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2018-2019学年天津市宝坻区八年级下期中数学试卷含答案解析

2017-2018 学年天津市宝坻区八年级(下)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.请将答案选项填在题中括号内.
1.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )

A.

B.

C.

D.

2.把一个边长为 1 的正方形如图所示放在数轴上,以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点 A,则 点 A 对应的数是( )

A.1

B.

C.

D.2

3.下列二次根式中,与 是同类二次根式的是( )

A.

B.

C.

D.

4.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )

A.a:b:c=3:4:5

B.∠A:∠B:∠C=9:12:15

C.∠C=∠A﹣∠B

D.b2﹣a2=c2

5.平行四边形具有的特征是( )

A.四边相等

B.对角线相等

C.对角线互相平分

D.四个角都是直角

6.下列变形中,正确的是( )

A.(2 )2=2×3=6

B.

=﹣

C.



D.



7.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以点 A 为圆心,AC 长为半径作圆弧交边 AB 于点 D.若 AC

=3,BC=4.则 BD 的长是( )

A.2

B.3

C.4

8.如图,字母 B 所代表的正方形的面积是( )

D.5

A.12 cm2

B.15 cm2

C.144 cm2

D.306 cm2

9.若矩形的一条角平分线分一边为 3cm 和 5cm 两部分,则矩形的周长为( )

A.22

B.26

C.22 或 26

D.28

10.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形 ABCD,若测得 A,C 之间的距离

为 6cm,点 B,D 之间的距离为 8cm,则线段 AB 的长为( )

A.5 cm

B.4.8 cm

11.实数 a 在数轴上的位置如图所示,则

C.4.6 cm +

D.4 cm 化简后为( )

A.7

B.﹣7

C.2a﹣15

D.无法确定

12.如图,在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为 16cm2 和 12cm2 的两张正方形纸片,则图中空

白部分的面积为( )cm2.

A.16﹣8

B.﹣12+8

C.8﹣4

D.4﹣2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.把答案填直接填在题中横线上.

13.二次根式

有意义,则实数 x 的取值范围是



14.若一个直角三角形两边的长分别为 6 和 8,则第三边的长为



15.在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,则斜边 AB 上的中线长是



16.把二次根式 化成最简二次根式,则 =



17.如图,△ABC 中,BD 平分∠ABC,且 AD⊥BD,E 为 AC 的中点,AD=6cm,BD=8cm,BC=

16cm,则 DE 的长为

cm.

18.由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”,若直角三角形斜边长为 2,最短的边

长为 1,则图中阴影部分的面积为



三、解答题:本大题共 5 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19.(8 分)计算: ×(2﹣ )﹣ ÷ + . 20.(8 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点叫格点. (1)在图①中,以格点为端点,画线段 MN= ; (2)在图②中,以格点为顶点,画正方形 ABCD,使它的面积为 10.

21.如图所示,在? ABCD 中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为 E,F,求证:BE=DF. 22.已知:如图,四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形 ABCD

的面积.
23.如图,在? ABCD 中 AB=6,BC=8,AC=10. (1)求证:四边形 ABCD 是矩形; (2)求 BD 的长.

2017-2018 学年天津市宝坻区八年级(下)期中数学试卷

参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.请将答案选项填在题中括号内.
1.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行,或直观 地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数 2,且被开方数中不含有分母,被 开方数是多项式时要先因式分解后再观察.

【解答】解:A、



,二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数,故 A 选项错

误;

B、 =

=4 ,二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数,故 B 选项错误;

C、 符合最简二次根式的定义,故 C 选项正确;

D、 的被开方数中含有分母,故 D 选项错误;

故选:C. 【点评】本题考查了最简二次根式的定义.在判断最简二次根式的过程中要注意: (1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式; (2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于 2,也不是最简
二次根式. 2.把一个边长为 1 的正方形如图所示放在数轴上,以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点 A,则
点 A 对应的数是( )

A.1

B.

C.

D.2

【分析】根据勾股定理求出 OA 的长,根据实数与数轴的知识解答.

【解答】解:

=,

∴OA= ,

则点 A 对应的数是 ,

故选:B.

