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2020-2021中考数学二轮 锐角三角函数 专项培优 易错 难题及答案

2020-2021 中考数学二轮 锐角三角函数 专项培优 易错 难题及答案 一、锐角三角函数 1.如图,在△ ABC 中,∠ ABC=∠ ACB,以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB、BC 于点 M、N,点 P 在 AB 的延长线上,且∠ CAB=2∠ BCP. (1)求证:直线 CP 是⊙O 的切线. (2)若 BC=2 ,sin∠ BCP= ,求点 B 到 AC 的距离. (3)在第(2)的条件下,求△ ACP 的周长. 【答案】(1)证明见解析(2)4(3)20 【解析】 试题分析:(1)利用直径所对的圆周角为直角,2∠ CAN=∠ CAB,∠ CAB=2∠ BCP 判断出 ∠ ACP=90°即可; (2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可. 试题解析:(1)∵ ∠ ABC=∠ ACB, ∴ AB=AC, ∵ AC 为⊙O 的直径, ∴ ∠ ANC=90°, ∴ ∠ CAN+∠ ACN=90°,2∠ BAN=2∠ CAN=∠ CAB, ∵ ∠ CAB=2∠ BCP, ∴ ∠ BCP=∠ CAN, ∴ ∠ ACP=∠ ACN+∠ BCP=∠ ACN+∠ CAN=90°, ∵ 点 D 在⊙O 上, ∴ 直线 CP 是⊙O 的切线; (2)如图,作 BF⊥AC ∵ AB=AC,∠ ANC=90°, ∴ CN= CB= , ∵ ∠ BCP=∠ CAN,sin∠ BCP= , ∴ sin∠ CAN= , ∴ ∴ AC=5, ∴ AB=AC=5, 设 AF=x,则 CF=5﹣x, 在 Rt△ ABF 中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2, 在 Rt△ CBF 中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2, ∴ 25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2, ∴ x=3, ∴ BF2=25﹣32=16, ∴ BF=4, 即点 B 到 AC 的距离为 4. 考点:切线的判定 2.如图(1),在平面直角坐标系中,点 A(0,﹣6),点 B(6,0).Rt△ CDE 中, ∠ CDE=90°,CD=4,DE=4 ,直角边 CD 在 y 轴上,且点 C 与点 A 重合.Rt△ CDE 沿 y 轴 正方向平行移动,当点 C 运动到点 O 时停止运动.解答下列问题: (1)如图(2),当 Rt△ CDE 运动到点 D 与点 O 重合时,设 CE 交 AB 于点 M,求∠ BME 的度数. (2)如图(3),在 Rt△ CDE 的运动过程中,当 CE 经过点 B 时,求 BC 的长. (3)在 Rt△ CDE 的运动过程中,设 AC=h,△ OAB 与△ CDE 的重叠部分的面积为 S,请写出 S 与 h 之间的函数关系式,并求出面积 S 的最大值. 【答案】(1)∠ BME=15°; (2BC=4 ; (3)h≤2 时,S=﹣ h2+4h+8, 当 h≥2 时,S=18﹣3h. 【解析】 试题分析:(1)如图 2,由对顶角的定义知,∠ BME=∠ CMA,要求∠ BME 的度数,需先 求出∠ CMA 的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可; (2)如图 3,由已知可知∠ OBC=∠ DEC=30°,又 OB=6,通过解直角△ BOC 就可求出 BC 的 长度; (3)需要分类讨论:①h≤2 时,如图 4,作 MN⊥y 轴交 y 轴于点 N,作 MF⊥DE 交 DE 于 点 F,S=S△ EDC﹣S△ EFM;②当 h≥2 时,如图 3,S=S△ OBC. 试题解析:解:(1)如图 2, ∵ 在平面直角坐标系中,点 A(0,﹣6),点 B(6,0). ∴ OA=OB, ∴ ∠ OAB=45°, ∵ ∠ CDE=90°,CD=4,DE=4 , ∴ ∠ OCE=60°, ∴ ∠ CMA=∠ OCE﹣∠ OAB=60°﹣45°=15°, ∴ ∠ BME=∠ CMA=15°; 如图 3, ∵ ∠ CDE=90°,CD=4,DE=4 , ∴ ∠ OBC=∠ DEC=30°, ∵ OB=6, ∴ BC=4 ; (3)①h≤2 时,如图 4,作 MN⊥y 轴交 y 轴于点 N,作 MF⊥DE 交 DE 于点 F, ∵ CD=4,DE=4 ,AC=h,AN=NM, ∴ CN=4﹣FM,AN=MN=4+h﹣FM, ∵ △ CMN∽ △ CED, ∴ , ∴ , 解得 FM=4﹣ , ∴ S=S△ EDC﹣S△ EFM= ×4×4 ﹣ (4 4﹣h)×(4﹣ ②如图 3,当 h≥2 时, S=S△ OBC= OC×OB= (6﹣h)×6=18﹣3h. 考点:1、三角形的外角定理;2、相似;3、解直角三角形 )=﹣ h2+4h+8, 3.如图,反比例函数 y ? k ?k ? 0? 的图象与正比例函数 y ? 2x 的图象相交于 x A (1, a ), B 两点,点 C 在第四象限, CA ∥ y 轴, ? ABC ? 90? . (1)求 k 的值及点 B 的坐标; (2)求 tanC 的值. 【答案】(1) k ? 2 , B??1, ?2? ;(2)2. 【解析】 【分析】(1)先根据点 A 在直线 y=2x 上,求得点 A 的坐标,再根据点 A 在反比例函数 y ? k ?k ? 0? 的图象上,利用待定系数法求得 k 的值,再根据点 A、B 关于原点对称即可 x 求得点 B 的坐标; (2)作 BH⊥AC 于 H,设 AC 交 x 轴于点 D,根据 ? ABC ? 90? , ? BHC ? 90? ,可得 ? C ? ? ABH ,再由已知可得 ? AOD ? ? ABH ,从而得 ? C ? ? AOD ,求出 tanC 即可. 【详解】(1)∵ 点 A (1, a )在 y ? 2x 上, ∴ a =2,∴ A (1, 2 ), 把 A (1, 2 )代入 y ? k 得 k ? 2 , x ∵ 反比例函数 y ? k ?k ? 0? 的图象与正比例函数 y ? 2x 的图象交于 A , B 两点


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