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2013年广州市初中毕业生学业考试数学试卷(含详细答案解析)

2013 年广州市初中毕业生学业考试数学试卷(含详细答案解析)

2013 年广州市初中毕业生学业考试数学试卷

第一部分 选择题(共 30 分)

一、 选择题: 1.比 0 大的数是( )

A.-1

B. ? 1 2

C.0

D.1

2.如图所示的几何体的主视图是( )

A.

B.

C.

D.

3.在 6×6 方格中,将图①中的图形 N 平移后位置如图②所示,则图形 N 的平移方法中,正确的是( )

A. 向下移动 1 格

B.向上移动 1 格

C.向上移动 2 格

D.向下移动 2 格

4.计算:(m3n)2 的结果是( )

A.m6n

B.m6n2

C.m5n2

D.m3n2

5.为了解中学生获取资讯的主要渠道,设置“A:报纸,B:电视,C:网络,D:身边的人,E:其他”五个选项

(五项中必选且只能选一项)的 调查问卷,先随机抽取 50 名中学生进行该问卷调查,根据调查的结果绘

制条形图如图,该调查的方式是( ),图中的 a 的值是(



A.全面调查,26 B.全面调查,24

C.抽样调查,26

6.已知两数 x,y 之和是 10,x 比 y 的 3 倍大 2,则下面所列方程组正确的是(

?x ? y ? 10

?x ? y ? 10

?x ? y ? 10

A.

? ?

y

?

3x

?

2

B.

? ?

y

?

3x

?

2

C.

? ?

x

?

3

y

?

2

?x ? y ? 10 D. ??x ? 3y ? 2

7.实数 a 在数轴上的位置如图所示,则 a ? 2.5 =( )

D.抽样调查,24 )

A. a ? 2.5

B. 2.5 ? a

C. a ? 2.5

D. ?a ? 2.5

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8.若代数式 x 有意义,则实数 x 的取值范围是( ) x ?1

A.x≠1

B.x≥0

C.x>0

D.x≥0 且 x≠1

9.若 5k+20<0,则关于 x 的一元二次方程 x2+4x-k=0 的根的情况是( )

A.没有实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.无法判断

10.如图,四边形 ABCD 是梯形,AD∥BC,CA 是∠BCD 的平分线,且 AB⊥AC,AB=4,AD=6,则 tanB=

()

A. 2 3

B. 2 2

C. 11 4

D. 5 5 4

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分)
11.点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,PA=7,则 PB=______________ . 12.广州某慈善机构全年共募集善款 5250000 元,将 5250000 用科学记数法表示为___________ . 13.分解因式:x2+xy=_______________. 14.一次函数 y=(m+2)x+1,若 y 随 x 的增大而增大,则 m 的取值范围是___________ . 15.如图,Rt△ABC 的斜边 AB=16,Rt△ABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 Rt△A′B′C′,则 Rt△A′B′C′的斜边 A′B′
上的中线 C′D 的长度为_____________ .

