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第1章实验数据及模型参数-62页文档_图文

第1章 实验数据及模型参数 拟合方法
? 1.1 问题的提出 ? 1.2拟合的标准 ? 1.3单变量拟合和多变量拟合 ? 1.4解矛盾方程组 ? 1.5梯度法拟合参数 ? 1.6吸附等温曲线回归
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1.1

1.2

1.3

1.1 问题的提出

? 化工设计及化工模拟 计算中,有大量的物 性参数及各种设备参 数。实验测量得到的 常常是一组离散数据 序列(xi ,yi)
? 图1-1所示为“噪声”
? 图1-2所示为无法同时 满足某特定的函数

Y Y

1.4 1.5

1.6

200

150

100

50

0

-2

0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20

X

图1-1 含有噪声的数据

20

15

10

5

0 0
图1-2

2

4

6

8

10

X

无法同时满足某特定函数的数据序列

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.1 问题的提出

? 在化学化工中,许多模型也要利用数据拟合技术, 求出最佳的模型和模型参数。
? 如在某一反应工程实验中,我们测得了如表1-1所示 的实验数据:

序号

1

2

温度 T 10

20

转化率 y 0.1 0.3

3

4

5

6

7

8

30

40

50

60

70

80

0.7 0.94 0.95 0.68 0.34 0.13

表1-1

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.1 问题的提出

? 确定在其他条件不变的情况下,转化率y和 温度T的具体关系,现拟用两种模型去拟合 实验数据,两种模型分别是:

y?a1?b1T?c1T2

(1-2)

y? a2

c2 ?b2(T?45)2

(1-3)

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.2 拟合的标准

向量Q与Y之间的误差或距离有以下几种定义方法:

? (1)用各点误差绝对值的和表示

m

? R1? ?(xi)?yi

(1-4)

? (2)用各i点?1 误差按绝对值的最大值表示

R??ma?(x x i)?yi

(1-5)

1?i?m

? (3)用各点误差的平方和表示

? ? m

R?R 2? ( (xi)?yi)2

或R?Q(x 2)(1-6-) Y 2

i? 1

R称为均方误差

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.2 拟合的标准

? 由于计算均方误差的最小值的原则容易实 现而被广泛采用。按均方误差达到极小构 造拟合曲线的方法称为最小二乘法。同时 还有许多种其他的方法构造拟合曲线,感 兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲 述用最小二乘法构造拟合曲线。

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1.1

1.2

1.3

1.2 拟合的标准

1.4 1.5

1.6
实例

? 实验测得二甲醇(DME)的饱和蒸汽压和 温度的关系如下表 :

序号

温度 ℃

蒸气压 MPa

1

-23.7

0.101

2

-10

0.174

3

0

0.254

4

10

0.359

5

20

0.495

6

30

0.662

7

40

0.880

表1-2 DME饱和蒸气压和温度的关系

由表1-2的数据观测可得,DME的饱和蒸汽压和温 度有正相关关系。

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1.1

1.2

1.3

1.2 拟合的标准

1.4 1.5

1.6
实例

? 如果以直线拟合p=a+bt,即拟合函数是一条直线。 通过计算均方误差Q ( a , b )最小值而确定直线方 程(见图1-3)
1.0

m

m

? ? Q (a ,b )? (p (ti)?p i)2? (a? bi? tp i)2(1-7) 0.8

i? 1

i? 1

0.6
拟合得到得直线方程为:

p

0.4

p?0.303?204.01t21(1-8) 0.2

相关系数R为0.97296, 平均绝对偏差SD为0.05065。

0.0 -30
图1-3

-20

-10

0

10

20

30

40

50

DME饱和蒸汽t 压和温度之间的

线性拟合

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1.1

1.2

1.3

1.2 拟合的标准

1.4 1.5

1.6
实例

如果采用二次拟合,通过计算下述均方误差:

m

m

? ? Q ( a 0 ,a 1 ,a 2 )?(p ( ti)? p i)2?( a 0 ? a 1 ti? a 2 ti2 ? p i)2 (1-9)

i? 1

i? 1

拟合得二次方程为:

1.0

p?0.248 ?04 .05 0t9?0 5.070t02 1(15-10) 0.8 0.6

压 , 力 P ( M P a )

相关系数为R为0.99972, 平均绝对偏差SD为0.0056。 具体拟合曲线见图1-4

0.4 y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x 2
0.2

0.0

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

温度 , t(℃ )

