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(浙江版)2019年高考数学一轮复*(讲+练+测): 专题4.7 解三角形及其应用举例(讲)

发布时间:

第 07 节 解三角形及其应用举例

考点

【考纲解读】 考纲内容

正弦定理和 掌握正弦定理、余弦定理及其应 余弦定理 用

5 年统计

分析预测

1.测量距离问题;

2.测量高度问题;

2013 浙江文 18;

3.测量角度问题.

2019 浙江文 18;理 10, 4.备考重点:

18;

(1)掌握正弦定理、余弦

2019 浙江文 16;理 16; 定理;

2019 浙江文 16;理 16; (2)掌握几种常见题型

2019 浙江 14.

的解法.

(3)理解三角形中的有

关术语.

【知识清单】

1. 测量距离问题 实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角:在视线和水*线所成的角中,视线在水*线上方的角叫仰角,在水*线下方 的角叫俯角(如图 1).

(2)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水*角,如 B 点的方位角为 α(如图 2). (3)方向角:相对于某一正方向的水*角(如图 3) ①北偏东 α°即由指北方向顺时针旋转 α°到达目标方向. ②北偏西 α°即由指北方向逆时针旋转 α°到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡度: ①定义:坡面与水*面所成的二面角的度数(如图 4,角 θ 为坡角).

②坡比:坡面的铅直高度与水*长度之比(如图 4,i 为坡比).

对点练*:

【浙江宁波模拟】如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30 方向的两条街道,某公

园 P 位于商业中心北偏东 角 0 , tan 3 3 ,且与商业中心 O 的距离为 21 公里



2



处,现要经过公园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A,B 两处,当商业中心 O 到 A,B 两

处的距离之和最小时, A, B 的距离为 公里.

【答案】 3 3 .

AB

3 2

2
6

2





3

3 2





3

3

2. 测量高度问题

余 弦 定 理 : a2 b2 c2 2ab cos C



b2 c2 a2 2ac cos A



c2 a2 b2 2ac cos B .

变形公式 cos A=b2+2cb2c-a2,cos B=a2+2ca2c-b2,os C=a2+2ba2b-c2

对点练*: 【2019 高考湖北】如图,一辆汽车在一条水*的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧

一山顶 D 在西偏北 30 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,

仰角为 30 ,则此山的高度 CD

m.

【答案】100 6

【 解 析 】 依 题 意 , BAC 30 , ABC 105 , 在 ABC 中 , 由

ABC BAC ACB 180 ,

所以 ACB

45

,因为

AB



600

,由正弦定理可得

s

600 in 45



BC sin 30

,即 BC

300

2 m,

在 RtBCD 中,因为 CBD 30 , BC 300 2 ,所以 tan 30 CD CD ,所以 BC 300 2

CD 100 6 m.

3. 测量角度问题

应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应 注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理. 对点练*:
【2019 广东佛山二模】某沿海四个城市 A 、B 、C 、D 的位置如图所示,其中 ABC 60 , BCD 135, AB 80nmile, BC 40 30 3nmile , CD 250 6nmile , D 位 于 A 的北偏东 75 方向.现在有一艘轮船从 A 出发以 50nmile/h 的速度向 D 直线航行, 60min 后,轮船由于天气原因收到指令改向城市 C 直线航行,收到指令时城市 C 对于轮船的 方位角是南偏西 度,则 sin __________.

【答案】 6 2 4
CFN AFN AFC MAF AFC 15 ,故 sin 6 2 . 4
【考点深度剖析】 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变,选择题、填空题的形式往往独立考 查正弦定理或余弦定理,解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用,多与三角形 周长、面积有关;有时也会与*面向量、三角恒等变换等结合考查,试题难度控制在中等以 下. 高考对正弦定理和余弦定理应用的考查,主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量 和几何计算有关的问题,关键是弄懂有关术语,认真理解题意,难度不大.主要考查灵活运 用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等.从*几年浙江卷来 看,三角形中的应用问题,主要是结合直角三角形,考查边角的计算,也有与导数结合考查 的情况.
【重点难点突破】 考点 1 测量距离问题 【1-1】【2019 北京市延庆区一模】在相距 2 千米的两点错误!未找到引用源。处测量目标错

误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用 源。两点间的距离是_______________千米. 【答案】错误!未找到引用源。 【解析】如图,由 A 点向 BC 作垂线,垂足为 D,设 AC=x,∵∠CAB=75°, ∠CBA=60°,∴∠ACB=180°-75°-60°=45°,∴错误!未找到引用源。 , ∴在 Rt△ABD 中,错误!未找到引用源。 (千米),所以错误!未找到引用源。两点间的距 离是错误!未找到引用源。 千米.

