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2020版高三文科数学第一轮复习_人教版 _第二篇函数_导数及其应用第二篇 第4节_图文

第二篇 函数、导数及其应用 (必修1、选修1-2)

整合基础稳固根基

突破考点提升技能

致误辨析纠正易错

课时作业

第 4 节 指数函数

最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的 运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊 点,会画底数为 2,3,10,12,13的指数函数的图象. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.

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第4节 指数函数

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【教材导读】 1.(n a)n=a(n∈N*,且 n>1)一定成立吗?n an=a(n∈N*,且 n >1)呢? 指示:(n a)n=a 一定成立,而n an=a 未必成立,当 n 为奇数时, n an=a;当 n 为偶数时,n an=|a|=?????a-(aa(≥a0<)0, ).

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2.如图是指数函数

(1)y=ax,(2)y=bx, (3)y=cx,(4)y=dx 的图象,底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关 系如何?你能得到什么规律?

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提示:图中直线 x=1 与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底 数的值,即 c1>d1>1>a1>b1,所以 c>d>1>a>b.
一般规律:在 y 轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.

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3.指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在其定义域上单调性如何?
提示:当 0<a<1 时,y=ax 在(0,+∞)上单调递减;当 a>1 时,y=ax 在(0,+∞)上单调递增.

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1.根式 如果 xn=a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其
概念 中 n>1,n∈N*

n 次方

当 n 是奇数时,a 的 n 次方根 x=n a

根 性质 当 n 是偶数时,正数 a 的 n 次方根 x=±n a (a>0);负数的偶次方根没有意义

0 的任何次方根都是 0,记作n 0=0

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概念 式子n a叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫 做被开方数

根式

当 n 为任意正整数时,(n a)n=a

性质 当 n 为奇数时,n an=a

当 n 为偶数时,n an=|a|=?????a-aaa

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2.有理数指数幂

正分数指数幂:amn =n am

概念

负分数指数幂:a-mn =a1mn =n

1 am

(a>0,m, n∈N*,且 n>1)

0 的正分数指数幂等于 0;0 的负

分数指数幂没有意义

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运算 性质

ar·as=ar+s (ar)s=ars (ab)r=arbr r,s∈Q

a>0,b>0,

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3.无理数指数幂 无理数指数幂 aα (a>0,α 是无理数)是一个确定的实数.有理数 指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

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4.指数函数的概念、图象与性质

m

y=ax(a>0,且 a≠1)

0<a<1

a>1

图象

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在 x 轴上方过定点(0,1)

图象特征 当 x 逐渐增大时, 当 x 逐渐增大时,图象

图象逐渐下降

逐渐上升

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定义域

R

值域

(0,+∞)

性 单调性

递减

递增

质 函数变

当 x=0 时,y=1

当 x<0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1;当 化规律

当 x>0 时,0<y<1 x>0 时,y>1

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1.(2017 烟台模拟)设 x>0,且 1<bx<ax,则下列不等式正确的

是( ) (A)0<b<a<1

(B)0<a<b<1

(C)1<b<a

(D)1<a<b

答案:C

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2.函数 f(x)=ax-1(a>0 且 a≠1)的图象一定过定点( )

(A)(0,1)

(B)(1,1)

(C)(1,0)

(D)(0,0)

答案:B

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3.若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan a6π的值为(

)

(A)0

(B)

3 3

(C)1

(D) 3

答案:D

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4.若 3a=0.618,a∈[k,k+1],k∈Z,则 k=________. 解析:∵3-1=13,30=1,13<0.618<1,∴k=-1. 答案:-1

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5.若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围 是________.
解析:曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可知: 如果|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[- 1,1].

答案:[-1,1]
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【反思归纳】 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数 是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运 用指数幂的运算性质来解答. 提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分 母又含有负指数.

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考点二 指数函数的图象及应用

(1)已知函数 y=2|x+a|的图象关于 y 轴对称,则实数 a 的

值是________.

(2)函数 y=x|xa|x(a>1)的图象大致是(

)

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(3)函数 y=ax-b(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,

则 ab 的取值范围为( )

(A)(1,+∞)

(B)(0,+∞)

(C)(0,1)

(D)无法确定

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(1)D 解析:解法一 由于函数图像关于 y 轴对称,所以函数为 偶函数,所以 2|x+a|=2|-x+a|.根据指数函数的单调性可知,|x+a|=|-x +a|,只有当 a=0 时,等式恒成立.故填 0.
解法二 根据函数图像的变化规律可知,函数 y=2|x+a|由函数 y =2x 进行变换得到,先将函数 y=2x 关于 y 轴进行翻折,得到函数 y =2|x|,此时函数关于 y 轴对称,再将图像向左平移 a 个单位得到 y =2|x+a|,此时函数关于 x=-a 对称,根据题目条件可知对称轴为 y 轴,故 x=-a=0,即 a=0.

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(2)B 解析:y=?????a-x,axx,>x0<,0,因为 a>1,依据指数函数的图像 特征可知选 B.
(3)C 解析:因为函数经过第二、三、四象限,所以函数单调递 减且图像与 y 轴的交点在 y 轴负半轴上.令 x=0,则 y=a0-b=1- b.由题意得?????01< -ab< <10, ,解得?????0b< >a1< ,1,故 ab∈(0,1).

