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江苏专版2019年中考数学一轮复习第二章方程组与不等式组2.2一元二次方程、分式方程试卷部分课件_图文

中考数学 (江苏专用)
§2.2 一元二次方程、分式方程

五年中考
A组 2014-2018年江苏中考题组
考点1 一元二次方程的解法及应用
1.(2017无锡,7,3分)某商店今年1月份的销售额是2万元,3月份的销售额是4.5万元,从1月份到3 月份,该店销售额平均每月的增长率是? ( ) A.20% B.25% C.50% D.62.5% 答案 C 设该店销售额平均每月的增长率为x,则2月份的销售额为2(1+x)万元,3月份的销售 额为2(1+x)2万元, 由题意可得2(1+x)2=4.5, 解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去). ∴该店销售额平均每月的增长率为50%.

2.(2018扬州,12,3分)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2 015的值为

.

答案 2 018

解析 由题意可知2m2-3m-1=0, ∴2m2-3m=1 ∴原式=3(2m2-3m)+2 015=2 018. 故答案为2 018.

3.(2018南通,14,3分)某厂一月份生产某机器100台,计划三月份生产160台.设二、三月份每月

的平均增长率为x,根据题意列出的方程是

.

答案 100(1+x)2=160

解析 二、三月份每月平均增长率为x, 则100(1+x)2=160. 故答案为100(1+x)2=160.

4.(2018盐城,23,10分)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销

售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发

现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.

(1)若降价3元,则平均每天销售数量为

件;

(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1 200元?

解析 (1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件.故答案为26. (2)设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1 200元. 根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20. ∵要求每件盈利不少于25元,∴x=10. 答:每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元. 思路分析 (1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可 多售出2×3=6件,即平均每天销售数量为20+6=26件; (2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品的利润列出方程解答即可.
方法总结 此题主要考查了一元二次方程的应用,利用基本数量关系:平均每天售出的件数× 每件盈利=每天销售的利润列出方程求解即可.

5.(2016连云港,13,3分)已知关于x的方程x2+x+2a-1=0的一个根是0,则a=

.

答案 ?1
2
解析 由x=0是方程x2+x+2a-1=0的根,得2a-1=0,
∴a=?1 .
2
6.(2014扬州,17,3分)已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根,则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为 .

答案 23
解析 因为a、b是方程x2-x-3=0的两个根,所以a2-a-3=0,b2-b-3=0,所以a2-a=3,b2-b=3,a2=a+3, 所以2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b2+3a2-11a-b+5=5a2-5a+b2-b+5=5(a2-a)+(b2-b)+5=5×3+3+5=23.

7.(2016泰州,20,8分)随着互联网的迅速发展,某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长 到2015年的392万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率.
解析 设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x, 根据题意,得200(1+x)2=392, 解得x1=0.4=40%,x2=-2.4(不符合题意,舍去). 答:该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%.

考点2 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系

1.(2015连云港,6,3分)已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是?

()

A.k<?1 B.k>-?1

3

3

C.k<?1 且k≠0 D.k>-?1 且k≠0

3

3

答案 A 根据方程有两个不相等的实数根,知Δ=(-2)2-12k>0,解得k<?1 ,故选A.
3
2.(2014苏州,7,3分)下列关于x的方程有实数根的是? ( ) A.x2-x+1=0 B.x2+x+1=0 C.(x-1)(x+2)=0 D.(x-1)2+1=0 答案 C 选项A、B中,根的判别式Δ都小于零,故不符合题意;选项D可化为(x-1)2=-1,易知方 程无实数根;选项C的根为x1=1,x2=-2,故选C.

3.(2018扬州,16,3分)关于x的方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是 .
答案 m<?1 且m≠0
3
解析 ∵一元二次方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根, ∴Δ>0且m≠0, ∴4-12m>0且m≠0,
∴m<?1 且m≠0,
3
故答案为m<?1 且m≠0.
3
主要考点 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式Δ=b2-4ac.当Δ> 0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数 根.也考查了一元二次方程的定义,二次项系数不为0.

4.(2018南京,12,2分)设x1,x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1=

,x2=

.

答案 -2;3(或3;-2)

解析 ∵关于x的方程x2-mx-6=0的两根之和为x1+x2=1, ∴m=1,则原方程为x2-x-6=0,解得x1=-2,x2=3(或x1=3,x2=-2).

思路分析 由根与系数的关系可得出m的值,代入一元二次方程,解之即可得出结论.

解题关键 本题考查了根与系数的关系,根据根与系数的关系得到m=1是解题的关键.

5.(2017盐城,13,3分)若方程x2-4x+1=0的两根是x1,x2,则x1(1+x2)+x2的值为

.

答案 5

解析 根据题意得x1+x2=4,x1x2=1, 所以x1(1+x2)+x2=x1+x1x2+x2 =x1+x2+x1x2 =4+1=5.

6.(2017连云港,12,3分)已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值是

.

答案 1

解析 ∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根, ∴Δ=(-2)2-4m=4-4m=0, 解得m=1.
解题关键 本题考查了一元二次方程根的判别式,牢记“当Δ=0时,一元二次方程有两个相等 的实数根”是解题的关键.

7.(2016南京,12,2分)设x1,x2是方程x2-4x+m=0的两个根,且x1+x2-x1x2=1,则x1+x2=

,m=

.

答案 4;3

解析 根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=4,x1x2=m,又∵x1+x2-x1x2=1,∴4-m=1,∴m= 3.

8.(2017淮安,14,3分)关于x的一元二次方程x2-x+k+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围



.

答案 解析

k<-?3
4
由题意,得Δ>0,即(-1)2-4(k+1)>0,解得k<-?3 .
4

9.(2016南通,16,3分)设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2(?x22 -3x2)=

.

答案 3

解析 由条件得?x22-3x2=1,x1+x2=3.∴原式=x1+x2=3.
10.(2015泰州,18,8分)已知:关于x的方程x2+2mx+m2-1=0. (1)不解方程,判断方程根的情况; (2)若方程有一个根为3,求m的值.

解析 (1)∵Δ=(2m)2-4(m2-1)=4>0, ∴方程恒有两个不等实数根. (2)把x=3代入方程得9+6m+m2-1=0, 即m2+6m+8=0,(m+2)(m+4)=0,解得m=-2或-4.

考点3 分式方程的求解及应用

1.(2017南京,11,2分)方程?2 -?1 =0的解是

.

x?2 x

答案 x=2

解析 去分母,得2x-x-2=0,解得x=2. 经检验,x=2是分式方程的解.

2.(2017宿迁,14,3分)若关于x的分式方程?m =?1? x -3有增根,则实数m的值是

.

x?2 2?x

答案 1

解析 去分母,得m=x-1-3(x-2),① 由分式方程有增根,得x-2=0,即x=2, 把x=2代入整式方程①可得m=1. 解题关键 了解使分式方程分母为零的未知数的值是该分式方程的增根,是解决此类问题的 关键.

