当前位置: 首页 > >

上饶市余干县2015-2016学年九年级上期末数学试卷含答案解析

2015-2016 学年江西省上饶市余干县九年级(上)期末数学试卷

一、选择题 1.﹣5 的相反数是( ) A.5 B.﹣5 C. D. 2.2012 年我省各级政府将总投入 594 亿元教育经费用于“教育强省”战略,将 594 亿元用于科学 记数法(保留两个有效数字)表示为( ) A.5.94×1010 B.5.9×1010 C.5.9×1011 D.6.0×1010

3.二元一次方程组

的解是( )

A.

B.

C.

D.

4.在函数

的图象上有三点 A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(2,y3),则( )

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1

5.一次函数 y= x﹣1 的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

6.甲、乙两同学 A 地出发,骑自行车在同一条路上行驶到 B 地,他们离出发地的距离 s(千米)和 行驶时间 t(小时)之间的函数关系的图象如图,根据图中提供的信息,有下列说法:其中符合图 象描述的说法有( ) (1)他们都行驶了 18 千米; (2)甲在途中停留了 0.5 小时; (3)乙比甲晚出发了 0.5 小时; (4)相遇后,甲的速度小于乙的速度; (5)甲乙两人同时到达目的地.

第 1 页(共 23 页)

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.D、5 个

二、填空题 7.计算 ﹣ × = .

8.计算:

+

=.

9.已知 x=1 是一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根,则 m2+2mn+n2 的值为 . 10.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=120°,BC=2 ,⊙A 与 BC 相切于点 D,且交 AB,AC 于 M,N 两点,则图中阴影部分的面积是 (保留 π).

11.分解因式 a2﹣ab2= . 12.抛物线 y=x2﹣2x﹣3 的对称轴是 . 13.从﹣4、3、5 这三个数中,随机抽取一个数,记为 a,那么,使关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有解, 且使关于 x 的一次函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为 4 的概率 . 14.如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子:

观察图形的变化规律,写出第 n 个小房子用了 块石子.

三、解答题 15.计算:(﹣a2)3.

16.解方程:

+

=1.

第 2 页(共 23 页)

17.解不等式组:

;并把解集在数轴上表示出来.

18.先化简,再求值:

,其中 a= .

19.我市开展了“寻找雷锋足迹”的活动,某中学为了了解七年在“学雷锋活动月”中做好事的情 况,随机调查了七年级 50 名学生在一个月内做好事的次数,并将所得数据绘制成统计图,请根据图 中提供的信息解答下列问题: ①所调查的七年级 50 名学生在这个月内做好事次数的平均数是 ,众数是 ,极差是 . ②根据样本数据,估计该校七年级 800 名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于 4 次的人数.

20.如图所示,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长 BD 到点 C,使 DC=BD,连接 AC,过点 D 作 DE ⊥AC 于 E. (1)求证:AB=AC;(2)求证:DE 为⊙O 的切线.
21.如图,已知点 A(﹣8,n),B(3,﹣8)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 图象的 两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积, (3)求方程 kx+b﹣ =0 的解(请直接写出答察); (4)求不等式 kx+b﹣ >0 的解集(请直接写出答案).
第 3 页(共 23 页)

22.为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度 增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克 20 元,市场调查发现,该产品 每天的销售量 y(千克)与销售价 x(元/千克)有如下关系:y=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利 润为 w 元. (1)求 w 与 x 之间的函数关系式. (2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元,该农户想要每天获得 150 元的销售 利润,销售价应定为每千克多少元? 23.如图,已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发,分别沿 AB、 BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是 2cm/s,当点 Q 到达点 C 时,P、Q 两点都停止运动,设运动时间为 t(s),解答下列问题: (1)当 t=2 时,判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积为 S(cm2),求 S 与 t 的函数关系式; (3)作 QR∥BA 交 AC 于点 R,连接 PR,当 t 为何值时,△APR∽△PRQ.
24.如图,已知抛物线 y=﹣x2+mx+4m 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(0,8). (1)求抛物线的解析式,并写出顶点 D 的坐标; (2)抛物线上是否存在点 E,使△ABE 的面积为 15?若存在,请求出所有符合条件 E 的坐标;若不 存在,请说明理由;
第 4 页(共 23 页)