图1-4 DME饱和蒸汽压和温度之间的

二次拟合

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1.1

1.2

1.3

1.2 拟合的标准

1.4 1.5

1.6
实例

比较图1-3和图1-4以及各自的相关系数和平均绝对 偏差可知:
? 对于DME饱和蒸汽压和温度之间的关系,在实验 温度范围内用二次拟合曲线优于线性拟合。
? 二次拟合曲线具有局限性,由图1-4观察可知,当 温度低于-30℃时,饱和压力有升高的趋势,但在 拟合的温度范围内,二次拟合的平均绝对偏差又小 于一次拟合,故对物性数据进行拟合时,不仅要看 在拟合条件下的拟合效果,还必须根据物性的具体 性质,判断在拟合条件之外的物性变化趋势,以便 使拟合公式在已做实验点数据之外应用。

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3 单变量拟合和多变量拟合

? 1.3.1单变量拟合

? 1.3.2 多变量的曲线拟合

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

线性拟合

? 给定一组数据(xi,yi),i=1, 2 , …, m ,做拟合直线 p (x)=a + bx , 均方误差为 :

m

m

? ? Q (a ,b )? (p (x i)?yi)2? (a? bi? xyi)2

i? 1

i? 1

(1-11)

Q (a , b)的极小值需满足:

? ?Q ? (a a,b)?2im ?1(a?bix?yi)?0

? ?Q (a,b) m

?b

?2 (a?bix?yi)xi ?0
i?1

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

线性拟合

? 整理得到拟合曲线满足的方程:

? ? ?
?? ?

m

m

ma? ( xi )b ? yi

i?1

i?1

m

m

m

? ? ? ?(
?? i?1

xi

)a

?(
i?1

xi2 )b

?

i?1

xi

yi

(1-12)



?? m ?
? ? m
? xi

m
? ? i?1 ? ? m

xi xi2

?????????ba????

?

?? ? ? ?

m yi ?? i?1 ?

m

?

xi yi ?

称式(1-12)为拟合曲线 的法方程。

? i?1

i?1 ?

? i?1

?

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

线性拟合

可用消元法或克莱姆方法解出方程:

m

? yi

a?

i ?1 m

? xi yi

i ?1

m
? xi
i ?1 m
? xi2
i ?1

m
m
? xi
i ?1

m
? xi
i ?1 m
? xi2
i ?1

m

m

m

m

m

m

? ? ? ? ? ? ? ( yi xi2 ? xi xi yi ) /(m xi2 ? ( xi )2 )

i?1 i?1

i?1 i?1

i ?1

i ?1

m

m

m

m

m

? ? ? ? ? b ? (m xi yi ? xi yi ) (m xi2 ? ( xi )2 )

i ?1

i?1 i?1

i ?1

i ?1

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

线性拟合实例

? 例1.1:下表为实验测得的某一物性和温度之间的 关系数据,表中x为温度数据,y为物性数据。请用 线性函数拟合温度和物性之间的关系。
x 13 15 16 21 22 23 25 29 30 31 36 40
y 11 10 11 12 12 13 13 12 14 16 17 13
x 42 55 60 62 64 70 72 10 13
00
y 14 22 14 21 21 24 17 23 34

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

线性拟合实例

? 解:设拟合直线 ,并计算得下表:

编号

x

y

xy

1

13

11

143

2

15

10

150

3

16

11

176

4

21

12

252

5

22

12

264









21

130

34

4420

Σ

956

344

18913

x2
121 100 121 144 144 … 1156 61640

将数据代入法方程组(1-12)中,得到:????92516691566????4????ab0?????????138494????1 解方程得:a = 8.2084 , b = 0.1795 。
拟合直线为:p( ? x8.2)0? 80.4 17x95

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

二次拟合函数

? 给函定数数 拟据 合序 这列 组(数据xi,y。i),i=1, 2 , …, m ,用二次多项式

m

m

? ? Q ( a 0 ,a 1 ,a 2 )?(p ( x i)? y i) 2?( a 0 ? a 1 x i? a 2 x i 2 ? y i) 2

i? 1

i? 1

(1-13)

由数学知识可知,Q( a0 ,a1 ,a2 )的极小值满足:

? ?
? ?

