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(北京专版)2019年中考数学一轮复习 第五章 空间与图形 5.2 图形的相似(试卷部分)讲义_图文

中考数学(北京专用)
§5.2 图形的相似

五年中考 2014-2018年北京中考题组
1.(2013北京,5,4分)如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D, 使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m,EC=10 m, CD=20 m,则河的宽度AB等于?( )
?
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m 答案 B ∵∠ABE=∠ECD=90°,∠AEB=∠DEC,
∴△ABE∽△DCE,∴?A B=?B ,E∴?A=B?,2 ∴0 AB=40 m.故选B.
D C EC 20 10

2.(2011北京,4,4分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,若AD=1,BC=3,则
?A O 的值为?( )
CO
?

A.?1 B1.? C1 .? 1 D.?

2

3

4

9

答案 B ∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴?A O=?A=D?.1 故选B.
CO BC 3

3.(2018北京,13,2分)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,

AD=3,则CF的长为

.

?

答案 ?1 0
3

解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=3,∴∠DCA=∠CAB,又∠DFC=

∠AFE,∴△CDF∽△AEF,∴?C F=?C .D∵E是边AB的中点,AB=4,∴AE=2.∵BC=3,AB=4,∠ABC
AF AE
=90°,∴AC=5.

∴?C =F ?,∴4 CF=?1.0

5?CF 2

3

4.(2017北京,13,3分)如图,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM= .
?
答案 3
解析 ∵M,N分别为AC,BC的中点,∴MN∥AB,且MN=?1 AB,∴△CMN∽△CAB,且相似比为1∶
2
2,∵S△CMN=1, ∴S△CAB=4,∴S四边形ABNM=S△CAB-S△CMN=4-1=3.

5.(2014北京,10,4分)在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时测得一根旗杆的

影长为25 m,那么这根旗杆的高度为

m.

答案 15

解析 如图,竹竿为CD,其影子为C'D,旗杆为AB,其影子为A'B,易得△AA'B∽△CC'D,∴?A=B
CD
?A ' B,即?A =B ?2 ,∴5 AB=15 m.
C 'D 1 .8 3

?

6.(2012北京,11,4分)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自

己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE

=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=8 m,则树高AB=

m.

?

答案 5.5

解析 由已知得△DEF∽△DCB,∴?E F=?E ,D∵DE=40 cm=0.4 m,EF=20 cm=0.2 m,∴?=0 . 2

BC CD

BC

?0 . 4 ,
8
∴BC=4 m,∴AB=4+1.5=5.5(m).

教师专用题组
考点一 相似与位似的有关概念
1.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶ OA'=2∶3,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为?( )
?

A.4∶9 B.2∶5 C.2∶3 D.?∶2 ? 3

? ? 答案 A 由位似图形的性质知?A =B ?=O ?A ,所2 以 A 'B ' O A ' 3

? =S四 边 形=AB
S四边形A'B '

C C

D'D.'故选??? AAA' BB.

'

? ??

2

4 9

2.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为 BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是?( )
?

A.?A D =?A E B.?A =G ?A E C.?=B?D C E D.?=?A G A C

AB EC

GF BD

AD AE

AF EC

答案 C 根据平行线分线段成比例定理可知?A D=?A ,?E =A ?G ,?A E =?B D ,?C =E ?A G,所以A 选E
AB AC GF EC AD AE AF AC
项A、B、D错误,选项C正确.故选C.

3.(2015甘肃兰州,5,4分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中 心,将线段CD放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为?( )
?
A.(2,5) B.(2.5,5) C.(3,5) D.(3,6)
答案 B 设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知,?x =?y =5 ?,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.
122
5,5).故选B.

4.(2014河北,13,3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
?
?
对于两人的观点,下列说法正确的是?( ) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对 答案 A 由题意知新三角形与原三角形的对应角相等,所以两个三角形相似,甲的观点正确; 新矩形与原矩形的对应角相等,但对应边的比并不相等,所以新矩形与原矩形不相似,乙的观点 也正确,故选A.

5.(2014湖北武汉,6,3分)如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中
心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的?1 后得到线段CD,则端点C的坐标为?( )
2
?

A.(3,3) C.(3,1)

B.(4,3) D.(4,1)

答案 A ∵线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限
内将线段AB缩小为原来的?1 后得到线段CD,∴端点C的坐标为(3,3).故选A.
2

6.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,?O =E ?3 ,则
OA 5

?F G =

.

BC

?

答案 ?3
5
解析 ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似, ∴△OEF∽△OAB,△OFG∽△OBC,
∴?O F =?O E=?3 ,?F G =?O F=?3 .
OB OA 5 BC OB 5

7.(2015甘肃兰州,17,4分)如果?a =?c =e ?=k(b+d+f≠0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=

.

bd f

答案 3

解析 由题意得a=bk,c=dk,e=fk,

则a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),

故k=3.