【点评】本题考查的是勾股定理的应用,掌握任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一

定等于斜边长的平方是解题的关键.

3.下列二次根式中,与 是同类二次根式的是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】先把各选项中的二次根式化简,然后根据同类二次根式的定义进行判断.

【解答】解: =2, =2 , =2 , =3 ,

所以 与 是同类二次根式.

故选:B.

【点评】本题考查了同类二次根式:一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被

开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.

4.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )

A.a:b:c=3:4:5 C.∠C=∠A﹣∠B

B.∠A:∠B:∠C=9:12:15 D.b2﹣a2=c2

【分析】依据勾股定理的逆定理,三角形内角和定理以及直角三角形的性质,即可得到结论.

【解答】解:A、由 a:b:c=3:4:5 得 c2=a2+b2 符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形;

B、由∠A:∠B:∠C=9:12:15,及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°,故不是直角三角

形;

C、由三角形三个角度数和是 180°及∠C=∠A﹣∠B 解得∠A=90°,故是直角三角形.

D、由 b2﹣a2=c2 得 b2=a2+c2 符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形;

故选:B.

【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理,掌握直角三角形的判定及勾股定理的

逆定理是解题的关键.

5.平行四边形具有的特征是( )

A.四边相等

B.对角线相等

C.对角线互相平分

D.四个角都是直角

【分析】根据平行四边形的性质即可判断.

【解答】解:平行四边形的对角线互相平分.

故选:C. 【点评】本题考查平行四边形的性质:平行四边形的对边平行且相等;平行四边形的对角相等;平
行四边形的对角线互相平分.解题的关键是记住平行四边形的性质,属于中考常考题型. 6.下列变形中,正确的是( )

A.(2 )2=2×3=6

B.

=﹣

C.



D.



【分析】根据二次根式的性质,可得答案.

【解答】解;A、(2 )2=12,故 A 错误;

B、

= ,故 B 错误;

C、

=5,故 C 错误;

D、



,故 D 正确;

故选:D.

【点评】本题考查了二次根式性质与化简,利用了二次根式的性质.

7.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以点 A 为圆心,AC 长为半径作圆弧交边 AB 于点 D.若 AC

=3,BC=4.则 BD 的长是( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【分析】首先利用勾股定理可以算出 AB 的长,再根据题意可得到 AD=AC,根据 BD=AB﹣AD 即

可算出答案.

【解答】解:∵AC=3,BC=4,

∴AB=



=5,

∵以点 A 为圆心,AC 长为半径画弧,交 AB 于点 D, ∴AD=AC, ∴AD=3, ∴BD=AB﹣AD=5﹣3=2. 故选:A.

【点评】此题主要考查了勾股定理,关键是熟练掌握勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直 角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
8.如图,字母 B 所代表的正方形的面积是( )

A.12 cm2

B.15 cm2

C.144 cm2

D.306 cm2

【分析】如图,利用勾股定理得到 a2+b2=c2,再根据正方形的面积公式得到 a2=81,c2=225,则

可计算出 b2=144,从而得到字母 B 所代表的正方形的面积.

【解答】解:如图,∵a2+b2=c2,

而 a2=81,c2=225,

∴b2=225﹣81=144,

∴字母 B 所代表的正方形的面积为 144cm2.

故选:C.

【点评】本题考查了勾股定理:会利用勾股定理进行几何计算.

9.若矩形的一条角平分线分一边为 3cm 和 5cm 两部分,则矩形的周长为( )

A.22

B.26

C.22 或 26

D.28

【分析】根据 AD∥BC,理解平行线的性质,以及角平分线的定义,即可证得∠ABE=∠AEB,利用

等边对等角可以证得 AB=AE,然后分 AE=3cm,DE=5cm 和 AE=5cm,DE=3cm 两种情况即

可求得矩形的边长,从而求解.