?Q ?a0

m
? 2 (a0
i?1

? a1xi

? a2 xi2

?

yi )

?0

? ? ?Q

? ?

?a1

m
? 2 (a0
i?1

? a1xi

? a2 xi2

? yi )xi

?0

? ? ?Q
???a2

m
? 2 (a0
i?1

? a1xi

? a2 xi2

?

yi )xi2

?0

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

二次拟合函数

? 整理上式得二次多项式函数拟合的满足条件方程:

?? m

?

? ? m
? xi

? ?
? ?

i?1 m

xi2

? i?1

m
?xi
i?1
m
?xi2
i?1
m
?xi3
i?1

?m xi2 ??

? ? m ?
? yi ?

? ? i?1 m

xi3

???? a0 ?? a1

?? ?

?

? ? ?

i?1 ?

m

?

xi yi ?

?i?1 m

xi4

????a2 ?

??

i?1 ?

? ?
? ?

i?1 m

xi2

yi

? ? ?

? i?1

?

(1-14)

解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数p ( x )。 方程组(1-14)称为多项式拟合的法方程,法方程的 系数矩阵是对称的。

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

二次拟合函数

? 上面是二次拟合基本类型的求解方法,和一次拟 合一样,二次拟合也可以有多种变型:

例如 p (?0 x a?)1 a x 3?2 a x 5

套用上面的公式,我们可以得到关于求解此拟合函数

的法方程 :?? m

?

? ?
?

m

xi3

? i?1 m
? ?? xi5
? i?1

m
?xi3
i?1
m
?xi6
i?1
m
?xi8
i?1

?m xi5 ??

? ??

m
yi

??

? ? i?1 m

xi8

???? ??

a0 a1

?? ?

?

?

? ?

i?1 ?

m

xi3

yi

? ?

? ? i?1 m

xi10?????a2

??

? i?1 m

?

?? xi5 yi ??

i?1 ?

? i?1

?

(1-15)

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

二次拟合函数

? 如果我们需要求解是下面的拟合函数:

ln y?a0?x? a2 1 7?b 31?(x?27 )1.53

? 参照上面的方法,我们很容易得到求解该拟合函 数的法方程:

? ? ??

m

? ?

m1 i?1xi ?273

?m 1

m

1

? ? ? ? ?
?

i?1xi ?273 i?1(xi ?27)23

? ? ? ? ??m(xi ?27)1.3 5

m
(xi ?27)0.35

?i?1

i?1

iim m ? i?m ? 1 11(((xxxiii? ??2 227 77)))1 03..3 3 5 53??????????????a a a1 2 0???????????????im ?1[(xim ?i1? im ? x1i2ll?nn7y2y)i1 i.3 57li n3yi]?????????

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

二次拟合实例

? 例1.2:请用二次多项式函数拟合下面这组数据。

序号 1 2 3 4 5 6 7 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 4 2 3 0 -1 -2 -5

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

二次拟合实例

? 解:设 p (?x 0 a?)1 a x?2 a x2 ,由计算得下表:

序号

x

1

-3

2

-2

3

-1

4

0

5

1

6

2

7

3



0

y

xy

x2

x2y

x3

x4

4

-12

9

36

-27

81

2

-4

4

8

-8

16

3

-3

1

-3

-1

1

0

0

0

0

0

0

-1

-1

1

-1

1

1

-2

-4

4

-8

8

16

5

-15

9

-45

27

81

1

-39

28

-7

0

196

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

二次拟合实例

? 将上面数据代入式 (1-14) ,相应的法方程为:

? ? ?

7a0 ?0a1 ?28a2 ?1 0a0 ?28a1 ?0a2 ? ?39

??28a0 ?0a1 ?196a2 ? ?7

解方程得:a0 =0.66667 , a1 = -1.39286 , a2 = -0.13095 ∴
p (? x0.6)66 -1.3697x2-08 .16 3x0 2 95

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1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.1 单变量拟合

二次拟合实例

4

2

y=0.66667-1.39286 x-0.13095 x 2

0

y

Y

-2

-4

-6

-3

-2

-1

0

1

2

3

X

图 1-6 拟合曲线与数据序列

7

7

? 拟合曲线的均方误差:??i2 ? ? (p(xi)?yi)2?3.09524

i?1

i?1

? 结果见图 1-6。二次曲线的拟合程序可利用后面介

绍的单变量n次拟合程序。

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.2 多变量的曲线拟合

? 实际在化工实验数据处理及模型参数拟合时,通 常会碰到多变量的参数拟合问题。一个典型的例

子是传热实验中努塞尔准数和雷诺及普兰德准数

之间的拟合问题:

Nu ?c1Rce2Pcr3

(1-16)

求出方程(1-16)中参数c1、c2、c3

这是一个有两个变量的参数拟合问题

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.2 多变量的曲线拟合

为不失一般性,我们把它表达成以下形式:
? 给定数据序列 (x1 i,x2 i,yi) ? i1,2 ,? 3,m 用一次多项 式函数拟合这组数据。
? 设 p ( ?0 a x ?1 a x )1?2 a x 2,作出拟合函数与数据
序列的均方误差:

m

m

? ? Q ( a 0 ,a 1 ,a 2 ) ?( p ( x i) ? y i) 2 ?( a 0 ? a 1 x 1 i? a 2 x 2 i? y i) 2(1-17)

i ? 1

i ? 1

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1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.2 多变量的曲线拟合

? 由多元函数的极值原理,Q( a0 ,a1 ,a2 )的极小值满

足: ? ? ? ?

?Q ?a0

m
? 2 (a0
i?1

? a1x1i

? a2 x2i

? yi ) ? 0

? ? ?Q

? ?

?a1

m
? 2 (a0
i?1

? a1x1i

? a2 x2i

? yi )x1i

?0

? ? ?Q
???a2

m
? 2 (a0 ? a1x1i
i?1

? a2 x2i

? yi )x2i

?0

整理得多变量一次多项式函数拟合的法方程:

?? m

?

? ? m
? x1i

? ?
? ??

i?1 m
i?1

x2i

m
?x1i
i?1 m
?x12i
i?1 m
?x1i x2i
i?1

?m
x2i

??

? ??

m
yi

??

? ? i?1 m

????a0 ??

? i?1 ?m

? ?

x1i x2i ??a1 ? ?? x1i yi ?

? i?1 m x22i
i?1

????a2 ?? ??

? ?
? ??

i?1 m
i?1

x2i

yi

? ? ??

(1-18)

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.2 多变量的曲线拟合

? 通过求解方程(1-18)就可以得到多变量函数线 性拟合时的参数。
? 我们可以通过对方程(1-16)两边同取对数,就 可以得到以下线性方程:

ln N )( ? u lc n 1? c 2lR n? e c 3lP n r

(1-19)

只要作如下变量代换: y ?ln(Nu)

a0 ?lnc1

x1?lnRe

a1 ?c2

x2 ?lnPr

a2 ?c3

并将实验数据代入法方程(1-18)就可以求出方程

(1-16)中的系数。

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1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.2 多变量的曲线拟合

实例

? 例1.3: 根据某传热实验测得如下数据,请用方程 1-16的形式拟合实验曲线。
Nu 1.1 2.4 2.2 2.3 1,4 6.0 7.3 2101832 7652485
Re 100 200 300 500 100 700 800
Pr 2 4 1 0.3 5 3 4

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1.3

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1.6

1.3.2 多变量的曲线拟合

实例

? 解:利用已给的VB程序,将数据依次输入,就可 以得到方程1-16中的三个参数: c1 ? 0 .023
c2 ? 0.8
c3 ? 0.3
则1-16式就变成了常见的光滑管传热方程:
N? u 0 .02 R0 .3 8 e P0 .3 r

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1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.3.2 多变量的曲线拟合

实例

? 如果拟合方程的形式和方程1-16不同,则需对上 面提供的程序作适当修改。如对以下两个自变量
的拟合函数:p ( ?0 a x ?1 a x )1 n 1?2 a x 2 n 2
? 其中n1和n2是已知系数,我们可以将看作,看作, 得到上面拟合函数的法方程:

?? m

?

? ?
?

m

x1ni1

? ?
? ?

i?1 m

x2ni2

? i?1

m
?x1ni1
i?1 m
?x2n1 1i
i?1 m
?x1ni1x2ni2
i?1

?m
x2ni2

??

? ? m

?

?

yi ?

? ? i?1 m x1ni1x2ni2

????a0 ??a1

?? ?

? ???

i?1

?

m

x1ni1yi

? ?

? i?1 m x2n2 2i

????a2 ?? ?

i?1

?