8.(2015辽宁沈阳,14,4分)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于

△DEF面积的?4 ,则AB∶DE=

.

9

?

答案 2∶3

? ? ? 解析

∵△ABC与△DEF位似,∴△ABC∽△DEF,∴ S =A B C
S DEF

? .???∵DA SBE △???A2BC=

S△DEF4,∴
9

? = S . A B C 4
S DEF 9

? ∴

? ??

A D

BE=???? 2 ,

4 9

∴?A B =?2 (舍负),即AB∶DE=2∶3.
DE 3

9.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知

点O,A,B均为网格线的交点.

(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对

应点分别为A1,B1).画出线段A1B1;

(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1.画出线段A2B1;

(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是

个平方单位.

?

解析 (1)线段A1B1如图所示.?(3分)
?
(2)线段A2B1如图所示.?(6分) (3)20.?(8分) 提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为?=422??,2∴2 以A,5A1,B1,A2为顶点的四 边形AA1B1A2的面积为(2?)5 2=20(个平方单位).

10.(2015宁夏,20,6分)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-4),B(3,-2),C(6, -3). (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1; (2)以M点为位似中心,在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2,使△A2B2C2与△A1B1C1的相 似比为2∶1.
?

解析 (1)如图所示.?(3分) (2)如图所示.?(6分)
?

考点二 相似三角形的性质与判定
1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中 线,AD=2,CE=5,则CD=?( )
?
A.2 B.3 C.4 D.2? 3 答案 C 在Rt△ABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=2×5=10,又AD=2,所以BD=8, 易证△ACD∽△CBD,则CD2=AD·DB=2×8=16,所以CD=4,故选C.

2.(2018内蒙古包头,12,3分)如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为BC 的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,∠CBD=30°,则DF的长为?( )
?

A.?2 ?3
5

B.?2 ?3
3

C.?3 ?3
4

D.?4 ?3
5

答案 D 如图,连接DE.

?

∵BD平分∠ABC,∠CBD=30°,∴∠1=∠2=30°. 在Rt△BCD中,BD=BC·cos 30°=2?.3 在Rt△ABD中,AB=BD·cos 30°=3. ∵E为BC的中点,∴ED=BE=2,∴∠3=∠2=∠1. ∴DE∥AB,∴△AFB∽△EFD,

∴?D E =?D ,F即?2 =?,∴D FDF=? ?.故4选D3.

A B B F 3 2 3 ? DF

5

思路分析 根据题意得,在Rt△ABD和Rt△BCD中,∠ABD=∠CBD=30°,由BC=4,求得BD=2?, 3 进而求得AB=3,由E是BC的中点,得ED=BE,进而可得DE∥AB,所以△AFB∽△EFD,进而求出 DF的长.
解题关键 本题考查了含30°角的直角三角形的性质,三角形相似的判定和性质.解答本题的 关键是作出Rt△BCD斜边上的中线.

3.(2018内蒙古包头,11,3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=-?4 2x+1与x轴,y轴分别交于点A
和点B,直线l2:y=kx(k≠0)与直线l1在第一象限交于点C.若∠BOC=∠BCO,则k的值为?( )
?

A.?2
3

B.?2
2

C.? 2 D.2? 2

答案 B 如图,作CD⊥OA于点D,则CD∥BO.易得直线l1与坐标轴的交点A(2?,02),B(0,1),在 Rt△AOB中,AB=?O =3A.2∵?∠OBB2OC=∠BCO,∴BC=BO=1,∴AC=2.

? ∵CD∥BO,∴△AOB∽△ADC,∴?C D=?A=D?=A?C ,∴2 CD=?,A2 D=?4,∴2C

BO AO AB 3

3

3

,代??? 2 入3 2y,=23k???x

中,得?2 =2?2 ·k,解得k=?2 .故选B.

33

2

?

思路分析 求出直线l1与坐标轴的交点A,B的坐标,由勾股定理求得AB,由CD∥BO得△AOB∽ △ADC,进而求得C点坐标,将C点坐标代入y=kx,即可求出k值. 解后反思 本题考查了一次函数的图象、勾股定理、相似三角形的判定与性质,根据题意求 得直线l与坐标轴所构成的三角形的边长,利用数形结合的方法,由三角形相似得出点C的坐标, 再求k值.

4.(2017甘肃兰州,13,4分)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在 凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的平台DE(DE=BC=0.5米,A,C,B三点共线),把一面镜 子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿着直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子 里看到凉亭的顶端A,测得GE=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为?( )
?
A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米

答案 A 由光线反射可知∠AGC=∠FGE,又∵∠FEG=∠ACG=90°,∴△FEG∽△ACG, ∴FE∶AC=EG∶CG, ∴1.6∶AC=3∶15, ∴AC=8米.∵BC=0.5米, ∴AB=AC+BC=8.5米.
解题关键 本题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是判定△FEG与△ACG相 似.