16.如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,点 P 在第一象限,⊙P 与 x 轴交于 O,A 两点,点 A 的坐
标为(6,0),⊙P 的半径为 13 ,则点 P 的坐标为 ____________.
三.解答题(本大题共 9 小题,满分 102 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 9 分)
解方程:x2-10x+9=0. 18.(本小题满分 9 分)
如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC 与 BD 相交于 O,AB=5,AO=4,求 BD 的长.
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19.(本小题满分 10 分)
先化简,再求值: x 2 ? y 2 ,其中 x ? 1 ? 2 3, y ? 1 ? 2 3. x?y x?y
20.(本小题满分 10 分) 已知四边形 ABCD 是平行四边形(如图),把△ABD 沿对角线 BD 翻折 180°得到△A′BD. (1)利用尺规作出△A′BD.(要求保留作图痕迹,不写作法); (2)设 DA′与 BC 交于点 E,求证:△BA′E≌△DCE.
21.(本小题满分 12 分) 在某项针对 18~35 岁的青年人每天发微博数量的调查中,设一个人的“日均发微博条数”为 m,规定:当 m≥10 时为 A 级,当 5≤m<10 时为 B 级,当 0≤m<5 时为 C 级.现随机抽取 30 个符合年龄条件的青年人开展每人 “日均发微博条数”的调查,所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下: 11 10 6 15 9 16 13 12 0 8 2 8 10 17 6 13 7 5 7 3 12 10 7 11 3 6 8 14 15 12 (1)求样本数据中为 A 级的频率; (2)试估计 1000 个 18~35 岁的青年人中“日均发微博条数”为 A 级的人数; (3)从样本数据为 C 级的人中随机抽取 2 人,用列举法求抽得 2 个人的“日均发微博条数”都是 3 的概率.
22.(本小题满分 12 分) 如图, 在东西方向的海岸线 MN 上有 A、B 两艘船,均收到已触礁搁浅的船 P 的求救信号,已知船 P 在船 A 的北偏东 58°方向,船 P 在船 B 的北偏西 35°方向,AP 的距离为 30 海里. (1)求船 P 到海岸线 MN 的距离(精确到 0.1 海里); (2)若船 A、船 B 分别以 20 海里/小时、15 海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往救援,试通过计算判断 哪艘船先到达船 P 处.
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23.(本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,正方形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上,点 B 的坐
标为(2,2),反比例函数 y ? k (x>0,k≠0)的图像经过线段 BC 的中点 D. x
(1)求 k 的值; (2)若点 P(x,y)在该反比例函数的图像上运动(不与点 D 重合),过点 P 作 PR⊥y 轴于点 R,作 PQ⊥BC
所在直线于点 Q,记四边形 CQPR 的面积为 S,求 S 关于 x 的解析式并写出 x 的取值范围.
24.(本小题满分 14 分) 已知 AB 是⊙O 的直径,AB=4,点 C 在线段 AB 的延长线上运动,点 D 在⊙O 上运动(不与点 B 重合),连 接 CD,且 CD=OA.
(1)当 OC= 2 2 时(如图),求证:CD 是⊙O 的切线; (2)当 OC> 2 2 时,CD 所在直线于⊙O 相交,设另一交点为 E,连接 AE.
①当 D 为 CE 中点时,求△ACE 的周长; ②连接 OD,是否存在四边形 AODE 为梯形?若存在,请说明梯形个数并求此时 AE?ED 的值;若不存在, 请说明理由.
25.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点 A(1,0),顶点为 B,且抛物线不经过第三象限. 4 / 13

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(1)使用 a、c 表示 b: (2)判断点 B 所在象限,并说明理由;

(3)若直线

y2=2x+m

经过点

B,且于该抛物线交于另一点

C(

c a

,

b

?

8

),求当

x≥1



y1

的取值范围.

1.【考点】有理数大小比较. 【分析】比 0 的大的数一定是正数. 【解答】D

参考答案

2.【考点】简单组合体的三视图. 【分析】找到从正面看所得到的图形可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 【解答】A 【点评】主视图是从物体的正面看得到的视图.

3.【考点】生活中的平移现象. 【分析】观察图形可知:从图 1 到图 2,可以将图形 N 向下移动 2 格. 【解答】D 【点评】观察比较平移前后图形的位置,得出平移的规律.

4.【考点】幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据幂的乘方的性质和积的乘方的性质进行计算,(m3n)2=m6n2. 【解答】B

5.【考点】条形统计图;全面调查与抽样调查. 5 / 13

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【分析】根据关键语句“先随机抽取 50 名中学生进行该问卷调查,”可得该调查方式是抽样调查,调查的样本 容量为 50,故 6+10+6+a+4=50.
【解答】D 【点评】从不同的统计图中得到必要的信息解决问题.
6.【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组. 【分析】等量关系:两数 x,y 之和是 10;x 比 y 的 3 倍大 2. 【解答】C
7.【考点】实数与数轴. 【分析】如图可得:a<2.5,即 a-2.5<0,则|a-2.5|=-(a-2.5)=2.5-a. 【解答】B 【点评】数轴上的任意两个数,右边的数总比左边的数大.
8.【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件. 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于 0,分母不等于 0,可以求出 x 的范围. 【解答】x≥0 且 x≠1 【点评】分式有意义,分母不为 0;二次根式的被开方数是非负数.
9.【考点】一元二次方程根的判别式. 【分析】∵5k+20<0,即 k<-4,∴△=16+4k<0,则方程没有实数根. 【解答】A
10.【考点】梯形;等腰三角形的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理. 【分析】先判断 DA=DC,过点 D 作 DE∥AB,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E,由等腰三角形的性质,可得点
F 是 AC 中点,可得 EF 是△CAB 的中位线,继而得出 EF、DF 的长度,在 Rt△ADF 中求出 AF,然后得出 AC, 计算 tanB 的值.
∵CA 是∠BCD 的平分线,∴∠DCA=∠ACB,又∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC, 过点 D 作 DE∥AB,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E,
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∵AB⊥AC,∴DE⊥AC(等腰三角形三线合一的性质),∴点 F 是 AC 中点,∴AF=CF,∴EF 是△CAB 的