【1-2】如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,测出 AB 的距离,测量者可以

在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时在 C,D 两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠

CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,

应用余弦定理计算出

AB.若测得

CD=

3 2

km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=

45°,求 A,B 两点间的距离.

【答案】 6 4

∴AB=

46(km).∴A,B 两点间的距离为

6 4

km.

【1-3】如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其方法先选定适当的位置 C,用经

纬仪测出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两点间的距离.即 AB=

a2+b2-2abcos α.若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,试计算 AB 的长.

【答案】 200 7 【解析】在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos ∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000.∴AB=200 7 m. 即 A,B 两点间的距离为 200 7 m.
【领悟技法】 研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转 化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题角度有:
1 两点都不可到达; 2 两点不相通的距离; 3 两点间可视但有一点不可到达.
【触类旁通】 【变式一】如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要 测出 AB 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一点 C,可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测 出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB.若测出 AC=60 m,∠BAC =75°,∠BCA=45°,则 A,B 两点间的距离为________.

【答案】 20 6

【变式二】如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C,测 出 AC 的距离为 50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算 A、B 两点的距离为

()

A.50 2m

B.50 3m

C.25 2m

D.252 2m

【答案】 A

【解析】由题意知∠ABC=30°,由正弦定理sin∠ACABC=sinA∠BACB,∴AB=ACs·ins∠inA∠BCACB=

50×

2 2

1 =50 2(m).

2

考点 2 测量高度问题 【2-1】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,

B,C 三地位于同一水*面上,在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点 A,B 两地相距 100 米,

∠BAC=60°,在

A

地听到弹射声音的时间比

B

2 地晚17秒.在

A

地测得该仪器至最高点

H

时的

仰角为 30°,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音在空气中的传播速度为 340 米/秒)

【答案】140 3

【2-2】要测量电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰 角是 30°,并测得水*面上的∠BCD=120°,CD=40 m,求电视塔的高度.
【答案】B 【解析】如图,设电视塔 AB 高为 x m,则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45°得 BC=x.在 Rt△ADB 中,∠ADB=30°,则 BD= 3x. 在△BDC 中,由余弦定理得,BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos 120°,即( 3x)2=x2+402- 2·x·40·cos 120°, 解得 x=40,所以电视塔高为 40 米. 【2-3】如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD(CD 所在的直线与*矫娲怪) 对于山坡的斜度为 α,从 A 处向山顶前进 l 米到达 B 后,又测得 CD 对于山坡的斜度为 β, 山坡对于*矫娴钠陆俏 θ.
(1)求 BC 的长; (2)若 l=24,α=15°,β=45°,θ=30°,求建筑物 CD 的高度.
【答案】(1) BC l sin ;(2) CD 24 8 3 . sin( )
【领悟技法】

已知三边 如(a、b、c),由余弦定理求 A、B ,再由 A B C 180 求角 C ,在有解时只
有一解.
已知两边和夹角 如(a、b、C),余弦定理求出对对边.
【触类旁通】 【变式一】如图所示,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α,在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β.已知铁塔 BC 部分的高为 h,求出山高 CD.
【答案】 h cos sin sin( )

在 RtACD 中, CD AC sin CAD AC sin h cos sin . sin( )
【变式二】如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水*面内的两个测 点 C 与 D ,现测得 BCD , BDC ,CD s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ,求 塔高 AB .

【答案】 s ? tan sin si(n +)

【解析】在 BCD 中, CBD ,由正弦定理得 BC = CD ,所以 sinBDC sinCBD

BC



CD ? sinBDC sinCBD

= s ? sin . si(n +)



RtABC

中,

AB



BC

tan

ACB



s ? tan sin . si(n +)

考点 3 测量角度问题 【3-1】在一次海上联合作战演*中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进,若侦察艇 以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45°+α 方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内 拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

【答案】 5 3 14
【解析】如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,

【3-2】如图,扇形 AOB 是一个观光区的*面示意图,其中圆心角∠AOB 为23π,半径 OA 为 1 km.

为了便于游客观光休闲,拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路,道路由弧 AC、 线段 CD 及线段 DB 组成,其中 D 在线段 OB 上,且 CD∥AO.设∠AOC=θ.

(1)用 θ 表示 CD 的长度,并写出 θ 的取值范围; (2)当 θ 为何值时,观光道路最长?

【答案】(1) CD cos 3 sin , (0, ) ;(2)当 时,观光道路最长.

3

3

6

解:(1)在△OCD 中,由正弦定理,得

sin

C∠D COD=sin

O∠D DCO=sin

C∠O CDO=

2, 3

所以 CD=

23sin23π-θ=cos

θ+

1 sin 3

θ,OD=

2 sin 3

θ,

因为 OD<OB,即

2 sin 3

θ<1,所以 sin

θ<

23,所以 0<θ<π3 ,

所以 CD=cos θ+ 33sin θ,θ 的取值范围为0,π3 .