5.(2017河北,7,3分)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角 ∠B的度数相比?( ) A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1+10%) D.没有改变 答案 D △ABC的每条边长增加各自的10%即变为原来的1.1倍,得到△A'B'C',根据相似三角 形的判定方法可得△ABC∽△A'B'C',所以∠B'=∠B,故选D.

6.(2017陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BF ⊥AE交AE于点F,则BF的长为?( )
?

A.?3 1 0 B.?3 1 0 C.? 1 0 D.? 3 5

2

5

5

5

答案 B 由题意得∠AFB=∠D=∠BAD=90°,∴∠FAB+∠DAE=90°,∠FAB+∠ABF=90°,

∴∠ABF=∠DAE,∴△ADE∽△BFA,则?A D=?B ,F即?3 =?B F=3,设AF=x(x>0),则BF=3x,在Rt△ABF中,
DE AF 1 AF

由勾股定理得AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得x=?1 (0负值舍去),所以3x=?3,即1 B0 F=?.故3 1 0

5

5

5

选B.

思路分析 先通过证明△ADE∽△BFA得到AF与BF的数量关系,再在Rt△ABF中,由勾股定理 建立方程求解.

7.(2016重庆,8,4分)△ABC与△DEF的相似比为1∶4,则△ABC与△DEF的周长比为?( ) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶16 答案 C 因为△ABC与△DEF的相似比为1∶4,所以由相似三角形周长的比等于相似比,得 △ABC与△DEF的周长比为1∶4,故选C.

8.(2016河北,15,2分)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪下,剪下 的阴影三角形与原三角形?不 的相 是似 ?( )
???
?
?

答案 C 选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角 形与原三角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是2∶3,且两边的夹 角相等,所以两个三角形也是相似的,故选C. 思路分析 本题应借助相似三角形的判定来解决.
解题关键 本题考查相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键.

9.(2015江苏南京,3,2分)如图,在△ABC中,DE∥BC,?A D=?1 ,则下列结论中正确的是?( )
DB 2
?

A.?A E =?1 B.?D E =?1

AC 2

BC 2

C.?AD=?E的周长D.?1 =?
ABC的周长 3

ADE的面积 1 ABC的面积 3

答案 C ∵?A D =?1 ,∴?A D =?1 ,
DB 2 AB 3
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴?A E =?D E=?A =D ?1,
AC BC AB 3
故选项A、B错误;根据“相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方”可知
选项C正确,选项D错误.故选C.

10.(2015内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD 边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为? ()
?

A.?1 B9.? C.2 D.4

2

8

答案 C 在题中的第三个图中,AD=6,AB=4,DE=6,
因为BF∥DE,所以△ABF∽△ADE,所以?AA DB=?DB ,F即E ?64=?B 6,F解得BF=4,所以CF=2,∴S△CEF=?12CE
·CF=2.

11.(2015四川绵阳,12,3分)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB=1∶2,现将△ABC折 叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E、F分别在AC和BC上,则CE∶CF=?( )
?

A.?3 B4.? C5 .? 6 D.?

4

5

6

7

答案 B 设等边△ABC的边长为3,则AD=1,BD=2,由折叠的性质可知∠C=∠EDF=60°, ∴∠EDA+∠FDB=120°, 在△AED中,∵∠A=60°,∴∠AED+∠ADE=120°,∴∠AED=∠BDF,又∵∠A=∠B,∴△AED∽

△BDF,∴?A E =?A D=?E ,又D ∵CE=DE,CF=DF,∴?=3?? C ,E?=C ?E ,可1得2CCEE=3CF-CE·

BD BF DF

2 C F 3?CF C F

CF,CF=3CE-CE·CF,∴2CE-3CF=CF-3CE,∴?C E=?4 .故选B.
CF 5

12.(2014贵州贵阳,7,3分)如图,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽ △EPD,则点 P所在的格点为( )
?
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4
答案 C 由题图可知,∠E=∠A=90°,要使△ABC∽△EPD,则?E =P ?D =E2,所以EP=2AB=6,点P
AB AC
所在的格点为P3,故选C.

13.(2018云南,5,3分)如图,已知AB∥CD,若?A B=?1 ,则?O A =

.

CD 4 OC

?

答案 ?1
4
解析 ∵AB∥CD,∴∠A=∠C,∠B=∠D,
∴△AOB∽△COD.∴?O A=?A =B ?1 .
OC CD 4

14.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足

△PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形,则PE的长为

.