3.(2016南京,11,2分)方程?1 =?3 的解是

.

x?2 x

答案 x=3

解析 方程两边同时乘x(x-2),得x=3(x-2), 解得x=3,经检验,x=3是原分式方程的解.

4.(2018徐州,22,7分)从徐州到南京可乘列车A与列车B,已知徐州至南京里程约为350 km,A与B 车的平均速度之比为10∶7,A车的行驶时间比B车的少1 h,那么两车的平均速度分别为多少?

解析 设A车的平均速度为10x km/h,则B车的平均速度为7x km/h,
根据题意得?350 -?350 =1,
7x 10x
解得x=15, 经检验,x=15是分式方程的根, ∴10x=150,7x=105. 答:A车的平均速度为150 km/h,B车的平均速度为105 km/h.
解题关键 本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.

5.(2018扬州,23,10分)京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉,全长1 462 km,是 我国最繁忙的铁路干线之一.如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍,客车比货车少 用6 h,那么货车的速度是多少?(精确到0.1 km/h)
解析 设货车的速度是x千米/小时,则客车的速度是2x千米/小时,
根据题意得?1 462 -?1 462 =6,
x 2x
解得x=121?5 ≈121.8.
6
经检验,x=121.8是分式方程的解. 答:货车的速度约是121.8千米/小时.
6.(2016连云港,18,6分)解方程?2-?1 =0.
x 1? x

解析

移项得?2 =?1
x 1? x

,?

(2分)

去分母得2x+2=x,解得x=-2.? (5分)

经检验,x=-2是原方程的解.? (6分)

易错警示 解分式方程需检验.

7.(2016镇江,19(1),5分)解方程:?1 =?3 .
x?3 x
解析 去分母,得x=3(x-3),? (2分)
解得x=?9 .? (4分)
2
经检验,x=?9 是原方程的解.? (5分)
2
8.(2016南通,23,8分)列方程解应用题: 某列车平均提速60 km/h.用相同的时间,该列车提速前行驶200 km,提速后比提速前多行驶100 km.求提速前该列车的平均速度.
解析 设提速前该列车的平均速度为x km/h,列方程得?200 ?100 =?200 ,
x ? 60 x
解得x=120,经检验,x=120是原方程的根且符合题意. 答:提速前该列车的平均速度为120 km/h. 思路分析 根据提速前行驶200 km所用时间=提速后多行驶100 km所用时间列方程求解. 解题关键 本题考查了分式方程的应用,解题关键是读懂题意,设出未知数、找出合适的等量 关系.

9.(2015连云港,23,10分)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在 原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数,现在只花费了 4 800元. (1)求每张门票的原定票价; (2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续两次降 价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
解析 (1)设每张门票的原定票价为x元.? (1分)
由题意得?6 000 =?4 800 ,
x x ? 80
解得x=400.经检验,x=400是原方程的解且符合题意. 答:每张门票的原定票价为400元.? (5分) (2)设平均每次降价的百分率为y. 由题意得400(1-y)2=324.解得y1=0.1=10%,y2=1.9(不合题意,舍去). 答:平均每次降价10%.? (10分) 解题关键 本题考查了分式方程与一元二次方程,第(2)问正确理解“平均每次降价的百分 率”是解题关键.

10.(2014扬州,24,10分)某漆器厂接到制作480件漆器的订单,为了尽快完成任务,该厂实际每天 制作的件数比原来每天多50%,结果提前10天完成任务.原来每天制作多少件?
解析 设原来每天制作x件,由题意得方程
?480 -?480 =10,? (6分) x (1? 50%)x
∴x=16, 经检验,x=16是原方程的解. 答:原来每天制作16件.? (10分)

B组 2014—2018年全国中考题组

考点1 一元二次方程的解法及应用

1.(2018新疆乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会 住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的 每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x 元,则有?( )

A.(180+x-20)???? 50=?110x08???90 C.x???? 50-?50x×?121008=01???0 890

B.(x-20)????50=?1x0?18109800

? ??

D.(x+180)?-50×20=1???0508?901x0

? ??

答案

B

当房价定为x元时,空闲的房间有?x ?180
10

个,所以有游客居住的房间有???? 50

?

x

?180 10

? ??

个,则宾馆当天的利润为???? 50

?

x

?180 10

? ??

(x-20)元,故B正确.

思路分析 先求出房价定为x元时有游客居住的房间数,而每间房的利润就是房价减去支出的 20元,从而得出宾馆当天的利润并列出等式.

2.(2017甘肃兰州,10,4分)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一 个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能 围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为?( )
?

A.(80-x)(70-x)=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000

B.80×70-4x2=3 000 D.80×70-4x2-(70+80)x=3 000

答案 C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm的矩形,由题意可得方程 (80-2x)(70-2x)=3 000.

思路分析 用含x的代数式分别表示出长方体底面的长和宽,然后根据“面积=长×宽”列方程.

解题关键 本题考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是找出题目中的相等关系.

3.(2016天津,8,3分)方程x2+x-12=0的两个根为? ( ) A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=2 C.x1=-3,x2=4 D.x1=-4,x2=3

答案

D

∵a=1,b=1,c=-12,∴b2-4ac=1+48=49>0,∴x=??1? 49 2?1

=??1 ?
2

7

,∴x1=-4,x2=3.故选D.

4.(2015重庆,8,4分)一元二次方程x2-2x=0的根是? ( ) A.x1=0,x2=-2 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=-2 D.x1=0,x2=2 答案 D x2-2x=0,x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2,故选D.

5.(2015甘肃兰州,6,4分)一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为? ( ) A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x-4)2=17 D.(x-4)2=15 答案 C 变形得x2-8x=1,x2-8x+16=1+16,(x-4)2=17,故选C.

6.(2015天津,10,3分)已知一个表面积为12 dm2的正方体,则这个正方体的棱长为? ( ) A.1 dm B.?2 dm C.?6 dm D.3 dm
答案 B 设这个正方体的棱长为x dm,由已知得6x2=12,解得x=?(负2 值舍去),故这个正方体 的棱长是 ?2dm.故选B.
7.(2015安徽,6,4分)我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善 等多重因素,快递业迅猛发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件, 设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x,则下列方程正确的是? ( ) A.1.4(1+x)=4.5 B.1.4(1+2x)=4.5 C.1.4(1+x)2=4.5 D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5
答案 C 2013年的业务量为1.4亿件,则2014年的业务量为1.4(1+x)亿件,2015年的业务量为 1.4(1+x)2亿件,故选C.

8.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,

则三角形的周长为

.

答案 16

解析 ∵x2-10x+21=(x-3)(x-7)=0, ∴x1=3,x2=7, ∵3+3=6,∴3不能作为该三角形的第三边长, ∴三角形的第三边长为7, ∴三角形的周长为3+6+7=16.

