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北师大版初一(下)数学第14讲:一元一次方程(教师版)(著名机构讲义)

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一元一次方程

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1、 通过处理实际问题,让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步; 2、 初步学会如何寻找问题中的相等关系,列出方程,了解方程的概念; 3、 培养学生获取信息,分析问题,处理问题的能力。

1. 方程定义 (1) 定义:____________叫做方程。 (2) 第一种包含两个要素:①必须是等式;②必须含有未知数;两者缺一不可。 (3) 易错点:①方程一定是______,但____不一定是方程;②方程中的未知数可以用 x
表示,也可以用其他字幕表示;③方程中可含有多个未知数。 2.一元一次方程 (1)定义:只含有____未知数,未知数的次数都是__,等号两边都是整式的方程叫做一元
一次方程。 (2)一元一次方程的条件:①等号两边都是整式;②是方程:③只含有一个未知数;④未
知数的次数都是 1(化简后)。 3.列一元一次方程 (1)列一元一次方程的一般步骤:
①设出适当的未知数; ②用含有未知数的式子表示题中的________; ③根据实际问题中的等量关系列出方程。 (2)列一元一次方程的基本流程:

实际问题

一元一次方程

(3) 设未知数的方法:①题中问什么设什么(设直接未知数);②找的________需要什么

设什么(设间接未知数)。 4.方程的解和解方程 (1)使方程中等号左右两边相等的未知数的值,就是这个方程的解。 (2)求方程的解的过程叫做______。 (3)理解要点:①方程的解和解方程是两个不同的概念,方程的解是一个____,是具体数
值,而解方程是一个________;②要检验一个数是不是一个方程的解只需将这个数代 入方程的左、右两边,分别计算其结果,检验两边的值是否相等。 (4)方程的解与解方程间的关系:方程的解是一个数(或者说一个值),而解方程有“动” 的意思,是一个解题过程;解方程的目的是求方程的解,方程的解是解方程的结果。 (5)易错点:①方程中的未知数不一定只有一个;②方程的解可能________,也可能无解; ③检验方程的解,切不可将数值直接代入原方程,要将数值分别代入原方程的左右两边,分 别计算。 5.等式的性质 (1)定义:用等号把两个代数式连接而成的式子叫等式。 (2)种类:①恒等式,等式中的字母可以为任何数;②条件等式;等式中的字母取值为特 定数。 (3)性质:①等式的两边同时加或减同一个______式子,等式仍成立;②等式的两边同时 乘或除同一个______式子,等式仍成立。 6.解一元一次方程的方法 (1)合并同类项与系数化为 1:①合并同类项,将一元一次方程的未知数的项与常数项分别 合并,使方程转化为 ax=b(a≠0)的形式。②系数化为 1,在方程的两边同时除以未知 数的系数,使方程变为 x=a/b(a≠0)的形式,变形的依据是等式的性质 2。 (2)系数化为 1 时,常出现以下几个错误:①颠倒除数与被除数的位置;②忘记未知数系 数的符号;③当未知数的系数含有____时,不考虑系数是不是______的情况。
参考答案: 1.含有未知数的等式 等式 等式 2. 一个 1 3. 数量关系 等量关系 4. 解方程 结果 变形过程 不止一个 5. 不为 0 不为 0 6. 字母 等于 0

1. 方程的定义

【例 1】(2014 甘肃宁县第五中学期末)在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1; 在①2x+3y-1;②

1+7=15-8+1;③1-1/2x=x+1④x+2y=3 中方程有( )个.

