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2018-2019学年高中数学苏教版选修4-2课件:2.4 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组

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2.4.2 二阶 矩阵 与二 元一 次方 程组

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2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组
1.把????ca db????称为二阶行列式,它的运算结果是一个数值, 记为 det(A)=????ca db????=_a_d_-__b_c_.

2.方程组?????acxx++dbyy==nm 写成矩阵形式为 AZ=B,其中 A= _????_ca___db_????_,称为系数矩阵,Z=????xy????,B=????mn ????,当__A__可__逆__时,方
程组有唯一解,当_A__不__可__逆___时,方程组无解或有无数组解.

3.对于方程组?????azxx++dbyy==nm ,令 D=????ac db????,Dx

=????nm db????,Dy=????ca

Dx

Dy

为 x=__D__,y=__D__.

nm????,当_D__≠__0_时,方程组有唯一组解,

4.对于方程组?????acxx++dbyy==00 ,令 D=????ac db????,当 D=0 时, 此方程组有_非__零__解__.

5.二阶矩阵 A=????ac db????可逆的充要条件是_d_e_t_(_A_)_≠__0_且 A-1

= ?? d

-b ??

?det?A? det?A??

? -c

a?

__??_d_e_t?_A_?___d_e_t_?A__???__.

求行列式的值

[例 1]

求????2λ-λ-22 53λλ++85????的最大值(其中 λ∈R).

[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值.

[精解详析]

??λ-2 ??2λ-2

3λ+5?? 5λ+8 ??

=(λ-2)(5λ+8)-(2λ-2)(3λ+5)

=-λ2-6λ-6=-(λ+3)2+3≤3,

∴????λ2-λ-22 53λλ+ +85????的最大值为 3.

(1)矩阵 A=????ac db????与它的行列式 det(A)=????ca db????的意义是 不同的.矩阵 A 不是一个数,而是 4 个数按顺序排列成的一个 数表,行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数,不同的矩阵 可以有相同的行列式的值.
(2)????ac db????=ad-bc,它是位于两条对角线上的元素的乘积 之差.

1.计算下列行列式的值:

(1)????-65

-23????;(2)????csions

θ θ

-sin θ?? cos θ??

解:(1)????-65 -23????=6×(-3)-(-5)×2=-8;

(2)????csions

θ θ

-sin cos

θθ????=cos2

θ-(-sin2

θ)=1.

2.若????

x2 -1

1y2????=????xy

-yx????,求 x+y 的值.

解:x2+y2=-2xy?x+y=0.

利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵

[例 2] 已知 A=????-11 22????,B=????-11 11????,判断 AB 是否可

逆,若可逆求出逆矩阵. [思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解.

[精解详析]

AB=????-11

2?? ?? 1 2?? ??-1

11????=????- -13

31????.

因 det(AB)=????- -13 31????=-1+9=8≠0,故 AB 可逆,

?1 ∴(AB)-1=???83
?8

-38?? -18???.

已知矩阵 A=????ca db????,利用行列式求矩阵 A 的逆矩阵的步骤 如下:

(1)首先计算 det(A)=????ca db????=ad-bc,当 det(A)≠0 时,逆 矩阵存在.

?? d (2)利用 A-1=??de-t?cA?
??det?A?

-b ?? deta?A???,求出逆矩阵 A-1. det?A???

3.判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求出逆矩阵.

(1)????-11 11????;(2)????01 1a????;(3)????0a 10????.

解:(1)二阶行列式????-11 11????=-1-1=-2≠0,所以矩阵

可逆,逆矩阵为????-121

1? 2? 1??.

? 2 2?

(2)二阶行列式????01 1a????=1≠0,所以矩阵可逆,逆矩阵为????01 -1a????.

(3)二阶行列式????0a 10????=a,当 a=0 时,矩阵不可逆,当 a≠0 时,

?1 矩阵可逆,逆矩阵为??a

0

? ??.

? 0 1?

4.若矩阵 A=????63 x92????存在逆矩阵,求 x 的取值范围.
解:据题意 det(A)≠0,即????36 9x2????≠0. ∴3x2-54≠0. ∴x≠±3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠±3 2}.