9.(2018内蒙古呼和浩特,23,7分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,
请你用配方法探索有实数根的条件,并推导出求根公式,证明x1·x2=?ac .
解析 ∵ax2+bx+c=0(a≠0),

∴x2+?b x=-c?,
aa

? ? ∴x2+?ba x+???

b 2a

???=2-?ac+

? ??

b,
2a

?2 ??

? ∴

? ??

x

?=2?ba ???,2

b2 ? 4ac 4a2

∵4a2>0,∴当b2-4ac≥0时,方程有实数根.

∴x+?b =±?b2. ? 4ac

2a

2a

? ? 当b2-4ac>0时,x1= ?b ?,x2=b2 ? 4, ac
2a

?b ? b2 ? 4ac 2a

? x1·x2= (?b=??b2=??4a=c?) ? (;?b ? b2 ? 4ac) b2 ? (b2 ? 4ac) 4ac c

4a2

4a2

4a2 a

? 当b2-4ac=0时,x1=x2=-?b ,x1·x2=
2a

? ??

?

=b??2=?b2=?4a. c
2a ?? 4a2 4a2

c a

综上,证得x1·x2=?ac .

思路分析 本题需要借助配方法解含字母系数的一元二次方程,同时借助求根公式验证推导 是否正确. 解题关键 正确解决本题的关键是要通过求根公式进行验证,同时要具有计算含字母系数的 方程的能力.

10.(2014辽宁沈阳,21,10分)某公司今年销售一种产品,1月份获得利润20万元,由于产品畅销,利 润逐月增加,3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元,假设该产品利润每月的增长率相同,求 这个增长率. 解析 设这个增长率为x. 依题意得20(1+x)2-20(1+x)=4.8, 解得x1=0.2,x2=-1.2(不合题意,舍去).0.2=20%. 答:这个增长率为20%.

考点2 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系

1.(2017甘肃兰州,6,4分)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取

值范围为? ( )

A.m>?9 B.m>?8 C.m=?9 D.m=8?

8

9

8

9

答案 C 因为一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,所以b2-4ac=9-8m=0,解得m=?9 ,
8
故选C.
思路分析 一元二次方程有两个相等的实数根,则判别式Δ=0,列出关于m的方程,解方程即可.
方法规律 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的 实数根;当b2-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,一元二次方程没有实 数根.

2.(2016福建福州,12,3分)下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是 ?( ) A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=0
答案 D 若一元二次方程ax2-4x+c=0有实数根, 则Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0,且a≠0. ∴ac≤4,且a≠0. A.若a>0,则当a=1,c=5时,ac=5>4,故此选项错误; B.a=0不符合一元二次方程的定义,故此选项错误; C.若c>0,则当a=1,c=5时,ac=5>4,故此选项错误; D.若c=0,则ac=0≤4,故此选项正确.故选D.
易错警示 一元二次方程的根的情况可根据一元二次方程根的判别式进行判别,不能盲目求 解.

3.(2015河北,12,2分)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是? ( ) A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1 答案 B 由题意知Δ=4-4a<0,∴a>1,故选B. 4.(2014甘肃兰州,10,4分)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.下列选项中 正确的是? ( ) A.b2-4ac=0 B.b2-4ac>0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≥0 答案 B ∵一元二次方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b2-4ac>0.故选B.

5.(2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则?x12 -4x1+2x1x2的值为

.

答案 2

解析 ∵一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1、x2, ∴?x12 -4x1=-2,x1x2=2, ∴?x12 -4x1+2x1x2=-2+2×2=2.

6.(2016河南,11,3分)若关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围



.

答案 k>-?9
4
解析 根据题意得Δ=b2-4ac=9+4k>0,所以k>-?9 .
4
7.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.

解析 (1)依题意,得Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0. 故方程有两个不相等的实数根. (2)由题意可知,a≠0,Δ=b2-4a=0. 答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0, ∴(x+1)2=0, ∴x1=x2=-1.

8.(2016北京,20,5分)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.
解析 (1)依题意,得Δ=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+5>0,
解得m>-?5 .
4
(2)答案不唯一.如:m=1. 此时方程为x2+3x=0. 解得x1=-3,x2=0.

考点3 分式方程的求解及应用

1.(2016安徽,5,4分)方程?2x ?1 =3的解是? ( )
x ?1

A.-?4 B.?4 C.-4 D.4

5

5

答案 D 去分母得,2x+1=3x-3,∴x=4,经检验,x=4是原方程的根,故选D.

评析 本题考查了分式方程的解法,不要忘记检验,属容易题.

2.(2016河北,12,2分)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小

5.依上述情形,所列关系式成立的是? ( )

A.?1 =?1 -5
3x 8x
C.?1 =8x-5
3x

B.?1 =?1 +5
3x 8x
D.?1 =8x+5
3x

答案 B 3x的倒数是?1 ,而嘉淇同学求的是?1 ,因为她求得的值比?1 小5,所以可得?1 +5=

3x

8x

3x

8x

?1 .
3x

3.(2015天津,8,3分)分式方程?2 =?3 的解为? ( )
x?3 x
A.x=0 B.x=3 C.x=5 D.x=9
答案 D 去分母得2x=3x-9,移项、合并同类项得x=9,经检验,x=9是分式方程的解.故选D.

4.(2015贵州遵义,7,3分)若x=3是分式方程?a ?
x

2

-?1
x?

2

=0的根,则a的值是?

(

)

A.5 B.-5 C.3 D.-3

答案 A 将x=3代入分式方程得?a ? 2 -1=0,解得a=5.故选A.
3

5.(2015广西南宁,12,3分)对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中较大的
数,如:max{2,4}=4.按照这个规定,方程max{x,-x}=?2x ?1 的解为? ( )
x
A.1-?2 B.2-?2 C.1-?2 或1+?2 D.1+?2 或-1
答案 D (1)当x>-x,即x>0时,max{x,-x}=x,
?2x ?1 =x,解这个方程可得x=1±?2 .经检验,x=1±?2 是原方程的解.∵x>0,∴x=1+?2 .
x
(2)当x<-x,即x<0时,max{x,-x}=-x,
?2x ?1 =-x,解这个方程可得x=-1.经检验,x=-1是原方程的解.
x
综上所述,x=1+?2 或x=-1.故选D. 评析 本题是新定义题,考查的是分类讨论思想与解分式方程,属中等难度题.

6.(2014重庆,6,4分)关于x的方程?2 =1的解是? ( )
x ?1
A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=1 答案 B 去分母,得x-1=2,解得x=3.经检验,x=3是原分式方程的根,故选B.

7.(2018黑龙江齐齐哈尔,14,3分)若关于x的方程?1
x?

4

+?m
x?

4

=?xm2 ??136

无解,则m的值为

.