答案 3或?6
5
解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在△ABD中,由勾股定理可得BD=?=6120?,∵82AB<AD,

∴根据△PBE∽△DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得?P E=?B =P ??2 PE=?6;

CD BD 10

5

当AP=PD时,P点为BD的中点,∴PE=?1 CD=3,故答案为3或?6 .

2

5

思路分析 根据AB<AD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两

种情况:①AD=PD=8;②AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.

难点突破 判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.

15.(2017吉林,12,3分)如图,数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度,使用长为2 m的竹竿CD

作为测量工具.移动竹竿,使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合,测得OD=4 m,

BD=14 m,则旗杆AB的高为

m.

?

答案 9 解析 ∵OD=4 m,BD=14 m,∴OB=18 m.
由题意知△ODC∽△OBA,∴?O D=?C ,D即?=4 ?,2得AB=9 m.
OB AB 18 AB

16.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是△ODB的中位

线,且EF=2,则AC的长为

.

?

答案 ?8
3

解析 ∵EF是△ODB的中位线,∴OE=?1 OD=?3 ,EF∥BD,∵AC∥BD,EF∥BD,∴AC∥EF,

2

2

? ∴?A C =?O C,∴?A=C 2 ,

EF OE

23

∴AC=?8 .

2

3

17.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5?,则5

BD长为

.

?

答案 2?4 1

解析 如图,连接AC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=5, ∵CD=10,DA=5?,5 ∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,∴∠ACB+∠DCE=90°,∵∠ACB+∠BAC=
90°,∴∠BAC=∠DCE,又∵∠ABC=∠DEC=90°,∴△ABC∽△CED,∴?A C =?A B=?B ,C即?=5 ?=3
CD CE D E 10 CE
?4 ,∴CE=6,DE=8.在Rt△BED中,BD=?=?BE=22??D. E2 (4?6)2 ?82 4 1
DE
?

18.(2015山东临沂,18,3分)如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点

O,则?O B =

.

OD

?

答案 2
解析 连接DE,∵BD,CE是AC,AB边上的中线, ∴DE为△ABC的中位线,
∴DE=?1 BC,DE∥BC,
2
∴△OBC∽△ODE,
∴?O B =?B C=2.
OD DE

19.(2015江苏镇江,8,2分)如图,在?ABCD中,E为AD的中点,BE、CD的延长线相交于点F.若

△DEF的面积为1,则?ABCD的面积等于

.

?

答案 4

解析 在?ABCD中,AB∥DC,AE=DE,AD∥BC,易证△AEB≌△DEF,△FED∽△FBC,所以S△AEB=

? ? ? ? S△DEF=1,FD= 1 2

FC,S = D E F
S CBF

? ??

12=???

2

,所1 以S△CBF=4,所以S?ABCD=4.
4

20.(2014黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC

的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H,若点H是AC的中点,则

?A G 的值为

.

FD

?

答案 ?4
3
解析 ∵EF⊥AD,FG=FD,
∴EF垂直平分GD,∴EG=ED,
∴∠EGD=∠EDG,∴∠AGH=∠ADB,
又∵∠BAD=∠HAG,
∴△ABD∽△AHG,∴?A B=?A .D
AH AG
∵4AB=5AC,AH=?1 AC,
2
∴?A B =?5 ,∴?A D =?5 ,
AH 2 AG 2
∴?A G =?2 .∴?A G =?4 .
GD 3 FD 3

21.(2018江西,14,6分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交 AC于点E.求AE的长.
?
解析 ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD. ∵AB∥CD,∴∠ABD=∠D,△ABE∽△CDE.
∴∠CBD=∠D,?A B =?A E.
CD EC
∴BC=CD. ∵AB=8,CA=6,CD=BC=4,
∴?8 =?A E,∴AE=4.
4 6 ? AE

思路分析 根据角平分线性质和平行线的性质求出∠D=∠CBD,进而可得BC=CD=4,通过 △ABE∽△CDE,得出含AE的比例式,求出AE的值. 方法总结 证明三角形相似的常见方法:平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线 相交,所构成的三角形与原三角形相似,相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图 所示.在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.
?

22.(2018陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们 选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河 岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共 线. 已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图如图所示. 请根据相关测量信息,求河宽AB.
?

解析 ∵CB⊥AD,ED⊥AD, ∴∠ABC=∠ADE=90°. ∵∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE,?(3分)
∴?A B =?B C.?(5分)
AD DE
∵BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.
∴?A=B?, 1
A B ? 8.5 1 . 5
∴AB=17 m. ∴河宽AB为17 m.?(7分)

思路分析 首先根据∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE判定△ABC∽△ADE,再根据相似三角形
的性质得出?A B =?B C,进而可求得AB的值.
AD DE
方法指导 解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项.①审题:结合图形通读题干,第一时 间锁定采用的知识点,如:观察题图是否含有已知度数的角,如果含有,考虑利用锐角三角函数 解题.如果仅涉及三角形的边长,则采用相似三角形的性质解题.②筛选信息:由于实际问题文 字阅读量较大,因此筛选有效信息尤为关键.③构造图形:只要是与三角形有关的实际问题都会 涉及图形的构造,如果题干中给出了相应的图形,则可直接利用所给图形进行计算,必要时可添 加辅助线;若未给出图形,则需要通过②中获取的信息构造几何图形进行解题.

