的中点 H,连接 EH,DH, 因为 E 为 PB 的中点,

所以 EH∥AB,EH=12AB, 又 AB∥CD,CD=12AB, 所以 EH∥CD,EH=CD, 因此四边形 DCEH 是平行四边形, 所以 CE∥DH, 又 DH? 平面 PAD,CE?平面 PAD, 因此 CE∥平面 PAD. (2)存在点 F 为 AB 的中点,使平面 PAD∥平面 CEF, 证明如下: 取 AB 的中点 F,连接 CF,EF, 所以 AF=12AB, 又 CD=12AB,所以 AF=CD, 又 AF∥CD,所以四边形 AFCD 为平行四边形, 因此 CF∥AD, 又 CF?平面 PAD,所以 CF∥平面 PAD, 由(1)可知 CE∥平面 PAD, 又 CE∩CF=C, 故平面 CEF∥平面 PAD, 故存在 AB 的中点 F 满足要求.
2019 年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 课时达标检测(三十五)空
间点、直线、平面之间的位置关系
1.四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数为________. 解析:首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面. 答案:4 2.设 P 表示一个点,a,b 表示两条直线,α ,β 表示两个平面,给出下列四个命题, 其中正确的命题是________. ①P∈a,P∈α ? a? α ;②a∩b=P,b? β ? a? β ;③a∥b,a? α ,P∈b,P∈α ? b

? α ;④α ∩β =b,P∈α ,P∈β ? P∈b. 答案:③④ 3.若直线 a⊥b,且直线 a∥平面 α ,则直线 b 与平面 α 的位置关系是________. 解析:结合正方体模型可知 b 与 α 相交或 b? α 或 b∥α 都有可能. 答案:b 与 α 相交或 b? α 或 b∥α 4.空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8,所成的角为 45°,连结各边中点所得四边
形的面积是________. 解析:如图,已知空间四边形 ABCD,对角线 AC=6,BD=8,易证四边形 EFGH 为平行四
边形,∠EFG 或∠FGH 为 AC 与 BD 所成的角,大小为 45°,故 S 四边形 EFGH=3×4×sin 45°= 6 2.
答案:6 2 [练常考题点——检验高考能力]
一、填空题 1.(xx·泰州模拟)已知直线 a 和平面 α ,β ,α ∩β =l,a?α ,a?β ,且 a 在 α , β 内的射影分别为直线 b 和 c,则直线 b 和 c 的位置关系是________. 解析:依题意,直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面. 答案:相交、平行或异面 2.已知 a,b,c 为三条不重合的直线,已知下列结论:①若 a⊥b,a⊥c,则 b∥c;② 若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c;③若 a∥b,b⊥c,则 a⊥c.其中正确的个数为________. 解析:法一:在空间中,若 a⊥b,a⊥c,则 b,c 可能平行,也可能相交,还可能异面, 所以①②错,③正确. 法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,①②错,③正确. 答案:1 3.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,C 是圆柱下底面弧 AB 的 中点,C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点,那么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切 值为________. 解析:取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连结 C1D,AD, 因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,
所以 AD∥BC, 所以直线 AC1 与 AD 所成角等于异面直线 AC1 与 BC 所成角,因为 C1 是圆柱上底面弧 A1B1

的中点,

所以 C1D⊥圆柱下底面,所以 C1D⊥AD, 因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,

所以 C1D= 2AD,

所以直线 AC1 与 AD 所成角的正切值为 2,

所以异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 2.

答案: 2

4.如图所示,设 E,F,G,H 依次是空间四边形 ABCD 边 AB,BC,CD,

DA

AE AH 上除端点外的点,AB=AD=λ

CF CG ,CB=CD=μ

,则下列结论中不正确的是

________.(填序号)

①当 λ =μ 时,四边形 EFGH 是平行四边形;

②当 λ ≠μ 时,四边形 EFGH 是梯形;

③当 λ ≠μ 时,四边形 EFGH 一定不是平行四边形;

④当 λ =μ 时,四边形 EFGH 是梯形.

AE AH 解析:由AB=AD=λ

,得

EH∥BD

EH 且BD=λ

,同理得

FG∥BD

FG 且BD=μ

,当

λ

=μ

时,

EH∥FG 且 EH=FG.当 λ ≠μ 时,EH∥FG,但 EH≠FG,只有④错误. 答案:④

5.过正方体 ABCD ?A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等, 这样的直线 l 可以作________条.

解析:如图,连结体对角线 AC1,显然 AC1 与棱 AB,AD,AA1 所成的

角都相等,所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线,如连

结 BD1,则 BD1 与棱 BC,BA,BB1 所成的角都相等,∵BB1∥AA1,BC∥AD, ∴体对角线 BD1 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等,同理,体对角线 A1C, DB1 也与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等,过 A 点分别作 BD1,A1C,DB1 的平行线都满足题意, 故这样的直线 l 可以作 4 条.