答案 -1或5或-?1 (答对一个得1分)
3
解析 去分母,得x+4+m(x-4)=m+3, 去括号,移项,合并同类项,得(m+1)x=5m-1①, 因为分式方程无解,所以分下面三种情况: (1)当m+1=0,即m=-1时,5m-1≠0,方程①无解; (2)当x=4时,解方程①得m=5;
(3)当x=-4时,解方程①得m=-?1 .
3
综上,m的值为-1或5或-?1 .
3

8.(2017四川绵阳,14,3分)关于x的分式方程?2 -?1 =?1 的解是

.

x ?1 x ?1 1? x

答案 x=-2

解析 ∵?2 -?1 =?1 ,
x ?1 x ?1 1? x
∴?2 -?1 =-?1 ,
x ?1 x ?1 x ?1
∴2(x+1)-(x-1)=-(x+1), ∴2x+2-x+1=-x-1, ∴2x=-4,∴x=-2. 检验:当x=-2时,(x+1)(x-1)≠0, ∴x=-2是原分式方程的根.

9.(2014四川成都,22,4分)已知关于x的分式方程?x ? k -?k =1的解为负数,则k的取值范围是
x ?1 x ?1
.

答案 k>?1 ,且k≠1
2

? 解析 解分式方程得x=1-2k,由题意知x<0,且(x+1)·(x-1)≠0,所以???1(1??22kk??01,)(1? 2k ?1) ? 0, 解得k>

?1 ,且k≠1.故填k>?1 ,且k≠1.

2

2

评析 本题主要考查分式方程的解法、不等式组的解法,属中等难度题.

10.(2017湖北黄冈,18,6分)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”,购买了一批图书,其中科普类 图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12 000元购买的科普类 图书的本数与用9 000元购买的文学类图书的本数相等,求学校购买的科普类图书和文学类图 书平均每本的价格各是多少元.
解析 设文学类图书平均每本的价格为x元,则科普类图书平均每本的价格为(x+5)元,依题意 可列方程:
?12 000 =?9 000 .? (3分)
x?5 x
解得x=15.? (4分) 经检验,x=15是原分式方程的解且符合题意.? (5分) x+5=15+5=20. 答:科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别为20元和15元.? (6分)

11.(2014山西,22,9分)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46 000平方米,施工队在绿化 了22 000平方米后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程. (1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米? (2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿 地,它们的面积之和为56平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问 人行通道的宽度是多少米?

?

?

解析 (1)设该项绿化工程原计划每天完成x平方米,? (1分) 根据题意,得

?46 000 ? 22 000 -?46 000 ? 22 000 =4.? (2分)

x

1.5x

整理,得6x=12 000,解得x=2 000.? (3分)

经检验,x=2 000是原方程的解.? (4分)

答:该项绿化工程原计划每天完成2 000平方米.? (5分)

(2)设人行通道的宽度是y米,根据题意,得? (6分)

(20-3y)(8-2y)=56.? (7分)

整理,得3y2-32y+52=0,

解得y1=2,y2=?26 (不合题意,舍去). ? (8分)
3
答:人行通道的宽度是2米.? (9分)

C组 教师专用题组
考点1 一元二次方程的解法及应用
1.(2015宁夏,7,3分)如图,某小区有一块长为18 m,宽为6 m的矩形空地,计划在其中修建两块相 同的矩形绿地,它们的面积之和为60 m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设 人行通道的宽度为x m,则可以列出关于x的方程是 ? ( )
?
A.x2+9x-8=0 B.x2-9x-8=0 C.x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=0 答案 C 由题意得(18-3x)(6-2x)=60,化简得x2-9x+8=0.

2.(2017杭州,7,3分)某景点的参观人数逐年增加,据统计,2014年为10.8万人次,2016年为16.8万 人次,设参观人次的年平均增长率为x,则? ( ) A.10.8(1+x)=16.8 B.16.8(1-x)=10.8 C.10.8(1+x)2=16.8 D.10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.8 答案 C 根据“2014年的人次×(1+年平均增长率)2=2016年的人次”列方程得10.8(1+x)2=16. 8,此题选C. 解题关键 确定等量关系是解决此类题目的关键.
3.(2014陕西,8,3分)若x=-2是关于x的一元二次方程x2-?5 ax+a2=0的一个根,则a的值为? ( )
2
A.1或4 B.-1或-4 C.-1或4 D.1或-4
答案 B 把x=-2代入一元二次方程x2-?5 ax+a2=0中得a2+5a+4=0,解得a=-1或a=-4.故选B.
2

4.(2015贵州遵义,15,4分)2015年1月20日遵义市政府工作报告公布:2013年全市生产总值约为1

585亿元,经过连续两年增长后,预计2015年将达到2 180亿元.设平均每年增长的百分率为x,可

列方程为

.

答案 1 585(1+x)2=2 180

解析 平均每年增长的百分率为x,则2014年全市生产总值为1 585(1+x)亿元,2015年全市生产 总值为1 585(1+x)·(1+x)=1 585(1+x)2亿元,所以可列方程为1 585(1+x)2=2 180.

5.(2014甘肃兰州,19,4分)如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条

互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平

方米.设道路宽为x米,根据题意可列出的方程为

.

?

答案 (22-x)(17-x)=300(或x2-39x+74=0,只要方程合理,正确均可) 解析 根据题意可列方程为(22-x)(17-x)=300. 评析 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,属容易题.

6.(2018安徽,22,12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景 的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现: ①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元; ②花卉的平均每盆利润始终不变. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉 售完后的利润分别为W1,W2(单位:元). (1)用含x的代数式分别表示W1,W2; (2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大?最大总利润是多少?

解析 (1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8 000,

W2=[100-(50+x)]×19=(50-x)×19=-19x+950.?(6分)

? (2)W=W1+W2=-2x2+41x+8

950=-2

? ??

x

?+?441 ???.2

73 281 8

∵x取整数,∴当x=10时,总利润W最大,最大总利润是9 160元.?(12分)

思路分析 (1)根据题意分别列出W1,W2关于x的函数表达式;(2)将二次函数的解析式配方,根据x取 整数及二次函数的性质求出W的最大值.

7.(2016安徽,16,8分)解方程:x2-2x=4.

解析 两边都加上1,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5,? (4分) 所以x-1=±?5 ,所以原方程的解是x1=1+?5 ,x2=1-?5 .? (8分)

8.(2014南京,22,8分)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均

为4万元,可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年

增长的百分率为x.

(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为

万元;

(2)如果该养殖户第3年的?养殖成本 为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.
????

解析 (1)2.6(1+x)2.? (4分)

(2)根据题意得4+2.6(1+x)2=7.146,

解这个方程得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).0.1=10%. 答:可变成本平均每年增长的百分率是10%.? (8分)

9.(2014重庆,23,10分)为丰富居民业余生活,某居民区组建筹委会,该筹委会动员居民自愿集资 建立一个书刊阅览室.经预算,一共需要筹资30 000元,其中一部分用于购买书桌、书架等设施, 另一部分用于购买书刊. (1)筹委会计划,购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍,问最多用多少资金 购买书桌、书架等设施? (2)经初步统计,有200户居民自愿参与集资,那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后,赠 送了一批阅览室设施和书籍,这样,只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传,自愿参与 的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0),则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了
?10 a%,求a的值.
9

解析 (1)设用于购买书桌、书架等设施的资金为x元,由题意,得30 000-x≥3x,? (3分) 解得,x≤7 500. 答:最多花7 500元资金购买书桌、书架等设施.? (5分)

(2)由题意,得200(1+a%)·150????1 ?