二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法

[例 3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组

??3x-2y=1, ???-x+4y=3.
[思路点拨]

求出相应行列式的值,利用 x=DDx,y=DDy求

解,或求出方程组对应的逆矩阵,利用逆矩阵法求解.

[精解详析] 法一:(行列式解法) D=????-31 -24????=12-2=10, Dx=????13 -24????=4+6=10, Dy=????-13 31????=9+1=10, 故方程组的解为?????xy==DDDDyx==11110000==11.

法二:(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式

? ?

3

??-1

-2?? 4 ??

????xy????=????13????.

令 M=????-13 -42????,则其行列式

det(M)=????-13 -42????=3×4-(-1)×(-2)=10≠0,

所以矩阵 M 存在逆矩阵 M-1,

?4 且 M-1=???110
?10

2 ? ?2 130???=???51 10? ?10

1? 35???, 10?

?2 这样????xy????=M-1????13????=???51
?10

1?

5?

3

? ?

????13????=????11????.

10 ?

即方程组的解为?????xy==11.,

利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为:

(1)将二元







程组化成标准形式

??ax+by=e, ???cx+dy=f.

并写成

矩阵形式.

(2)判定系数矩阵是否可逆,即看????ca db????是否为零.若可逆则 二元一次方程组有唯一解,若不可逆,方程组无解或解不唯一.

(3)若可逆,求逆矩阵:????ca

b?? -1 d ??

(4)利用矩阵乘法求解:即计算????ca

b?? d ??

-1

????fe????.

5.利用行列式解下列方程组:

??3x-3y=1,

??x+2y+1=0,

(1)???-x+4y=3; (2)???3x+4y-1=0.

解:(1)因为 D=????-13 -43????=3×4-(-3)×(-1)=9≠0, 此方程组存在唯一解.

又 Dx=????13 -34????=1×4-(-3)×3=13, Dy=????-31 13????=3×3-1×(-1)=10. 所以 x=DDx=193,y=DDy=190. 故该方程组的解为?????xy==119903.,

(2)先将方程组改写成一般形式?????x3+ x+2y4=y=-11. , 因为 D=????31 42????=-2≠0,此方程组存在唯一解. 又 Dx=????-11 24????=-6,Dy=????13 -11????=4, 所以 x=DDx=3,y=DDy=-2. 故该方程组的解为?????xy==-3,2.

含参的齐次线性方程组解的讨论

[例 4] 非零解?

m 为何值时,二元一次方程组????31

-2?? -4??

????xy????=m????xy????有

[思路点拨] 先求出方程组对应行列式,利用行列式值为 0

时方程组有非零解求解. [精解详析] 二元一次方程组????31

-2?? -4??

????xy????=m????xy????,

即为????3xx--42yy????=????mmxy????,

∴?????3xx--42y=y=mmy,x,

即??????x3--?m4+?xm-?2y=y=00,,

即????3-1m

-2

? ?

-?4+m???

????xy????=????00????.

∴当????3-1m -?4-+2m?????=0,

即-(3-m)(4+m)+2=0 时,方程组有非零解.

∴当 m=-1±2 41时,方程有非零解.

齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成 比例,即ac=bd,此时,该齐次线性方程组的一组非零解 为???-ba???.
? 1?

6.齐次线性方程组?????2xx--24y=y=00 存在非零解吗?如果存在,求 出一组非零解. 解:因 D=????21 - -42????=-4+4=0, 所以存在非零解. 其中一组非零解为????21????.

7.若关于 x,y 的二元一次方程组?????34xx+-m11yy==00, 有非零解,求 m 的值.
解:D=????34 -m11????=-33-4m, 令 D=0,则得 m=-343.

1.求下列行列式的值:(1)????-31 25????;(2)????78 -94????.
解:(1)????-31 25????=3×5-(-1)×2=15+2=17. (2)????87 -49????=28-(-72)=28+72=100.

?ax 1?

2.已知矩阵???3

1 ??不可逆,求函数 f(x)=ax2-7x+4 的最小值. x?

?ax 1?

解:∵矩阵???3

1 ??不可逆, x?