23.(2017安徽,23,14分)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点. (1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F. ①求证:BE=CF; ②求证:BE2=BC·CE; (2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F, 求tan∠CBF的值.
?
图1
?
图2

解析 (1)①证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°. 又∠AGB=90°,∴∠BAE+∠ABG=90°. 又∠ABG+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF. ∴△ABE≌△BCF(ASA),∴BE=CF.?(4分) ②证明:∵∠AGB=90°,点M为AB的中点, ∴MG=MA=MB,∴∠GAM=∠AGM. 又∵∠CGE=∠AGM,从而∠CGE=∠CBG. 又∠ECG=∠GCB,∴△CGE∽△CBG.
∴?C E =?C G,即CG2=BC·CE.
由∠C GCFGC =B ∠GBM=∠BGM=∠CGF,得CF=CG. 由①知,BE=CF,∴BE=CG.∴BE2=BC·CE.?(9分) (2)解法一:延长AE,DC交于点N(如图1).

?
图1 ∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD. ∴∠N=∠EAB.又∠CEN=∠BEA,∴△CEN∽△BEA.
故?C E =?C N ,即BE·CN=AB·CE.
BE BA
∵AB=BC,BE2=BC·CE,∴CN=BE.
由AB∥DN知,?C N =?C =G ?.C F
又AM=MB,∴FACM=CNG=MBE. M B 不妨令正方形的边长为1. 设BE=x,则由BE2=BC·CE,得x2=1·(1-x).

解得x1=?5 2 ,?x12=?(?舍52去? )1.
∴?B E =?5. ? 1 BC 2
于是tan∠CBF=?F C =?B =E ?.?5 (?114分)
BC BC 2
解法二:不妨令正方形的边长为1.设BE=x,
则由BE2=BC·CE,得x2=1·(1-x).

解得x1=?5 ,?x12=?(?舍5去? )1,即BE=?. 5 ? 1

2

2

2

作GN∥BC交AB于N(如图2),

?

图2
则△MNG∽△MBC.∴?M N=?M =B ?1 .
NG BC 2

设MN=y,则GN=2y,GM=?5y.

∵?G N =?A N,
BE AB

? ? 即 2 y =

y? 1
,2

5 ?1 1

解得y2 =?1 .∴GM=?1 .

25

2

从而GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上.

∴△AGB是直角三角形,且∠AGB=90°.

由(1)知BE=CF,于是tan∠CBF=?F C=?B =E ?.?5 (?114分)
BC BC 2

24.(2017浙江杭州,19,8分)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G, AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC. (1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求?A F 的值.
AG
?

解析 (1)证明:因为AF⊥DE,AG⊥BC, 所以∠AFE=90°,∠AGC=90°, 所以∠AEF=90°-∠EAF,∠C=90°-∠GAC, 又因为∠EAF=∠GAC, 所以∠AEF=∠C, 又因为∠DAE=∠BAC, 所以△ADE∽△ABC. (2)因为△ADE∽△ABC, 所以∠ADE=∠B, 又因为∠AFD=∠AGB=90°, 所以△AFD∽△AGB,
所以?A F =?A D,
又因为A GAD=A 3B,AB=5,
所以?A F =?3 .
AG 5

25.(2016湖北武汉,23,10分)在△ABC中,P为边AB上一点. (1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB; (2)若M为CP的中点,AC=2. ①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长; ②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.
?
图1
?

?

图2

图3

解析 (1)证明:∵∠ACP=∠B,∠A=∠A, ∴△ACP∽△ABC.?(2分)
∴?A C =?A B,∴AC2=AP·AB.?(3分)
AP AC
(2)①解法一:延长PB至点D,使BD=PB,连接CD.
?
∵M为CP中点,∴CD∥MB.∴∠D=∠PBM,?(4分) ∵∠PBM=∠ACP, ∴∠D=∠PBM=∠ACP. 由(1)得AC2=AP·AD,?(5分)

设BP=x,则22=(3-x)(3+x). 解得x=?5(舍去负根),即BP=?.?5 (7分) 解法二:取AP的中点E,连接EM.
?

∵M为CP中点,∴ME∥AC,EM=?1 AC=1.?(4分)
2
∴∠PME=∠ACP,
∵∠PBM=∠ACP,∴∠PME=∠PBM.
由(1)得EM2=EP·EB,?(5分)

设BP=x,则12=?3 ?2·?x ??? .3

?