(3)连结 BD,动点 P 在线段 BD 上运动(不含端点 B、D),连结 CP,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足 为 H,设 OH 的长度为 t,四边形 PCOH 的面积为 S.试探究:四边形 PCOH 的面积 S 有无最大值?如 果有,请求出这个最大值;如果没有,请说明理由.
第 5 页(共 23 页)

2015-2016 学年江西省上饶市余干县九年级(上)期末数学试 卷
参考答案与试题解析
一、选择题 1.﹣5 的相反数是( ) A.5 B.﹣5 C. D. 【考点】相反数. 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数. 【解答】解:﹣5 的相反数是 5, 故选:A. 【点评】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
2.2012 年我省各级政府将总投入 594 亿元教育经费用于“教育强省”战略,将 594 亿元用于科学 记数法(保留两个有效数字)表示为( ) A.5.94×1010 B.5.9×1010 C.5.9×1011 D.6.0×1010 【考点】科学记数法与有效数字. 【分析】学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.有效数字是从左边第 一个不是 0 的数字起后面所有的数字都是有效数字.用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关,与 10 的多少次方无关. 【解答】解:根据题意先将 594 亿元写成 594×108=5.94×1010 元.再用四舍五入法保留两个有效数 字即得 5.9×1010 元. 故选 B. 【点评】把一个数 M 记成 a×10n(1≤|a|<10,n 为整数)的形式,这种记数的方法叫做科学记数 法.同时考查近似数及有效数字的概念. 【规律】 (1)当|M|≥1 时,n 的值为 M 的整数位数减 1; (2)当|M|<1 时,n 的相反数是第一个不是 0 的数字前 0 的个数,包括整数位上的 0.
第 6 页(共 23 页)

3.二元一次方程组

的解是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】解二元一次方程组. 【分析】利用加减法解出二元一次方程组即可.

【解答】解:



①+②得,2x=6, 解得,x=3, 把 x=3 代入①得,y=﹣1,

则方程组的解为:



故选:D. 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法,掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题 的关键.

4.在函数

的图象上有三点 A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(2,y3),则( )

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】数形结合.

【分析】A,B 同在第二象限,y 随 x 的增大而增大;C 在第四象限,纵坐标最小.

【解答】解:∵﹣2<﹣1<0,

∴y1<y2, ∵2>0,

∴C 在第四象限,

∴y3 最小, ∴y2>y1>y3,

第 7 页(共 23 页)

故选 B. 【点评】考查反比例函数图象上的点的特点;k<0,若在同一象限内,y 随 x 的增大而增大;不在 同一象限内,第四象限的点的纵坐标小.
5.一次函数 y= x﹣1 的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】一次函数的图象. 【分析】找到函数与 x 轴和 y 轴的交点,画出函数图象,解答即可. 【解答】解:当 x=0 时,y=﹣1,与 y 轴交点为(0,﹣1); 当 y=0 时,x= ,与 x 轴交点为( ,0); 如图: 故选 B.

【点评】本题考查了一次函数的图象,找到与 x 轴、y 轴的交点画出图象是解题的关键.
6.甲、乙两同学 A 地出发,骑自行车在同一条路上行驶到 B 地,他们离出发地的距离 s(千米)和 行驶时间 t(小时)之间的函数关系的图象如图,根据图中提供的信息,有下列说法:其中符合图 象描述的说法有( ) (1)他们都行驶了 18 千米; (2)甲在途中停留了 0.5 小时; (3)乙比甲晚出发了 0.5 小时; (4)相遇后,甲的速度小于乙的速度; (5)甲乙两人同时到达目的地.
第 8 页(共 23 页)

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.D、5 个 【考点】函数的图象. 【专题】图表型. 【分析】根据函数图象可以直接回答问题. 【解答】解:(1)根据统计图,他们都行驶了 18 千米到达目的地,故(1)正确; (2)甲行驶了 0.5 小时,在途中停下,一直到 1 小时,因此在途中停留了 0.5 小时,故(2)正确; (3)甲行驶了 0.5 小时,乙才出发,因此乙比甲晚出发了 0.5 小时,故(3)正确; (4)根据统计图,很明显相遇后,甲的速度小于乙的速度,故(4)正确; (5)甲行驶了 2.5 小时到达目的地,乙用了 2﹣0.5=1.5 小时到达目的地,故(5)错误. 综上所述,正确的说法有 4 个. 故选:C. 【点评】此题考查了函数图象的认识,关键在于仔细读图,明白各部分表示的含义,从图中获取信 息,解决问题.