【解答】解:∵AD∥BC,

∴∠AEB=∠EBC

又∵BE 平分∠ABC,即∠ABE=∠EBC,

∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE. 当 AE=3cm,DE=5cm 时,AD=BC=8cm,AB=CD=AE=3cm. ∴矩形 ABCD 的周长是:2×8+2×3=22cm; 当 AE=3cm,DE=2cm 时,AD=BC=8cm,AB=CD=AE=5cm, ∴矩形 ABCD 的周长是:2×8+2×5=26cm. 故矩形的周长是:22cm 或 26cm. 故选:C.
【点评】此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合 思想与分类讨论思想的应用.
10.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形 ABCD,若测得 A,C 之间的距离 为 6cm,点 B,D 之间的距离为 8cm,则线段 AB 的长为( )

A.5 cm

B.4.8 cm

C.4.6 cm

D.4 cm

【分析】作 AR⊥BC 于 R,AS⊥CD 于 S,根据题意先证出四边形 ABCD 是平行四边形,再由 AR=

AS 得平行四边形 ABCD 是菱形,再根据根据勾股定理求出 AB 即可.

【解答】解:

如图,作 AR⊥BC 于 R,AS⊥CD 于 S,连接 AC,BD 交于点 O,

由题意知,AD∥BC,AB∥CD,

∴四边形 ABCD 是平行四边形.

∵两张纸条等宽,

∴AR=AS.

∵AR?BC=AS?CD,

∴BC=CD,

∴平行四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD. 在 Rt△AOB 中,OA=3,OB=4,

∴AB=

=5.

故选:A. 【点评】本题主要考查菱形的判定和性质,证得四边形 ABCD 是菱形是解题的关键.

11.实数 a 在数轴上的位置如图所示,则

+

化简后为( )

A.7

B.﹣7

【分析】根据二次根式的性质,可得答案.

【解答】解:由数轴上点的位置,得

4<a<8.

C.2a﹣15

D.无法确定

+

=a﹣3+10﹣a=7,

故选:A. 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简,利用二次根式的性质化简是解题关键. 12.如图,在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为 16cm2 和 12cm2 的两张正方形纸片,则图中空
白部分的面积为( )cm2.

A.16﹣8

B.﹣12+8

C.8﹣4

D.4﹣2

【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长,从而求出 AB、BC,再根据空白部分的面积等

于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.

【解答】解:∵两张正方形纸片的面积分别为 16cm2 和 12cm2,

∴它们的边长分别为 =4cm,

=2 cm,

∴AB=4cm,BC=(2 +4)cm,

∴空白部分的面积=(2 +4)×4﹣12﹣16,

=8 +16﹣12﹣16, =(﹣12+8 )cm2. 故选:B. 【点评】本题考查了二次根式的应用,算术平方根的定义,解题的关键在于根据正方形的面积求出
两个正方形的边长. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.把答案填直接填在题中横线上.

13.二次根式

有意义,则实数 x 的取值范围是 x≤﹣2 或 x≥2 .

【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得,x2﹣4≥0, 解得 x≤﹣2 或 x≥2. 故答案是:x≤﹣2 或 x≥2. 【点评】本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数. 14.若一个直角三角形两边的长分别为 6 和 8,则第三边的长为 10 或 2 . 【分析】由于直角三角形的斜边不能确定,故分 b 是斜边与直角边两种情况进行解答. 【解答】解:分情况讨论:

①当 6 和 8 为两条直角边时,由勾股定理得第三边长为:

=10;

②当 8 为斜边,6 为直角边时,由勾股定理地第三边长为:

=2 ;

故答案为:10 或 2 . 【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等
于斜边长的平方是解答此题的关键. 15.在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,则斜边 AB 上的中线长是 4 . 【分析】作出图形,然后根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半可得 AB=2BC,再根
据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答. 【解答】解:如图,作斜边 AB 上的中线 CD. ∵∠ACB=90°,∠A=30°, ∴AB=2BC=2×4=8, ∵CD 是斜边上的中线,

∴CD= AB=4.

故答案为:4.

【点评】本题考查了直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观.

16.把二次根式 化成最简二次根式,则 =



【分析】根据二次根式的性质把根号内的因式开出来即可.

【解答】解: =

=,

故答案为: . 【点评】本题考查了最简二次根式和二次根式的性质,能正确根据二次根式的性质进行变形是解此
题的关键. 17.如图,△ABC 中,BD 平分∠ABC,且 AD⊥BD,E 为 AC 的中点,AD=6cm,BD=8cm,BC=
16cm,则 DE 的长为 3 cm.