? ?
? ?

i?1 m

x2ni2 yi

? ? ?

? i?1

?

(1-20)

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.4 解矛盾方程组

? 用最小二乘法求解线性矛盾方程的方法来构造拟 合函数,并将其推广至任意次和任意多个变量的
拟合函数。

? 给定数据序列(xi,yi),i=1, 2 , …, m ,做拟合直线

p (x) = a0 + a1x ,如果要直线 p (x)过这些点,那

么就有 p (xi ) = a0 + a1xi =yi, i=1, 2 , …, m , 即 :

? a 0 ? a1 x1 ? y1

? ? ?

a

0

?

? a1x2 ?

?

y2

?? a 0 ? a 1 x m ? y m

?1

矩阵形式:?? 1

??

? ?

1

x1 ?

? y1 ?

x2 ?
xm

? ? ? ? ?

?a0

? ?

a1

? ? ?

?

? ?

y2

? ?

?? ?

? ?

y

m

? ?

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.4 解矛盾方程组

? 一般地,将含有n个未知量m个方程的线性方程组:

?a11x1 ? a12x2 ???a1nxn ? y1

?a11

矩阵 ???a21x1 形式 ?

?a22x2 ??? a2nxn ??

?

y2

??am1x1 ? am2x2 ???amnxn ? ym

??a21 ? ??am1

a12 a22 ?
am2

? a1n ?

?

a2n

? ?

??

? amn??

? x1 ?

? ?

x2

? ?

???

? ?

xn

? ?

?y1 ?

?

??y2

? ?

???

??ym??

一般情况下,当方程数n多于变量数m,且m个方程之 间线性不相关, 则方程组无解,这时方程组称为矛盾方 程组。

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1.6

1.4 解矛盾方程组

? 方程组在一般意义下无解,也即无法找到n个变量 同时满足m个方程。这种情况和拟合曲线无法同 时满足所有的实验数据点相仿,故可以通过求解 均方误差 minAX?b2 极小意义下矛盾方程的解来 获取拟合曲线。 2
? 由数学的知识还将证明:方程组ATAX = AT b的解 就是矛盾方程组AX = b 在最小二乘法意义下的解, 这样我们只要通过求解ATAX = AT b就可以得到矛 盾方程的解,进而得到各种拟合曲线,为拟合曲 线的求解提高了另一种方法。

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1.6

1.4 解矛盾方程组

? 例如,拟合直线p (x ) = a0 +a1x的矛盾方程组ATAX = AT b的形式如下:

?1 x1?

?y1?

?1 ??x1

1 x2

?1? ?xm??

?????? 1 1 ? xxm 2????? ???a a1 0???

?1 ? ??x1

1 x2

?1? ?xm??

??y2?? ?? ? ??ym??

化简得到与式(1-12)相 同的法方程:

?? m ?
? ? m
? xi ? i?1

m?

?m ?

? ? xi ?
i?1 ?

? ? m

xi2

? ?

????aa10 ????

?

? ? ? ?

yi
i?1 m
xi yi

? ? ? ?

i?1 ?

? i?1 ?

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1.4 1.5

1.6

1.4 解矛盾方程组

? 对于n次多项式曲线拟合,要计算
m
? Q ( a0 ,a1 , …, an ) ? ( a 0 +1xi+ a? +nxa in -i)2y i?1
的极小问题。这与解矛盾方程组 :

?a ?

0

?a ?

0

?

? a1 x1 ??? an x1n

? a1 x2

???

a

n

x

n 2

??

? y1 ? y2



??a0

? a1 xm

???

a

n

x

n m

? ym

?a0 ?

A

? ?

a

1

? ?

?

?? ?

?? ?an ?

? y1 ?

? ?

y2

? ?

?? ?

?? ?ym ?

与求 ?? ? m a0?a1x1?? ?anxin-iy2 的极小问题是一回事。 i?1

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1.6

1.4 解矛盾方程组

在这里

?1

A

?

? ?

1

x1 x2

? ?

x1n

x

n 2

? ? ?

?

??

?

? ?? 1

xm

?

x

n m

? ??

故合对曲离线y散=数a据0+(1xxia + i,y? i)+ ,i=nx1a in,,2 可, …通, 过m 解;下所列作方的程n次组拟求得:

?a0 ?

? y1 ?

AT A

??a1

? ?

? AT

? ?

y2

? ?

?? ?