二、填空题

7.计算 ﹣ × =



【考点】二次根式的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】首先化简第一个二次根式,计算后边的两个二次根式的积,然后合并同类二次根式即可求 解. 【解答】解:原式=2 ﹣ = , 故答案是: 【点评】本题考查了二次根式的混合运算,正确运用二次根式的乘法简化了运算,正确观察式子的 特点是关键.

第 9 页(共 23 页)

8.计算:

+

=1.

【考点】分式的加减法. 【专题】计算题. 【分析】原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.

【解答】解:原式=



= =1. 故答案为:1. 【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

9.已知 x=1 是一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根,则 m2+2mn+n2 的值为 1 . 【考点】一元二次方程的解;完全平方公式. 【分析】首先把 x=1 代入一元二次方程 x2+mx+n=0 中得到 m+n+1=0,然后把 m2+2mn+n2 利用完全平方 公式分解因式即可求出结果. 【解答】解:∵x=1 是一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根, ∴m+n+1=0, ∴m+n=﹣1, ∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(﹣1)2=1. 故答案为:1. 【点评】此题主要考查了方程的解的定义,利用方程的解和完全平方公式即可解决问题.

10.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=120°,BC=2 ,⊙A 与 BC 相切于点 D,且交 AB,AC 于 M,N

两点,则图中阴影部分的面积是

(保留 π).

【考点】扇形面积的计算;勾股定理;切线的性质.
【专题】压轴题.
【分析】我们只要根据勾股定理求出 AD 的长度,再用三角形的面积减去扇形的面积即可.
第 10 页(共 23 页)

【解答】解:连接 AD,∵⊙A 与 BC 相切于点 D,AB=AC,∠A=120°, ∴∠ABD=∠ACD=30°,AD⊥BC, ∴AB=2AD,由勾股定理知 BD2+AD2=AB2,即 +AD2=(2AD)2

解得 AD=1,△ABC 的面积=2 ×1÷2= ,扇形 MAN 得面积=π×12× = ,所以阴影部分的面积

=



【点评】解此题的关键是求出圆的半径,即三角形的高,再相减即可.

11.分解因式 a2﹣ab2= a(a﹣b2) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】观察可得公因式 a,提取公因式 a,即可将原多项式因式分解. 【解答】解:a2﹣ab2=a(a﹣b2). 故答案为:a(a﹣b2). 【点评】此题考查了提公因式分解因式的知识.此题比较简单,注意准确找到公因式是解此题的关 键.

12.抛物线 y=x2﹣2x﹣3 的对称轴是 直线 x=1 . 【考点】二次函数的性质. 【分析】直接利用配方法得出二次函数的对称轴进而得出答案. 【解答】解:y=x2﹣2x﹣3 =(x﹣1)2﹣4. 故答案为:直线 x=1. 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,正确应用配方法是解题关键.

13.从﹣4、3、5 这三个数中,随机抽取一个数,记为 a,那么,使关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有解,

且使关于 x 的一次函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为 4 的概率



【考点】概率公式;根的判别式;一次函数图象上点的坐标特征.
第 11 页(共 23 页)

【分析】由关于 x 的一次函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为 4,可求得 a 的 值,由关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有解,可求得 a 的取值范围,继而求得答案. 【解答】解:∵一次函数 y=2x+a 与 x 轴、y 轴的交点分别为:(﹣ ,0),(0,a), ∴|﹣ |×|a|× =4, 解得:a=±4, ∵当△=16﹣4a≥0,即 a≤4 时,关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有解, ∴使关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有解,且使关于 x 的一次函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角 形面积恰好为 4 的概率为: . 故答案为: . 【点评】此题考查了概率公式的应用以及根的判别式与一次函数的性质.用到的知识点为:概率= 所求情况数与总情况数之比.
14.如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子:
观察图形的变化规律,写出第 n 个小房子用了 (n2+4n) 块石子. 【考点】规律型:图形的变化类. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】要找这个小房子的规律,可以分为两部分来看:第一个屋顶是 1,第二个屋顶是 3.第三个 屋顶是 5.以此类推,第 n 个屋顶是 2n﹣1.第一个下边是 4.第二个下边是 9.第三个下边是 16.以 此类推,第 n 个下边是(n+1)2 个.两部分相加即可得出第 n 个小房子用的石子数是(n+1)2+2n﹣ 1=n2+4n. 【解答】解:该小房子用的石子数可以分两部分找规律: 屋顶:第一个是 1,第二个是 3,第三个是 5,…,以此类推,第 n 个是 2n﹣1; 下边:第一个是 4,第二个是 9,第三个是 16,…,以此类推,第 n 个是(n+1)2 个. 所以共有(n+1)2+2n﹣1=n2+4n. 故答案为(n2+4n).
第 12 页(共 23 页)