答案:4

6.如图,ABCD ?A1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交 平面 AB1D1 于点 M,则下列正确结论的序号是________.
①A,M,O 三点共线;②A,M,O,A1 共面;③A,M,C,O 不共 面;④B,B1,O,M 共面.
解析:连结 A1C1,AC,则 A1C1∥AC,所以 A1,C1,C,A 四点共面, 所以 A1C? 平面 ACC1A1,因为 M∈A1C,所以 M∈平面 ACC1A1,又 M∈平

面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上,同理 O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交 线上,所以 A,M,O 三点共线,所以①②正确,③错误.易知 BB1 与 OM 异面,则④错误.
答案:①②

7.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,H 分别是边 AB,AD 的中点,点 F,G 分别是



BC,CD

CF CG 2 上的点,且CB=CD=3,则下列说法正确的是________.(填写所有正确说法的序

号)

①EF 与 GH 平行; ②EF 与 GH 异面; ③EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上; ④EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上. 解析:连结 EH,FG(图略),依题意,可得 EH∥BD,FG∥BD,故 EH∥FG,所以 E,F,G, H 共面.因为 EH=12BD,FG=23BD,故 EH≠FG,所以 EFGH 是梯形,EF 与 GH 必相交,设交点 为 M.因为点 M 在 EF 上,故点 M 在平面 ACB 上.同理,点 M 在平面 ACD 上,∴点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点,又 AC 是这两个平面的交线,所以点 M 一定在直线 AC 上. 答案:④ 8.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的 AB,CD,EF,GH 在原正方体中互为异面 直线的有________对.

解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB,CD,EF 和 GH 在原正方 体中,显然 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 相交, CD 与 EF 平行.故互为异面直线的有 3 对.
答案:3 9.已知 a,b,c 为三条不同的直线,且 a? 平面 α ,b? 平面 β ,α ∩β =c. ①若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交; ②若 a 不垂直于 c,则 a 与 b 一定不垂直;

③若 a∥b,则必有 a∥c;

④若 a⊥b,a⊥c,则必有 α ⊥β . 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的序号)

解析:①中若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交,故①正确;②中平

面 α ⊥平面 β 时,若 b⊥c,则 b⊥平面 α ,此时不论 a,c 是否垂直,均有 a⊥b,故②错 误;③中当 a∥b 时,则 a∥平面 β ,由线面平行的性质定理可得 a∥c,故③正确;④中若 b∥c,则 a⊥b,a⊥c 时,a 与平面 β 不一定垂直,此时平面 α 与平面 β 也不一定垂直, 故④错误.

答案:①③

10.如图,在三棱锥 A?BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,

点 M,N 分别为 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值

是________.

解析:如图所示,连结 DN,取线段 DN 的中点 K,连结 MK,CK.∵M

为 AD 的中点,∴MK∥AN,∴∠KMC(或其补角)为异面直线 AN,CM 所成

的角.∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N 为 BC 的中点,由勾股定

理 易 求 得 AN = DN = CM = 2 2 , ∴ MK = 2 . 在 Rt△CKN 中 , CK =

?

2?2+12=

3.在△CKM 中,由余弦定理,得 cos∠KMC=?

2?2+?2 2?2-? 2× 2×2 2

3?2=78,所以

异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是78.

7 答案:8

二、解答题

11.如图所示,A 是△BCD 所在平面外的一点,E,F 分别是 BC,

AD 的中点.

(1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线;

(2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角.

解:(1)证明:假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即

AD 与 BC 共面,所以 A,B,C,D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾.故

直线 EF 与 BD 是异面直线.

(2)如图,取 CD 的中点 G,连结 EG,FG,则 AC∥FG,EG∥BD, 所以相交直线 EF 与 EG 所成的角, 即为异面直线 EF 与 BD 所成的角. 又因为 AC⊥BD,则 FG⊥EG. 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG=12AC,求得∠FEG=45°,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°. 12.如图,在三棱锥 P?ABC 中,PA⊥底面 ABC,D 是 PC 的中点.已知∠BAC=π2 ,AB=2, AC=2 3,PA=2.求:
(1)三棱锥 P?ABC 的体积; (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值. 解:(1)S△ABC=12×2×2 3=2 3,三棱锥 P?ABC 的体积为 V=13S△ABC·PA=13×2 3×2= 43 3. (2)如图,取 PB 的中点 E,连结 DE,AE,则 ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角.在△ADE 中,DE=2,AE= 2,AD=2,cos∠ADE=222×+22×2-22=34. 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为34.



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