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冀教版数学九上25.2《平行线分线段成比例》ppt课件1_图文

l1 l2 l3

平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例 如图

A

D
l1

已知l1∥l2∥l3 AB DE 求证 ? BC EF


AB DE ? AC DF
BC EF ? AC DF

B

E
l2

C

F

l3

定理的证明过A点作AN ∥ DF,交l2于M,交l3
于N 点,连接 BN 、CM(如图(1-2) ∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF AB S ? 在△ACN中,有

A

D

ABM BC S BCM AM S ABM ? MN S BMN

L1

B

M

E

L2

C

N

F

∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN AB AM ∴ BC ? MN AB BE ? 亦即 BC EF

L3

平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例

如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢?
A D L1

? ? ?

?

?

?

?

“对应”是数学的基本概念,】 图1-1中, 在l1∥l2∥l3的条件下,可分别推 出如下结论之一: (1)简称“上比下”等于“上 比下” (2)简称“上比全”等于“上 比全” (3 简称“下比下”等于“下比 下” 把这个定理运用于三角形中就得 到它的重要推论。

B

M

E

L2

C

N

F

L3

因为 l1∥l2∥l3
所以
AB BE ? BC EF

a A B

b

D
E

L1 L2 F L3

C

AB BE ? BC EF
基本图形:“A”字形

a A B

b

D
(E)

L1 L2 L3

C

F

AB BE ? BC EF
基本图形:“x”字形

b B C D

a A E F G L1 L2 L3

AB BE ? BC EF

平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.

AB BE ? BC EF
上 下 全 ? ? 上 下 全

平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条 直线, 所得的线段对应成比例. 上 下 全 M ? ? A D 上 下 全 A (D) B E 平移 C F 平移 B E C F A D A D 平移 B NE (E) B C F F C

!

注意:应用平行线分线段成比例定理得到的 比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关!

推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的线段对应成比例. l l? l? l A D l E l
1 1

D B

E C

l2

A B

l2

l3

C

l3

a

b

A
B

D
E

L1 L2 F L3

C 平行线等分线段定理: 两条直线被三条平行线所 截,如果在一直线上所截 得的线段相等,那么在另 一直线上所截得的线段也 相等。

AB BE ? BC EF

平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系?
A B D E

AB 当 ?1 BC
F

A

D E

B

C

AB 当 ?1 BC

C

F

结论:后者是前者的一种特殊情况!

用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线 截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形 的三边对应成比例. 已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E A AD AE DE 求证: ? ? AB AC BC E D AD AE ? DE//BC AB AC C B F AE BF ? EF//AB AD AE DE AC BC ? ? AB AC BC DE=BF

例1 已知:如图 EF=4。求BC。
B A D E

l1 // l2 // l3 ,AB=3 ,DE=2 ,

C

F

l1 l2

l3

练习:已知:如图, l // l 1 2 EF=c. 求DE。
A B C D E F

// l3

,AB= a, BC= b,

l1 l2 l3

例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 ? ? ? ? AB AC 6 3

D
B F

E
C

∵DF//AC
AD CF ? ? AB CB
2 CF 16 ? ? , 即CF ? 3 8 3

16 8 ? BF ? 8 - ? 3 3

例3 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项. 分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论

A F E C

证明 在?ABC中,? DE//BC , AB ? AC
AD AE AD AC 在?ADC中,? EF//CD, ? AF AE AB AD ? AD AF

D B

∴AD2=AB?AF,即AD是AB和AF的比例中项

AB BC AC 已知:如图, l1 // l2 // l3 , 求证: DE ? EF ?。DF 证明:因为 l1 // l2 // l3 AB DE (平行线分线段成 A D ? BC EF 比例定理)。 AB BC B E ? DE EF F C BC EF (平行线分线段成 因为 ? AC DF 比例定理)。 BC AC ? 上 下 全 EF DF



练习

? ?

l1 l2 l3

?

?

AB BC AC ? ? DE EF DF





?



?



已知:如图, l1 // l2 // l3 求AB。 A B C D E F

,AC=8,DE=2,EF=3, 方法一 解:因为 l1 // l2 // l3

l1
l2

? ?

AB DE (平行线分线段 ? BC EF 成比例定理)。

设AB=X,则BC=8—X l3 X 2 16 ? ? X? 8-X 3 5 16 即:AB ? 5 方法二 解:因为 l1 // l2 // l3 ? AB ? DE (平行线分线段成 AC DF 比例定理)。 16 AB 2 即: ? AB ? ? 5 8 2?3

作业
1、已知AB、CD为梯形ABCD的底,对角线AC、BD的 交点为O,且AB=8,CD=6,BD=15,求OB、OD的长。

2、如图,在△ABC中,作平行于BC的直线交AB于D,
交AC于E,如果BE和CD相交于O,AO和DE相交于F, AO的延长线和BC交于G。
BG DF 证明:(1) GC ? FE

(2)BG=GC

3、如图,梯形ABCD中,点E、F分别在 AB、CD上,EF∥AD,假设EF作上下平 行移动,
AE 1 (1)如果 ? , 求证 :3EF ? BC ? 2 AD EB 2 AE 2 ( 2)如果 ? , 求证 :5 EF ? 2 BC ? 3 AD EB 3 AE m (3)请你探究一般结论 , 即如果 ? , 那么 EB n 可以得到什么结论 。

一、平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的线段对应 成比例. (关键要能熟练地找出对应线段) 二、要熟悉该定理的几种基本图形

小结

A B C

D E F C

D B

A E F

a A B

b

D
E

L1 L2 F L3

C

AB BE ? BC EF
基本图形:“A”字形

a A B

b

D
(E)

L1 L2 L3

C

F

AB BE ? BC EF
基本图形:“x”字形




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