当前位置: 首页 > >

2019-2020学年高中数学北师大版必修4练习:第1章第8节函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质-附答案

§8 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
课后篇巩固探究

A 组 基础巩固

1.函数 y=2sin

+1 的最大值是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析函数 y=2sin

+1 的最大值为 2+1=3.

答案 C

2.已知函数 f(x)=sin

(ω>0)的最小正周期为 π,则 f =( )

A.-

B.

C.

D.-

解析由 =π,得 ω=2,此时 f(x)=sin

.

∴f =sin

.

答案 B

3.函数 y=3sin - 的一个单调递减区间为( )

A. -

B. -

C.

D. -

解析 y=3sin - =-3sin - ,当 x∈ - 时,x- - ,此时 y=sin - 在区间 - 上是增加

的,从而 y=-3sin - 在区间 - 上是减少的,即单调递减区间是 - . 答案 B

4.在同一平面直角坐标系中,函数 y=cos

A.0

B.1

C.2

(x∈[0,2π])的图像和直线 y= 的交点个数是( ) D.4

解析作出函数 y=cos 答案 C 5.

π ,x∈[0,2π]的图像及 y= 的图像可得,应选 C.

已知函数 y=sin(ωx+φ)

的部分图像如图所示,则( )

A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=解析∵T=4× - =π,
∴ω= =2,由五点作图法知 2× +φ= ,φ=- . 答案 D 6.

如图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间 -

上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将 y=sin x(x

∈R)的图像上所有点( )

A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变

B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

解析由图像可知函数的周期为 π,振幅为 1,所以函数的解析式可设为 y=sin(2x+φ).代入 - 可得 φ

的一个值为 ,故图像中函数的一个解析式是 y=sin

,所以只需将 y=sin x(x∈R)的图像上所有

的点向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变. 答案 A 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值是 4,最小值是 0,最小正周期是 ,直线 x= 是其图像的一条对 称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )

A.y=4sin 4x+

B.y=2sin 2x+ +2

C.y=2sin 4x+ +2 D.y=2sin 4x+ +2

解析由题意可得,A= - =2,m= =2,ω=

=4,∴φ=kπ+

,∴当 k=1 时,φ=

,∴符

合条件的一个解析式为 y=2sin 4x+ +2. 答案 D

8.将函数 y= sin

的图像上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图

像,则函数 g(x)在 上的最大值和最小值分别为



.

解析依据图像变换得函数 g(x)= sin

.

∵x∈ ,∴4x+

,

∴当 4x+ 时,g(x)取最大值 ;当 4x+

时,g(x)取最小值- .

答案 -

9.设函数 f(x)=4sin

,若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值是

.

解析由正弦曲线的图像可知,f(x1),f(x2)分别是函数 f(x)=4sin

的最小值、最大值,|x1-x2|的最小

值就是相邻最小值、最大值横坐标之间的距离,等于函数的 个周期,故|x1-x2|的最小值= T= =2.
答案 2 10.

已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)



的图像的一部分如图所示,求函数 f(x)的解析式. 解由图像可知,A=2,T=8.

∵T=8,∴ω=

.

∴f(x)=2sin

.

方法一:由图像过点(1,2)得,2sin

=2,

∴sin

=1.∴ +φ=2kπ+ (k∈Z),

即 φ=2kπ+ (k∈Z).

∵|φ|< ,∴φ= ,∴f(x)=2sin

.

方法二:∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点,

∴ ×1+φ= ,∴φ= ,

∴f(x)=2sin

.

11.已知函数 f(x)= sin

.

(1)求 f(x)的最大值、最小值,及相应 x 的值; (2)求 f(x)的最小正周期、对称轴和对称中心; (3)函数 f(x)的图像至少向左平移多少个单位长度才为偶函数?

解(1)当 2x+ +2kπ(k∈Z)时,f(x)有最大值 ,即当 x= +kπ(k∈Z)时,f(x)max= .

当 2x+ =- +2kπ(k∈Z)时,f(x)有最小值 ,即当 x=kπ- (k∈Z)时,f(x)min= .

(2)由 T= 知函数 f(x)的最小正周期为 T=π.

令 2x+ =kπ+ (k∈Z),则 x=

(k∈Z),

∴对称轴为直线 x=

(k∈Z).

令 2x+ =kπ(k∈Z),则 x=

(k∈Z),

∴对称中心为 -

(k∈Z).

(3)由函数性质知若函数 y=Asin(ωx+φ)+b 为偶函数,φ>0,

则 φ 至少为 ,即 y= sin

cos 2x+ 为偶函数.

∴应将函数 y= sin

的图像平移至函数 y= sin

的图像处.