3

? 2

x

? ??

解得x=?5(舍去负根),即BP=?.?5 (7分) ②BP=?7-1.?(10分)

26.(2016陕西,17,5分)如图,已知△ABC,∠BAC=90°.请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC 分成两个相似的三角形.(保留作图痕迹,不写作法)
?
解析 如图,直线AD即为所作.?(5分)
?

27.(2015江苏南京,20,8分)如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且?A =D ?C. D
CD BD
(1)求证:△ACD∽△CBD; (2)求∠ACB的大小.
?

解析 (1)证明:∵CD是边AB上的高, ∴∠ADC=∠CDB=90°.
又?A D =?C D,
CD BD
∴△ACD∽△CBD.?(4分) (2)∵△ACD∽△CBD, ∴∠A=∠BCD. 在△ACD中,∠ADC=90°, ∴∠A+∠ACD=90°, ∴∠BCD+∠ACD=90°, 即∠ACB=90°.?(8分)

28.(2015江苏连云港,25,10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC 3CD.过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H. (1)求BD·cos∠HBD的值; (2)若∠CBD=∠A,求AB的长.
?

解析 (1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°,
∵∠ACB=∠DCH,∴△ABC∽△DHC,∴?A C=?B .C
DC HC
∵AC=3CD,BC=3, ∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.
在Rt△BHD中,cos∠HBD=?B H ,
BD
∴BDcos∠HBD=BH=4.?(4分) (2)解法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD, ∴△ABC∽△BHD.?(6分)
∴?B C =?A B.
∵△H DABCB ∽H △DHC,
∴?A B =?A =C ?3 ,∴AB=3DH.
DH DC 1
∴?3 =?3 D,DH H=2,∴AB=6.?(10分)
解法D H二:∵∠4 CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,

∴△CDB∽△BDA.
∴?C D =?B D,BD2=CD·AD,
BD AD
∴BD2=CD·4CD=4CD2. ∴BD=2CD.?(6分) ∵△CDB∽△BDA,
∴?C D =?B C,∴?C=D?, 3
B D A B 2C D A B
∴AB=6.?(10分)

29.(2015上海,23,12分)已知:如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线 上,且OE=OB,连接DE. (1)求证:DE⊥BE; (2)如果OE⊥CD,求证:BD·CE=CD·DE.
?

证明 (1)∵OE=OB,∴∠OBE=∠OEB. ∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O, ∴OB=OD. ∴OE=OD.∴∠ODE=∠OED. 在△BDE中,∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°, ∴∠BED=90°,即DE⊥BE. (2)∵OE⊥CD,∴∠CDE+∠DEO=90°. 又∵∠CEO+∠DEO=90°,∴∠CDE=∠CEO. ∵∠OBE=∠OEB,∴∠OBE=∠CDE. ∵∠BED=∠DEC,∴△DBE∽△CDE.
∴?B D =?D E.
∴BC DD ·CEC =E CD·DE.

30.(2014陕西,20,8分)某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽 度,两人在确保无安全隐患的情况下,先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树 的底部点D所确定的直线垂直于河岸). ①小明在B点面向树的方向站好,调整帽檐,使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处,如图所 示,这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米;②小明站在原地转动180°后蹲下,并保持原 来的观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变),这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的 点E处,此时小亮测得BE=9.6米,小明的眼睛距地面的距离CB=1.2 米. 根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽BD是多少米.
?

解析 由题意知∠BAD=∠BCE.?(2分) ∵∠ABD=∠ABE=90°, ∴△BAD∽△BCE.?(4分)
∴?B D =?A B.
BE CB
∴?B D =?1 . 7 .
9 .6 1 .2
∴BD=13.6米. ∴河宽BD是13.6米.?(8分)

三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 相似与位似的有关概念
1.(2016北京西城二模,5)利用复印机的缩放功能,将原图中边长为5 cm的一个等边三角形放大 成边长为20 cm的等边三角形,则放大前后的两个三角形的面积比为?( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
答案 D 相似三角形面积比等于相似比的平方,所以面积比为???? 25=0 ???? 2 .故1 1 6 选D.

2.(2018北京海淀二模,12)如图,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是以O为位似中心的位似图形,

满足OA1=A1A,E,F,E1,F1分别是AD,BC,A1D1,B1C1的中点,则?EE=1 FF 1

.

?

答案 ?1
2

解析
=?1 .
2

因为OA1=A1A,所以?OO AA=1 ?12 ,因为E,F,E1,F1分别是AD,BC,A1D1,B1C1的中点,所以?EE=1 FF?1

O O

A1 A

考点二 相似三角形的性质与判定
1.(2017北京丰台一模,7)如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成, 利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度 3的地方(即同时使OA=3OC,OB=3OD),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段a的两个端点 上,当CD=1.8 cm 时,AB的长为?( )
?
A.7.2 cm B.5.4 cm C.3.6 cm D.0.6 cm 答案 B 由OA=3OC,OB=3OD,∠AOB=∠COD,可知△AOB∽△COD.∴AB=3CD=5.4 cm.故 选B.