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】①不是方程,因为它不是等式;②不是方程,它不含有未知数;③是含有未知数 x

的方程;④是含有未知数 x、y 的方程

答案:B

练 1. 下面的式子哪些是等式?哪些是方程? 75—X=20 77—27=50 13+x>23 x—0=89 10x

64+3x=100

【解析】方程有:75-X=20 x-0=89 64+3x=100

等式(包含方程)有: 75-X=20 x-0=89 64+3x=100 77-27=50

2.一元一次方程 【例 2】(2014 甘肃宁县第五中学期末)下列方程中,是一元一次方程的是( )

A.x+y=1

B.x2﹣x=1

C. x +1=3x 2

D. 2 +1=3 x

【解析】一元一次方程必须包含:①等号两边都是整式;②是方程:③只含有一个未知数;

④未知数的次数都是 1(化简后)。

答案:C

【例 3】已知下列方程:①x-2= 3 ;②0.3x=1;③ x =5x-1;④x2-4x=3;⑤x=0;⑥x+2y=0.其中一

x

2

元一次方程的个数是( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【解析】方程①的分母中含未知数 x,所以它不是一元一次方程;方程④中未知数 x 的最高次

数是 2 而不是 1,所以它也不是一元一次方程;方程⑥中含有两个未知数,所以也不是一元一

次方程;方程②③⑤是一元一次方程,它们都同时满足一元一次方程的三个特点.

答案::B

练2.已知下列方程:(1)3x-2=6 (2)x-1= (3)2+1.5x=8 (4)3x2-4x=10 (5)x=0

(6)5x-6y=8 (7)=3.其中是一元一次方程的是

(填序号)。

【解析】考查一元一次方程的定义:

①等号两边都是整式;

②是方程:

③只含有一个未知数;

④未知数的次数都是 1(化简后)。

答案:(1) (3) (5)

练 3.在方程 4x-y=0,x+1/x-2=0,-2x=1,x2-2x+7=0 中一元一次方程的个数为( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【解析】一元一次方程的定义:①等号两边都是整式;②是方程:③只含有一个未知数;④

未知数的次数都是 1(化简后)。4x-y=0 含有两个未知数; x 1 =0 左边不是整式;-2x=1 是 x2
一元一次方程;x2-2x+7=0 化简后没有未知数。

答案:A

3.列一元一次方程

【例4】 根据下列问题,设未知数并列出方程: (1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少? (2)一台计算机已使用1 700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用
时间达到规定的检修时间2450小时.

【解析】 (1)设正方形的边长为xcm,列方程得4x=24. (2)设x月后这台计算机的使用时间已达到2 450小时,那么在x月里这台计算机使用了150x小时, 列方程得1 700+150x=2 450.
总结:同学们在列方程时,一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义,体会列方程所依 据的等量关系. 练4. 在参加2004年雅典奥运会的中国代表队中,羽毛球运动员有18人,比跳水运动员的2倍少 4人,参加奥运会跳水的运动员有多少人? 【解析】如果设参加奥运会的跳水运动员有 x 人,则根据题意可列出方程

2x-4=18

练5. 王玲今年12岁,她爸爸36岁,问再过几年,她爸爸的年龄是她年龄的2倍? 【解析】

如果设再过 x 年,则 x 年后王玲的年龄是 12+x 岁

则: x 年后爸爸的年龄是 36+x 岁

依题意列方程

2(12+x)=36+x

4.解方程去分母

【例 5】 解方程 x/2-1=(x-1)/3 时,去分母正确的是( )

A.3x-3=2x-2

B.3x-6=2x-2

C.3x-6=2x-1

D.3x-3=2x-1

【解析】去分母时等号两边同时乘以分母的最小公倍数,是每一项都要乘。

答案:B

练 6.方程(2x-1)/3 =(x+2)/2 +1 去分母后为________。

【解析】等式两边分母最小公倍数为 6,所以两边同时乘以 6,化简为

2(2x-1)=3(x+2)+6

4x-2=3x+6+6

注意:等号右边 1 也要乘 6。

5.解方程与等式的性质

【例 6】方程 x-2=2-x 的解是( )

A.x=1

B.x=-1

C.x=2

D.x=0

【解析】解方程移项要变号,2x=4 所以 x=2

答案:C

练 7. 如果等式 ax=bc 成立,则下列等式成立的是( )