【分析】延长 AD 交 BC 于 F,利用“角边角”证明△BDF 和△BDA 全等,根据全等三角形对应边 相等可得 DF=AD,FB=AB=10cm,再求出 CF 并判断出 DE 是△ACF 的中位线,然后根据三角

形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DE= CF.

【解答】解:如图,延长 AD 交 BC 于 F, ∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=∠FBD, ∵AD⊥BD,

∴∠BDA=∠BDF=90°,AB=



=10(cm),

在△BDF 和△BDA 中,



∴△BDF≌△BDA(ASA), ∴DF=AD,FB=AB=10cm, ∴CF=BC﹣FB=16﹣10=6cm, 又∵点 E 为 AC 的中点, ∴DE 是△ACF 的中位线, ∴DE= CF=3cm. 故答案为:3.
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,全等三角形的判定与性 质,熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键.
18.由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”,若直角三角形斜边长为 2,最短的边 长为 1,则图中阴影部分的面积为 4﹣2 .
【分析】由题意可知阴影部分的面积=大正方形的面积﹣4 个小直角三角形的面积,代入数值计算 即可.
【解答】解:∵直角三角形斜边长为 2,最短的之边长为 1, ∴该直角三角形的另外一条直角边长为 , ∴S 阴影=22﹣4× ×1× =4﹣2 . 故答案是:4﹣2 . 【点评】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理,解题关键是利用三角形和正方形边长的关系
进行组合图形. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19.(8 分)计算: ×(2﹣ )﹣ ÷ + . 【分析】先化简各二次根式,再根据混合运算顺序依次计算可得.

【解答】解:原式=3 ×(2﹣ )﹣ + =6 ﹣ ﹣ + =5 ﹣ 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质和二次根式的混合运算的顺
序和法则是解题的关键. 20.(8 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点叫格点. (1)在图①中,以格点为端点,画线段 MN= ; (2)在图②中,以格点为顶点,画正方形 ABCD,使它的面积为 10.
【分析】(1)以 3 和 2 为直角边作出直角三角形,斜边即为所求; (2)以 3 和 1 为直角边作出直角三角形,斜边为正方形的边长,如图②所示. 【解答】解:(1)如图①所示:
(2)如图②所示. 【点评】此题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键. 21.如图所示,在? ABCD 中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为 E,F,求证:BE=DF.

【分析】利用 AAS,易证得△ABE≌△CDF,然后由全等三角形的性质,证得结论. 【解答】证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠ABE=∠CDF, ∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AEB=∠CFD=90°, 在△ABE 和△CDF 中,

∴△ABE≌△CDF(AAS), ∴BE=DF. 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.注意证得△ABE≌△CDF 是
关键. 22.已知:如图,四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形 ABCD
的面积.

【分析】连接 AC,先根据勾股定理求出 AC 的长度,再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状, 再利用三角形的面积公式求解即可.
【解答】解:连接 AC. ∵∠ABC=90°,AB=1,BC=2,

∴AC=

=,

在△ACD 中,AC2+CD2=5+4=9=AD2, ∴△ACD 是直角三角形,

∴S 四边形 ABCD= AB?BC+ AC?CD, = ×1×2+ × ×2, =1+ . 故四边形 ABCD 的面积为 1+ .
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积,能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状是解答此题的关键.
23.如图,在? ABCD 中 AB=6,BC=8,AC=10. (1)求证:四边形 ABCD 是矩形; (2)求 BD 的长.
【分析】(1)由在? ABCD 中,AB=6,BC=8,AC=10,利用勾股定理的逆定理,即可证得∠ABC =90°,即可判定? ABCD 是矩形;
(2)由四边形 ABCD 是矩形,根据矩形的对角线相等,即可求得 BD 的长. 【解答】(1)证明:∵AB=6,BC=8,AC=10, ∴AB2+BC2=AC2, ∴∠ABC=90°, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴? ABCD 是矩形; (2)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴BD=AC=10. 【点评】此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理的逆定理.注意利用勾股定理的逆定理证得∠
ABC=90°是关键.



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