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2019版三维方案数学同步人教A版必修2第四章 4.2 4.2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用

直线、圆的位置关系 4.2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用 预习课本 P129~132,思考并完成以下问题 1.圆与圆的位置关系有哪几种?它们分别怎样去判断? 2.两圆相交,怎样求公共弦所在的直线方程? 3.两圆相交,圆心连线与两圆的公共弦有什么关系? [新知初探] 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为外离、外切、相交、内切、内含. 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆连心线的长为 d,则两圆的位置关系的判 断方法如下: 位置关系 图示 d与r1,r2的关 系 外离 外切 相交 内切 内含 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d <r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| (2)代数法:设两圆的一般方程为 2 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D1 +E2 1-4F1>0), 2 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2 +E2 2-4F2>0), ?x2+y2+D1x+E1y+F1=0, ? 联立方程得? 2 2 ? ?x +y +D2x+E2y+F2=0, 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 2组 2个 相交 1组 1个 内切或外切 0组 0个 外离或内含 [点睛] (1)圆和圆相离,两圆无公共点,它包括外离和内含; (2)圆和圆相交,两圆有两个公共点; (3)圆和圆相切,两圆有且只有一个公共点,它包括内切和外切. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切( (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交( ) ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 ( ) (4)过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为 A,B,则 O,P,A,B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x+y0y=r2( 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ ) ) 2.圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( A.内切 C.外切 B.相交 D.相离 解析:选 B 两圆的圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为 r=2,R=3,两圆的圆心距 离为 ?-2-2?2+?0-1?2= 17,则 R-r< 17<R+r,所以两圆相交,选 B. 3.已知两圆 x2+y2=10 和(x-1)2+(y-3)2=20 相交于 A,B 两点,则直线 AB 的方程 是________. 解析:圆的方程(x-1)2+(y-3)2=20 可化为 x2+y2-2x-6y=10.又 x2+y2=10, 两式相减得 2x+6y=0,即 x+3y=0. 答案:x+3y=0 对应学生用书P61 圆与圆位置关系的判断 [典例] 已知两圆 C1:x2+y2+4x+4y-2=0,C2:x2+y2-2x-8y-8=0,判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系. [解] [法一 几何法] 把圆 C1 的方程化为标准方程,得(x+2)2+(y+2)2=10.圆 C1 的圆心坐标为(-2,-2), 半径长 r1= 10. 把圆 C2 的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-4)2=25.圆 C2 的圆心坐标为(1,4),半径长 r2=5. 圆 C1 和圆 C2 的圆心距 d= ?-2-1?2+?-2-4?2=3 5, 又圆 C1 与圆 C2 的两半径长之和是 r1+r2=5+ 10,两半径长之差是 r2-r1=5- 10. 而 5- 10<3 5<5+ 10,即 r2-r1<d<r1+r2, 所以两圆的位置关系是相交. [法二 代数法] 将两圆的方程联立得到方程组 ?x2+y2+4x+4y-2=0,① ? ? 2 2 ? ?x +y -2x-8y-8=0,② 由①-②得 x+2y+1=0,③ 由③得 x=-2y-1,把此式代入①, 并整理得 y2-1=0,④ 所以 y1=1,y2=-1,代入 x+2y+1=0 得 x1=-3,x2=1. 所以圆 C1 与圆 C2 有两个不同的公共点(-3,1),(1,-1),即两圆的位置关系是相交. 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:将两圆的圆心距 d 与两圆的半径之差的绝对值,半径之和进行比较,进而判 断出两圆的位置关系,这是在解析几何中主要使用的方法. (2)代数法:将两圆的方程组成方程组,通过解方程组,根据方程组解的个数进而判断两 圆位置关系. [活学活用] 到点 A(-1,2),B(3,-1)的距离分别为 3 和 1 的直线有________条. 解析:到点 A(-1,2)的距离为 3 的直线是以 A 为圆心,3 为半径的圆的切线;同理,到 B 的距离为 1 的直线是以 B 为圆心,半径为 1 的圆的切线,所以满足题设条件的直线是这两 圆的公切线,而这两圆的圆心距|AB|= 半径之和为 3+1=4,因为 5>4, 所以圆 A 和圆 B 外离,因此它们的公切线有 4 条. 答案:4 与两圆相交有关的问题 ?3+1?2+?-1-2?2=5. [典例] 求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点且圆心在直线 x-y -4=0 上的圆的方程. 2 2 ? ?x +y +6x-4=0, [解] 法一:解方程组? 得两圆的交点 A(-1,3),B(-6,-2). 2 2 x + y + 6 y - 28 = 0 , ? ? 设所求圆的圆心为(a,b),因为圆心在直线 x-y-4=0 上,故 b=a-4. 则有 ?a+1?2+?a-4-3?2= ?a+6?2+?a-4+2?2, 1 7 1 ,- ?, 解得 a= ,故圆心为?


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