【点评】本题考查了图形的变化类,分清楚每一个小房子所用的石子个数,主要培养学生的观察能 力和空间想象能力.
三、解答题 15.计算:(﹣a2)3. 【考点】幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据幂的乘方法则计算即可. 【解答】解:原式=﹣a2×3=﹣a6. 【点评】本题考查的是幂的乘方,掌握幂的乘方法则:底数不变,指数相乘是解题的关键.

16.解方程:

+

=1.

【考点】解分式方程. 【专题】计算题. 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方 程的解. 【解答】解:去分母得:3﹣x﹣1=x﹣4, 移项合并得:2x=6, 解得:x=3, 经检验 x=3 是分式方程的解. 【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式 方程求解.解分式方程一定注意要验根.

17.解不等式组:

;并把解集在数轴上表示出来.

【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 【分析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可.

【解答】解:

,由①得,x≥1,由②得,x>2,

故不等式组的解集为:x>2.

第 13 页(共 23 页)

在数轴上表示为: .
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找; 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

18.先化简,再求值:

,其中 a= .

【考点】分式的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】本题要先把分式化简,再将 a 的值代入求值.

【解答】解:原式=

=



将 a= 代入,得, 原式=﹣2. 【点评】本题主要考查分式的化简求值,式子化到最简是解题的关键.

19.我市开展了“寻找雷锋足迹”的活动,某中学为了了解七年在“学雷锋活动月”中做好事的情 况,随机调查了七年级 50 名学生在一个月内做好事的次数,并将所得数据绘制成统计图,请根据图 中提供的信息解答下列问题: ①所调查的七年级 50 名学生在这个月内做好事次数的平均数是 4.4 ,众数是 5 ,极差是 4. ②根据样本数据,估计该校七年级 800 名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于 4 次的人数.

【考点】条形统计图;用样本估计总体;加权平均数;众数;极差. 【专题】数形结合.
第 14 页(共 23 页)

【分析】(1)根据平均数、众数和极差的定义求解; (2)先计算出 50 人中做好事不少于 4 次的人数所占的百分比,然后用 800 乘以这个百分比即可估 计该校七年级 800 名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于 4 次的人数. 【解答】解:(1)①平均数=(2×5+3×6+4×13+5×16+6×10)÷50=4.4; 5 出现了 16 次,次数最多,所以众数为 5 次; 极差=6﹣2=4; 故答案为 4.4,5,4;

②800×

=624,

所以估计该校七年级 800 名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于 4 次的人数为 624 人. 【点评】本题考查了条形统计图:条形统计图是用线段长度表示数据,根据数量的多少画成长短不 同的矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来;从条形图可以很容易看出数据的大小,便于比较.也 考查了用样本估计总体、众数和极差.

20.如图所示,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长 BD 到点 C,使 DC=BD,连接 AC,过点 D 作 DE ⊥AC 于 E. (1)求证:AB=AC;(2)求证:DE 为⊙O 的切线.

【考点】切线的判定;等腰三角形的性质;圆周角定理. 【专题】证明题. 【分析】(1)连接 AD,根据中垂线定理不难求得 AB=AC; (2)要证 DE 为⊙O 的切线,只要证明∠ODE=90°即可. 【解答】证明:(1)连接 AD; ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°. 又∵DC=BD, ∴AD 是 BC 的中垂线.
第 15 页(共 23 页)

∴AB=AC. (2)连接 OD; ∵OA=OB,CD=BD, ∴OD∥AC. ∴∠0DE=∠CED. 又∵DE⊥AC, ∴∠CED=90°. ∴∠ODE=90°,即 OD⊥DE. ∴DE 是⊙O 的切线.
【点评】此题主要考查了切线的判定,等腰三角形的性质及圆周角的性质等知识点的综合运用.
21.如图,已知点 A(﹣8,n),B(3,﹣8)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 图象的 两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积, (3)求方程 kx+b﹣ =0 的解(请直接写出答察); (4)求不等式 kx+b﹣ >0 的解集(请直接写出答案).
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
第 16 页(共 23 页)