中位线,∴EF= 1 AB=2,∵ AF = DF =1,∴EF=DF=2.在 Rt△ADF 中,AF= AD 2 ? DF 2 =4 2 ,则

2

FC EF

AC=2AF=8

2 ,tanB= AC = 8

2
=2

2.

AB 4

【解答】B

【点评】解答本题的关键是作出辅助线,判断点 F 是 AC 中点.

11.【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】根据线段垂直平分线的性质,得出 PA=PB. 【解答】7 【点评】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

12.【考点】科学记数法(表示较大的数). 【分析】将 5250000 用科学记数法表示为 5.25×106. 【解答】5.25×106 【点评】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变
成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数 的绝对值<1 时,n 是负数.
13.【考点】因式分解(提公因式法). 【分析】x2+xy=x(x+y). 【解答】x(x+y) 【点评】因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.一般来说,如果可以提取公因式的要先提取公因式,再
看剩下的因式是否还能分解.
14.【考点】一次函数图象与系数的关系. 【分析】∵一次函数 y=(m+2)x+1,若 y 随 x 的增大而增大,∴m+2>0,解得 m>-2. 7 / 13

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【解答】m>-2 【点评】一次函数的图象与系数的关系:函数值 y 随 x 的增大而减小?k<0;函数值 y 随 x 的增大而增大?k >0.
15.【考点】旋转的性质;直角三角形斜边上的中线. 【分析】∵Rt△ABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 Rt△A′B′C′,∴A′B′=AB=16,∵C′D 为 Rt△A′B′C′的斜边 A′B′
上的中线,∴C′D= 1 A′B′=8. 2
【解答】8 【点评】旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹 角等于旋转角.也考查了直角三角形斜边上的中线性质.
16.【考点】垂径定理;坐标与图形性质;勾股定理. 【分析】过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,连接 OP,
∵A ( 6 , 0 ) , PD⊥OA , ∴OD= 1 OA=3 . 在 Rt△OPD 中 , ∵OP= 13 , OD=3 , 2
∴PD= OP2 ? OD2 = ( 13)2 ? 32 =2,∴P(3,2).
【解答】(3,2) 【点评】根据题意作出辅助线,构造出直角三角形解答.
17.【考点】解一元二次方程(因式分解法). 【分析】分解因式后得出两个一元一次方程,求出方程的解. 【解答】解:∵x2-10x+9=0, (x-1)(x-9)=0, x-1=0 或 x-9=0, ∴x1=1,x2=9. 【点评】因式分解法解一元二次方程,关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程. 8 / 13

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18.【考点】菱形的性质;勾股定理.
【分析】根据菱形的性质得出 AC⊥BD,再利用勾股定理求出 BO 的长,得出答案.
【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC 与 BD 相交于 O, ∴AC⊥BD,DO=BO.
∵AB=5,AO=4,∴BO= 52 ? 42 =3,
∴BD=2BO=2×3=6. 【点评】应用菱形的性质以及勾股定理,根据已知得出 BO 的长是解题关键.

19.【考点】分式的化简求值;二次根式的化简求值.

【分析】分母不变,分子相减,化简后再代入求值.

【解答】解: x 2 ? y 2 = x2 ? y2 = (x ? y)( x ? y) =x+y,

x? y x? y x?y

x? y

当 x ? 1 ? 2 3, y ? 1 ? 2 3 时,原式=1+2 3 +1-2 3 =2.

