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2014届高考数学人教A版理科一轮复习题库:第九章解析几何9.5椭圆

课时作业 47 椭圆

一、选择题

1.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方

程为( ). A.1x629+1y424=1

B.1x424+1y629=1

C.1x629+2y52 =1

D.1x424+2y52 =1

2 .(2012 课标全国高考)设 F1,F2 是椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直

线 x=32a上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为(

). 学科

1

2

3

4

A.2

B.3

C.4

D.5

3.已知 F1,F2 是椭圆1x62 +y92=1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点.在△

AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为( ).

A.6

B.5

C.4

D.3

4.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直平

分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( ).

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

5.设椭圆x22+ym2=1 和双曲线y32-x2=1 的公共焦点分别为 F1,F2,P 为这两条曲线的

一个交点,则 cos∠F1PF2 的值为( ).

1 A.4

1 B.3

2 C.3

D.-13

6.如图所示,椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的离心率 e=12,左焦点为 F,A,B,C 为其三个

顶点,直线 CF 与 AB 交于 D 点,则 tan∠BDC 的值等于( ).

A.3 3

B.-3 3

C.

3 5

D.-

3 5

7.方程为ax22+by22=1(a>b>0)的 椭圆的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,D 是它

短轴上的一个端点,若 3D→F1=D→A+2D→F2,则该椭圆的离心率为( ).

A.12

B.13

C.14

D.15

二、填空题

8.(2012 四川高考)椭圆ax22+y52=1(a 为定值, 且 a> 5)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭

圆相交于点 A,B,△FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是__________. 9.已知动点 P(x,y)在椭圆2x52 +1y62 =1 上,若 A 点坐标为(3,0),|A→M|=1,且P→M·A→M=0,

则|P→M|的 最小值是__________.

10.F1,F2 是 椭圆ax22+y92=1 的左、右两焦点,P 为椭圆的一个顶点,若△PF1F2 是等 边三角形,则 a2=__________.
三、解答题 11.已知椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左焦点 F 及点 A(0,b),原点 O 到直线 FA 的距

离为

2 2 b.

(1)求椭圆 C 的离心率 e;

(2)若点 F 关于直线 l:2x+y=0 的对称点 P 在圆 O:x2+y2=4 上,求椭圆 C 的方程及

点 P 的坐标.

12.(2012

北京高考)已知椭圆

C:ax22+by22 =1(a>b>0)的一个顶点为

A(2,0),离心率为

2 2.

直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)当△AMN 的面积为 310时,求 k 的值.

参考答案

一、选择题

1.A 解析:由题意知 a=13,c=5,

∴b2=a2-c2=144.

又∵椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆方程为1x629+1y424=1.

2.C

解析:设直线

3a x= 2 与

x

轴交于点

M,则∠PF2M=60

°,

3



Rt△PF2M

3a 中,PF2=F1F2=2c,F2M= 2 -c,故

cos

60°=FP2FM2 =2a2-c c=12,

解得ac=34,故离心率 e=34.

3.A 解析:根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,

故所求的第三边的长度为 16-10=6.

4.B 解析:点 P 在线 段 AN 的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又 AM 是圆的半径,

∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,动点 P 的轨迹是椭圆.

5.B 解析:由题意可知 m-2=3+1,解得 m=6. 学#科#

由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点 P 为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2).

由题意得|PF1|+|PF2|=2 6,|PF1|-|PF2|=2 3,|F1F2|=4,解得|PF1|= 6+ 3,|PF2|

= 6- 3.

由余弦定理可得 cos∠F1PF2=13.

6.B

解析:由 e=12知ba=

1-e2=

23,bc=

3 3.

由图知 tan∠DBC=tan∠ABO=ab=2 3 3,

tan∠DCB=tan∠FCO=bc=

3 3.

tan∠BDC=-tan(∠DBC+∠DCB )

23 3+

3 3

=-

=-3 3.

1-23 3×

3 3

7.D 解析:设点 D(0,b),A(-a,0),

uuur

uuur

uuur

则 由

D3 DuFu1Fur=1 =(-Ducu,Aur +-2b)Du,uFur2D,A 得=(--3ac,=--ba)+,2Dc,F2即=a(=c,5c-,b故).e=15.

二、填空题

8.23 解析:如图所示,设椭圆右焦点为 F1,AB 与 x 轴交于点 H,

则|AF|=2a-|AF1|,△ABF 的周长为 2|AF|+2|AH|=2(2a-|AF1|+|AH|),

∵△AF1H 为直角三角形,

∴|AF1|>|AH|,仅当|AF1|=|AH|,即 F1 与 H 重合时,△AFB 的周长最大,即最大周长为

2(|AF|+|AF1|)=4a=12,∴a=3,而 b=
uuur uuur

5,∴c=2,离心率 e=ac=23.

9. 3 解析:∵ PM ·AM =0,

uuur uuur

∴ AuuMur ⊥ PMuuur. Zxxk uuur

∴| PM |2=| AP |2- | AM |2

uuur

AP =|

| -1. 2 学|科|

∵椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小,

uuur

uuur

故| AP |min=2,∴| PM |min= 3.

10.12 解析:∵△PF1F2 是等边三角形,

∴2c=a.

又∵b=3,∴a2=12.

三、解答题 11.解:(1)由点 F(-ae,0),点 A(0,b),及 b=

1-e2a 得直线 FA 的方程为 x + -ae

y 1-e2a

=1,即 1-e2x-ey+ae 1-e2=0.

∵原点 O 到直线 FA 的距离 22b=ae 1-e2,



2 2

1-e2·a=ea

1-e2.解得

e=

2 2.

(2)(方法一)设椭圆 C 的左焦点 F??- 22a,0??关于直线 l:2x+y=0 的对称点为 P(x0,y0),

??? 则有

x0+y022a=12, 2

?? x0- 2 2· 2

a+y20=0,

32

22

解得 x0= 10 a,y0= 5 a.

∵P 在圆 x2+y2=4 上,

∴??3102a??2+??25 2a??2=4.
∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4.

故椭圆

C

x2 y2 的方程为 8 + 4 =1,点

P

的坐标为??65,85??.

(方法二)∵F??- 22a,0??关于直线 l 的对称点 P 在圆 O 上,

又直线 l:2x+y=0 经过圆 O:x2+y2=4 的圆心 O(0,0),

∴F??- 22a,0??也在圆 O 上.

从而??- 22a??2+02=4,a2=8,b2=(1-e2)a2=4.
x2 y2 故椭圆 C 的方程为 8 + 4 =1.

∵F(-2,0)与 P(x0,y0)关于直线 l 对称,

??x0y+0 2=12, ∴?
??2·x0-2 2+y20=0.

解得 x0=65,y0=85.
故点 P 的坐标为??65,85??.

a=2,
??? 12.解:(1)由题意得 ac= 22, ??a2=b2+c2,

解得 b= 2. 所以椭圆 C 的方程为x42+y22=1.

??y=k(x-1), (2)由?x2 y2
?? 4 + 2 =1,
得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.

设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=1+4k22k2,x1x2=21k+2-2k42.

所以|MN|= (x2-x1)2+(y2-y1)2

= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

2 (1+k2)(4+6k2)



1+2k2

.

又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d=

|k| , 1+k2

所以△AMN

的面积为

S=12|MN|·d=|k|

4+6k2 1+2k2 .

|k| 4+6k2 由 1+2k2 =

310,解得 k=±1.



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