10 9

a%

? ??

=20 000.?

(8分)

设x=a%,则3(1+x)????1 ?

10 9

x

? ??

=2,整理得,10x2+x-3=0,

解得x1=-0.6(舍),x2=0.5,? (9分)

∴a%=0.5,∴a=50.? (10分)

10.(2017甘肃兰州,21(2),5分)解方程:2x2-4x-1=0.

解析 这里a=2,b=-4,c=-1. ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0,? (2分)

∴x=?4 ? 24 =?2 ? 6 ,? (4分)

2?2

2

即x1=?2 ? 6 ,x2=?2 ? 6 .? (5分)

2

2

方法规律 一元二次方程常见的解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.一般情 况下,直接开平方法适用于解形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程;配方法通常适用于解二次 项系数化为1后,一次项系数是偶数的一元二次方程;当一元二次方程的一边为0,而另一边易于 分解成两个一次因式的乘积时,我们就用分解因式的方法来解;实际解题过程中,用以上三种方 法不好解时,再选用公式法.在解一元二次方程时要根据一元二次方程的特点,选择适合的解法.

考点2 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
1.(2018河南,7,3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是? ( ) A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x-1)2+1=0
答案 B 选项A,Δ=0,方程有两个相等实数根;选项B,Δ=1>0,方程有两个不相等实数根;选 项C,Δ=-8<0,方程无实数根;选项D,(x-1)2=-1无实数根,故选B.
2.(2018四川成都,8,3分)分式方程?x ?1 +?1 =1的解是? ( )
x x?2
A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3
答案 A ?x ?1 +?1 =1,
x x?2
(x+1)(x-2)+x=x(x-2), x2-x-2+x=x2-2x, x=1, 检验,当x=1时,x(x-2)≠0. 所以x=1是原分式方程的解.故选A.

3.(2016河北,14,2分)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是? ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0 答案 B 由(a-c)2>a2+c2,得a2-2ac+c2>a2+c2,即-2ac>0,所以-4ac>0. 又因为b2≥0,所以Δ=b2-4ac>0,所以方程有两个不相等的实数根.

4.(2015宁夏,5,3分)关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根,则m的取值范围是? ( )

A.m≥-?1 B.m≤-?1 C.m≥?1 D.m≤?1

4

4

4

4

答案 D 由题意知,Δ=b2-4ac=12-4×1·m=1-4m≥0,解得m≤?1 .故选D.
4
5.(2014浙江宁波,9,4分)已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b<0时必有实数解”,能 说明这个命题是假命题的一个反例可以是? ( ) A.b=-1 B.b=2 C.b=-2 D.b=0

答案 A Δ=b2-4,由于当b=-1时,满足b<0,而Δ<0,方程没有实数解,所以当b=-1时,能说明这个 命题是假命题.故选A.

6.(2017河南,6,3分)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
答案 B Δ=(-5)2-4×2×(-2)=25+16=41>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,故选B.

7.(2016镇江,7,2分)关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m=

.

答案 ?9
8
解析 若一元二次方程有两个相等的实数根,则Δ=(-3)2-4×2m=0,即m=?9 .
8
解题关键 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数的值.掌握一元二次方程根与判别 式的关系是解题关键.

8.(2015北京,14,3分)关于x的一元二次方程ax2+bx+?1 =0有两个相等的实数根,写出一组满足条
4

件的实数a,b的值:a=

,b=

.

答案 1;1(满足a=b2(a≠0)即可)

解析 ∵方程为一元二次方程,且有两个相等的实数根, ∴a≠0,Δ=b2-a=0.∴a=b2(a≠0).例如a =1,b=1.答案不唯一.

9.(2015内蒙古包头,15,3分)已知关于x的一元二次方程x2+?k ?1x-1=0有两个不相等的实数根,

则k的取值范围是

.

答案 k≥1

解析 由题意知Δ=(?k ?1)2-4×1×(-1)=k-1+4=k+3>0,∴k>-3.又∵k-1≥0,即k≥1,∴k≥1.

10.(2018云南,18,6分)某社区积极响应正在开展的“创文活动”,组织甲、乙两个志愿工程队 对社区的一些区域进行绿化改造.已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时 能完成的绿化面积的2倍,并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米 的绿化面积少用3小时.乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积?

解析 设乙工程队每小时能完成的绿化面积为x m2,则甲工程队每小时能完成的绿化面积为2

x m2,根据题意得?300 -?300 =3.? (3分)
x 2x

由?300 -?300 =3得?50 =1,解得x=50.

x 2x

x

经检验,x=50是?300 -?300 =3的解,且符合题意.
x 2x
所以,乙工程队每小时能完成的绿化面积为50 m2.? (6分)

11.(2015福建福州,20,8分)已知关于x的方程x2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根,求m的值.

解析 ∵关于x的方程x2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2m-1)2-4×1×4=0.

∴2m-1=±4.∴m=?5 或m=-?3 .

2

2

12.(2015河南,19,9分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|. (1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
解析 (1)证明:原方程可化为x2-5x+6-|m|=0.?(1分) ∴Δ=(-5)2-4×1×(6-|m|)=25-24+4|m|=1+4|m|.?(3分) ∵|m|≥0,∴1+4|m|>0. ∴对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根.?(4分) (2)把x=1代入原方程,得|m|=2,∴m=±2.?(6分) 把|m|=2代入原方程,得x2-5x+4=0,∴x1=1,x2=4. ∴m的值为±2,方程的另一个根是4.?(9分)

考点3 分式方程的求解及应用

1.(2017河南,4,3分)解分式方程?1 -2=?3 ,去分母得( )
x ?1 1? x
A.1-2(x-1)=-3 B.1-2(x-1)=3 C.1-2x-2=-3 D.1-2x+2=3 答案 A 分式方程两边同乘(x-1),得1-2(x-1)=-3.故选A.

2.(2017新疆,8,5分)某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器,现在生产600台机器所需的

时间与原计划生产480台机器所用的时间相同.设原计划每天生产x台机器,根据题意,下面列出

的方程正确的是? ( )

A.?600 =?480
x ? 40 x
C.?600 =?480
x x ? 40

B.?600 =?480
x ? 40 x
D.?600 =?480
x x ? 40

答案 B 原计划平均每天生产x台机器,则现在每天生产(x+40)台机器,根据“现在生产600台
机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同”,得?600 =?480 .故选B.
x ? 40 x

3.(2014山东青岛,6,3分)某工程队准备修建一条长1 200 m的道路,由于采用新的施工方式,实际 每天修建道路的速度比原计划快20%,结果提前2天完成任务.若设原计划每天修建道路x m,则 根据题意可列方程为? ( )

A.?1 200 -?1 200 =2 (1? 20%)x x
C.?1 200 -?1 200 =2 x (1? 20%)x

B.?1 200 -?1 200 =2 (1? 20%)x x
D.?1 200 -?1 200 =2 x (1? 20%)x

答案 D 由题意可知原计划需?1 200 天,提高效率后需?1 200 天,所以可列方程?1 200 -

x

(1? 20%)x

x

?1 200 =2.故选D.
(1? 20%)x

4.(2016无锡,13,2分)分式方程?4x=?x 3?1的解是

.