20.【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定;作图-轴对称变换;翻折变换(折叠问题).
【分析】(1)首先作∠A′BD=∠ABD,然后以 B 为圆心,AB 长为半径画弧,交 BA′于点 A′,连接 BA′,DA′,
作出△A′BD. (2)由四边形 ABCD 是平行四边形与折叠的性质,易证得∠BA′D=∠C,A′B=CD,然后由 AAS 判定
△BA′E≌△DCE.
【解答】解:(1)如图:①作∠A′BD=∠ABD,
②以 B 为圆心,AB 长为半径画弧,交 BA′于点 A′, ③连接 BA′,DA′, 则△A′BD 即为所求;

(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,∠BAD=∠C, 由折叠的性质可得:∠BA′D=∠BAD,A′B=AB,∴∠BA′D=∠C,A′B=CD. 在△BA′E 和△DCE 中,∠BA′E=∠C, ∠BA′E=∠C, A′B=CD, ∴△BA′E≌△DCE(AAS). 【点评】注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握数形结合思想的应用.
21.【考点】列表法与树状图法;用样本估计总体;频数与频率. 9 / 13

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【分析】(1)由抽取 30 个符合年龄条件的青年人中 A 级的有 15 人,求得样本数据中为 A 级的频率;

(2)根据题意得:1000



18~35

岁的青年人中“日均发微博条数”为

A

级的人数为

1
1000×

=500;

2

(3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得 2 个人的“日均发微博条数”都是 3 的情况,再利用概率公式求解求得答案.

【解答】解:(1)∵抽取 30 个符合年龄条件的青年人中 A 级的有 15 人,∴样本数据中为 A 级的频率为 15 = 1 ; 30 2

(2)1000



18~35

岁的青年人中“日均发微博条数”为

A

级的人数为

1
1000×

=500;

2

(3)C 级的有:0,2,3,3 四人,画树状图:

∵共有 12 种等可能的结果,抽得 2 个人的“日均发微博条数”都是 3 的有 2 种情况,

∴抽得 2 个人的“日均发微博条数”都是 3 的概率为

2

1
=



12 6

【点评】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状 图法适合两步或两步以上完成的事件.

22.【考点】解直角三角形的应用(方向角问题).
【分析】(1)过点 P 作 PE⊥AB 于点 E,在 Rt△APE 中解出 PE; (2)在 Rt△BPF 中,求出 BP,分别计算出两艘船需要的时间,作出判断. 【解答】解:(1)过点 P 作 PE⊥AB 于点 E,

由题意得,∠PAE=32°,AP=30 海里, 在 Rt△APE 中,PE=APsin∠PAE=APsin32°≈15.9 海里; (2)在 Rt△PBE 中,PE=15.9 海里,∠PBE=55°,
则 BP= PE ≈19.4, sin ?PBE

∴A 船需要的时间为 30 =1.5 小时,B 船需要的时间为 19.4 =1.3 小时,

20

15

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故 B 船先到达.
23.【考点】反比例函数综合题.
【分析】(1)首先根据题意求出 C 点的坐标,然后根据中点坐标公式求出 D 点坐标,由反比例函数 y= k (x x
>0,k≠0)的图象经过线段 BC 的中点 D,D 点坐标代入解析式求出 k; (2)分两步进行解答,①当 D 在直线 BC 的上方时,即 0<x<1,如图 1,根据 S 四边形 CQPR=CQ?PD 列出 S 关
于 x 的解析式,②当 D 在直线 BC 的下方时,即 x>1,如图 2,依然根据 S 四边形 CQPR=CQ?PD 列出 S 关于 x 的解 析式.
【解答】解:(1)∵正方形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上,点 B 的坐标为(2,2), ∴C(0,2),∵D 是 BC 的中点,∴D(1,2).
∵反比例函数 y= k (x>0,k≠0)的图象经过点 D, x
∴k=2; (2)当 D 在直线 BC 的上方时,即 0<x<1.
如图 1,∵点 P(x,y)在该反比例函数的图象上运动,∴y= 2 , x

∴S

四边形 CQPR=CQ?PD=x?(

2 x

-2)=2-2x(0<x<1);

如图

2,同理求出

S

四边形 CQPR=CQ?PD=x?(2-

2 x

)=2x-2(x>1).

综上

S=

?2x ? 2(x ??2 ? 2x(0

? ?

1) x?

1)



【点评】注意解答(2)问的函数解析式需要分段求解析式.

