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2019九年级数学上册 第二十四章 圆 24.3 正多边形和圆教案1 (新版)新人教版

精品试卷
24.3 正多边形和圆
※教学目标※ 【知识与技能】
了解正多边形的有关概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法.能根据定义判定一个多边形是否是 正多边形,理解正多边形和圆的关系. 【过程与方法】
领会“特殊—一般—特殊”是认识事物的重要方法.使学生会等分圆周,利用等分圆周的方法构造正多边形, 并会设计图案,发展学生的实践能力和创新精神. 【情感态度】
通过观察、发现、探究等活动,感受数学来源于生活,服务于生活,体现事物之间是相互联系,相互作用的. 【教学重点】
正多边形和圆的相关概念及其之间的运算. 【教学难点】
探索正多边形和圆的关系,正多边形半径,中心角、弦心距,边长之间的关系. ※教学过程※ 一、情境导入
请同学们观察课件中出示的图片,提问:

(1)你能从图案中找出多边形吗?什么样的图形叫正多边形?

(2)正多边形与圆有怎样的关系?

二、探索新知

问题 1 把一个圆分成 5 等份,求证:依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形.

证明:如图,把⊙O 分成相等的 5 段弧,依次连接各分点所得到五

边形 ABCDE.

∵ AB ? BC ? CD ? DE ? EA ,

∴AB=BC=CD=DE=EA, BCE ? CDA ? 3AB .

∴∠A=∠B.

同理∠B=∠C=∠D=∠E,

∴五边形 ABCDE 是正五边形.

问题 2 如果将圆 n 等分,依次连接各分点得到一个 n 边形,这个 n 边形一定是正 n 边形吗?

答案:一定.

问题 3 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形是正多边形吗?如果是,说明理

由;如果不是,举出反例.

答案:各边相等的圆内接多边形是正多边形.理由如下:因为各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相

等的圆内接多边形不是正多边形,如矩形.

归纳总结 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,

外接圆的半径叫

做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心

角,中心到正多

边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

例 有一个亭子,它的地基是半径为 4m 的正六边形,求地基的周长和

面积(结果保留

小数点后一位).

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解:如图,连接 OB,OC.因为六边形 ABCDEF 是正六边形,所以它的中心角等于 360 =60°,△OBC 是等边三
6
角形,从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长 l=4×6=24(m).作 OP⊥BC,垂足为 P.在 Rt△

OPC 中,OC=4m,PC= BC ? 4 =2m,利用勾股定理,可得边心距 r= 42 ? 22 = 2 3 (m).亭子地基的面积 22

S= 1 lr= 1 ×24× 2 3 ≈41.6(m2).
22 想一想 你知道如何利用正多边形和圆的关系来画正多边形吗? 画正多边形,通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式: (1)用量角器等分圆周 方法 1:由于在同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等,因此作相等的圆心角可以等分圆.

方法 2:先用量角器画一个等于 360 的圆心角,这个圆心角所对的弧就是圆的 1 ,然后在圆上依次截取这条

n

n

弧的等弧,就得到圆的几等分点.

(2)用尺规等分圆

正六边形的作法

方法 1:画一个圆,用量角器画一个等于 360 =60°的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依次截取与这条 6
弧相等的弧,就得到圆的 6 个等分点,依次连接各等分点,即可得到正六边形.(如图①) 方法 2:在半径为 R 的圆上依次截取等于 R 的弦,就可以把圆六等分,顺次连接各分点即可得到半径为 R 的
正六边形.(如图②) 正四边形的作法 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径,就可以把圆四等分,从而作出正方形.(如图③)







三、巩固练习

1.如图,圆内接正五边形 ABCDE 中,∠ADB=

.

2.分别求出半径为 R 的圆内接正方形的边长、边心距和面积. 3.用 一批共长 120m 的篱笆围出一块草地来.分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形、圆的面积 (精确到 0.1m2),并比较它们的大小.
答案:1.36°
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2.解:连接 OB,OC,作 OE⊥BC,垂足为 E.∠OEB=90°,∠OBE=

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∠BOE=45°,Rt△OBE 为等腰直角三角形 .BE2+OE2=OB2,2OE2=OB2,OE2= OB2 .边心距 OE= 2 OB= 2 R.边长

2

2

2

BC=2BE=2× 2 R= 2 R.S 正方形 ABCD=AB?BC=( 2 R)2=2R2.
2

3.解:由题意,得正三角形的边长为 40m,S = 正三角形 1 ×40×20 3 =400 3 ≈692.8(m2),
2 正方形的边长为 30m,S 正方形=30×30=900(m2),

正六边形的边长为 20m,S 正六边形=6× 1 ×20×10 3 =600 3 ≈1039.2(m2), 2

圆的半径为 r= 120 = 60 (m),S 圆=π r2=π × 602 = 3600 ≈1146.5(m2),

2π π

π2

π

因此,在周长都是 120m 时,S 正三角形<S 正方形<S 正六边形<S 圆.

五、归纳小结

通过这节课的学习,你知道正多边形和圆有怎样的关系吗?你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角

等概念吗?你能画出正多边形吗?

※布置作业※

从教材习题 21.3 中选取.

※教学反思※

1.本节课首先从复习正多边形的定义入手,通过创设问题情境,将正多边形与圆紧密联系,让学生发现它们

之间的密切关系,并将结论由特殊推广到一般,符合学生的认识规律,通过学习正多边形中的一些基本概念,引

导学生将实际问题转化为数学问题,体现了化归的思想.其次,在这一基础上,又教给学生用等分圆周的方法作

正多边形,这可以发展学生的作图能力.

2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法,通过作简单的正三角形、正方形、正六边形,一直推广到作正

八边形的情况,可以向学生灌输极限的思想,极限是微积分中最主要、最基本的概念,它从数量上描述变量在变

化过程中的变化趋势,在高中数学中,极限思想渗透到函数、数列等章节,又衔接高等数学,起着承上启下的作

用.

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