由函数图像平移方法知:y= sin

的图像

∴函数 f(x)的图像至少向左平移 个单位长度才为偶函数.

y= sin

的图像,

B 组 能力提升

1.将函数 f(x)=3sin

图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 个单位长度,得到

函数 y=g(x)的图像,则 y=g(x)图像的一条对称轴是( )

A.x=

B.x=

C.x=

D.x=

解析将函数 f(x)=3sin

图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,可得函数 y=3sin



图像,再向右平移 个单位长度,可得 y=3sin -

=3sin - 的图像,故 g(x)=3sin - .

令 2x- =kπ+ ,k∈Z,得到 x= ·π+ ,k∈Z.则得 y=g(x)图像的一条对称轴是 x= .故选 C.

答案 C

2.

导学号 93774030 设 ω>0,函数 y=sin

+2 的图像向右平移 个单位长度后与

原图像重合,则 ω 的最小值是( )

A.

B.

C.

D.3

解析 y=sin

+2 向右平移 个单位长度,

得 y1=sin -

+2,

即 y1=sin

- +2,

又函数 y 与 y1 的图像重合,则- ω=2kπ(k∈Z),

∴ω=- k(k∈Z). 又 ω>0,k∈Z, ∴当 k=-1 时,ω 取得最小值 .故选 C.

答案 C

3.将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图像向右平移 个单位长度,所得图像经过点

是( )

A.

B.1

C.

D.2

,则 ω 的最小值

解析将函数 f(x)=sin ωx 的图像向右平移 个单位长度,得到的图像对应的函数解析式为 f(x)=sin

ω - =sin - .因为函数的图像经过点

,所以 sin - =sin =0,所以 =kπ(k∈Z),

即 ω=2k(k∈Z),因为 ω>0,所以 ω 的最小值为 2. 答案 D

4.函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间 上单调递增,且在这个区间上的最大值是 ,则 ω 可以为( )

A.

B.

C.2

D.4

解析因为函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间 上单调递增,所以周期 T≥π,所以 0<ω≤2.由题意知

2sin

?sin

.当 ω= 时,f =1,不合题意;当 ω= 时,f

时,f =2,不合题意.故选 B. 答案 B

,符合题意;当 ω=2

5.

导学号 93774031 点 P - 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)+m

的图像的一个

对称中心,且点 P 到该图像对称轴的距离的最小值为 ,则( )
A.f(x)的最小正周期是 π B.m 的值为 1 C.f(x)的初相 φ 为

D.f(x)在

上是增加的

解析∵点 P 是函数 f(x)的图像的一个对称中心,

∴m=2,- ω+φ=kπ(k∈Z),

又由题意知 T=4× =2π,则 ω=1,

∴- +φ=kπ(k∈Z).

由|φ|< ,得 φ= ,利用排除法知 D 正确. 答案 D 6.f(x)=3sin - 的图像 C 具有:

①图像 C 关于直线 x= 对称;②函数 f(x)在区间 -

内是增加的;③由 y=3sin 2x 的图像向右平

移 个单位长度可以得到图像 C.

以上三个论断中,正确的论断是

.(填序号)

解析①中,x= 时,2x-

,正确;②中,由 x∈ -

得 2x- - ,正确;③中,函数 y=3sin 2x 的

图像向右平移 个单位得到 y=3sin 2 - =3sin - 的图像,结论错误,故选①②. 答案①② 7.函数 f(x)=Asin - +1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为 . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 α∈(0,2π),f =2,求 α 的值. 解(1)∵函数 f(x)的最大值为 3,
∴A+1=3,即 A=2. ∵函数图像相邻两条对称轴之间的距离为 , ∴最小正周期 T=π, ∴ω=2. ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin - +1.

(2)f =2sin - +1=2,

即 sin -

.

∵0<α<2π,∴- <α-

,

∴α- 或 α-

,故 α= 或 α=π.

8.

导学号 93774032 已知函数 y=3sin - .

(1)求此函数的周期、振幅、初相; (2)作函数在[0,4π]上的图像; (3)说出此函数图像是由 y=sin x 的图像经过怎样的变化得到的.

解(1)y=3sin - 的周期 T=4π,振幅为 3,初相为- .

(2)在 x∈[0,4π]上确定关键点,列表如下.

x

0



x-

-0 π

-

-

y=3sin -

0 3 0 -3

描点,作出以上各点,用平滑曲线顺次连接各点,得 y=3sin - 在[0,4π]上的草图如图所示.

(3)①把函数 y=sin x 的图像向右平移 个单位长度,得到函数 y=sin - 的图像;

②把得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin - 的图像;

③把得到的图像上各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),得到函数 y=3sin 像.

- 的图




友情链接: 时尚网 总结汇报 幼儿教育 小学教育 初中学习资料网