答案 x=4

解析 去分母,得4(x-1)=3x, 解得x=4, 经检验x=4是分式方程的解.

5.(2015浙江温州,14,5分)方程?2 =?3 的根是

.

x x ?1

答案 x=2

解析 ?2 =?3 ?3x=2x+2?x=2.
x x ?1
经检验,x=2是原方程的根.
∴方程?2 =?3 的根是x=2.
x x ?1

6.(2015山东威海,16,3分)分式方程?1? x =?1 -2的解为

.

x?3 3?x

答案 x=4

解析 去分母,得1-x=-1-2(x-3), 去括号,得1-x=-1-2x+6,解得x=4, 经检验,x=4是原方程的解.

7.(2014山东济南,19,3分)若代数式?1 和?3 的值相等,则x=

.

x ? 2 2x ?1

答案 7

解析 根据题意列方程为?1 =?3 ,
x ? 2 2x ?1
去分母得3(x-2)=2x+1,解得x=7. 经检验,x=7是原分式方程的根.
8.(2016扬州,24,10分)动车的开通为扬州市民的出行带来了方便.从扬州到合肥,路程为360 km, 某趟动车的平均速度比普通列车快50%,所需时间比普通列车少1小时,求该趟动车的平均速 度.

解析 设普通列车的平均速度为x km/h.
根据题意,得?360 -1=?360 ,解得x=120, x (1? 50%)x
经检验x=120是原分式方程的解. (1+50%)x=(1+50%)×120=180. 答:该趟动车的平均速度为180 km/h.

9.(2016宁夏,22,6分)某种型号油电混合动力汽车,从A地到B地燃油行驶纯燃油费用为76元,从A 地到B地用电行驶纯用电费用为26元.已知每行驶1千米,纯燃油费用比纯用电费用多0.5元. (1)求每行驶1千米纯用电的费用; (2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元,则至少用电行驶多少 千米?
解析 (1)设纯用电每行驶1千米所需要的费用为x元,则纯燃油每行驶1千米所需要的费用为(x
+0.5)元,根据题意,得?76 =?26 ,? (2分)
x ? 0.5 x
解得x=0.26,经检验x=0.26是原方程的根. 所以,每行驶1千米纯用电的费用为0.26元.? (3分) (2)纯燃油每行驶1千米所需要的费用为0.5+0.26=0.76(元),从A到B的距离为26÷0.26=100(千 米),设用电行驶y千米,则燃油行驶(100-y)千米. 根据题意,得0.26y+0.76(100-y)≤39,? (5分) 解得y≥74,即至少用电行驶74千米.? (6分) 评析 本题考查分式方程、一元一次不等式的应用.应注意检验分式方程的解.属易错题.

10.(2015南京,18,7分)解方程?2 =?3 .
x?3 x
解析 方程两边同乘x(x-3),得2x=3(x-3).解得x=9. 检验:当x=9时,x(x-3)≠0. 所以,原方程的解为x=9.? (7分)
11.(2015福建龙岩,19,8分)解方程:1+?3x =?6 .
x?2 x?2
解析 方程两边同时乘(x-2),得 (x-2)+3x=6,?(2分) 4x-2=6,?(4分) x=2.?(6分) 检验:当x=2时,x-2=0, ∴x=2不是原分式方程的解,?(7分) ∴原分式方程无解.?(8分)

12.(2015宁夏,17,6分)解方程:?x
x ?1

-?2xx2 ??11

=1.

解析 方程两边同乘(x2-1),得 x(x+1)-(2x-1)=x2-1,? (3分) 解得x=2.? (5分) 经检验,x=2是原方程的根.? (6分)

13.(2015辽宁沈阳,20,10分)高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具,其平均速度是普 通铁路列车平均速度的3倍,同样行驶690 km,高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6 h,求 高速铁路列车的平均速度.

解析 设高速铁路列车的平均速度为x km/h,

? 根据题意,得

690 1x

=?690
x

+4.6.

3

解这个方程,得x=300.

经检验,x=300是所列方程的根.

答:高速铁路列车的平均速度为300 km/h.

14.(2015山东聊城,23,8分)在“母亲节”前夕,某花店用16 000元购进第一批礼盒鲜花,上市后 很快预售一空.根据市场需求情况,该花店又用7 500元购进第二批礼盒鲜花.已知第二批所购
鲜花的盒数是第一批所购鲜花的盒数的?1 ,且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元.问第二
2
批鲜花每盒的进价是多少元?
解析 设第二批鲜花的进价是x元/盒,根据题意,得
?7 500 =?1 ×?16 000 ,? (4分)
x 2 x ?10
解这个方程,得x=150.? (6分) 经检验可知,x=150是原方程的根,并符合题意.? (7分) 所以第二批鲜花每盒的进价是150元.? (8分) 评析 在列方程解决实际问题时,一是找到题目中的相等关系;二是设未知数,注意选择和题目 中各个量都关系密切的量,注意根据问题情况灵活选择设法,如直接设、间接设,设多元等;三 是求分式方程的根,要验根,根既要使方程本身有意义,又要符合实际意义.

15.(2017广州,21,12分)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程,先由甲队筑路60公里,再由乙队
完成剩下的筑路工程,已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的?4 倍,甲队比乙队多筑路
3
20天.
(1)求乙队筑路的总公里数;
(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5∶8,求乙队平均每天筑路多少公里.
解析 (1)乙队筑路的总公里数:60×?43 =80(公里).
(2)设甲队平均每天筑路5x公里,则乙队平均每天筑路8x公里,
根据题意,得?60 -20=?80 ,
5x 8x
解得x=?1 ,
10
经检验,x=?1 是原方程的解且符合题意.
10
∴乙队平均每天筑路?1 ×8=?4 (公里).
10 5
答:乙队平均每天筑路?4 公里.
5

16.(2015湖南郴州,21,8分)自2014年12月启动“绿茵行动,青春聚力”郴州共青林植树活动以 来,某单位筹集7 000元购买了桂花树和樱花树共30棵,其中购买桂花树花费3 000元.已知桂花 树比樱花树的单价高50%,求樱花树的单价及棵数.