【分析】(1)根据 B(3,﹣8)在反比例函数 y= 图象上,求出 m 的值,把 A(﹣8,n)代入反比 例函数解析式,求出 n 的值,用待定系数法求出一次函数解析式; (2)求出点 C 的坐标,根据面积公式求出△AOB 的面积; (3)观察图象,求出方程 kx+b﹣ =0 的解; (4)通过观察图象,求出不等式 kx+b﹣ >0 的解集. 【解答】解:(1)∵B(3,﹣8)在反比例函数 y= 图象上, ∴﹣8= ,m=﹣24,反比例函数的解析式为 y=﹣ , 把 A(﹣8,n)代入 y=﹣ ,n=3, 设一次函数解析式为 y=kx+b,


解得,



一次函数解析式为 y=﹣x﹣5. (2)﹣x﹣5=0,x=﹣5, 点 C 的坐标为(﹣5,0), △AOB 的面积=△AOC 的面积+△BOC 的面积 = ×5×3+ ×5×8= . (3)点 A(﹣8,3),B(3,﹣8)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 图象的两个交点, 方程 kx+b﹣ =0 的解是:x1=﹣8,x2=3, (4)由图象可知,当 x<﹣8 或 0<x<3 时,kx+b> , ∴不等式 kx+b﹣ >0 的解集为:x<﹣8 或 0<x<3. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数图象的交点坐标满 足两函数解析式.也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力.

第 17 页(共 23 页)

22.为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度 增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克 20 元,市场调查发现,该产品 每天的销售量 y(千克)与销售价 x(元/千克)有如下关系:y=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利 润为 w 元. (1)求 w 与 x 之间的函数关系式. (2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元,该农户想要每天获得 150 元的销售 利润,销售价应定为每千克多少元? 【考点】二次函数的应用. 【专题】压轴题. 【分析】(1)根据销售额=销售量×销售单价,列出函数关系式; (2)用配方法将(1)的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值; (3)把 y=150 代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求 x,根据 x 的取值范围求 x 的值. 【解答】解:(1)由题意得出: w=(x﹣20)?y =(x﹣20)(﹣2x+80) =﹣2x2+120x﹣1600, 故 w 与 x 的函数关系式为:w=﹣2x2+120x﹣1600;
(2)w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200, ∵﹣2<0, ∴当 x=30 时,w 有最大值.w 最大值为 200. 答:该产品销售价定为每千克 30 元时,每天销售利润最大,最大销售利润 200 元.
(3)当 w=150 时,可得方程﹣2(x﹣30)2+200=150. 解得 x1=25,x2=35. ∵35>28, ∴x2=35 不符合题意,应舍去. 答:该农户想要每天获得 150 元的销售利润,销售价应定为每千克 25 元.
第 18 页(共 23 页)

【点评】本题考查了二次函数的运用.关键是根据题意列出函数关系式,运用二次函数的性质解决 问题.
23.(2008?福州)如图,已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发, 分别沿 AB、BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是 2cm/s,当点 Q 到达点 C 时,P、Q 两点都停止运动,设运动时间为 t(s),解答下列问题: (1)当 t=2 时,判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积为 S(cm2),求 S 与 t 的函数关系式; (3)作 QR∥BA 交 AC 于点 R,连接 PR,当 t 为何值时,△APR∽△PRQ.

【考点】相似三角形的性质;等边三角形的性质;平行四边形的性质;解直角三角形. 【专题】压轴题;动点型. 【分析】(1)当 t=2 时,可分别计算出 BP、BQ 的长,再对△BPQ 的形状进行判断; (2)∠B 为 60°特殊角,过 Q 作 QE⊥AB,垂足为 E,则 BQ、BP、高 EQ 的长可用 t 表示,S 与 t 的 函数关系式也可求; (3)由题目线段的长度可证得△CRQ 为等边三角形,进而得出四边形 EPRQ 是矩形,由△APR∽△PRQ, 可得出∠QPR=60°,利用 60°的特殊角列出一方程即可求得 t 的值. 【解答】解:(1)△BPQ 是等边三角形 当 t=2 时 AP=2×1=2,BQ=2×2=4 ∴BP=AB﹣AP=6﹣2=4 ∴BQ=BP 又∵∠B=60° ∴△BPQ 是等边三角形;

