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2020-2021备战中考数学一模试题分类汇编——初中数学 旋转综合附详细答案

2020-2021 备战中考数学一模试题分类汇编——初中数学 旋转综合附详细答案 一、旋转 1.(1)如图①,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,过点 O 作直线 EF⊥BD,交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,连接 BE、DF,且 BE 平分∠ ABD. ①求证:四边形 BFDE 是菱形; ②直接写出∠ EBF 的度数; (2)把(1)中菱形 BFDE 进行分离研究,如图②,点 G、I 分别在 BF、BE 边上,且 BG=BI,连 接 GD,H 为 GD 的中点,连接 FH 并延长,交 ED 于点 J,连接 IJ、IH、IF、IG.试探究线段 IH 与 FH 之间满足的关系,并说明理由; (3)把(1)中矩形 ABCD 进行特殊化探究,如图③,当矩形 ABCD 满足 AB=AD 时,点 E 是对角 线 AC 上一点,连接 DE、EF、DF,使△ DEF 是等腰直角三角形,DF 交 AC 于点 G.请直接写 出线段 AG、GE、EC 三者之间满足的数量关系. 【答案】(1)①详见解析;②60°.(2)IH= 3 FH;(3)EG2=AG2+CE2. 【解析】 【分析】 (1)①由△ DOE≌ △ BOF,推出 EO=OF,∵ OB=OD,推出四边形 EBFD 是平行四边形, 再证明 EB=ED 即可. ②先证明∠ ABD=2∠ ADB,推出∠ ADB=30°,延长即可解决问题. (2)IH= 3 FH.只要证明△ IJF 是等边三角形即可. (3)结论:EG2=AG2+CE2.如图 3 中,将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM,先证 明△ DEG≌ △ DEM,再证明△ ECM 是直角三角形即可解决问题. 【详解】 (1)①证明:如图 1 中, ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥ BC,OB=OD, ∴ ∠ EDO=∠ FBO, 在△ DOE 和△ BOF 中, ??EDO=?FBO ??OD=OB , ???EOD=?BOF ∴ △ DOE≌ △ BOF, ∴ EO=OF,∵ OB=OD, ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形, ∵ EF⊥BD,OB=OD, ∴ EB=ED, ∴ 四边形 EBFD 是菱形. ②∵ BE 平分∠ ABD, ∴ ∠ ABE=∠ EBD, ∵ EB=ED, ∴ ∠ EBD=∠ EDB, ∴ ∠ ABD=2∠ ADB, ∵ ∠ ABD+∠ ADB=90°, ∴ ∠ ADB=30°,∠ ABD=60°, ∴ ∠ ABE=∠ EBO=∠ OBF=30°, ∴ ∠ EBF=60°. (2)结论:IH= 3 FH. 理由:如图 2 中,延长 BE 到 M,使得 EM=EJ,连接 MJ. ∵ 四边形 EBFD 是菱形,∠ B=60°, ∴ EB=BF=ED,DE∥ BF, ∴ ∠ JDH=∠ FGH, 在△ DHJ 和△ GHF 中, ??DHG=?GHF ??DH=GH , ???JDH=?FGH ∴ △ DHJ≌ △ GHF, ∴ DJ=FG,JH=HF, ∴ EJ=BG=EM=BI, ∴ BE=IM=BF, ∵ ∠ MEJ=∠ B=60°, ∴ △ MEJ 是等边三角形, ∴ MJ=EM=NI,∠ M=∠ B=60° 在△ BIF 和△ MJI 中, ?BI=MJ ???B=?M , ??BF=IM ∴ △ BIF≌ △ MJI, ∴ IJ=IF,∠ BFI=∠ MIJ,∵ HJ=HF, ∴ IH⊥JF, ∵ ∠ BFI+∠ BIF=120°, ∴ ∠ MIJ+∠ BIF=120°, ∴ ∠ JIF=60°, ∴ △ JIF 是等边三角形, 在 Rt△ IHF 中,∵ ∠ IHF=90°,∠ IFH=60°, ∴ ∠ FIH=30°, ∴ IH= 3 FH. (3)结论:EG2=AG2+CE2. 理由:如图 3 中,将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM, ∵ ∠ FAD+∠ DEF=90°, ∴ AFED 四点共圆, ∴ ∠ EDF=∠ DAE=45°,∠ ADC=90°, ∴ ∠ ADF+∠ EDC=45°, ∵ ∠ ADF=∠ CDM, ∴ ∠ CDM+∠ CDE=45°=∠ EDG, 在△ DEM 和△ DEG 中, ?DE=DE ???EDG=?EDM , ??DG=DM ∴ △ DEG≌ △ DEM, ∴ GE=EM, ∵ ∠ DCM=∠ DAG=∠ ACD=45°,AG=CM, ∴ ∠ ECM=90° ∴ EC2+CM2=EM2, ∵ EG=EM,AG=CM, ∴ GE2=AG2+CE2. 【点睛】 考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质,等边三角形的判定 和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形,学会转 化的思想思考问题. 2.平面上,Rt△ ABC 与直径为 CE 的半圆 O 如图 1 摆放,∠ B=90°,AC=2CE=m,BC= n,半圆 O 交 BC 边于点 D,将半圆 O 绕点 C 按逆时针方向旋转,点 D 随半圆 O 旋转且 ∠ ECD 始终等于∠ ACB,旋转角记为 α(0°≤α≤180°) (1)当 α=0°时,连接 DE,则∠ CDE= °,CD= ; (2)试判断:旋转过程中 BD 的大小有无变化?请仅就图 2 的情形给出证明; AE (3)若 m=10,n=8,当 α=∠ ACB 时,求线段 BD 的长; (4)若 m=6,n=4 2 ,当半圆 O 旋转至与△ ABC 的边相切时,直接写出线段 BD 的 长. 【答案】(1)90°, n ;(2)无变化;(3) 12 5 ;(4)BD= 2 10 或 2 114 . 2 5 3 【解析】 试题分析:(1)①根据直径的性质,由 DE∥ AB 得 CD ? CE 即可解决问题.②



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