又 θ∈0,π3 ,所以 θ=π6 ,

列表:

θ

0,π6

π 6

π6 ,π3

L′(θ) L(θ)

+ 增函数

0 极大值

- 减函数

所以当 θ=π6 时,L(θ)达到最大值,即当 θ=π6 时,观光道路最长. 【3-3】在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船;在 A 处北偏西 75°方向,距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走 私船.同时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什 么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?

6 【答案】缉私船沿北偏东 60°的方向能最快追上走私船,最少要花 10 小时.

在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠BCD=BDsiCnD∠CBD=10t·1s0in3t120°=12,

得∠BCD=30°,∴∠BDC=30°.又sin

CD

BC

120°=sin 30°,

10 3t =
3

6,得

t=

6 10 .

6 所以缉私船沿北偏东 60°的方向能最快追上走私船,最少要花 10 小时.

【领悟技法】 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系, 从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形, 得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π这个结论.

[注意] 在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以 免漏解.

判断三角形的形状的基本思想是:利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角

的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边

的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.结论一般为特殊的三角形.如等边三 角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.另外,在变形过程中要注意 A,B,C

的范围对三角函数值的影响.

提醒:1.在△ABC 中有如下结论 sin A>sin B?a>b. 2.当 b2+c2-a2>0 时,角 A 为锐角,若可判定其他两角也为锐角,则三角形为锐角三角形; 当 b2+c2-a2=0 时,角 A 为直角,三角形为直角三角形; 当 b2+c2-a2<0 时,角 A 为钝角,三角形为钝角三角形.

【触类旁通】 【变式一】如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水*面,

则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

【答案】B

【解析】依题意可得 AD=20 10 (m),AC=30 5(m),又 CD=50(m),所以在△ACD 中,由余

弦定理得 cos∠CAD=AC22+ACA·D2-ADCD2=

30 5 2+ 20 10 2-502 6 000

2

2×30 5×20 10

= 6 000

= 2

2

,又

0°<

∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°.

【变式二】如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险

等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙

船,乙船立即朝北偏东 θ 角的方向沿直线前往 B 处救援,则 sin θ 的值为( )

A.

21 7

B.

2 2

C.

3 2

D.5147

【答案】D

【解析】本题考查正余弦定理的应用及两角和与差的正弦公式.在三角形 ABC 中,由 AC=10,

AB=20,∠CAB=120°.由余弦定理可得 BC=10

AB

BC

7.又由正弦定理可得sin∠ACB=sin A

20

10 7

? sin ∠ACB=sin 120°? sin

∠ACB=

21 7 .故

sin

θ=sin∠ACB+π6 =

21 3 2 7 7 ×2+ 7

1 57 ×2= 14 .

【易错试题常警惕】

易错典例:如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航 行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?

易错分析:不能分清已知条件和未知条件,从而不能将问题集中到一个三角形中.再利用正、 余弦定理求解.解决此类问题时,要能理解题目给定的含义,转化到三角形中,利用正、余 弦定理进行求解. 正确解析:

温馨提醒:利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图,结合示意图构造三 角形,然后转化为解三角形的问题进行求解.
【学科素养提升之思想方法篇】 数形结*侔愫茫袅逊旨彝蚴滦荨谓岷纤枷
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结*侔愫茫袅逊旨彝蚴滦荨""数"与"形"反映了事物 两个方面的属性。我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合 就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数" 或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化, 从而起到优化解题途径的目的. 向量的几何表示,三角形、*行四边形法则,使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐 标运算又具备数的特征,因此,向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重 身份”.因此,在应用向量解决问题或解答向量问题时,要注意恰当地运用数形结合思想,将 复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半功倍的效果.
【典例】【2019 福建 4 月质检】如图,有一码头 P 和三个岛屿 A, B,C ,
PC 30 3 n mile, PB 90 n mile, AB 30 n mile , PCB 1200 , ABC 900 .
(1)求 B,C 两个岛屿间的距离;
(2)某游船拟载游客从码头 P 前往这三个岛屿游玩,然后返回码头 P .问该游船应按何路线
航行,才能使得总航程最短?求出最短航程.

【答案】(1) 30 3 n mile (2) 30 60 3 30 7 n mile
又因为在 PBC 中, 00 PBC 600 ,所以 PBC 300 , 所以 BPC 300 ,从而 BC PC 30 3 , 即 B,C 两个岛屿间的距离为 30 3 n mile ;
其航程为 30 60 3 30 7 n mile .




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