2.(2018北京西城一模,11)如图,在△ABC中,DE∥AB,DE分别与AC,BC交于D,E两点.若?S =D?E C , 4

S ABC 9

AC=3,则DC=

.

?

答案 2

解析 ∵DE∥AB,∴△ABC∽△DEC,∵?S =D E?C ,4 S ABC 9

? ∴

? ??

A D

CC=???? 2 .∵94 AC=3,∴DC=2.

3.(2018北京海淀一模,11)如图,AB∥DE,若AC=4,BC=2,DC=1,则EC=

.

?

答案 2
解析 ∵AB∥DE,∴△ABC∽△EDC,∴?A C=?B ,C∴?=4?,∴2 EC=2.
EC DC EC 1

4.(2018北京朝阳一模,12)如图,AB∥CD,AB=?12 CD,则S△ABO∶S△CDO=

.

?

答案 1∶4 解析 ∵AB∥CD,∴△ABO∽△CDO,∴S△ABO∶S△CDO=1∶4.

5.(2018北京石景山一模,14)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC.若AD=6,BD

=2,DE=3,则BC=

.

?

答案 4
解析 ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴?A D=?D ,∴E ?=?6 ,∴3BC=4.
AB BC 6? 2 BC

6.(2017北京海淀一模,12)如图,AB,CD相交于O点,△AOC∽△BOD,OC∶OD=1∶2,AC=5,则BD

的长为

.

?

答案 10
解析 ∵△AOC∽△BOD, ∴AC∶BD=OC∶OD=1∶2. ∴BD=2AC=10.

7.(2017北京海淀二模,15)下图是测量玻璃管内径的示意图,点D正对“10 mm”刻度线,点A正

对“30 mm”刻度线,DE∥AB.若量得AB的长为6 mm,则内径DE的长为

mm.

?

答案 2

解析 ∵DE∥AB,

∴?D E =?C D,∴?D =E ?1 .0

AB CA

6 30

∴DE=2 mm.

8.(2017北京顺义一模,14)小刚身高180 cm,他站立在阳光下的影子长为90 cm,他把手臂竖直举

起,此时影子长为115 cm,那么小刚的手臂超出头顶

cm.

答案 50
解析 设小刚的手臂超出头顶x cm.由题意可知?1 8 =0 ?1 8,解0 ?得x x=50.
9 0 115

9.(2017北京石景山一模,13)为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度,数学综合实践活

动小组的同学们开展如下活动:某一时刻,测得身高1.6 m的小明在阳光下的影长是1.2 m,在同

一时刻测得这棵大树的影长是3.6 m,则此树的高度是

m.

答案 4.8

解析 设树的高度为x m,由题意可得?1 . 6 =?x .解得x=4.8.
1 .2 3 .6

10.(2016北京海淀二模,13)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理, 在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如 图所示,木杆EF的长为2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,则金字塔的高度BO为
m.
?

答案 134
解析 由题意可知△BOA∽△EFD,
∴?B O =?O A.
EF FD
∴?B O =?2 0 .1
23
∴BO=134 m.

11.(2016北京昌平二模,12)如图,小慧与小聪玩跷跷板,跷跷板支架EF的高为0.4米,E是AB的中

点,那么小慧能将小聪翘起的最大高度BC等于

米.

?

答案 0.8
解析 由题意可知△AEF∽△ABC,
∴?B C =?A C=2.
EF AF
∴BC=2×0.4=0.8米.

12.(2018北京东城二模,19)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AC于点D,交 AB于点E. (1)求证:△ADE∽△ABC; (2)当AC=8,BC=6时,求DE的长.
?

解析 (1)证明:∵DE垂直平分线段AB, ∴∠AED=90°, ∴∠AED=∠C, ∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC. (2)Rt△ABC中,AC=8,BC=6, ∴AB=10. ∵DE平分AB, ∴AE=5. ∵△ADE∽△ABC,

∴?D E =?A E,∴?D =E ?5 ,

BC AC

68

∴DE=?1 5 .

4

B组 2016—2018年模拟·提升题组

(时间:30分钟 分值:40分)

一、填空题(每小题3分,共24分) 1.(2018北京延庆一模,12)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,若AD=1,BD=3,

则?D E 的值为

.

BC

?

答案 ?1
4
解析 ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴?A D=?D ,∴E ?=D ?E =?1 . 1
AB BC BC 1? 3 4

2.(2018北京丰台一模,9)在某一时刻,测得身高为1.8 m的小明的影长为3 m,同时测得一建筑物

的影长为10 m,那么这个建筑物的高度为

m.