24.【考点】圆的综合题.
【分析】(1)关键是利用勾股定理的逆定理,判定△OCD 为直角三角形,如答图①所示; (2)①如答图②所示,关键是判定△EOC 是含 30 度角的直角三角形,从而解直角三角形求出△ACE 的周长; ②符合题意的梯形有 2 个,答图③展示了其中一种情形.在求 AE?ED 值的时候,巧妙地利用了相似三角形, 简单得出了结论,避免了复杂的运算. 【解答】(1)证明:连接 OD,如答图①所示.
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由题意可知,CD=OD=OA= 1 AB=2,OC=2 2 ,∴OD2+CD2=OC2, 2
由勾股定理的逆定理可知,△OCD 为直角三角形,则 OD⊥CD, 又∵点 D 在⊙O 上, ∴CD 是⊙O 的切线. (2)解:①如答图②所示,连接 OE,OD,

则有 CD=DE=OD=OE,∴△ODE 为等边三角形,∠1=∠2=∠3=60°. ∵OD=CD,∴∠4=∠5, ∵∠3=∠4+∠5,∴∠4=∠5=30°, ∴∠EOC=∠2+∠4=90°, 因此△EOC 是含 30 度角的直角三角形,△AOE 是等腰直角三角形.
在 Rt△EOC 中,CE=2OA=4,OC=4cos30°=2 3 ,
在等腰直角三角形 AOE 中,AE= 2 OA=2 2 ,
∴△ACE 的周长为 AE+CE+AC=AE+CE+(OA+OC)=2 2 +4+(2+2 3 )=6+2 2 +2 3 .
②存在,这样的梯形有 2 个. 答图③是 D 点位于 AB 上方的情形,同理在 AB 下方还有一个梯形,它们关于直线 AB 成轴对称.

∵OA=OE,∴∠1=∠2, ∵CD=OA=OD,∴∠4=∠5. ∵四边形 AODE 为梯形,∴OD∥AE,∴∠4=∠1,∠3=∠2, ∴∠3=∠5=∠1. 在△ODE 与△COE 中,∠OEC=∠OEC,∠3=∠5,
∴△ODE∽△COE,则有 OE = DE ,∴CE?DE=OE2=22=4. CE OE
∵∠1=∠5,∴AE=CE,∴AE?DE=CE?DE=4. 综上所述,存在四边形 AODE 为梯形,这样的梯形有 2 个,此时 AE?DE=4.

25.【考点】二次函数综合题.

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【分析】(1)抛物线经过 A(1,0),把点代入函数即可得到 b=-a-c;

(2)判断点在哪个象限,需要根据题意画图,由条件:图象不经过第三象限就可以推出开口向上,a>0,只 需要知道抛物线与 x 轴有几个交点即可解决,判断与 x 轴有两个交点,一个可以考虑△,由△就可以判断出与 x

轴有两个交点,所以在第四象限;或者直接用公式法(或十字相乘法)算出,由两个不同的解

x1=1,x2=

c a

,(a≠c),

得出点 B 所在象限;

(3)当

x≥1

时,y1

的取值范围,只要把图象画出来就清晰了,难点在于要观察出

C(

c a

,b+8)是抛物线与

x

轴的另一个交点,理由是

x1=1,x2=

c a

,(a≠c),由这里可以发现,b+8=0,b=-8,a+c=8,还可以发现

C



A

的右侧;可以确定直线经过 B、C 两点,看图象可以得到,x≥1 时,y1 大于等于最小值,此时算出二次函数最小
值,即求出 4ac ? b2 ,已经知道 b=-8,a+c=8,算出 a,c,再找出一个与 a,c 有关的式子,解方程组求出 a, 4a
c,直线经过 B、C 两点,把 B、C 两点坐标代入直线消去 m,整理得到 c-a=4 联立 a+c=8,解得 c,a,得出 y1 的取值范围.
【解答】解:(1)∵抛物线 y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c),经过 A(1,0),把点代入函数即可得到 b=-a-
c; (2)B 在第四象限.理由如下:

∵抛物线

y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点

A(1,0),∴x1=1,x2=

c a

,a≠c,

所以抛物线与 x 轴有两个交点,又因为抛物线不经过第三象限, 所以 a>0,且顶点在第四象限;

(3)∵C( c ,b+8),且在抛物线上,∴b+8=0,∴b=-8, a

∵a+c=-b,∴a+c=8.



B、C

两点代入直线解析式易得

c-a=4,即

?a ??c

? ?

c a

? ?

8, 4,

解得

?a ??c

? ?

6, 2.

如图所示,C 在 A 的右侧,

∴当

x≥1

时,y1≥

4ac ? b2 4a

=-2.

【点评】应用数形结合思想.

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