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2020-2021全国备战中考数学二次函数的综合备战中考真题汇总附详细答案

2020-2021 全国备战中考数学二次函数的综合备战中考真题汇总附详细答案 一、二次函数 1.如图,已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 经过 A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点, 其顶点为 D,对称轴是直线 l,l 与 x 轴交于点 H. (1)求该抛物线的解析式; (2)若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点,求△ PBC 周长的最小值; (3)如图(2),若 E 是线段 AD 上的一个动点( E 与 A、D 不重合),过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F,交 x 轴于点 G,设点 E 的横坐标为 m,△ ADF 的面积为 S. ①求 S 与 m 的函数关系式; ②S 是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点 E 的坐标; 若不存在,请说明理由. 【答案】(1) y ? ?x2 ? 2x ? 3 . (2) 3 2 ? 10 . (3)① S ? ?m2 ? 4m ? 3 . ②当 m=﹣2 时,S 最大,最大值为 1,此时点 E 的坐标为(﹣2,2). 【解析】 【分析】 (1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定二次函数的解析式即可. (2)根据 BC 是定值,得到当 PB+PC 最小时,△ PBC 的周长最小,根据点的坐标求得相应 线段的长即可. (3)设点 E 的横坐标为 m,表示出 E(m,2m+6),F(m, ?m2 ? 2m ? 3),最后表示 出 EF 的长,从而表示出 S 于 m 的函数关系,然后求二次函数的最值即可. 【详解】 解:(1)∵ 抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 经过 A(-3,0),B(1,0), ∴ 可设抛物线交点式为 y ? a ?x ? 3??x ?1? . 又∵ 抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 经过 C(0,3),∴ a ? ?1. ∴ 抛物线的解析式为: y ? ??x ? 3??x ?1? ,即 y ? ?x2 ? 2x ? 3 . (2)∵ △ PBC 的周长为:PB+PC+BC,且 BC 是定值. ∴ 当 PB+PC 最小时,△ PBC 的周长最小. ∵ 点 A、点 B 关于对称轴 I 对称, ∴ 连接 AC 交 l 于点 P,即点 P 为所求的点. ∵ AP=BP,∴ △ PBC 的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC. ∵ A(-3,0),B(1,0),C(0,3),∴ AC=3 2 ,BC= 10 . ∴ △ PBC 的周长最小是: 3 2 ? 10 . (3)①∵ 抛物线 y ? ?x2 ? 2x ? 3 顶点 D 的坐标为(﹣1,4),A(﹣3,0), ∴ 直线 AD 的解析式为 y=2x+6 ∵ 点 E 的横坐标为 m,∴ E(m,2m+6),F(m, ?m2 ? 2m ? 3) ∴ EF ? ?m2 ? 2m ? 3??2m ? 6? ? ?m2 ? 4m?3. ∴ ? ? S ? S?DEF ? S?AEF ? 1 ? EF? GH ? 1 ? EF? AG ? 1 ? EF? AH ? 1 ? 2 2 2 2 ?m2 ? 4m ? 3 ? 2 ? ?m2 ? 4m ? 3 . ∴ S 与 m 的函数关系式为 S ? ?m2 ? 4m ? 3 . ②S ? ?m2 ? 4m ? 3 ? ??m ? 2?2 ?1, ∴ 当 m=﹣2 时,S 最大,最大值为 1,此时点 E 的坐标为(﹣2,2). 2.如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,直线 y=﹣x+n 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点,抛物线 y=ax2+bx+3(a≠0)过 C、B 两点,交 x 轴于另一点 A,连接 AC,且 tan∠ CAO=3. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 是射线 CB 上一点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 H,交抛物线于 Q,设 P 点横坐 标为 t,线段 PQ 的长为 d,求出 d 与 t 之间的函数关系式,并写出相应的自变量 t 的取值 范围; (3)在(2)的条件下,当点 P 在线段 BC 上时,设 PH=e,已知 d,e 是以 y 为未知数的一元二 次方程:y2-(m+3)y+ 1 (5m2-2m+13)=0 (m 为常数)的两个实数根,点 M 在抛物线上,连 4 接 MQ、MH、PM,且.MP 平分∠ QMH,求出 t 值及点 M 的坐标. d ? ?t2 ? 3t(0 ? t ? 3) 【答案】(1) y=-x2+2x+3;(2){ d ? t2 ? 3t(t ? 3) ;(3)t=1,(1+ 2 ,2)和(1- 2 , 2). 【解析】 【分析】 (1)当 x=0 时代入抛物线 y=ax2+bx+3(a≠0)就可以求出 y=3 而得出 C 的坐标,就可以得 出直线的解析式,就可以求出 B 的坐标,在直角三角形 AOC 中,由三角形函数值就可以求 出 OA 的值,得出 A 的坐标,再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结 论; (2)分两种情况讨论,当点 P 在线段 CB 上时,和如图 3 点 P 在射线 BN 上时,就有 P 点 的坐标为(t,-t+3),Q 点的坐标为(t,-t2+2t+3),就可以得出 d 与 t 之间的函数关系式 而得出结论; (3)根据根的判别式就可以求出 m 的值,就可以求出方程的解而求得 PQ 和 PH 的值,延 长 MP 至 L,使 LP=MP,连接 LQ、LH,如图 2,延长 MP 至 L,使 LP=MP,连接 LQ、LH, 就可以得出四边形 LQMH 是平行四边形,进而得出四边形 LQMH 是菱形,由菱形的性质就 可以求出结论. 【详解】 (1)当 x=0,则 y=-x+n=0+n=n,y=ax2+bx+3=3, ∴ OC=3=n. 当 y=0, ∴ -x+3=0,x=3=OB, ∴ B(3,0). 在△ AO



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