?? ?

(1-21)

?? ?an ?

?? ? ym ?

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1.6

1.4 解矛盾方程组

? 如果拟合函数有n个自变量并进行一次拟合,则其 拟合函数为:

y ? a 0 ? a 1 x 1 ? a 2 x 2 ? ? ? a k x k ? ? ? a n ? 1 x n ? 1 ? a n x x

通过m(m>>n)

? ??

m
yi

??

次实验,测量得

?? m ?

到了m组

? ? m
? xi

? (y i,x 1 ,i,x 2 ,i,? x k,i? x n ? 1 ,i,x n ,i)???
? ?

i ?1
?

m

x

n i

?1

i ?1

m

的到实上数面据n个,自则变可量得 ? ???

x

n i

i ?1

m

? xi

i ?1

m

? xi2

i ?1
?

m

?x

n i

i ?1

m

?x

n i

?1

i ?1

m

?x

2 i

i ?1

m

?x

3 i

i ?1
?

m

?x

n i

?1

i ?1

m

?x

n i

?

2

i ?1

?
? ?

?? ?? (1-22) m

x

n i

i ?1

m

x

n i

?1

i ?1
?

m
? x 2n?1 i

i ?1

m

? ? x

2 i

n

i ?1

????? ??

a0 a1

?? ?? ??

a2 ?

?? ?

?? ???????

a n?1 an

?? ? ? ? ? ? ? ? ??

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

i ?1

m

xi yi

i ?1

m

x

2 i

y

i

i ?1
?

?

m

x

n i

?1

y

i

i ?1

m

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ??

x

n i

y

i

??

拟合函数的法方程

? i?1

?

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1.6

1.4 解矛盾方程组

? 只要对法方程(1-22)稍加修改,就可以得到有n 个自变量的任意次方的拟合函数的法方程,通过 法方程的求,就可以得到拟合函数中的各项系数。

?? m

?

? ? m
? x1,i

? ?

i?1
?
m

? ?
? ?

i?1 m

xn?1,i

? ?? xn,i
? i?1

m
?x1,i
i?1 m
?x2 1,i
i?1
?
m
?x x n?1,i 1,i
i?1 m
?xn,i x1,i
i?1

m
?x2,i
i?1 m
?x1,.i x2,i
i?1
?
?
m
?xn,i x2,i
i?1

?
?
?
m
?x2 n?1,i i?1
?

? ??

m
yi

??

m
?xn,i ? i?1
m
?x1,i xn,i ? i?1
?
m
?x x n?1,i n,i
i?1 m
? ? x2n n,i
i?1

?? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???

a0 a1 ?
an?1 an

?? ? ? ? ? ? ?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

i?1 m
x1,i yi
i?1 m
xi,2 yi
i?1
?
?
m
xn?1,i yi
i?1 m

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?? xn,i yi ??

? i?1

?

(1-23)

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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.4 解矛盾方程组

1.6
实例

? 例 1.4:利用解矛盾方程的方法,用二次多项式函 数拟合下面数据。

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 4 2 3 0 -1 -2 -5

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1.4 解矛盾方程组

1.6
实例

? 解:记二次拟合曲线为 f()x?0 a?1 a x?,2 a x2 形成法

方程

AT A

?a0 ?

? ?

a1

? ?

??an ??

? AT

? y1 ?

? ?

y

2

? ?

?? ?

? ?

y

7

? ?

?1 ATA???x1
??x12

1 ? 1???1 x1

x2 x22

? ?

xx772?????????11?

x2 ?
x7

x12??

?? 7 ?

x22?
? ? x?72????

??? 7 xi ?i7?1 ?? xi2

?i?1

7
?xi
i?1
7
?xi2
i?1
7
?xi3
i?1

? 7 xi2??
i?1 ?

? 7 xi3??

i?1 7

?

?xi4??

i?1 ?

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??1 ?3 9??

?1 ?2 4?

?? 1 1 1 1 1 1 1 ?? ??1 ?1 1?? ?? 7 0 28??

???3 ?2 ?1 0 1 2 3 ? ?1 0 0? ?? 0 28 0 ?

?? 9 4 1 0 1 4 9 ?? ??1 1 1?? ??28 0 196??

?1 2 4?

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??1 3 9??

1.1

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1.6

1.4 解矛盾方程组

实例

? ?? 7 yi ??