?ax ∴???3

1x1????=ax·1x-3×1=a-3=0,

即 a=3,

∴f(x)=3x2-7x+4 =3(x2-73x+4396)+4-4396×3 =3(x-76)2-112. ∴当 x=76时,函数 f(x)有最小值-112.

3.已知矩阵 A=????12 01????,X=????xy????,B=????21????,解方程 AX=B.

解:因为|A|=????12 01????=1≠0,所以 A 的逆矩阵存在,

且 A-1=????-12

01????,所以 X=A-1B=????-21

0?? 1 ??

????21????=????-23????.

4.已知二元一次方程组 AZ=B,其中 A 是可逆矩阵,B=????00????, 试证明该方程组的解只能是????00????. 证明:因为 A 是可逆矩阵,则原方程组的解为 Z=A-1B=A -1????00????,因为 A-1 是唯一存在的,所以 Z=????00????是原方程组唯一 的解.

5.分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组?????x3+x+2y4-y-5=6=00 . 解:法一:方程组可化为?????x3+ x+2y4=y=56 , D=????31 42????=4-6=-2, Dx=????56 24????=20-12=8, Dy=????31 65????=6-15=-9,
故方程组的解为???x=DDx=-4, ??y=DDy=92.

法二:方程组用矩阵表示为????13

2?? 4 ??

????xy????=????56????.

故????xy????=????13

2?? -1 ??5?? 4?? ??6??

=-12????-34

-2?? 1 ??

????56????=????-924????

6.试写出齐次线性方程组?????24xx++36yy==00,, 的矩阵形式及该方程 组的一组非零解.

解:齐次线性方程组改写成矩阵形式为????24

3?? 6 ??

????xy????=????00????,

∵????24 36????=2×6-3×4=0,

∴此齐次线性方程组有非零解

??x=1 如???y=-23 就是它的一组非零解.

7.当 λ 为何值时,二元一次方程组????12

2?? 3 ??

????xy????=λ????xy????有非零解?

解:由题意知二元一次方程组为

??2x+2y =λx, ???x+3y=λy,

即??????x2+-?λ3?-x+λ?2y=y=00. ,

D=????12-λ

32-λ????=(2-λ)(3-λ)-2=λ2-5λ+4,

当 D=0 即 λ=1 或 4 时,

二元一次方程组????12

2?? 3 ??

????xy????=λ????xy????有非零解.

8.如果建立如下字母与数字的对应关系 abc…yz ???…?? 1 2 3 … 25 26
并且发送方按可逆矩阵 A=????52 31????进行加密. (1)若要发出信息 work hard,试写出所要发送的密码; (2)将密码 93,36,60,21,159,60,110,43 恢复成原来的信息. 解 : (1) 若 要 发 出 信 息 work hard , 则 其 编 码 为 23,15,18,11,8,1,18,4.

把上述编码按顺序分成四组并写成列向量????2135????,????1118????,????81????,????148????, 计算它们在矩阵 A 对应的变换下的象,可得

A????2135????=????52

3?? 1 ??

????2135????=????16601????,

A????1118????=????52

3?? 1 ??

????1118????=????12437????,

A????81????=????52

3?? 1 ??

????81????=????4137????,

A????148????=????52

3?? 1 ??

????184????=????10420????,

于是,得到所要发送的密码为 160,61,123,47,43,17,102,40.

(2)因为 det(A)=????52 31????=5×1-2×3=-1,所以 A 的逆矩阵 A



1



??-1

? ?

2

3 ?? -5??

.

把接受



的密



按顺



分成



组并写







量,计算它们在矩阵 A-1 对应的变换作用下的象, 可得

A-1????9336????=????-12

3 ?? -5??

????9336????=????156????,

A-1????6201????=????-12

3 ?? -5??

????6201????=????315????,

A-1????16509????=????-21

3 ?? -5 ??

????16509????=????2118????,

A-1????41130????=????-21

3 ?? -5 ??

????41130????=????159????.

于是密码恢复成编码 15,6,3,15,21,18,19,5,再根据已知的对应

关系,即得到原来的信息 of course.




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