A.abx=abc ; B.x=bc/a; C.b-ax=a-bc D.b+ax=b+bc

【解析】①等式的两边同时加或减同一个不为 0 式子,等式仍成立;②等式的两边同时乘或

除同一个不为 0 式子,等式仍成立。

答案:D

【例 7】增加 2 倍的值比 扩大 5 倍少 3,列方程得(D )

A.2x=5x+3

B.2x=5x-3

C.3x=5x+3

D.3x=5x-3

【解析】设这个数为 x,增加 2 倍为实际为原来 3 被即 3x; 扩大 5 倍少 3 为 5x-3。

答案:D

总结:易错选 B,增加 n 倍实在原来基础上增加 n 倍,变为原来(n+1)倍。

练 8. 方程 3a/10+(2x+4)/2=4(x-1)的解为 x=3,则 a 的值为( )

A.2

B.22

C.10

D.-2

【解析】x=3 是方程的解,直接把 x=3 代入方程解关于 a 的一元一次方程,由此可得 a=10

答案:C

练 9. 解方程:2x+1=7

【解析】此题直接通过移项,合并同类项,系数化为 1 可求解. 答案:解:原方程可化为:2x=7﹣1 合并得:2x=6 系数化为 1 得:x=3

总结:解一元一次方程,一般要通过去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化

为 1 等步骤,把一个一元一次方程“转化”成 x=a 的形式.

练 10.

【解析】这是一个带分母的方程,所以要先去分母,再去括号,最后移项,化系数为 1, 从而得到方程的解.
答案:左右同乘 12 可得:3[2x﹣(x﹣1)]=8(x﹣1), 化简可得:3x+3=8x﹣8, 移项可得:5x=11,
解可得 x= .

故原方程的解为 x= .

总结:若是分式方程,先同分母,转化为整式方程后,再移项化简,解方程可得答案.

练 11. 解方程:



【解析】(1)先去括号,然后再移项、合并同类型,最后化系数为 1,得出方程的解; (2)题的方程中含有分数系数,应先对各式进行化简、整理,然后再按(1)的步骤求解. 答案:解:去分母得:5(x﹣1)﹣2(x+1)=2,
去括号得:5x﹣5﹣2x﹣2=2, 移项得:5x﹣2x=2+5+2, 合并得:3x=9, 系数化 1 得:x=3. 总结:(1)本题易在去分母、去括号和移项中出现错误,还可能会在解题前产生害怕心 理.因为看到小数、分数比较多,学生往往不知如何寻找公分母,怎样合并同类项,怎样化 简,所以我们要教会学生分开进行,从而达到分解难点的效果. (2)本题的另外一个重点是教会学生对于分数的分子、分母同时扩大或缩小若干倍,值不 变.这一性质在今后常会用到.

练 12. 解方程:



【解析】此题两边都含有分数,分母不相同,如果直接通分,有一定的难度,但将方程左右 同时乘以公分母 6,难度就会降低. 答案:解:去分母得:3(2﹣x)﹣18=2x﹣(2x+3),

去括号得:6﹣3x﹣18=﹣3, 移项合并得:﹣3x=9, ∴x=﹣3 总结:本题易在去分母和移项中出现错误,学生往往不知如何寻找公分母,怎样合并同类项, 怎样化简,所以我们要教会学生分开进行,从而达到分解难点的效果.

1. (2014 赤峰初一其中考试)下列各式中,哪些是代数式,哪些是等式,哪些是方程?