? i?1 ?7

???? 1 1

? ATY ?? xi yi ???3 ?2

? i?1 ?7

???? 9 4

? ?? xi2yi ??

? i?1

?

?? 7 0

??4 ??

1 11 ?1 0 1 1 01
28????a0 ??

1 1 ?? 2 3? 4 9 ??
??1 ??

?2 ?

??3

? ?

?0 ?

???1??

??2?

???3??

??1 ??

??

????39??

??

???7

? ?

得到: ? 0 28 0 ??a1 ????39?

??28

0

1

96????a2

? ?

???7 ??

解方程得到:a0 = 0.66667 , a1 = -1.39286 , a2 = -0.13095
?f ( ? x0.6)61 -6 .37 9x208 .1 - 6 3x0 2 95

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1.4 解矛盾方程组

1.6
实例

? 例 1.5:给出一组数据,见下表。用解矛盾方程 的思路将下面数据拟合成 f ( x?)a? b3x的经
验公式。

x -3

-2

-1

2

4

y 14.3 8.3

4.7

8.3

22.7

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1.3

1.4 1.5

1.4 解矛盾方程组

1.6
实例

? 解:列出法方程:AT A????ba???? ? ATY

而:

ATA?????x113

1 x23

1 x33

1 x43

? ??1
?1 x153???????1 1
??1

x13?? x23?

??

5

xxx5 343 3 3??????????i? 51xi3

? ? i? 551xxii63??????????35643965???? 4
i?1 ?

??14.3??

ATY ??????127

1 ?8

1 ?1

1 8

614????????

8.3 4.7 8.3

???? ?????1508.36????2

??22.7??

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1.4 解矛盾方程组

1.6
实例

? 故法方程为:????356 43965????????4ba?????????1508.36????2
? 解方程得: a = 10.675 , b = 0.137
? 拟合曲线为:
f(x)?1.0 67?8 0.13x37

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1.6

1.5 梯度法拟合参数

? 前面已经提到函数拟合的目标是使拟合函数和实 际测量值之间的差的平方和为最小,也就求下面 函数的最小值:
m
? min Q ( a0 ,a1 , …, an ) ? ( P(Xi,A)-i )y2 (1-24)
i?1
对于最小值问题,梯度法是用负梯度方向作为优化 搜索方向。

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1.6

1.5 梯度法拟合参数

? 梯度是一个向量,如果们用向量变量U来表示所有

的拟合系数a0 ( a0 ,a1 , …, an

),,a1 则, …函, a数n,下用降函最数快f的(U方)来向代为替:Q

Sk=- ?f(U)

(1-25)

? 在梯度法中,新点由下式得到

Uk+1=UK-?k ?f(UK) (1-26)

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1.6

1.5 梯度法拟合参数

梯度法的计算步骤为:

? (1)选择初始点U0;

?f

? (2)用数值法(或解析法)计算偏导数

?

u


i

? (3)计算搜索方向向量: Sk= - ?f (U);

? (4)在Sk方向上作一维搜索,即求解单变量()优化问题

?(?) ?f(Uk+?Sk) 由一维搜索的解k ,求出新点

Uk+1= Uk+ ? kSk

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1.6

1.5 梯度法拟合参数

? (5)作停止搜索判别。若不满足精度要求,返回步 骤(2),重复进行计算。梯度法停止搜索的判据为:

?f (U k ) ??

? 这个算法的优点是迭代过程简单,要求的存贮也 少,而且在远离极小点时,函数的下降还是比较 快的。因此,常和其它方法结合,在计算的前期 使用此法,当接近极小点时,再改用其它的算法, 如共轭梯度法。

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1.6

1.5 梯度法拟合参数

? 共轭梯度法的计算步骤为:

? (1)选择初始点U0或其它方法计算得到的最后点;

? (2)计算梯度g0= ?f(U0) ,以负梯度方向作为初始搜

索方向

S0=- g0

? (3)在S0 方向上作一维搜索,得到新点U1;

U1= U0+ ? 0 S0

? (4)计算U1点的梯度g1=f(U1)。新的搜索方向S1 ,即

共轭方向,为S0与g1的S1线=-性g1组+ S合0 ;gg 10TT gg

1 0

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1.6

1.5 梯度法拟合参数

对于k≥1,上式为 Sk+1=-gk+1+Sk

g

T k ?1

g

k

?1

g

T k

g

k

可以证明,由上式得到的方向Sk+1与Sk共轭。

对于多元函数,在n次搜索后(n为变量数),令U0=Uk+1, 然后回到第1步,重新计算共轭方向。

? (5)作停止搜索判据,若满足,则停止搜索。否则回 到第2步,进行重复计算。

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1.6

1.5 梯度法拟合参数

实例

?

