l1 l2 l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例 如图
A
D
l1
已知l1∥l2∥l3 AB DE 求证 ? BC EF
或
或
AB DE ? AC DF
BC EF ? AC DF
B
E
l2
C
F
l3
定理的证明过A点作AN ∥ DF，交l2于M，交l3
于N 点，连接 BN 、CM（如图(1-2） ∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF AB S ? 在△ACN中，有
A
D
ABM BC S BCM AM S ABM ? MN S BMN
L1
B
M
E
L2
C
N
F
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN AB AM ∴ BC ? MN AB BE ? 亦即 BC EF
L3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例
如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？
A D L1
? ? ?
?
?
?
?
“对应”是数学的基本概念，】 图1-1中， 在l1∥l2∥l3的条件下，可分别推 出如下结论之一： （1）简称“上比下”等于“上 比下” （2）简称“上比全”等于“上 比全” （3 简称“下比下”等于“下比 下” 把这个定理运用于三角形中就得 到它的重要推论。
B
M
E
L2
C
N
F
L3
因为 l1∥l2∥l3
所以
AB BE ? BC EF
a A B
b
D
E
L1 L2 F L3
C
AB BE ? BC EF
基本图形：“A”字形
a A B
b
D
（E）
L1 L2 L3
C
F
AB BE ? BC EF
基本图形：“x”字形
b B C D
a A E F G L1 L2 L3
AB BE ? BC EF
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.
AB BE ? BC EF
上 下 全 ? ? 上 下 全
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条 直线, 所得的线段对应成比例. 上 下 全 M ? ? A D 上 下 全 A (D) B E 平移 C F 平移 B E C F A D A D 平移 B NE (E) B C F F C
!
注意:应用平行线分线段成比例定理得到的 比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关!
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的线段对应成比例. l l? l? l A D l E l
1 1
D B
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
a
b
A
B
D
E
L1 L2 F L3
C 平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行线所 截，如果在一直线上所截 得的线段相等，那么在另 一直线上所截得的线段也 相等。
AB BE ? BC EF
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
A B D E
AB 当 ?1 BC
F
A
D E
B
C
AB 当 ?1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线 截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形 的三边对应成比例. 已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E A AD AE DE 求证： ? ? AB AC BC E D AD AE ? DE//BC AB AC C B F AE BF ? EF//AB AD AE DE AC BC ? ? AB AC BC DE=BF
例1 已知：如图 EF=4。求BC。
B A D E
l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，
C
F
l1 l2
l3
练习：已知：如图， l // l 1 2 EF=c. 求DE。
A B C D E F
// l3
，AB= a, BC= b,
l1 l2 l3
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 ? ? ? ? AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF ? ? AB CB
2 CF 16 ? ? , 即CF ? 3 8 3
16 8 ? BF ? 8 - ? 3 3
例3 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项. 分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论
A F E C
证明 在?ABC中,? DE//BC , AB ? AC
AD AE AD AC 在?ADC中,? EF//CD, ? AF AE AB AD ? AD AF
D B
∴AD2=AB?AF,即AD是AB和AF的比例中项
AB BC AC 已知：如图， l1 // l2 // l3 ， 求证： DE ? EF ?。DF 证明：因为 l1 // l2 // l3 AB DE （平行线分线段成 A D ? BC EF 比例定理）。 AB BC B E ? DE EF F C BC EF （平行线分线段成 因为 ? AC DF 比例定理）。 BC AC ? 上 下 全 EF DF
三
练习
? ?
l1 l2 l3
?
?
AB BC AC ? ? DE EF DF
！
上
?
下
?
全
已知：如图， l1 // l2 // l3 求AB。 A B C D E F
，AC=8，DE=2，EF=3， 方法一 解：因为 l1 // l2 // l3
l1
l2
? ?
AB DE （平行线分线段 ? BC EF 成比例定理）。
设AB=X，则BC=8—X l3 X 2 16 ? ? X? 8-X 3 5 16 即：AB ? 5 方法二 解：因为 l1 // l2 // l3 ? AB ? DE （平行线分线段成 AC DF 比例定理）。 16 AB 2 即： ? AB ? ? 5 8 2?3
作业
1、已知AB、CD为梯形ABCD的底，对角线AC、BD的 交点为O，且AB=8，CD=6,BD=15，求OB、OD的长。
2、如图，在△ABC中，作平行于BC的直线交AB于D，
交AC于E，如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F， AO的延长线和BC交于G。
BG DF 证明：（1） GC ? FE
（2）BG=GC
3、如图，梯形ABCD中，点E、F分别在 AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平 行移动，
AE 1 (1)如果 ? ， 求证 ：3EF ? BC ? 2 AD EB 2 AE 2 ( 2)如果 ? ， 求证 ：5 EF ? 2 BC ? 3 AD EB 3 AE m (3)请你探究一般结论 ， 即如果 ? ， 那么 EB n 可以得到什么结论 。
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的线段对应 成比例. （关键要能熟练地找出对应线段） 二、要熟悉该定理的几种基本图形
小结
A B C
D E F C
D B
A E F
a A B
b
D
E
L1 L2 F L3
C
AB BE ? BC EF
基本图形：“A”字形
a A B
b
D
（E）
L1 L2 L3
C
F
AB BE ? BC EF
基本图形：“x”字形