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2019精选教育武汉市乐其教育培训学校年九年级数学相似三角形讲义 第 三 讲 平行与比例、相似(拔高).doc

知识要点:

第 三 讲 平行与比例、相似(拔高)

一、平行线分线段成比例(平行? 比例); 二、平行于三角形一边的直线得截得的三角形与原三角形相似(平行? 相似? 比例);三、 共线比的平行构造:(1)公共点在端点? 构造平行 A 型;
(2)公共点在中间? 构造平行 X 型.

第一部分【能力提高】 一、角平分线定理(构造平行线证明“共线比”)
(1) 如图 1,AD 为△ABC 的角平分线,求证: AB ? BD ; AC CD
(2) 如图 2,AD 为△ABC 的外角平分线,求证: AB ? BD . AC CD

A

B

DC

B

C

D

二、(梅涅劳斯定理)如图,任意一条直线分别交△ABC 的三边所在的直线于 D、E、F 三点,求证:

AD ? BE ? CF ? 1 .

A

DB EC FA

第1页

三、(塞瓦定理)如图,已知 O 为△ABC 内任意一点,直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F 三点,

求证: AF ? BD ? CE ? 1 .

FB DC EA

A

B

D

C

四、如图,P为△ABC 内任意一点,AP、BP、CP 分别交对边于 D、E、F 三点,求证: PD ? PE ? PF ? 1 .

AD BE CF

A

B

D

C

五、如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 AB 延长线上一点, E 是 AC 上一点,连接 DE 与 BC 相交于点 F ,
求证:DF∶FE=DB∶CE. A

C

D

第2页

六、如图,D、E 分别为 AB、AC 上一点,BD=CE,直线 DE、BC 交于点 F,求证: DF ? AC . EF AB
A

B

C

F

七、如图,在△ABC 中,D 为 BC 延长线上的一点, BC=CD,E 为 AC 的中点,直线 DE 交 AB 于点 F,

EF
求 的值.

A

ED

B

C

八、如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D,E 为边AC 的中点,延长ED 并交AB 延长线于点F

AB

,求证:

AC

A

D
BF . DF

F

第3页

第二部分【综合运用】

九、已知:如图,在△ABC 中,D 为 BC 上一点,BA=BD,E 为 AC 的中点,AD、BE 相交于点 F,求证:

AB·AF=BC·DF.

A

B

D

C

十、如图,△ABC 中,M 为 BC 的中点,P 为 AM 上任一点,延长 CP 交 AB 于点 Q,求证: AP ? 2 AQ . PM QB

A

B

M

C

十一、如图,在△ABC 中,BC=6,E、F 分别是 AB、AC 的中点,点 P 在射线 EF 上,连接 BP 交 CE 于D 点
,∠CBP 的平分线交 CE 于点 Q,设 BP= y ,PE= x .当 CQ= 1 CE( n 为不小于 2 的常数)时,
n
求 y 与 x 之间的函数关系式.

第4页

十二、如图,△ABC 中,∠BAC=120°,AD 平分∠ABC,求证: 1 ? 1 ? 1 . AB AC AD

A

B

D

C

十三、如图,在△ABC 中,M、N 分别为 AB、AC 的中点,P 为 MN 上一点,BP 延长交 AC 于点 D,设MP ? x ,

NP

AD ? y ,求 y 与 x 的函数关系式.

A

DN

B

C

十四、如图,△ABC 中,M 为 AC 的中点,E 为 AB 上一点, AB ? nAE ,延长 EM 交直线 BC 于点 D.

(1) 若 n ? 4 ,求 CD 的值;

A

BC

(2) 若 C 为 BD 的中点,求n 的值;

CD (3) 请用n 的代数式表示 的值.
BC

B

C

D

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十五、如图,等腰△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 上一点, CD ? nBD ,E 为 AD 的中点,延长 BE 交 AC 于

点 F.

A

(1) 当 n =2 时,求 AF 的值;

FC

(2) 若 CF ? 2AF ,求证:AD⊥BC;

(3) 请求出 AF 的值.(用 n 的代数式表示)

FC

B

D

C

十六、如图,在△ABC 中,D、E 分别为 AB、AC 的中点,P 为 DE 上一点,延长 BP 交 AC 于点 N,延长

CP 交 AB 于点 M,求证: AN ? AM ? 1.

A

NC MB

B

C

十七、如图,△ABC 中,M 为 BC 的中点,N 为 AM 的中点,P 为 AB 上的一个动点,延长 PN 交 AC 于点

Q,当 P 点运动时,求 BP ? CQ 的值. AP AQ

A

B

M

C

第6页

十八、已知□ABCD 的对角线交于点 O,M 为 OD 上一点,过点 M 的直线分别交 AD、CD 于 P、Q 两点, 与

BA、BC 的延长线于 E、F 两点.

(1) 如图 1,若 M 为 OD 的中点,EF∥AC,求证:PE+QF=2PQ; (2) 如图 2,若 M 为 OD 的中点,EF 与 AC 不平行时,(1)中的结论是否仍然成立?说明你的理

由;

(3) 如图 3,若 BM= n DM,EF 与 AC 不平行时,请写出: PE ? QF 的值为

.

PQ

请用含n 的式子表示你的结论并证明.

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十九、类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完

整.

原题:如图 1,在□ABCD 中,点 E 是 BC 边的中点,点 F 是线段 AE 上一点,BF 的延长线交射线
CD 于点 G,若 AF ? 3 ,求 CD 的值.

EF

CG

(1) 【尝试探究】

在图 1 中,过点 E 作 EH∥AB 交 BG 于点 H,则 AB 和 EH 的数量关系是

的数量关系是

, CD 的值是



CG

B

A
E 图1

,CG 和 EH
D C

(2) 【类比延伸】

如图 2,在原题条件下,若 AF ? m ( m>0 ),求 CD 的值;(用含m 的代数式表示)

EF

CG

B

E

C

图2

(3) 【拓展迁移】

如图 3,梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 E 是 CD 的延长线上一点,BE 和 AC 相交于点 F,若 BC ? a ,

AD

CD ? b ,则 BF 的值是

.(用含 a 和 b 的代数式表示)

CE

EF

B

图3 C

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