例1-8

利用梯度法,用Antoine公式

( A? B )
p ? e T?C

拟合DEM饱和蒸气压和温度之间的关系。

? 解:分析Antoine公式的形式,如果采用解矛盾方

程法求解,在进行函数和变量变换后,仍需要进

行对C的优化求解,而采用梯法,可直接优化求

解,其优化函数为:

7

(A? B )

? f(U)? (e Ti?C ?Pi)

i?1

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1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.6 吸附等温曲线回归

? 1.6.1 吸附等温曲线的常见类型

? 1.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归方法

? 1.6.3 回归方法的比较

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1.6

1.6.1 吸附等温曲线的常见类型

? 一般有物理吸附和化学吸附两种。
? 对于物理吸附而言,单位重量吸附剂吸附吸附质的 多少(吸附量)是衡量吸附剂性能好坏的重要指标。
? 常见吸附等温曲线有以下五种类型,各种不同的 类型表明了
? 不同的吸附机理,以第一种为例,它是典型的单 分子层吸附,其等温曲线的回归常采用兰缪尔法。

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1.4 1.5

1.6

1.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归

方法

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图1-9 五种不同类型的吸附等温曲线
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1.1

1.2

1.3

1.4 1.5

1.6

1.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归

方法

? 1.第一种方法采用Freundlich 经验式:

m? k p1 n

(1-28)

将k和n看成是吸附温度Ta的函数,改进形式:

m ?ex (a? pba)T p(c? da)T

(1-29)

对方程1-28两边同取自然对数可得:
lnm?lnk?lnp n

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1.6

1.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归

方法

? 2p.为第t 吸二附种质方在法吸采附用温兰度缪时尔的方相程对:m压? 1力?k1,kp2tp其t 表(达1-30式)

为:

pt ? p pa

(1-31)

对方程1-30两边同取倒数可得:

1 m

?

a

?

b

1 pt

将1/m当作y,1/pt当作x,利用实 验测得的数据,进行线性回归就

其中 : a ? 1 , b ? k 2 可以得到a和b值。然后再由a和b

k1

k1 的值求出k1和k2值。

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1.6

1.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归

方法

? 3.第三种方法采用D—P 方程:

m??V0E x (?K p?2)
??RaT L(n P a/P)

(1-32)

?为吸附质在吸附温度时的密度,V0及K是我们所
要求的参数。方程(1-32)用于吸附量的预测具有较
好的精度,但?的次数并不是2 最佳,一般在1?4之
间。

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1.6

1.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归

方法

? 4.第四种方法采用改进型 D—P方程:

m??V0E x (?K p?n)

(1-33)

对方程1-27两边同取对数可得:

lnm?a?b?n 其中 a?ln??lnV0,b??K

(1-34)

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1.6

1.6.3 回归方法的比较

表1-1是活性炭—甲醇工质对吸附量的几种回归方法 的误差比较。

回归方法

兰缪尔方程

D—P 方程

改进型 D—P方程

绝对平均偏差 (%)

10.18

4.99

3.36

表1-2 各种吸附回归方法的误差比较
利用第四种方法回归所得的方程去预测吸附量较为 精确。其回归方程如下:
? m( ? 0 T .4 ,? 5 p E 1 )X 54 5 P ? 1 9 -[? 7 0 { - R 2 ln T P T ./2 ) ( P 1} .8 ]7 (1-30 5 5) 4

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1.6

1.6.3 回归方法的比较

通过对吸附量预测方程的具体回归计算,我们得 到以下几点认识: ? 1.利用实验数据进行回归,回归方程的计算值和 实验数据之间总有一定的偏差; ? 2.不同的回归方程,具有不同的偏差,应多试几 种回归方程,找到偏差最小的回归方程及其相应 参数; ? 3.当回归方程不能直接利用线性回归求解其参数 时,可将回归方程进行诸如取对数、倒数、合并 及变量假设等一系列方法进行处理,使处理后的 回归方程可用线性回归的方法求出各参数。

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