解析 设樱花树的单价为x元,根据题意,得? (1分)

?3 000 +?7 000 ? 3 000 =30,? (4分)

(1? 50%)x

x

解得x=200.? (5分)

经检验,x=200是所列分式方程的根且符合题意,? (6分)

则?7 000 ? 3 000 =?4 000 =20.? (7分)

x

200

答:樱花树的单价是200元,棵数为20棵.? (8分)

17.(2015浙江宁波,22,10分)宁波火车站北广场将于2015年底投入使用,计划在广场内种植A,B 两种花木共6 600棵,若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵. (1)A,B两种花木的数量分别是多少棵? (2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木,每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵,应分 别安排多少人种植A花木和B花木,才能确保同时完成各自的任务?
解析 (1)设B花木的数量是x棵,则A花木的数量是(2x-600)棵, 根据题意得x+(2x-600)=6 600,? (2分) 解得x=2 400,2x-600=4 200. 答:A花木的数量是4 200棵,B花木的数量是2 400棵.? (5分)
(2)设安排y人种植A花木,则安排(26-y)人种植B花木,根据题意得?4 200 =?2 400 ,解得y=14.? 60 y 40(26 ? y)
(8分) 经检验,y=14是原方程的根,且符合题意. 26-y=12. 答:安排14人种植A花木,12人种植B花木,才能确保同时完成各自的任务.? (10分)

18.(2014镇江,19(1),5分)解方程:?3 -?2 =0.
x x?2
解析 去分母, 得3x+6-2x=0,? (2分) 解得x=-6,? (4分) 经检验,x=-6是原方程的解. 故原方程的解为x=-6.? (5分)

19.(2014广西南宁,20,6分)解方程:?x
x?

2

-?x2 2?

4

=1.

解析

?x
x?

2

-?x2 2?

4

=1,

?x -? 2 =1,? (1分)
x ? 2 (x ? 2)(x ? 2)
x(x+2)-2=(x+2)(x-2),? (2分)

x2+2x-2=x2-4,? (3分)

2x=-2,? (4分)

x=-1.? (5分)

检验:当x=-1时,(x+2)(x-2)≠0,

∴x=-1是原分式方程的解.? (6分)

20.(2014北京,18,5分)列方程或方程组解应用题: 小马自驾私家车从A地到B地,驾驶原来的燃油汽车所需油费108元,驾驶新购买的纯电动汽车 所需电费27元.已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的 电费多0.54元,求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
解析 设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元.
由题意,得?27 =?108 .
x x ? 0.54
解得x=0.18. 经检验,x=0.18是原方程的解,且符合题意. 答:新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元.

21.(2014贵州贵阳,19,8分)2014年12月26日,西南真正意义上的第一条高铁——贵阳至广州高 速铁路将开始试运行.从贵阳到广州,乘特快列车的行程约为1 800 km,高铁开通后,高铁列车的 行程约为860 km,运行时间比特快列车所用的时间减少了16 h.若高铁列车的平均速度是特快 列车平均速度的2.5倍,求特快列车的平均速度.
解析 设特快列车的平均速度为x km/h.? (1分)
由题意得?1 800 =?860 +16,? (4分)
x 2.5x
解得x=91.? (6分) 经检验,x=91是所列方程的根.? (7分) 答:特快列车的平均速度为91 km/h.? (8分)

22.(2014黑龙江哈尔滨,26,8分)荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒,已知购买 一个台灯比购买一个手电筒多用20元,若用400元购买台灯和用160元购买手电筒,则购买台灯 的个数是购买手电筒个数的一半. (1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元; (2)经商谈,商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠,如果荣庆公 司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个,且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过6 70元,那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯?

解析 (1)设购买一个手电筒需要x元,则购买一个台灯需要(x+20)元,
根据题意,得?40=0?×16?0 ,?1(2分)
x ? 20 x 2
解得x=5, 经检验,x=5是原方程的解,?(3分) ∴x+20=25. ∴购买一个台灯需要25元,购买一个手电筒需要5元.?(4分) (2)设购买台灯a个,则还需购买手电筒(2a+8-a)个, 由题意得25a+5(2a+8-a)≤670,?(6分) 解得a≤21.?(7分) ∴荣庆公司最多可购买21个该品牌台灯.?(8分)

三年模拟

A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点1 一元二次方程的解法及应用

1.(2018南京建邺一模,9)若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0有一个根是1,则另一个根是

.

答案 -2

解析 把x=1代入方程x2-kx-2=0,得k=-1,则方程为x2+x-2=0,根据根与系数的关系,得x1+x2=-1, ∴另一个根是-2.

2.(2018盐城东台一模,11)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x-k2=0的一个根为1,则k的值为

.

答案 0

解析 ∵x=1是(k-1)x2+x-k2=0的根, ∴k-1+1-k2=0,解得k=0或1,∵k-1≠0, ∴k≠1,∴k=0.

考点2 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
1.(2018苏州常熟一模,5)关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范 围是? ( ) A.m<2 B.m≤2 C.m<2且m≠1 D.m>2且m≠1

答案 C ∵关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,

? ∴

?m

? ?

Δ

?1 ? 0, ? (?2)2

?

4(m

?1)

?

0,

解得m<2且m≠1.

故选C.

易错警示 本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义,解题时要考虑一 元二次方程二次项系数不为零.

2.(2016淮安一模)下列选项中的方程有两个相等的实数根的是( ) A.x2+x+1=0 B.4x2+2x+1=0 C.x2+12x+36=0 D.x2+x-2=0 答案 C A项,x2+x+1=0,∵Δ=12-4×1×1=-3<0,∴方程无实数根; B项,4x2+2x+1=0,∵Δ=22-4×4×1=-12<0,∴方程无实数根; C项,x2+12x+36=0,∵Δ=122-4×1×36=0, ∴方程有两个相等的实数根; D项,x2+x-2=0,∵Δ=12-4×1×(-2)=9>0,∴方程有两个不相等的实数根,故选C.
思路分析 根据一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac与零的大小比较,判断一元二次方程根的 情况.

3.(2016苏州昆山一模)若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根,则k的取值范围是? ( ) A.k>-1 B.k≥-1 C.k>-1且k≠0 D.k≥-1且k≠0 答案 D 由题意得Δ=22-4k×(-1)≥0, 解得k≥-1, 又∵k≠0,∴k≥-1且k≠0.故选D. 易错警示 本题容易忽略二次项系数k≠0.

4.(2018苏州吴中一模,16)如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,

那么k的取值范围是

.

答案 k>-?1 且k≠0
4
解析 根据题意得k2≠0且Δ=(2k+1)2-4k2>0,解得k>-?1且k≠0.
4
考查要点 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac.当Δ>0时,方程 有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根,也考查 了一元二次方程的定义.

5.(2017无锡一模,13)若x1,x2是方程x2+2x-3=0的两根,则x1+x2=

.

答案 -2

解析 ∵x1,x2是方程x2+2x-3=0的两根, ∴x1+x2=-2. 6.(2017苏州一模,15)关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根,则m的取值范围是

.

答案 m≤2

解析 此一元二次方程根的判别式=(-2)2-4×1×(m-1)=4-4(m-1)=8-4m, 由该方程有两个实数根,得8-4m≥0, 解这个不等式,得m≤2.