(1) 5 7 2

(2) 2 x 5 6 x 3

(3) a b c

(4) 3x 2 y 5

(5) 7 2a 5 4

(6) 2x2 x 1

2. 检验下列各数是不是方程 2x 7 5x 1 的解:

(1) x 2

(2) x 8 3

3.已知 a≠1,则关于 的方程(a-1)x=1-a 的解是( )

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.无解

4.对∣x-2∣+3=4,下列说法正确的是( )

A.不是方程;

B.是方程,其解为 1;

C.是方程,其解为 3;

D.是方程,其解为 1、3。

5.A 厂库存钢材为 100 吨,每月用去 15 吨;B 厂库存钢材 82 吨,每月用去 9 吨。若经过 x

个月后,两厂库存钢材相等,则 x =( )

A.3

B.5

C.2

D.4

6.(2015 吉安初一月考)某种产,商品的标价为 120 元,若以九折降价出售,相对于进货

价仍获利 20%,该商品的进货价为( )。

A.80 元

B.85 元

C.90 元

D.95 元

7. 下列方程中,是一元一次方程的是()

A.x+y=1

B.x2﹣x=1

C.x +1=3x 2

8. 若代数式 4x﹣5 与 2x 1 的值相等,则 x 的值是( ) 2

A.1

B. 3

2

C. 2 3

9. x 2 是 3x 2a 4的解,则 a 的值为( )

A. 1

B.1

C. 5

10.方程 2x-1=3x+2 的解为( )

A.x=1

B.x=-1

C.x=3

D.2 +1=3 x
D.2
D. 5
D.x=-3

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11.若 x y 8 ,则用含 x 的代数式表示 y 为



12.(2015 北京 50 中初一月考)把方程 2x+y=3 改写成用含 x 的式子表示 y 的形式,得

y=



13.某中学的学生自己动手整修操场,如果让初二学生单独工作,需要 6 小时完成;如果让

初三学生单独工作,需要 4 小时完成.现在由初二、初三学生一起工作 x 小时,完成了

任务.根据题意,可列方程为



14.已知 x 1,y 8 是方程 3mx y 1的解,则 m 的值为

15.已知 x=6 是关于 x 的方程 x m 1 的解,则 m 的值是



53

16.已知 x 2 是关于 x 的方程 a(x 1) 1 a x 的解,则 a 的值是



2

17.(2015 淮安初一月考)代数式-2a+1 与 1+4a 互为相反数,则 a=

18.如果 - 3x2a+1+6=0 是一元一次方程,那么 a=

,方程的解为 x=

19.若 x= -4 是方程 ax2-6x-8=0 的一个解,则 a=

20.如果 5a2b-3(2m+1)与-3a2b2(m+3)是同类项,则 m=

21.已知 3x+2=0,则 4x+3= __________

22.编写一个解是 X= -1 的一元一次方程为

23.要锻造直径为 16 厘米、高为 5 厘米的圆柱形毛坯,设需截取边长为 6 厘米的的方钢 x

厘米,可得方程为____________

24.解方程

(1)解方程:4(2-x)-3(x+1)=6

(2)解方程: x 3 1 3 2x

6

4

参考答案

当堂检测

1.答案: 代数式:(3)(4) 等式:(1)(2)(5)(6)

方程:(2)(5)(6)

2. (1)把 x 2 分别代入方程的左、右两边,得

左边 2( 2) 7 4 7 11, 右边 5( 2)1 10 1 9

∵左边 右边,

∴ x 2 不是方程 2x 7 5x 1 的解。

(2)把 x 8 分别代入方程的左、右两边,得 3

左边 2 ( 8) 7 16 7 37 ,

3

3

3

右边 5( 8)1 40 1 37

3

3

3

∵左边 右边,

∴ x 8 是方程 2x 7 5x 1 的解。 3
3.C 4.D 5.A 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D

家庭作业

11.y=8-x

12.y=3-2x

13.(1/6+1/4)x=1

14.-3

15.3/5

16.4/5

17.-1

18.0 2

19.-1

20.-9/8

21.1/3

22.2x=x-1

23. (16)2 5 6 6x 2
24.(1)-1/7 (2)3/4

课程顾问签字:

教学主管签字:




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