答案 6

解析 设这个建筑物的高度为x m,由题意可知?1 . 8=?x ,
3 10
解得x=6.

3.(2018北京门头沟一模,9)如图,△ABC∽△AED,AD=2,AE=3,EC=1,则BD=

.

?

答案 4
解析 由相似可知?A D =?A ,E∴?2 =?3 ,∴AB=6,∴BD=4.
AC AB 4 AB

4.(2017北京昌平二模,14)如图,阳光通过窗口AB照射到室内,在地面上留下4米宽的亮区DE,已 知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米,窗口高AB=2米,那么窗口底边离地面的高BC=
米.
?
答案 2.5
解析 ∵阳光是平行光线,∴AD∥BE,∴?B C=?C ,E∴?=?B C ,∴BC5 =2.5米.
A C C D 2 ? BC 5 ? 4

5.(2017北京通州一模,14)如图所示,某地三条互相平行的街道a,b,c与两条公路相交,有六个路

口,分别为A,B,C,D,E,F.路段EF正在封闭施工.若已知路段AB约为270.1米,路段BC约为539.8米,

路段DE约为282.0米,则封闭施工的路段EF的长约为

米.

?

答案 563.6
解析 由a∥b∥c可知?A B =?B C,
DE EF
∴?2 7 0=. 1?5.∴3 9 E. 8 F≈563.6米.
2 8 2 .0 E F

6.(2017北京平谷一模,15)如图,圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴

影(圆形).已知灯泡距离地面2.4 m,桌面距离地面0.8 m(桌面厚度不计算),若桌面的面积是1.2

m2,则地面上的阴影面积是

m2.

?

答案 2.7

解析 由题意可知,FG=0.8 m,AG=2.4 m,易知△ADE∽△ABC,∴?D =E ?A=F?=2?.4 ?,∴0 .8地面2

BC AG

2.4 3

? 上的阴影面积=1.2÷

? ??

2 3

2
??=2.7 m2.
?

?

7.(2017北京顺义一模,15)如图,一张三角形纸片ABC,其中∠C=90°,AC=6,BC=8.小静同学将纸

片折叠两次:第一次使点A落在C处,折痕记为m;然后将纸片展平进行第二次折叠,使点A落在B

处,折痕记为n.则m,n的大小关系是

.

?

答案 m>n

解析 由中位线定理可知m的长为4,由相似三角形的性质可知?n =?5 ,所以n的长为1 ?5 ,所以m>n.

68

4

?

8.(2016北京平谷一模,13)如图,在△ABC中,D是AB边上一点,连接CD.要使△ADC与△ABC相

似,应添加的条件是

.

?

答案 ∠ACD=∠ABC?或∠ADC=∠ACB或?A D =?A C,答案不唯一?
AC AB
解析 已知∠A=∠A,要想证明△ADC与△ABC相似,可以要添加一组角相等,或∠A的夹边的 比相等.答案不唯一.

二、解答题(共16分) 9.(2018北京石景山二模,19)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在BC,AB上,且∠ADE=60°. 求证:△ADC∽△DEB.
?

证明 ∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°, ∴∠ADB=∠1+∠C=∠1+60°, ∵∠ADE=60°, ∴∠ADB=∠2+60°, ∴∠1=∠2, ∴△ADC∽△DEB.
?

10.(2016北京房山二模,20)已知:如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB,AC上,且∠AED= ∠ABC,DE=3,BC=5,AC=12.求AD的长.
?

解析 ∵∠AED=∠ABC,∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC.
∴?A D =?D E,
AC BC
∵DE=3,BC=5,AC=12,
∴?A D =?3 .
12 5
∴AD=?3 6 .
5

11.(2016北京怀柔二模,28)在△ABC中,∠ABC=90°,D为△ABC内一动点,BD=a,CD=b(其中a,b

为常数,且a<b).将△CDB沿CB翻折,得到△CEB.连接AE.

(1)请在图1中补全图形;

(2)若∠ACB=α,AE⊥CE,则∠AEB=

;

(3)在(2)的条件下,用含a,b,α的式子表示AE的长.

?

解析 (1)如图.
?
(2)∠AEB=α. (3)∵AE⊥CE,∴∠AEC=90°, ∵∠AEB=α, ∴∠BEC=90°+α. 过点B作BF⊥BE,交AE于点F,

?
则有∠FBE=90°, 即∠EBC+∠CBF=90°. ∵∠ABC=∠FBA+∠CBF=90°, ∴∠EBC=∠FBA. ∵∠BFA=∠AEB+∠EBF=90°+α, ∴∠BEC=∠BFA, ∴△EBC∽△FBA.
∴?B A =?B F=?F =A tan α.
BC BE EC



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