考点3 分式方程的求解及应用

1.(2018宿迁泗阳一模,17)若关于x的分式方程?7 +3=?mx 无解,则实数m的值为

.

x ?1 x ?1

答案 3或7

解析 去分母得7+3(x-1)=mx, 整理,得(m-3)x=4, 当整式方程无解时,m-3=0,m=3; 当整式方程的解为分式方程的增根时,x=1, ∴m-3=4,m=7, ∴m的值为3或7.

2.(2018扬州江都一模)为厉行节能减排,倡导绿色出行,我区推行“共享单车”公益活动.某公 司在小区分别投放A,B两种不同款型的共享单车,其中A型共享单车的投放量是B型共享单车
的?5 倍,B型共享单车的成本单价比A型共享单车高10元,A型、B型共享单车投放成本分别为3
4
3 000元和27 600元.求A型共享单车的单价.
解析 设A型共享单车的单价是x元,依题意得
?33 000 =?27 600 ×?5 ,
x x ?10 4
解得x=220. 经检验:x=220是所列分式方程的解. 答:A型共享单车的单价是220元.
方法技巧 本题主要考查了分式方程的应用,解决问题的关键是依据等量关系列分式方程.列 分式方程解应用题一定要审清题意,找准等量关系,要学会分析题意,提高理解能力.

3.(2017常州一模节选)解方程.
?2x =1-?1 .
x?2 2?x
解析 去分母,得2x=(x-2)+1,解得x=-1, 经检验,x=-1是原方程的解.
4.(2017南京一模,17)解方程?x1?1 =?x ?2 3 .
解析 方程两边同乘(x-1)(x+3),得x+3=2(x-1), 解得x=5. 检验:当x=5时,(x-1)(x+3)≠0, ∴x=5是原方程的解.

5.(2016南京一模)某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2 名工人,结果比原计划提前3小时完成任务.若每人每小时绿化面积相同,则每人每小时绿化面 积为多少平方米?
解析 设每人每小时绿化面积为x平方米.
由题意得?180 -?180 =3, 6x (6 ? 2)x
解得x=?5 ,
2
经检验x=?5 是原方程的解.
2
答:每人每小时绿化面积为?5 平方米.
2

B组 2016—2018年模拟·提升题组
(时间:30分钟 分值:40分)
一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2018南通如皋一模,8)关于x的方程x2+mx+n=0的两根为-2和3,则m+n的值为? ( ) A.1 B.-7 C.-5 D.-6 答案 B ∵关于x的方程x2+mx+n=0的两根是-2和3, ∴m=-(-2+3)=-1,n=-2×3=-6, ∴m+n=-1-6=-7. 故选B.
解题关键 本题重点考查一元二次方程根与系数的关系,掌握根与系数的关系是解题关键.

2.(2018扬州江都一模,7)若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次 函数y=kx+b的大致图象可能是? ( )
?
答案 C ∵关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=4-4(kb+1)>0, ∴kb<0. 根据图象可得A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确; B.k<0,b<0,即kb>0,故B不正确; C.k>0,b<0,即kb<0,故C正确; D.k<0,b=0,即kb=0,故D不正确. 故选C.

考查要点 本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象,一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系: ①当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; ②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根; ③当Δ<0时,方程无实数根. 掌握一元二次方程根的判别式是解题关键.

3.(2016苏州昆山一模)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所

需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面

所列方程正确的是? ( )

A.?600 =?450
x ? 50 x
C.?600 =?450
x x ? 50

B.?600 =?450
x ? 50 x
D.?600 =?450
x x ? 50

答案 A 根据“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”可以
列出方程?600 =?450 ,故选A.
x ? 50 x

4.(2016盐城一模)若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是? ( ) A.m≤3 B.m<3 C.m<3且m≠2 D.m≤3且m≠2
答案 D ∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,∴Δ=22-4×(m-2)×1≥0,解得m≤3, 又∵m-2≠0,∴m≠2, ∴m的取值范围是m≤3且m≠2.故选D. 易错警示 注意一元二次方程的二次项系数不为0.

二、填空题(每小题3分,共6分)

5.(2018宿迁泗洪一模,17)已知整数k<5,若△ABC的边长均是关于x的方程x2-3?k x+8=0的根,则

△ABC的周长是

.

答案 6或12或10

解析 根据题意得k≥0且(-3?)k2-4×8≥0,
解得k≥?32 .
9
∵整数k<5,∴k=4, ∴方程变形为x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4, ∵△ABC的边长均是关于x的方程x2-6x+8=0的根, ∴△ABC的边长为2,2,2或4,4,4或4,4,2, ∴△ABC的周长为6或12或10.

思路分析 先确定k的值,再解方程,然后分类讨论三角形三边长,从而确定周长.

6.(2017苏州昆山一模,13)已知x=-1是一元二次方程ax2+bx-10=0的一个解,且a≠-b,则?a2 ? b2 的 2a ? 2b

值为

.

答案 5

解析 把x=-1代入方程ax2+bx-10=0中,得a-b=10,又a≠-b,所以?a2 ? b2 =?(a ? b)(a ? b) =?a ? b =5.

2a ? 2b 2(a ? b)

2

三、解答题(共22分)
7.(2018泰州泰兴一模,20)现用A,B两种机器人来搬运化工原料.A型机器人比B型机器人每小 时少搬运3 kg,A型机器人搬运40 kg与B型机器人搬运60 kg所用时间相等,两种机器人每小时 分别搬运多少化工原料?
解析 设A型机器人每小时搬运x kg化工原料,B型机器人每小时搬运(x+3)kg化工原料,根据题
意得?40 =?60 ,
x x?3
解得x=6. 经检验:x=6是分式方程的解,且符合题意. 则x+3=9. 答:A型机器人每小时搬运6 kg化工原料,B型机器人每小时搬运9 kg化工原料.

8.(2018盐城建湖一模,19)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2+4=0. (1)求证:该方程有两个实数根; (2)若该方程的两个实数根x1,x2满足2x1+x2=2,求m的值.
解析 (1)证明:∵关于x的一元二次方程x2-4x-m2+4=0中,a=1,b=-4,c=-m2+4, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-m2+4)=4m2≥0, ∴该方程有两个实数根. (2)∵该方程的两个实数根分别为x1,x2,∴x1+x2=4, ∵2x1+x2=2,∴x1=-2, ∴4+8-m2+4=0,∴m=±4.

9.(2016宿迁一模)已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0). (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.
解析 (1)证明:∵m≠0, ∴mx2-(m+2)x+2=0是关于x的一元二次方程. ∴Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2. ∵(m-2)2≥0,∴方程总有两个实数根.
(2)由求根公式,得x=?(m.? 2) ? (m ? 2)
2m
∴x1=1,x2=?2 .
m
∵方程的两个实数根都是整数,且m为正整数, ∴m=1或2.



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