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【反思归纳】 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 (1)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零 点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得 到其图象,然后数形结合使问题得解.

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(2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函 数图象数形结合求解. 提醒:应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指 数型函数的性质,要注意画出的图象的准确性,否则数形结合得到 的可能为错误结论.

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【即时训练】 已知函数 y=???13???|x+1|. (1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)指出当 x 取什么值时有最值.

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解析:(1)由函数解析式可得 y=???13???|x+1|=????????313x???+x1+,1x,<x-≥1-. 1, 其图像由两部分组成:一部分是:y=???13???x(x≥0)向左平―移―1→个单位 y=???13???x+1(x≥-1);另一部分是:y=3x(x<0)向左平―移―1→个单位y=3x +1(x<-1).

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如图所示.

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(2)由图像得函数在(-∞,-1)上单调递增,在[-1,+∞)上单 调递减.
(3)当 x=-1 时函数 y 取得最大值,ymax=1.

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考点三 指数函数的性质及应用 考查角度 1:比较指数式的大小.
比较下列各组数的大小: (1)40.9,80.48,???12???-1.5;(2)0.80.5 与 0.90.4.

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解析:(1)∵40.9=21.8,80.48=21.44. ???12???-1.5=21.5,又∵y=2x 是增函数, ∴21.8>21.5>21.44,故 40.9>???12???-1.5>80.48. (2)∵0.80.5<0.90.5,而 0.90.5<0.90.4,∴0.80.5<0.90.4.

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【反思归纳】 比较指数型两个数的大小一般需两看,一看底数 是否相同,二看指数是否相同,若底数相同则利用指数函数的单调 性,若底数不同指数相同,则利用指数函数图象或利用幂函数性 质.若底数不同,指数也不同,则利用中间量进行过渡.

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考查角度 2:简单的指数方程或不等式的应用.

设函数 f(x)=???(12)x-7,x<0,若 f(a)<1,则实数 a ?? x,x≥0,

的取值范围是( )

(A)(-∞,-3)

(B)(1,+∞)

(C)(-3,1)

(D)(-∞,-3)∪(1,+∞)

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解析:当 a<0 时,不等式 f(a)<1 可化为(12)a-7<1,即(12)a<8, 即(12)a<(12)-3,因为 0<12<1,所以 a>-3,此时-3<a<0;当 a≥0 时,不等式 f(a)<1 可化为 a<1,所以 0≤a<1.故 a 的取值范围是(- 3,1).故选 C.

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【反思归纳】 简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类 问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数 a 的取值范围,并 在必要时进行分类讨论.

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考查角度 3:求解指数函数中参数的取值范围. 已知函数 f(x)=aaxx- +11(a>0 且 a≠1).
①求 f(x)的定义域和值域. ②讨论 f(x)的奇偶性. ③讨论 f(x)的单调性.

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解析:①f(x)的定义域是 R,令 y=aaxx- +11,得 ax=-yy+ -11. 因为 ax>0,所以-yy+ -11>0,解得-1<y<1. 所以 f(x)的值域为{y|-1<y<1}. ②因为 f(-x)=aa- -xx- +11=11- +aaxx=-f(x),且定义域关于原点对称, 所以 f(x)是奇函数.

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③f(x)=(axa+x+1)1 -2=1-ax+2 1. 设 x1,x2 是 R 上任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=ax22+1 -ax12+1=(ax21(+a1x)1-(aaxx22)+1). 因为 x1<x2,所以当 a>1 时,ax2>ax1>0,从而 ax2+1>0,ax1 +1>0,ax1-ax2<0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),f(x)为 R 上的增函数,

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当 0<a<1 时,ax1>ax2>0, 从而 ax1+1>0,ax2+1>0,ax1-ax2>0,所以 f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),f(x)为 R 上的减函数.

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【反思归纳】 指数型函数中参数的取值范围问题.在解决涉 及指数函数的单调性或最值问题时,应注意对底数 a 的分类讨论.

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不考虑定义域而致错 求函数 y=4 4-x2-2 4-x2+2+3 的值域.
错解:函数可化为 y=(2 4-x2)2-4(2 4-x2)+3, 令 t=2 4-x2,则 y=t2-4t+3=(t-2)2-1. ∴y≥-1, 即所求函数的值域为[-1,+∞).

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正解:由 4-x2≥0 得函数定义域为[-2,2]. 令 t=2 4-x2,因为 0≤4-x2≤4, 0≤ 4-x2≤2,故 t∈[1,4], ∴y=t2-4t+3=(t-2)2-1, 它在[1,2]上递减,在[2,4]上递增, ∴ymin=-1,ymax=3, 故所求函数的值域为[-1,3].

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易错提醒:①忘求定义域,②换元后不考虑新元的范围,最终 导致值域求错.
点评:求函数值域应先确定函数定义域,用换元法求解时,换 元后必须确定新元的范围.

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