(2)过 Q 作 QE⊥AB,垂足为 E

第 19 页(共 23 页)

由 QB=2t,得 QE=2t?sin60°= t 由 AP=t,得 PB=6﹣t

∴S△BPQ= ×BP×QE= (6﹣t)× t=﹣

t

∴S=﹣

t;

(3)∵QR∥BA ∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60° ∴△QRC 是等边三角形 ∴QR=RC=QC=6﹣2t ∵BE=BQ?cos60°= ×2t=t ∴EP=AB﹣AP﹣BE=6﹣t﹣t=6﹣2t ∴EP∥QR,EP=QR ∴四边形 EPRQ 是平行四边形 ∴PR=EQ= t 又∵∠PEQ=90°, ∴∠APR=∠PRQ=90° ∵△APR∽△PRQ, ∴∠QPR=∠A=60° ∴tan60°=

解得 t=
∴当 t= 时,△APR∽△PRQ.

第 20 页(共 23 页)

【点评】此题是一个综合性很强的题目,主要考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的 特征、解直角三角形、函数等知识.难度很大,有利于培养同学们钻研和探索问题的精神.
24.(2015 秋?余干县期末)如图,已知抛物线 y=﹣x2+mx+4m 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(0,8). (1)求抛物线的解析式,并写出顶点 D 的坐标; (2)抛物线上是否存在点 E,使△ABE 的面积为 15?若存在,请求出所有符合条件 E 的坐标;若不 存在,请说明理由; (3)连结 BD,动点 P 在线段 BD 上运动(不含端点 B、D),连结 CP,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足 为 H,设 OH 的长度为 t,四边形 PCOH 的面积为 S.试探究:四边形 PCOH 的面积 S 有无最大值?如 果有,请求出这个最大值;如果没有,请说明理由.
【考点】二次函数综合题;解一元二次方程-公式法;待定系数法求一次函数解析式. 【专题】综合题. 【分析】(1)只需把点 C 的坐标代入抛物线的解析式,就可求出抛物线的解析式,然后用配方法就 可求出顶点 D 的坐标; (2)可先求出 A、B 两点的坐标,得到 AB 的值,根据△ABE 的面积可求出点 E 的纵坐标,代入抛物 线的解析式,就可求出点 E 的坐标; (3)可先求出 DB 的解析式,从而得到 PH(用 t 的代数式表示),然后用 t 的代数式表示出梯形 PCOH 的面积,再运用配方法就可解决问题. 【解答】解:(1)∵点 C(0,8)在抛物线 y=﹣x2+mx+4m 上, ∴4m=8, ∴m=2, ∴抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+8. ∵y=﹣x2+2x+8=﹣(x﹣1)2+9,
第 21 页(共 23 页)

∴顶点 D 的坐标为(1,9);

(2)令 y=0,则﹣x2+2x+8=0, 解得:x1=4,x2=﹣2, ∴A(﹣2,0),B(4,0), ∴OA=2,OB=4,AB=6.
∵S△ABE= ×AB×|yE|=3|yE|=15, ∴yE=±5. 当 yE=5 时,﹣x2+2x+8=5, 解得:x3=3,x4=﹣1. 当 yE=﹣5 时,﹣x2+2x+8=﹣5, 解得:x5=1+ ,x6=1﹣ . ∴点 E 的坐标为(3,5),(﹣1,5),(1+

,﹣5),(1﹣

,﹣5);

(3)设 DB 的解析式为 y=kx+b,

则有



解得:



∴DB 的解析式为 y=﹣3x+12. ∵OH=t, ∴P(t,﹣3t+12),PH=﹣3t+12,

∴S= (8﹣3t+12)t=﹣ t2+10t=﹣ (t﹣ )2+ .

∵1<t<4,

∴当 t= 时,S 最大= .

【点评】本题主要考查了用待定系数法求抛物线及直线的解析式、解一元二次方程等知识,运用配 方法是解决本题的关键,需要注意的是点 E 到 x 轴的距离为|yE|,而不是 yE.

第 22 页(共 23 页)

第 23 页(共 23 页)




友情链接: 时尚网 总结汇报 幼儿教育 小学教育 初中学习资料网