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【学习要求】 1．进一步体会回归分析的基本思想． 2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．
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【学法指导】 两个具有相关关系的变量不一定都呈现线性相关关系，我们 可以通过散点图确定回归模型，并从变换后数据的散点图、 相关系数等方面比较模型的拟合效果.
填一填·知识要点、记下疑难点
本 1．两个变量间的关系，很多情况呈现一种“曲线关系”，我们 课 可以挑选一种跟散点拟合最好的函数，采用适当的变量置 时 栏 换，将问题化为线性回归 问题． 目 开 2．非线性回归问题可以将散点图与学过的各种函数(幂函数、指 关
数函数、对数函数、logistic 模型的“S”形曲线函数等)图象 作比较，选择合适的函数作为回归关系．
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探究点一
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非线性回归模型 有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归
问题 1 模型？ 答
首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布
在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能 直接利用回归直线方程来建立两个变量之间的关系，这时可 以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二 次函数关系，选定适当的回归模型．
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问题 2 方程？
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如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归
答 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换， 先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的 回归方程．
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例 1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表： 身高 x/cm 体重 y/kg
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60 6.13 120
70 7.90 130
80
90
100
110 17.50 170
9.99 12.15 15.02 140 150 160
身高 x/cm 体重 y/kg
解
20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
试建立 y 与 x 之间的回归方程．
根据上表中数据画出散点图如图所示．
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由图看出，样本点分布在某条指数型函数曲线 y＝c1ec2x 的周围，于 是令 z＝ln y.
x z 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01
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画出散点图如图所示．
由表中数据可得 z 与 x 之间的回归直线方程：
z ＝0.693＋0.020x， 则有y ＝e0.693＋0.020x.
^ ^
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小结
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根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数
型函数曲线 y＝c1e c2x 的周围，其中 c1 和 c2 是待定参数；可以通 过对 x 进行对数变换，转化为线性相关关系．
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跟踪训练 1 某种书每册的成本费 Y(元)与印刷册数 x(千册)有
关，经统计得到数据如下：
x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 1.21 200 1.15
Y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30
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1 检验每册书的成本费 Y 与印刷册数的倒数x之间是否具有线性相 关关系？若有，求出 Y 对 x 的回归方程；若无，说明理由． 1 解 设 μ＝x ，则 Y 与 μ 的数据关系如下表所示：
μ
1
0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005
Y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
经过计算 r＝0.999 8>r0.05＝0.632.
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从而有 95%的把握认为这两个变量具有线性相关关系，从而求 Y 与 μ 的回归直线方程有意义．
i＝1 10
?μiyi－10 μ y ?μi2－10 μ 2
10
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又b＝
^
i＝1
15.208 78－10×0.224 8×3.14 ＝ ≈8.98， 1.413 014－10×0.224 82
a＝ y －b μ ＝3.14－8.98×0.224 8＝1.12，
所以 y 关于 μ 的回归直线方程为y＝1.12＋8.98μ， ^ 8.98 Y 与 x 的回归方程为y＝1.12＋ . x
^
^
^
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探究点二 问题
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非线性回归分析
对于两个变量间的相关关系，是否只有唯一一种回归模 不一定．我们可以根据已知数据的散点图，把它与幂函
型来拟合它们间的相关关系？ 答 数、指数函数、对数函数、二次函数图象进行比较，挑选一 种拟合比较好的函数，作为回归模型．
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例2 甲 乙
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对两个变量 x，y 取得 4 组数据(1,1)，(2,1.2)，(3，1.3)， y＝0.1x＋1， y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7， y＝－0.8· (0.5)x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于
(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：
丙
客观实际．
解 甲模型，当 x＝1 时，y＝1.1； 当 x＝2 时，y＝1.2； 当 x＝3 时，y＝1.3；当 x＝4 时，y＝1.4. 乙模型，当 x＝1 时，y＝1；当 x＝2 时，y＝1.2； 当 x＝3 时，y＝1.3；当 x＝4 时，y＝1.3. 丙模型，当 x＝1 时，y＝1；当 x＝2 时，y＝1.2； 当 x＝3 时，y＝1.3；当 x＝4 时，y＝1.35.
观察 4 组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际．
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跟踪训练 2 数据： 年份
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根据统计资料，我国能源生产自 1986 年以来发展
很快．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计 1986 8.6 1991 10.4 1996 12.9 2001 16.1
产量
根据有关专家预测， 到 2010 年我国能源生产总量将达到 21.7 亿 吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种
① ．(填序号) ________
①y＝ax＋b(a≠0) ②y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ③y＝ax(a>0 且 a≠1) ④y＝logax(a>0 且 a≠1)
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1 1 1 1．在一次试验中，当变量 x 的取值分别为 1， ， ， 时，变 2 3 4 1 量 y 的值分别为 2,3,4,5，则 y 与x的回归曲线方程为( A ) ^ ^ 1 2 A.y ＝x＋1 B.y ＝x＋3 C.y ＝2x＋1
^
D.y ＝x－1
^
^
1 解析 由数据可得，四个点都在曲线y ＝x ＋1 上．
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2．某种产品的广告费支出与销售额(单位：百万元)之间有如下 对应数据：
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广告费 销售额 A．0.819 C．0.923
2 30
4 40
5 60
6 50
8 70 ( B )
则广告费与销售额间的相关系数为 B．0.919 D．0.95
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3．某矿山采煤的单位成本 Y 与采煤量 x 有关，其数据如下： 采煤量(千吨) 89 98 16 22 27 29 29 31 50
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单位成本(元) 3.5 2.9 2.1 9.6 9.1 8.5 8.0 8.0 7.0
－0.559 3 ． 则 Y 对 x 的相关系数为___________
4．对于回归直线方程y ＝4.75x＋257，当 x＝28 时，y 的估计值 为________ 390 ．
^
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1．对于可确定具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变 量进行变换，转化为线性回归问题去解决．
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2．可以通过计算相关系数 r 判断模型拟合的好坏程度．